第十章 二元一次方程组（14种题型）期末复习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 一、核心概念 1. 二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。 · 一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0）。 · 判断三要素：①两个未知数；②未知数项次数=1；③整式（分母不含未知数）。 · 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数个解。 2. 二元一次方程组 · 定义：由两个一次方程组成，且共含两个未知数的方程组（整式方程）。 · 标准形式：（a1、a2、b1、b2不全为0）。 · 判断：两个方程、两个未知数、次数均为1、整式。 3. 二元一次方程组的解 · 定义：方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程）。 · 书写：必须用大括号联立。 · 检验方法：将解代入两个方程，两边都相等才是解。 4. 解的三种情况 · 唯一解：； · 无解：； · 无数解：。 二、核心解法：消元法（二元→一元） 1. 代入消元法（适用：有未知数系数为±1） 步骤： · 变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个； · 代入：将表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：把结果代入变形后的式子，求另一个未知数； · 写解：联立写出方程组的解。 2. 加减消元法（适用：同一未知数系数相等/互为相反数/成倍数） 步骤： · 变形：把两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数； · 加减：两式相加/相减，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，得一个未知数的值； · 回代：代入任一方程，求另一个未知数； · 写解：联立写出解。 3. 方法选择技巧 · 系数1或-1→优先代入法； · 同一未知数系数相等/相反→优先加减法； · 系数不成倍数→先统一系数，再用加减法。 三、实际应用（列二元一次方程组解应用题） 1. 一般步骤（审→设→列→解→验→答） · 审：找两个等量关系； · 设：设两个未知数（x、y）； · 列：根据等量关系列两个方程，组成方程组； · 解：用代入/加减法解方程组； · 验：检验解是否符合题意（实际意义、方程）； · 答：完整作答。 2. 常见题型 和差倍分、行程（相遇/追及）、工程、配套、利润、几何（周长/面积）、数字问题。 1.判断易错 · 含xy项、分母有未知数、只有一个未知数的，都不是二元一次方程。 · 方程组的解要同时满足两个方程，只满足一个不算。 2.计算易错 · 代入消元：漏括号、漏乘常数项。 · 加减消元：系数同号相减、异号相加，符号最容易错。 · 移项、去括号不变号。 3.书写易错 · 解必须写成大括号联立形式 · 应用题只解方程不检验、不写答。 4.审题易错 · 找错等量关系，列错方程。 · 忽略实际意义（如数量不能为负、不能为小数）。 1.代入消元法 · 优先用：有未知数系数为±1时。 · 口诀：变一代入，消元求解，回代写解。 2.加减消元法 · 优先用：同一未知数系数相等/相反/成倍数。 · 口诀：化同系数，加减消元，先求一个，再求另一个。 3，解题通用技巧 · 先看系数再选方法，系数简单用代入，系数整齐用加减。 · 解完一定回代检验，避免算错。 · 应用题：两个等量关系→列两个方程→组成方程组。 题型一 二元一次方程组的识别 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A中的次数为2，不符合定义，A错误； B中的最高次数为2，不符合定义，B错误； C中方程组共含有，两个未知数，所有未知数次数都是1，均为整式方程，符合定义，C正确； D中方程组共含有，，三个未知数，不符合定义，D错误． 【变式1-1】（25-26七年级下·吉林松原·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断选项即可，二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． 【详解】解：∵选项A中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∵选项B中方程里，项的次数是2，不满足所有未知数的项的次数都是1的要求，不是二元一次方程组，符合题意． ∵选项C中两个方程整理后均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∵选项D中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∴答案选B． 【变式1-2】（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：只有未知数x，所以A不是二元一次方程组 ； B：，不是二元一次方程，所以B不是二元一次方程组； C：两个方程中，含有三个未知数，所以C不是二元一次方程组； D：两个方程中含有，，该方程组含有两个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，所以D是二元一次方程组． 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 【例2-1】（25-26七年级下·北京通州·期中）下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把各选项的数据代入方程看是否成立． 【详解】解：A、将代入，则，该选项符合题意； B、将代入，则，该选项不符合题意； C、将代入，则，该选项不符合题意； D、将代入，则，该选项不符合题意． 【例2-2】（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式2-1】（25-26七年级下·河南周口·期中）下列是二元一次方程的解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是该二元一次方程的解，只需将各选项的代入验证即可． 【详解】解：选项A，当时，左边右边， A不是方程的解； 选项B，当时，左边右边， B是方程的解； 选项C，当时，左边右边， C不是方程的解； 选项D，当时，左边右边， D不是方程的解． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 题型三 知二元一次方程（组）的解求参数 【例3-1】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知是方程的一个解，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得． 【例3-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 【答案】2 【分析】把代入方程组，求出的值，即可得出结果. 【详解】解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， ∴. 【变式3-1】（25-26七年级下·广东广州·期中）已知，是关于x，y的方程的解．则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】把，代入原方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：，是关于x，y的方程的解， ， 解得． 【变式3-2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）已知是方程的一个解，则k的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，二元一次方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出k的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入得： 移项得 解得． 【变式3-3】（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 题型四 代入消元法解一元二次方程组 【例4】（25-26七年级下·海南儋州·期中）已知，用含x的代数式表示y正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需将看作已知数，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴移项得 ∴等式两边同时除以3得． 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程①代入②后，根据去括号法则整理即可得到结果，掌握代入消元法的步骤是解题关键． 【详解】∵将方程①代入方程②消去， ∴把代入②得：， 根据去括号法则去括号得：， 因此正确选项为D． 【变式4-2】（25-26七年级下·重庆江津·期中）解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将②代入①得， 解得， 将代入②得， ∴原方程组的解为； （2）解： 由①得， 将③代入②得， 解得 将代入①得 ∴原方程组的解为 【变式4-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将②变形，得， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将②变形，得， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为． 题型五 加减消元法解一元二次方程组 【例5】（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程组用加减消元法消去未知数x，下列做法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加减消元法分别计算出对应选项中所给做法的结果即可得到答案． 【详解】解：A、得，没有消去未知数x，故此选项不符合题意； B、得，没有消去未知数x，故此选项不符合题意； C、得，没有消去未知数x，故此选项不符合题意； D、得，消去了未知数x，故此选项符合题意； 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）用加减消元法解方程组，下列选项中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【分析】根据消元目标，将方程乘以适当系数，使要消去的未知数的系数绝对值相等，再判断操作是否正确． 【详解】解：已知方程组， 若消去： 由于①中的系数为，②中的系数为，要使系数绝对值相等，最小公倍数为， 则利用消去， 因此选项A，B错误； 若消去： ①中的系数为，②中的系数为，将后，的系数变为，与①中的系数互为相反数， 则利用消去， 因此选项C错误，选项D正确． 【变式5-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为：． 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）把方程整理为，再加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ，得③， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， ，得 ，得， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为． 题型六 二元一次方程组的特殊解法 【例6】（25-26七年级下·河南周口·期中）先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）仿照题干根据“整体代入法”求解即可； （2）将原式化为，根据计算即可． 【详解】（1）解：令 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， ∴方程组的解为． （2）解：原式 ． 【变式6-1】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解： ①②，得， ③， 将，得：④， ①④，得，解得：， ， ， （2）解：解为，理由如下： ， ①②，得， 即③， 将，得④， ①④，得：，， ， 方程组的解为． 【变式6-2】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得， 方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知满足方程组求整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目解题步骤进行求解即可； （2）应用加减消元法的思路进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得， ， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将方程①②得：，得③， 将③代入①得， ∴． 【变式6-3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，掌握换元法是解题的关键． （1）根据题目描述，利用换元法将复杂方程转化为简答方程即可求解； （2）将方程组进行变形后得，利用换元法和已知解即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为，解得， 把代入，得， ， 解得； （2）解：将化简得， ， 设，， 原方程组化为， 由题可知，解为， 将代入得，， 解得． 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 【例7】（25-26七年级下·吉林松原·期中）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将代入②，代入①得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得 ， 解得； （2）解：由上题，得， ①②，得， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是． 【变式7-1】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 【答案】，，0 【分析】根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此分别代入到对应的方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：把代入中得， 解得， 把代入中得， 解得， ． 【变式7-2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解（加减消元法）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，分别将代入，代入求解即可； （2）由（1）知，根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ∴，； （2）解：由（1）知， ，得， 解得． 把代入②，得， 解得． ∴原方程组的解为． 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【答案】2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ． 题型八 二元一次方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组和有相同的解，求的值． 【答案】0 【分析】先解方程组得到，再把代入方程组中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组和有相同的解， ∴， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】先联立两个不含参数的方程，求出公共解，再将解代入含参数的方程，通过整体相加直接求出的值． 【详解】解：联立， 解得， 代入， 得， 由， 得， 故． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】根据这四个方程的解相同，重新联立方程即可求出x和y，然后代入另外两个含a和b的方程中，即可求出a和b，最后代入即可． 【详解】解：联立得：， 解得 把代入 解得 ． 【变式8-3】（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值. 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为. （2）解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得. 题型九 二元一次方程组中解满足某个条件 【例9】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组，二元一次方程组的解满足，可得，该方程组的解即为二元一次方程组的解． 【详解】因为二元一次方程组的解满足， 所以该方程组的解同时满足和，可得 解方程组，得 所以二元一次方程组的解为． 将代入，得 ． 解得 ． 【变式9-1】（25-26七年级下·广东广州·期中）若由方程组解得，的值互为相反数，则的值为_____． 【答案】 【分析】由x，y的值互为相反数得到，解方程组后，将该解代入方程，求解即可． 【详解】解：∵方程组解得，的值互为相反数， ∴， 解方程组得， 把代入方程，得， 解得． 【变式9-2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值为_______ 【答案】 【分析】利用整体思想得到与的关系，再结合已知条件即可求解． 【详解】解：， 得， 关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解， ， 解得 ． 【变式9-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解满足， ∴ 解得． 题型十 二元一次方程组中的整数解问题 【例10】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【答案】C 【分析】先通过加减消元法解方程组，再根据为整数，m为正整数，确定是28和70的正公约数，进而求出m的值． 【详解】解： ∵ ①+②得 ∴ 将代入②得 ∵ 方程组的解均为整数，为正整数 ∴ 是28和70的正公约数，且 28和70的正公约数为 符合条件的或 当时，；当时， ∴ 正整数的值为2或9． 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【答案】1或4 【分析】先解方程组得，根据方程组的解是整数，且a是正整数，可得或4，再将a的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组，得 ， ∵a是正整数， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是6的因数， ∴或6， ∴或4， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，或4． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江·期中）关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到和关于的表达式，根据，都是正整数，结合为整数，即可求出的值． 【详解】解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ，都是正整数，是整数， 是的正约数，即， 解得：， 当时，，符合是正整数． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 【答案】3或15 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组得出，，结合二元一次方程组的解是正整数求出或，分情况代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：， 由可得：， ∴， 将代入②可得：， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为3或15． 题型十一 二元一次方程组中解的存在性问题 【例11】（25-26六年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 【变式11-2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 【变式11-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于，的方程组有无数个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键． 根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴，则 故答案为：． 题型十二 实际问题与二元一次方程组 【例12】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）《九章算术》是我国一部杰出的数学著作．其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设有x人，物品价值y元，根据“每人出9元，多4元；每人出8元，少4元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有x人，物品价值y元， ∵每人出9元，多4元， ∴； ∵每人出8元，少4元， ∴， ∴根据题意可列方程组． 【变式12-1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要______． 【答案】 2 【分析】先根据第一次相向而行的过程，根据路程关系列方程，然后对同时出发后相距分相遇前相距和相遇后相距两种情况讨论，并和第一次相向而行得到的方程组成方程组，最后舍去不符合实际意义的解即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据甲比乙早出发，乙出发后相遇，甲一共行走，得方程 ①． 当同时出发后两人相距，分两种情况讨论： 情况1：相遇前相距，此时两人的路程和为，得方程 ②． ①、②联立得方程组 解得， 速度为负数，不符合实际意义，舍去； 情况2：相遇后相距，此时两人的路程和为，得方程 ③． ①、③联立得方程组 解得，符合实际意义． 所以甲由A地到B地需要的时间为． 【变式12-2】（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 【变式12-3】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉琪家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成，则电视背景墙的面积为______． 【答案】3.6 【分析】通过设长方形墙砖的长和宽为未知数，根据图形中给出的总高度以及长与宽的数量关系，建立二元一次方程组求解，再计算单块墙砖面积，进而求出电视背景墙的总面积． 【详解】解：设每块长方形墙砖的长为，宽为． ， 解得，， ∴单块墙砖面积：， ∴背景墙总面积：． 【变式12-4】（25-26七年级下·山东淄博·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 【变式12-5】（25-26七年级下·江西南昌·期中）一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【答案】68 【分析】设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为14和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新两位数比原两位数大18，得， 化简得， 即． 解方程组， 解得， 故原两位数为． 【变式12-6】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）工厂要在规定时间内生产一批零件．如果每天生产30个，那么在规定时间内只能完成计划总数的．后来调整效率，每天生产40个，结果不仅比原计划提前1天完成，还多生产了25个．问：规定时间是多少天？原计划生产多少个零件？ 【答案】 规定时间是26天，原计划生产975个零件． 【分析】设规定时间是x天，原计划生产y个零件，根据每天生产30个，在规定时间内只能完成计划总数的，每天生产40个，不仅比原计划提前1天完成，还多生产了25个．列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设规定时间是x天，原计划生产y个零件， 根据题意得： ， 解得， 答： 规定时间是26天，原计划生产975个零件． 【变式12-7】（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 【变式12-8】（25-26七年级下·广东广州·期中）小李准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，小李计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（m，n均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有哪几种租车方案？ 【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用甲型车3辆，乙型车6辆；方案2：租用甲型车6辆，乙型车2辆 【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨，根据题意列方程组即可解答； （2）根据题意列二元一次方程，根据m，n均为正整数，即可得到m，n的值． 【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨， 根据题意可得， 解得， 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨； （2）解：根据题意可得， 可得， m，n均为正整数， 或， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用甲型车3辆，乙型车6辆； 方案2：租用甲型车6辆，乙型车2辆． 【变式12-9】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 观成中学在组织开展数学节活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用200元购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 (2)符合题意的购买方案有3种：购买A种款式的奶茶14杯，购买B种款式的奶茶5杯；购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶8杯；购买A种款式的奶茶2杯，购买B种款式的奶茶15杯 【分析】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据素材内容列方程组求解即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据“正好用200元购买A、B两种款式的奶茶”列出二元一次方程，进而根据m、n均为正整数找出符合题意的购买方案即可． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：，     答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴符合题意的购买方案有3种： ①购买A种款式的奶茶14杯，购买B种款式的奶茶5杯； ②购买A种款式的奶茶8杯，购买B种款式的奶茶10杯； ③购买A种款式的奶茶2杯，购买B种款式的奶茶15杯 题型十三 三元一次方程组的定义与解 【例13-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【例13-2】（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 【变式13-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式13-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式13-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握“消元”的基本思路和求解方法是解答的关键． （1）利用加减消元法和代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解： ，得， 则 将①代入④，得，解得 将②代入④，得，解得 将代入①，得：，解得 ∴原方程组的解为； （2）解： ，得，解得 ，得，解得 ，得，解得 ∴原方程组的解为； （3）解： ，得，解得 ，得 将代入④，得，解得 将，代入①，得，解得 ∴原方程组的解为； （4）解： ，得 ，得 ，得，解得 将代入④，得，解得 将，代入③，得，解得 ∴原方程组的解为． 题型十四 三元一次方程组的应用 【例14】（25-26七年级下·广东广州·期中）现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，根据总枚数和总金额列出方程组，结合为不超过10的非负整数，即可求出取法的数量． 【详解】解：设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，将单位统一为角，元角， 由题意得 由①得：，代入②得： 整理得： ∵均为不超过的非负整数，所以为非负整数， 因此是的倍数， 当时，，，不符合题意， 当时，，，满足，，，符合题意， 当时，，为负数，不符合题意， 综上，符合条件的取法只有种． 【变式14-1】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【答案】 【分析】设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，利用加减消元法消去，即可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元， 由题意得， 得， ∴，即， ∴一个型盒子比一个型盒子贵元． 【变式14-2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知实数，满足…①，…②，求和的值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由①-②可得，由①+②可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需________元． 【答案】 【分析】根据已知条件列出方程组，然后利用整体思想进行求解即可； 【详解】设铅笔每支元，橡皮每块元，日记本每本元， 根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得：， 根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得：， 得：， 整理得：， 得：， 整理得：， 购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需元， 把代入可得：（元）； 购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需元． 【变式14-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1) 康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元. (2) 满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支. 【分析】（1）设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支，根据购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元，列出方程组进行求解即可； （2）根据购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），购买康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，购买鲜花的总费用为118.8元，列出三元一次方程组，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支， 根据题意得， 解得， 答：康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元； （2）解：根据题意得， 消去c，并整理得，即， ∴， ∵为正整数，且， ∴或， 当时，， 当时，， 答：满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 一、核心概念 1. 二元一次方程 · 定义：含有 ，并且所含未知数的 的 。 · 一般形式： （a、b、c为常数，a≠0，b≠0）。 · 判断三要素：①两个未知数；②未知数项次数=1；③整式（分母不含未知数）。 · 解：使方程左右两边相等的 ，有无数个解。 2. 二元一次方程组 · 定义：由 组成，且 的方程组（整式方程）。 · 标准形式：（a1、a2、b1、b2不全为0）。 · 判断：两个方程、两个未知数、次数均为1、整式。 3. 二元一次方程组的解 · 定义：方程组中 （同时满足两个方程）。 · 书写：必须用大括号联立。 · 检验方法：将解代入两个方程，两边都相等才是解。 4. 解的三种情况 · 唯一解： ； · 无解： ； · 无数解： 。 二、核心解法：消元法（二元→一元） 1. 代入消元法（适用：有未知数系数为±1） 步骤： · 变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个； · 代入：将表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得 ； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：把结果代入 ，求另一个未知数； · 写解：联立写出方程组的解。 2. 加减消元法（适用：同一未知数系数相等/互为相反数/成倍数） 步骤： · 变形：把两个方程中同一个未知数的系数化为 ； · 加减：两式 ，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，得一个未知数的值； · 回代：代入任一方程，求另一个未知数； · 写解：联立写出解。 3. 方法选择技巧 · 系数1或-1→优先代入法； · 同一未知数系数相等/相反→优先加减法； · 系数不成倍数→先统一系数，再用加减法。 三、实际应用（列二元一次方程组解应用题） 1. 一般步骤（审→设→列→解→验→答） · 审：找两个等量关系； · 设：设两个未知数（x、y）； · 列：根据等量关系列两个方程，组成方程组； · 解：用代入/加减法解方程组； · 验：检验解是否符合题意（实际意义、方程）； · 答：完整作答。 2. 常见题型 和差倍分、行程（相遇/追及）、工程、配套、利润、几何（周长/面积）、数字问题。 1.判断易错 · 含xy项、分母有未知数、只有一个未知数的，都不是二元一次方程。 · 方程组的解要同时满足两个方程，只满足一个不算。 2.计算易错 · 代入消元：漏括号、漏乘常数项。 · 加减消元：系数同号相减、异号相加，符号最容易错。 · 移项、去括号不变号。 3.书写易错 · 解必须写成大括号联立形式 · 应用题只解方程不检验、不写答。 4.审题易错 · 找错等量关系，列错方程。 · 忽略实际意义（如数量不能为负、不能为小数）。 1.代入消元法 · 优先用：有未知数系数为±1时。 · 口诀：变一代入，消元求解，回代写解。 2.加减消元法 · 优先用：同一未知数系数相等/相反/成倍数。 · 口诀：化同系数，加减消元，先求一个，再求另一个。 3，解题通用技巧 · 先看系数再选方法，系数简单用代入，系数整齐用加减。 · 解完一定回代检验，避免算错。 · 应用题：两个等量关系→列两个方程→组成方程组。 题型一 二元一次方程组的识别 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·吉林松原·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 【例2-1】（25-26七年级下·北京通州·期中）下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·河南周口·期中）下列是二元一次方程的解的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 题型三 知二元一次方程（组）的解求参数 【例3-1】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知是方程的一个解，则m的值为______． 【例3-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 【变式3-1】（25-26七年级下·广东广州·期中）已知，是关于x，y的方程的解．则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式3-2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）已知是方程的一个解，则k的值为(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 题型四 代入消元法解一元二次方程组 【例4】（25-26七年级下·海南儋州·期中）已知，用含x的代数式表示y正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·重庆江津·期中）解二元一次方程组 (1) (2) 【变式4-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 题型五 加减消元法解一元二次方程组 【例5】（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程组用加减消元法消去未知数x，下列做法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）用加减消元法解方程组，下列选项中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【变式5-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程组： (1) (2) 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 题型六 二元一次方程组的特殊解法 【例6】（25-26七年级下·河南周口·期中）先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 【变式6-1】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 【变式6-2】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得， 方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知满足方程组求整式的值． 【变式6-3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 【例7】（25-26七年级下·吉林松原·期中）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式7-1】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 【变式7-2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解（加减消元法）． 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 题型八 二元一次方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组和有相同的解，求的值． 【变式8-1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【变式8-3】（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 题型九 二元一次方程组中解满足某个条件 【例9】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级下·广东广州·期中）若由方程组解得，的值互为相反数，则的值为_____． 【变式9-2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值为_______ 【变式9-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的值． 题型十 二元一次方程组中的整数解问题 【例10】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江·期中）关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 题型十一 二元一次方程组中解的存在性问题 【例11】（25-26六年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则______． 【变式11-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于，的方程组有无数个解，则的值为______． 题型十二 实际问题与二元一次方程组 【例12】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）《九章算术》是我国一部杰出的数学著作．其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要______． 【变式12-2】（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【变式12-3】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉琪家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成，则电视背景墙的面积为______． 【变式12-4】（25-26七年级下·山东淄博·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【变式12-5】（25-26七年级下·江西南昌·期中）一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【变式12-6】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）工厂要在规定时间内生产一批零件．如果每天生产30个，那么在规定时间内只能完成计划总数的．后来调整效率，每天生产40个，结果不仅比原计划提前1天完成，还多生产了25个．问：规定时间是多少天？原计划生产多少个零件？ 【变式12-7】（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【变式12-8】（25-26七年级下·广东广州·期中）小李准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，小李计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（m，n均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有哪几种租车方案？ 【变式12-9】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 观成中学在组织开展数学节活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用200元购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 题型十三 三元一次方程组的定义与解 【例13-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【例13-2】（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式13-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 题型十四 三元一次方程组的应用 【例14】（25-26七年级下·广东广州·期中）现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 【变式14-1】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【变式14-2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知实数，满足…①，…②，求和的值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由①-②可得，由①+②可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需________元． 【变式14-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 学科网（北京）股份有限公司 $