第02讲 简单的轴对称图形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦简单的轴对称图形，核心知识点涵盖等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质，线段垂直平分线和角平分线的性质及尺规作图，最短路径问题。从性质理解到作图操作再到综合应用，构建递进式学习支架。 资料以几何语言规范表达强化推理意识，结合民宿窗台、菜地灌溉等实例培养应用意识，通过典例变式与作图题提升几何直观。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

第02讲 简单的轴对称图形 考点1：等边对等角 考点2：三线合一 考点3：垂直平分线的性质及作图 考点4：角平分线的性质及作图 重点：（1）线段垂直平分线性质、角平分线性质。 （2）等腰三角形等边对等角、三线合一。 （3）等边三角形的性质与特征。 难点★：（1）等腰三角形三线合一的理解和几何应用。 （2）分类讨论等腰三角形边长、角度问题。 （3）综合运用角平分线、垂直平分线性质解题。 1.识别等腰三角形、等边三角形、线段、角是轴对称图形。 2.掌握线段、角、等腰三角形的对称轴及相关性质。 3.会用性质进行角度、边长计算和简单推理。 4.能利用尺规作线段垂直平分线、角平分线 知识点 1 等边对等角 1.内容：在一个等腰三角形中，两条相等的边（腰）所对的角（底角）也相等。用几何语言说：若△ABC 中，AB=AC，则∠B=∠C。 2.作用：（1）已知等腰三角形的顶角，能直接求两个底角的度数； （2）已知一个底角，也能快速算出顶角。 【题型1 等边对等角】 【典例1】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，求和的度数． 【变式2】等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】如下图，是等边三角形，，是边上两点，，．求的度数． 知识点2 三线合一 1.内容：等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线是同一条线。它是等腰三角形轴对称性的直接体现。 2.几何语言表达（三个等价结论）： 若△ABC 中，AB=AC： 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，且 BD=DC； 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD⊥BC，且 AD 平分∠BAC； 若 AD 是 BC 边上的高，则 AD 平分∠BAC，且 BD=DC。 【题型2 三线合一】 【典例2】浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【变式1】八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【变式2】如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 【变式3】小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中，． (1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为，垂足为点E，并且，你同意王云的判断吗？为什么？ (2)设，，请用含a，b的式子表示四边形的面积． 知识点3 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【题型3 线段垂直平分线的性质】 【典例3】如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型4 作已知线段的垂直平分线】 【典例4】如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 【变式3】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 知识点4 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【题型5 角平分线的性质定理】 【典例5】如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【变式2】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 【题型6 作角平分线(尺规作图)】 【典例6】如图，在中，，是的角平分线，在上求作点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 【变式2】如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知，以点O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点 D，交于点 E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 F；作射线．则射线为平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 知识点5 最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【题型7 最短路径问题】 【典例7】如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【变式1】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 1．一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2． 如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 5．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 6．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，平分，．若，，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 9．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 10．如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 11．已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 12．如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是___________．    13．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 14．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 15．已知：如图，是等腰三角形，，现要在边上确定一点，使点到点的距离与点到点的距离相等． (1)请你按照要求，在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若等腰三角形的周长为21，底边，请求出的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 简单的轴对称图形 考点1：等边对等角 考点2：三线合一 考点3：垂直平分线的性质及作图 考点4：角平分线的性质及作图 重点：（1）线段垂直平分线性质、角平分线性质。 （2）等腰三角形等边对等角、三线合一。 （3）等边三角形的性质与特征。 难点★：（1）等腰三角形三线合一的理解和几何应用。 （2）分类讨论等腰三角形边长、角度问题。 （3）综合运用角平分线、垂直平分线性质解题。 1.识别等腰三角形、等边三角形、线段、角是轴对称图形。 2.掌握线段、角、等腰三角形的对称轴及相关性质。 3.会用性质进行角度、边长计算和简单推理。 4.能利用尺规作线段垂直平分线、角平分线 知识点 1 等边对等角 1.内容：在一个等腰三角形中，两条相等的边（腰）所对的角（底角）也相等。用几何语言说：若△ABC 中，AB=AC，则∠B=∠C。 2.作用：（1）已知等腰三角形的顶角，能直接求两个底角的度数； （2）已知一个底角，也能快速算出顶角。 【题型1 等边对等角】 【典例1】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出的度数，结合，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 先根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为，判断内角为顶角，再计算底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等． 当等腰三角形的底角为时，，这与三角形内角和为矛盾，故舍去； 当等腰三角形的顶角为时，底角为． 故选：B． 【变式3】如下图，是等边三角形，，是边上两点，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握利用等边三角形得角，结合外角定理和等腰三角形性质求角度是解题的关键． 先由等边三角形得，用三角形外角性质求，再由得． 【详解】解：为等边三角形， ， 又， ． ， ． 知识点2 三线合一 1.内容：等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线是同一条线。它是等腰三角形轴对称性的直接体现。 2.几何语言表达（三个等价结论）： 若△ABC 中，AB=AC： 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，且 BD=DC； 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD⊥BC，且 AD 平分∠BAC； 若 AD 是 BC 边上的高，则 AD 平分∠BAC，且 BD=DC。 【题型2 三线合一】 【典例2】浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式2】如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 【变式3】小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中，． (1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为，垂足为点E，并且，你同意王云的判断吗？为什么？ (2)设，，请用含a，b的式子表示四边形的面积． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得四边形的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：同意王云的判断，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，（三线合一定理）； （2）解：∵，， ∴四边形的面积 ． 知识点3 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【题型3 线段垂直平分线的性质】 【典例3】如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，根据即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴的周长是． 故选：B． 【变式1】如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图——基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，，然后根据三角形外角和定理以及内角和定理即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】如图，在中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解图示是关键，根据线段垂直平分线的性质，等边对等角求解即可． 【详解】解：根据题意，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，故A，B选项正确，不符合题意； 与不一定相等，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式3】如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴． 故选：C． 【题型4 作已知线段的垂直平分线】 【典例4】如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作的垂直平分线交于点，即为所求． 【详解】解：如图， 即为所求． 【变式1】尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 【变式2】如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4)，4 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． （2）结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （3）结合网格特征，因为，且点在线段上，据此即可作答． （4）结合网格特征以及垂线段的长度即为该点到线段的距离，据此即可作答． 【详解】（1）解：线段的垂线，如图所示： （2）解：线段的垂直平分线，如图所示； （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是, 故答案为：，4． 【变式3】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题． （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点， （2）解：由（1）得垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点4 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【题型5 角平分线的性质定理】 【典例5】如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 【变式1】如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 【变式2】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 【变式3】如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质计算，得到答案． 【详解】解：过点作于， ， ， 和分别平分和， ， ，， ， , 即点到的距离是5， 故选：C． 【题型6 作角平分线(尺规作图)】 【典例6】如图，在中，，是的角平分线，在上求作点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查几何作图，核心是利用三角形内角和定理及作角平分线确定点的位置．根据三角形内角和可得，根据角平分线可得，进而可知. 【详解】解：作的角平分线与交于点，如图即为所作角； ， ， 是的角平分线，是的角平分线， , ， 如图即为所作角； 【变式1】如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积15 【分析】本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质定理和三角形的面积，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理作的角平分线即可； （2）过点D作于点E，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：过点D作于点E，如图， 由（1）可得，， ∴ ． 【变式2】如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，已知，以点O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点 D，交于点 E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 F；作射线．则射线为平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的尺规作图，由作图可得，，而，即可通过得到，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，而， ∴， ∴， ∴射线为平分线 故选：A． 知识点5 最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【题型7 最短路径问题】 【典例7】如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当时，最小，根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【变式1】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接，得到，由此解答即可．此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接， 由轴对称的性质可知，， ∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 1．一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 等边三角形的三条边相等，周长是三条边的总和，因此边长可通过周长除以3得到． 【详解】解：∵等边三角形的周长边长， ∴边长=周长． 故选：C． 2． 如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一可知，据此即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴ ． 故选：B． 3．如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点D作于H，则，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长度不可能是2024， 故选：A． 4．如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤． 根据作角平分线的步骤即可判断． 【详解】解：作已知的平分线 ，作图步骤是： 第一步：在，上分别截取，，使； 第二步：分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C； 第三步：作射线； ∴合理的顺序是：②③①， 故选：C． 5．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果． 【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 6．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点B关于直线L的对称点C，连接AC交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：C.． 8．如图，在四边形中，平分，．若，，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点， 又 平分，， ， ， ， ， 故选：D． 9．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 【答案】 【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， ∵， ∴． 10．如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴． 11．已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，通过内角和减去顶角度数后除以2即可求解底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为， ∴底角的度数为， 故答案为：． 12．如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是___________．    【答案】12 【分析】根据周长等于，为定值，得到当的值最小时，三角形的周长最小，根据折叠得到点，点关于对称，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，得到周长的最小值等于，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点， ∴点，点关于对称，，    ∴，， ∵周长等于，为定值， ∴当的值最小时，三角形的周长最小， ∵， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∴周长的最小值等于； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质．熟练掌握利用轴对称解决线段和最小问题，是解题的关键． 13．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 (3)作图见解析 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 14．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 15．已知：如图，是等腰三角形，，现要在边上确定一点，使点到点的距离与点到点的距离相等． (1)请你按照要求，在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若等腰三角形的周长为21，底边，请求出的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义， 对于（1），分别以点A，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，过点M，N作直线，与交于点E，D，则点D即为所求点； 对于（2），先根据线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据的周长得出答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：垂直平分， ． 又∵等腰三角形的周长为21，底边， 等腰三角形的腰， 的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $