第04讲 利用三角形全等测距离（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版新教材）

第04讲 利用三角形全等测距离 考点：利用三角形全等测距离 重点： （1）利用全等三角形对应边相等，将不可直接测量的距离转化为可测长度。 （2）构造全等三角形的常见模型(如倍长中线、作垂线构造直角三角形)。 难点★： （1）实际问题的几何建模，如何根据条件设计合理的全等三角形构造方案。 （2）完整写出测量方案的逻辑过程(包括已知求证、证明、结论) 理解利用三角形全等测距离的原理，掌握用构造全等三角形解决实际问题的方法，能运用SAS/ASA/AAS等判定方法设计简单的测量方案。 知识点 利用三角形全等测距离 1.核心原理:利用全等三角形对应边相等，将无法直接测量的距离，转化为可测量的全等三角形的对应边长度， 2.全等判定依据:主要用到ASA、SAS、AAS三种判定方法构造全等三角形。 3.常见构造模型 。构造直角(利用ASA/AAS):通过作垂线，构造两个直角三角形全等，测量河宽/池塘宽。 倍长中线/中点法(利用SAS):以公共边中点为顶点，构造对顶角相等的两个三角形全等。 【题型1 添加条件使三角形全等】 【典例1】如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，要使，需要添加下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，已知，要使，补充下列条件不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 全等三角形判定与性质的综合问题】 【典例2】【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【变式1】如图，在和中，，，点在线段上且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在中，过点作，且是的中点，连接，与相交于点． (1)求证：； (2)若的周长为30，的周长为15，，求的长． 【变式3】如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【题型3 全等三角形在生活中的实际应用】 【典例3】数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【变式1】学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在CD的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为32米． 请你根据上述方案求出A，B两点间的距离． 【变式2】甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长，即为池塘两端的距离． 乙同学：如图2，①确定射线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交射线于点； ④测量的长，即为池塘两端的距离． (1)试说明甲同学的方案可行的理由； (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 【变式3】如图①是一张“小孔成像”实验图片，图②是它的简化示意图．点O代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离（物距）等于小孔到光屏的距离（像距）时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象． 【题型4 倍长中线模型】 【典例4】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【变式1】（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【变式2】【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【变式3】如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【题型5 一线三垂直模型】 【典例5】如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【变式1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【变式2】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【变式3】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 1．如图，，若要判定，则需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，、相交于，，若直接用“”说明，则还需加上条件（   ） A． B． C． D． 3．使两个直角三角形全等的条件是（    ） A．两个锐角对应相等 B．面积相等 C．一条边对应相等 D．斜边及一条直角边对应相等 4．两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．其中能使这两个直角三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 5．中，，中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具（      ）． A．可以带1号去 B．可以带2号去 C．可以带3号去 D．都不行 7．傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 8．如图，，，请你添加一个适当的条件，使得，则需添加的条件是______（只要写出一个即可）． 9．如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为______米． 10．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 11．如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 12．综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 13．在学习全等三角形后，八年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量五星红旗旗杆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 方案 示意图 （假设：地面水平，垂直于地面，点B，C，D在水平地面上） 测量步骤 （1）在距旗杆底部 B 点水平地面上，选定一点 C； （2）测量旗杆顶点 A 视线与水平地面所成的角的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D 三点共线）； （5）测量标杆顶部 E 视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆高度的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 利用三角形全等测距离 考点：利用三角形全等测距离 重点： （1）利用全等三角形对应边相等，将不可直接测量的距离转化为可测长度。 （2）构造全等三角形的常见模型(如倍长中线、作垂线构造直角三角形)。 难点★： （1）实际问题的几何建模，如何根据条件设计合理的全等三角形构造方案。 （2）完整写出测量方案的逻辑过程(包括已知求证、证明、结论) 理解利用三角形全等测距离的原理，掌握用构造全等三角形解决实际问题的方法，能运用SAS/ASA/AAS等判定方法设计简单的测量方案。 知识点 利用三角形全等测距离 1.核心原理:利用全等三角形对应边相等，将无法直接测量的距离，转化为可测量的全等三角形的对应边长度， 2.全等判定依据:主要用到ASA、SAS、AAS三种判定方法构造全等三角形。 3.常见构造模型 。构造直角(利用ASA/AAS):通过作垂线，构造两个直角三角形全等，测量河宽/池塘宽。 倍长中线/中点法(利用SAS):以公共边中点为顶点，构造对顶角相等的两个三角形全等。 【题型1 添加条件使三角形全等】 【典例1】如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，利用可以证明； 当，即时，不能证明； 当时，利用可以证明； 当时，则，可以证明. 【变式1】如图，，，要使，需要添加下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得 ，结合已知 ，再根据全等三角形的判定定理分析即可． 【详解】解： 在 和 中，已知，， ∴需要添加，则 或添加，则 或添加，则 A、B、C选项均不符合题意， D、若添加 ，则，即，故D符合题意． 【变式2】如图所示，已知，要使，补充下列条件不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵，， A．可以根据证明，不符合题意； B． 不能判定三角形全等，符合题意； C．可以根据证明，不符合题意； D．可以根据证明，不符合题意； 【变式3】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键．根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即，且， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 【题型2 全等三角形判定与性质的综合问题】 【典例2】【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【变式1】如图，在和中，，，点在线段上且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键； （1）由，推出；由，，推出，证即可； （2）由，，得；进而得，，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴； 【变式2】如图，在中，过点作，且是的中点，连接，与相交于点． (1)求证：； (2)若的周长为30，的周长为15，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； （1）通过平行可得到，再通过中点性质得，进而可知，进而可证得三角形全等； （2）根据全等的性质可知，得到，进而可知，从而可得解． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． 在和中， ． （2）解：由（1）知，， ， ． 的周长为30，， ，即， ． 的周长为15， ， ． 【变式3】如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 【题型3 全等三角形在生活中的实际应用】 【典例3】数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为 【分析】本题考查了全等三角形的应用，余角，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答：教学楼顶部宣传牌的高度为． 【变式1】学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在CD的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为32米． 请你根据上述方案求出A，B两点间的距离． 【答案】32米 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出． 【详解】解： ，， ， ∵， ， 在与中， ， ， 又， 米． 【变式2】甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长，即为池塘两端的距离． 乙同学：如图2，①确定射线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交射线于点； ④测量的长，即为池塘两端的距离． (1)试说明甲同学的方案可行的理由； (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)增加，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）甲同学的方案可行，利用证明，即可证明； （2）乙同学的方案不可行，增加，利用证明，即可证明． 【详解】（1）解：甲同学的方案可行，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：乙同学的方案中，只有一个条件，无法证明，得不到，故乙同学的方案不可行，增加， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】如图①是一张“小孔成像”实验图片，图②是它的简化示意图．点O代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离（物距）等于小孔到光屏的距离（像距）时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象． 【答案】解释见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键； 作，交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质得，，，再证，即可得出结论 【详解】解：作，交于点E，延长交于点F， ，，， ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当物距等于像距时，所成像的大小与火苗的大小相等这一现象． 【题型4 倍长中线模型】 【典例4】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【变式2】【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； 【详解】（1）解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． （2）解：∵，， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 【题型5 一线三垂直模型】 【典例5】如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【变式1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【变式2】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 【变式3】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 1．如图，，若要判定，则需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定定理逐一分析选项即可． 【详解】解：由图可得，， 若补充条件，不是对应边，不能判定，故A选项错误； 若补充条件，构成，不能判定，故B选项错误； 若补充条件，构成，可以判定，故C选项正确； 若补充条件，显然条件重复，不能判定，故D选项错误． 故选：C． 2．如图，、相交于，，若直接用“”说明，则还需加上条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．利用这条公共边，判断需要添加． 【详解】解： ，，，且原理为， 需要添加， 故选：D． 3．使两个直角三角形全等的条件是（    ） A．两个锐角对应相等 B．面积相等 C．一条边对应相等 D．斜边及一条直角边对应相等 【答案】D 【分析】通过可证两个直角三角形全等． 【详解】解：A：两个锐角对应相等的直角三角形不一定全等，故A错误； B：面积相等的直角三角形不一定全等，故B错误； C：一条边对应相等的直角三角形不一定全等，故C错误； D：由判定定理可知，斜边及一条直角边对应相等的直角三角形一定全等，故D正确． 【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定．掌握定理内容是解题关键． 4．两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．其中能使这两个直角三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：①一锐角和斜边对应相等， ∵两个三角形都是直角三角形， ∴根据角角边即可求证两个直角三角形全等，①能使这两个直角三角形全等； ②斜边一直角边对应相等， 运用斜边直角边的方法即可判定两个直角三角形全等，②能使这两个直角三角形全等； ③有两条边相等， 另外两条边的数量关系不确定，条件不足，无法判定，③不能使这两个直角三角形全等； ④两个锐角对应相等， 两个锐角相等，无法确定边的数量关系，条件不足，无法判定，④不能使这两个直角三角形全等； ∴能使这两个直角三角形全等的有①②， 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”，“直角三角形中的斜边直角边”是解题的关键． 5．中，，中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到E使，连接，通过证明，得出，再根据全等三角形三边关系得出答案． 【详解】如图，延长到E使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 根据三角形三边关系得：， ， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具（      ）． A．可以带1号去 B．可以带2号去 C．可以带3号去 D．都不行 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】由图形可知，1号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；2号没有完整的边或角，3号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，2号和3号都不可以作出与原三角形全等的三角形． 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 7．傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 8．如图，，，请你添加一个适当的条件，使得，则需添加的条件是______（只要写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 由题意已知一组边与一组角相等，可通过添加相等角的另一个邻边相等，利用证明全等，或添加三角形中另一组对应角相等，利用或证明全等． 【详解】解：∵， ∴，即， 又， ∴若添加，则； 若添加，则； 若添加，则， 其余可满足全等三角形判定定理的条件亦可， 故答案为：（答案不唯一）． 9．如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为______米． 【答案】1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据平面镜反射原理得到，可证，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得法线垂直镜面，且， ， ，， （米） 故答案为： ． 10．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 11．如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2）解：由（1）知： 所以，即． 12．综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【答案】此方案可行，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 13．在学习全等三角形后，八年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量五星红旗旗杆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 方案 示意图 （假设：地面水平，垂直于地面，点B，C，D在水平地面上） 测量步骤 （1）在距旗杆底部 B 点水平地面上，选定一点 C； （2）测量旗杆顶点 A 视线与水平地面所成的角的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D 三点共线）； （5）测量标杆顶部 E 视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆高度的值． 【答案】15米 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 学科网（北京）股份有限公司 $