第十一章 不等式与不等式组（13种题型）期末复习 讲义 2025-2026学年人教版数学 七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 一、不等式及其基本性质 （一）核心概念 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤”“≥” 或 “≠”表示 或 的式子。 2.不等式的解：使不等式成立的 。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 组成的集合。 4.解不等式：求 叫做解不等式。 （二）不等式的基本性质 性质 文字表述 符号表示（a＞b） 注意事项 性质 1 两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 适用于所有不等式变形 性质 2 两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 （或 ） 乘数/除数为正数，方向不变 性质 3 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 （或 ） 乘数/除数为负数，方向必须改变 性质 4 对称性 若a＞b，则 不等关系可逆 性质 5 传递性 若a＞b 且b＞c，则 可推导多重不等关系 （三）不等式解集的数轴表示 边界点：包含端点用“ ”（对应≥、≤），不包含端点用“ ”（对应＞、＜）； 方向：大于向 画，小于向 画。 二、一元一次不等式 （一）概念定义 一元一次不等式：只含有 ，且 ，左右两边都是 的不等式。 1.满足条件：①单未知数；②次数为1；③整式不等式。 2.与一元一次方程的区别：方程表示相等关系（用“=”），不等式表示不等关系（用不等号）。 （二）求解步骤 1.去分母：两边同乘分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要乘，不改变不等号方向； 2.去括号：遵循 “括号前是正号不变号，是负号全变号” 的法则，分数线兼具括号作用； 3.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，不等号方向不变； 4.合并同类项：整理为ax＞b（或ax＜b、ax≥b、ax≤b）的形式（a≠0）； 5.化系数为 1：两边同除以a，若a＞0，不等号方向不变；若a＜0，不等号方向改变。 三、一元一次不等式组 （一）核心概念 1.一元一次不等式组：关于 的几个 合在一起组成的不等式组； 2.不等式组的解集：几个不等式解集的 ，若无公共部分则称不等式组 。 （二）求解步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集； 2.将每个解集在同一数轴上表示出来； 3.找出数轴上的公共部分，即为不等式组的解集（无公共部分则无解）。 （三）解集的四种情况（设a＜b） 1.​ 同大取大： ； 2.​ 同小取小： ； 3.​ 大小小大中间找： ； 4.​ 大大小小找不到： 。 四、不等式（组）的实际应用 1.审题：找出题目中的不等关系，抓住“至少”“最多”“不超过”“大于”“小于”等关键词； 2.设未知数：根据题意设出合适的未知数（通常设所求量为x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系列出对应的不等式（组）； 4.解不等式（组）：按照求解步骤求出解集； 5.检验：结合实际背景检验解集的合理性（如人数、物品件数需为非负整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 1.运用不等式性质 3 时，忘记改变不等号方向； 2.去分母时，漏乘不含分母的常数项； 3.移项时忘记变号； 4.数轴表示解集时，混淆实心圆点与空心圆圈； 5.解不等式组时，误将“无公共部分”当作有解，或漏看参数的取值边界； 6.实际应用中，忽略解集的实际意义（如人数为负数、小数，未舍去不合理解）。 题型一 不等式的识别 【例1】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 题型二 不等式的性质 【例2】（25-26七年级下·河南周口·期中）若有理数m，n满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·浙江嘉兴·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三 一元一次不等式的识别 【例3】（25-26七年级下·上海·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有_______（填序号）． 题型四 一元一次不等式的定义求参数 【例4】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若是关于的一元一次不等式，则______． 【变式4-1】（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【变式4-2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 【变式4-3】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 题型五 求一元一次不等式的解集/整数解 【例5】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）不等式的的解集为______． 【变式5-2】（25-26七年级下·湖南湘潭·阶段检测）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】（25-26七年级下·上海·期中）求不等式的负整数解． 题型六 求一元一次不等式解的最值 【例6】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【变式6-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 一元一次不等式的应用 【例7】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 【变式7-2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）某校举办“校园安全教育”知识竞赛，共20道题，评分规则为：答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．若参赛学生小明想要在这次竞赛中得分不低于95分，则他至少要答对的题数是（   ） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【变式7-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 题型八 求一元一次不等式（组）的解集/整数解 【例8】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组： 【变式8-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）解不等式组． 题型九 与解集有关的参数问题 【例9】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 【变式9-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26七年级下·山东济南·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【变式9-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 题型十 不等式组有解、无解问题 【例10-1】（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【例10-2】（25-26七年级下·广西贵港·期中）关于的不等式组无解，则的取值范围是_____． 【变式10-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【变式10-2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 【变式10-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的不等式组无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一 不等式组的整数解问题 【例11】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）已知关于的不等式组：恰有3个整数解，求实数的取值范围__________． 【变式11-1】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，求m的取值范围． 【变式11-2】（25-26七年级下·江苏南京·期末）若关于x的不等式组，有解但没有整数解，则a的取值范围为_____． 【变式11-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-4】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为__________． 题型十二 不等式组与方程（组）综合问题 【例12】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【变式12-1】（25-26七年级下·重庆忠县·期中）如果关于的不等式组有解且最多有2个整数解，且关于的方程的解为整数，则满足条件的所有值之和为______． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【变式12-3】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为_____________． 【变式12-4】（25-26七年级下·重庆江津·月考）若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式12-5】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于的不等式组有且仅有个整数解． （1）的取值范围是_________； （2）若关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值的和为_____． 题型十三 一元一次不等式组的应用 【例13】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26七年级下·海南儋州·期中）世界水日倡导节约用水净化污水，某工厂计划购进10台污水处理设备，有甲、乙两种型号．已知购买4台甲型设备比购买2台乙型设备多花28万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少花4万元． (1)求甲、乙每台设备价格； (2)工厂采购总资金不超过106万元，求所有购买方案； (3)在（2）的条件下，若甲型设备月处理污水220吨，乙型设备月处理污水180吨，要求每月污水处理总量不低于1860吨，求出所有符合条件的购买方案，并选出其中花费最低的方案． 【变式13-2】（25-26七年级下·广西贵港·期中）为了建设生态宜居的美丽贵港，提升城市文明形象，打造绿色社区，贵港市港北区某街道办事处决定采购、两种型号的分类垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个型号的新型垃圾桶和购买2个型号的新型垃圾桶共380元；购买5个型号的新型垃圾桶和购买4个型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买、两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： (1)任务一：求、两种型号的新型垃圾桶的单价各为多少元？ (2)任务二：请设计出所有符合要求的购买方案． 【变式13-3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 【变式13-4】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 一、不等式及其基本性质 （一）核心概念 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤”“≥” 或 “≠”表示大小关系或不等关系的式子。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的具体值。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合。 4.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 （二）不等式的基本性质 性质 文字表述 符号表示（a＞b） 注意事项 性质 1 两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 a±c＞b±c 适用于所有不等式变形 性质 2 两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 c＞0时，ac＞bc（或 a/c＞b/c） 乘数/除数为正数，方向不变 性质 3 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 c＜0时，ac＜bc（或 a/c＜b/c） 乘数/除数为负数，方向必须改变 性质 4 对称性 若a＞b，则b＜a 不等关系可逆 性质 5 传递性 若a＞b 且b＞c，则a＞c 可推导多重不等关系 （三）不等式解集的数轴表示 边界点：包含端点用“实心圆点”（对应≥、≤），不包含端点用“空心圆圈”（对应＞、＜）； 方向：大于向右画，小于向左画。 二、一元一次不等式 （一）概念定义 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，左右两边都是整式的不等式。 1.满足条件：①单未知数；②次数为1；③整式不等式。 2.与一元一次方程的区别：方程表示相等关系（用“=”），不等式表示不等关系（用不等号）。 （二）求解步骤 1.去分母：两边同乘分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要乘，不改变不等号方向； 2.去括号：遵循 “括号前是正号不变号，是负号全变号” 的法则，分数线兼具括号作用； 3.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，不等号方向不变； 4.合并同类项：整理为ax＞b（或ax＜b、ax≥b、ax≤b）的形式（a≠0）； 5.化系数为 1：两边同除以a，若a＞0，不等号方向不变；若a＜0，不等号方向改变。 三、一元一次不等式组 （一）核心概念 1.一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成的不等式组； 2.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，若无公共部分则称不等式组无解。 （二）求解步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集； 2.将每个解集在同一数轴上表示出来； 3.找出数轴上的公共部分，即为不等式组的解集（无公共部分则无解）。 （三）解集的四种情况（设a＜b） 1.​ 同大取大：x>b； 2.​ 同小取小：x<a； 3.​ 大小小大中间找：a<x<b； 4.​ 大大小小找不到：无解。 四、不等式（组）的实际应用 1.审题：找出题目中的不等关系，抓住“至少”“最多”“不超过”“大于”“小于”等关键词； 2.设未知数：根据题意设出合适的未知数（通常设所求量为x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系列出对应的不等式（组）； 4.解不等式（组）：按照求解步骤求出解集； 5.检验：结合实际背景检验解集的合理性（如人数、物品件数需为非负整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 1.运用不等式性质 3 时，忘记改变不等号方向； 2.去分母时，漏乘不含分母的常数项； 3.移项时忘记变号； 4.数轴表示解集时，混淆实心圆点与空心圆圈； 5.解不等式组时，误将“无公共部分”当作有解，或漏看参数的取值边界； 6.实际应用中，忽略解集的实际意义（如人数为负数、小数，未舍去不合理解）。 题型一 不等式的识别 【例1】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解． 【详解】解：∵ ①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号，属于不等式； ∴ 属于不等式的共有2个． 【变式1-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等． 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 【变式1-3】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 题型二 不等式的性质 【例2】（25-26七年级下·河南周口·期中）若有理数m，n满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，∵不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变， ∴，A不成立； 对于B，∵不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变， ∴，B不成立； 对于C，∵不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴，C一定成立； 对于D，∵不等式两边同时减去，不等号方向不变， ∴，D不成立． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵不等式两边同时加同一个常数，不等号方向不变，已知 ∴，A一定成立； ∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，，且 ∴，，B，C一定成立； 取，令，可得，此时，不等式不成立，因此D不一定成立． 【变式2-2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知 根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变． ∵两边同时加3，不等号方向不变， ∴成立，A不符合题意； 根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． ∵，两边同时乘，不等号方向改变， ∴，因此不成立，B符合题意． ∵两边同时减2，不等号方向不变， ∴成立，C不符合题意； 根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，结合性质1可得： ∵，两边同时除以正数2，得，再两边同时加1，不等号方向不变， ∴ 成立，D不符合题意； 【变式2-3】（2026·浙江嘉兴·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质为：不等式两边加或减同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵已知， ∴对A选项：不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得，故A错误； 对B选项：不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，故B错误； 对C选项：不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得，故C错误； 对D选项：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故D正确． 题型三 一元一次不等式的识别 【例3】（25-26七年级下·上海·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可求解． 【详解】解：选项A中，里未知数的最高次数为2，不符合一元一次不等式的定义，该项错误． 选项B中，是等式，不是不等式，不符合要求，该项错误． 选项C中，含有两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，该项错误． 选项D中，是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义，该项正确． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．含有两个未知数，不符合一元一次不等式的定义，故A不符合题意； 选项B．是等式，不是不等式，故B不符合题意； 选项C．含有一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故C符合题意； 选项D．中不是整式，不符合定义，故D不符合题意． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 【详解】解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 【变式3-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有_______（填序号）． 【答案】④ ⑤ 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：① ，根号下含有未知数，不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； ② ，没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③ ，含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ④ ，是常数，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，符合题意； ⑤ ，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，符合题意； 故答案为：④ ⑤． 题型四 一元一次不等式的定义求参数 【例4】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的概念即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则 【变式4-1】（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 【变式4-2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先根据一元一次不等式的定义，得且，求出m的值，再把m的值代入不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， ∴， ∴原不等式为， 解得， 所以该不等式的解集为． 【变式4-3】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 题型五 求一元一次不等式的解集/整数解 【例5】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式求出解集，再根据“小于向左，大于向右，有等号画实心，无等号画空心”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解得； 在数轴上表示解集如图： 【变式5-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）不等式的的解集为______． 【答案】 【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式5-2】（25-26七年级下·湖南湘潭·阶段检测）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 【变式5-3】（25-26七年级下·上海·期中）求不等式的负整数解． 【答案】 【分析】先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项及合并同类项，得 系数化为1，得； 所以，不等式的负整数解为． 题型六 求一元一次不等式解的最值 【例6】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 【变式6-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 题型七 一元一次不等式的应用 【例7】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【变式7-1】（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 【答案】18 【分析】根据各数量间的不等关系正确列出一元一次不等式即可求解，题数为正整数，需根据不等式解集取最小正整数得到结果． 【详解】解：设他答对的题数为，则答错或不答的题数为，根据题意列不等式得： ， 解得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对的题数是18． 【变式7-2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）某校举办“校园安全教育”知识竞赛，共20道题，评分规则为：答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．若参赛学生小明想要在这次竞赛中得分不低于95分，则他至少要答对的题数是（   ） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】B 【分析】设小明答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分不低于95分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：， 他至少要答对的题数是13． 【变式7-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 【答案】(1)A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元 (2)最多能买5个B型杏花钥匙扣 【分析】（1）设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元； （2）解：设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个， ∴， 解得， ∴最大为． 答：最多能买5个B型杏花钥匙扣． 题型八 求一元一次不等式（组）的解集/整数解 【例8】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 【变式8-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： ． 【变式8-2】（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为． 【变式8-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为． 题型九 与解集有关的参数问题 【例9】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 【答案】B 【分析】先推导出，继而得到，求出，即可解答． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 【变式9-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m的取值范围． 【详解】解：不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由于不等式组的解集为， 则． 【变式9-2】（25-26七年级下·山东济南·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的“同大取大”规律，即可确定的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， 根据同大取大的原则，可得． 【变式9-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵不等式组的解集是， ∴． 题型十 不等式组有解、无解问题 【例10-1】（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 关于的不等式组有解 即． 【例10-2】（25-26七年级下·广西贵港·期中）关于的不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无公共部分，即． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 【变式10-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 【变式10-2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 【答案】A 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组无解的条件列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：解第一个不等式得， 原不等式组化为 ∵不等式组无解， ∴ 解得 ∴ m的最大值是4． 【变式10-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的不等式组无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”即可得出答案． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 ∵不等式组无解， ∴根据“大大小小找不到”的原则，可得． 题型十一 不等式组的整数解问题 【例11】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）已知关于的不等式组：恰有3个整数解，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据关于的不等式组：恰有3个整数解判断实数的取值范围即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组：恰有3个整数解， ∴， 解得：． 【变式11-1】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，求m的取值范围． 【答案】或． 【分析】根据不等式求得的取值范围，根据解的情况，即可求得参数范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵所有整数解的和是18， 且， ∴或． 【变式11-2】（25-26七年级下·江苏南京·期末）若关于x的不等式组，有解但没有整数解，则a的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据原不等式组有解但没有整数解进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组，有解但没有整数解， ∴， 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据有2个偶数解列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∵不等式组有且只有2个偶数解， ∴这2个偶数解为2，4， ∴，解得， ∵a为整数， ∴a为，，，， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 故选：B． 【变式11-4】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为__________． 【答案】8 【分析】本题考查根据不等式组解集的情况求参数．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为．根据至少有2个整数解的条件，确定，进而求出，得到最大整数值． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组至少有2个整数解， ∴，解得， ∴的最大整数值为8． 故答案为：8． 题型十二 不等式组与方程（组）综合问题 【例12】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 【变式12-1】（25-26七年级下·重庆忠县·期中）如果关于的不等式组有解且最多有2个整数解，且关于的方程的解为整数，则满足条件的所有值之和为______． 【答案】14 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，理解不等式最多有2个整数解的含义，掌握不等式的性质求不等式组的解集是关键，根据不等式的性质，解不等式组的解集，根据不等式最多有2个整数解分类讨论，得到a的值即可求解． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组有解且最多有2个整数解， ∴， 解得，， ∵关于的方程的解为整数，即是整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 即或， ∴， 故答案为： ． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【变式12-3】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为_____________． 【答案】3 【分析】本题考查根据不等式组的解集，一元一次方程的解求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解，得到关于的不等式组，求出的范围，再求出方程的解，根据方程有整数解，求出符合条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴，整数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式12-4】（25-26七年级下·重庆江津·月考）若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 【变式12-5】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于的不等式组有且仅有个整数解． （1）的取值范围是_________； （2）若关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值的和为_____． 【答案】 12 【分析】（1）解不等式组，可得，，根据题意可得，即可得的取值范围； （2）根据题意可知整数可以取，，，分别计算对应的的值，可得的取值，即可求解． 【详解】（1）解：， 由不等式，得， 由不等式，得． ∵关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得． （2）解：由（1）知，则整数可以取，，． 由关于的一元一次方程， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值的和为． 题型十三 一元一次不等式组的应用 【例13】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式13-1】（25-26七年级下·海南儋州·期中）世界水日倡导节约用水净化污水，某工厂计划购进10台污水处理设备，有甲、乙两种型号．已知购买4台甲型设备比购买2台乙型设备多花28万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少花4万元． (1)求甲、乙每台设备价格； (2)工厂采购总资金不超过106万元，求所有购买方案； (3)在（2）的条件下，若甲型设备月处理污水220吨，乙型设备月处理污水180吨，要求每月污水处理总量不低于1860吨，求出所有符合条件的购买方案，并选出其中花费最低的方案． 【答案】(1)甲型设备每台12万元，乙型设备每台10万元 (2)共有4种方案：方案一：购进甲型设备0台，乙型设备10台；方案二：购进甲型设备1台，乙型设备9台；方案三：购进甲型设备2台，乙型设备8台；方案四：购进甲型设备3台，乙型设备7台 (3)符合条件的购买方案有两种，分别为：方案一：购买甲型设备2台，乙型设备8台；方案二：购买甲型设备3台，乙型设备7台；购买甲型设备2台，乙型设备8台方案费用最低，最低费用为104万元 【分析】（1）设甲型设备每台万元，乙型设备每台万元，根据购买4台甲型设备比购买2台乙型设备多花28万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少花4万元，列出方程组，然后求解即可； （2）设购进甲型设备m台，则乙型设备台，根据工厂采购总资金不超过106万元，列出不等式，然后求解即可得出购买方案； （3）根据每月污水处理总量不低于1860吨，列出不等式，求出的取值范围，再根据每台的钱数，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：设甲型设备每台万元，乙型设备每台万元． 根据题意列方程组：， 解得， 答：甲型设备每台12万元，乙型设备每台10万元； （2）解：设购进甲型设备m台，则乙型设备台． 根据题意得：， 解得：， ∵m为非负整数， ∴， ∴共有4种方案． 即方案一：购进甲型设备0台，乙型设备10台； 方案二：购进甲型设备1台，乙型设备9台； 方案三：购进甲型设备2台，乙型设备8台； 方案四：购进甲型设备3台，乙型设备7台； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∵且m为整数， ∴． 符合条件的购买方案有两种，分别为： 方案一：购买甲型设备2台，乙型设备8台； 总费用：（万元） 方案二：购买甲型设备3台，乙型设备7台； 总费用：（万元） ∵， ∴购买甲型设备2台，乙型设备8台方案费用最低，最低费用为104万元． 【变式13-2】（25-26七年级下·广西贵港·期中）为了建设生态宜居的美丽贵港，提升城市文明形象，打造绿色社区，贵港市港北区某街道办事处决定采购、两种型号的分类垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个型号的新型垃圾桶和购买2个型号的新型垃圾桶共380元；购买5个型号的新型垃圾桶和购买4个型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买、两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： (1)任务一：求、两种型号的新型垃圾桶的单价各为多少元？ (2)任务二：请设计出所有符合要求的购买方案． 【答案】(1)A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元； (2)有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；②购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；③购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个． 【分析】（1）设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元； （2）解：设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；②购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；③购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个． 【变式13-3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 【答案】(1)甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； (2)共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 【分析】（1）设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元，根据购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元建立方程组求解即可； （2）设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台，根据用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； （2）解：设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台， 由题意得，， 解得， 又∵m为整数， ∴m的值可以为8或9或10， 当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 【变式13-4】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 学科网（北京）股份有限公司 $