23.2一次函数的图象和性质（8知识点+15题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

23.2一次函数的图象和性质 （8知识点+15题型+过关检测） 【题型1 正比例函数的图象】 2 【题型2 正比例函数的性质】 3 【题型3 判断一次函数的图象】 4 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 5 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 5 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 6 【题型7 画一次函数图象】 7 【题型8 一次函数图象平移问题】 8 【题型9 一次函数图象与对称问题】 9 【题型10 判断一次函数的增减性】 9 【题型11 根据一次函数的增减性求参数】 10 【题型12 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 10 【题型13 比较一次函数值的大小】 11 【题型14 一次函数的规律探究问题】 12 【题型15 求一次函数的解析式】 13 · 掌握正比例函数、一次函数的图象特征，熟练使用两点法绘制函数图象。 · 理解系数的几何意义，掌握对函数图象、增减性、经过象限的影响。 · 掌握一次函数图象与坐标轴交点、平移、对称的核心规律，能快速求解相关题型。 · 熟练运用一次函数增减性比较函数值、求参数范围、判断自变量变化规律。 · 掌握待定系数法求一次函数解析式，能解决图象规律探究类拓展题型。 03 知识•梳理 知识点1：正比例函数的图象与基本性质 正比例函数的图象是一条经过坐标原点(0,0)的直线，简称直线。 核心性质： · 当时，直线经过第一、三象限，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 · 当时，直线经过第二、四象限，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 · 越大，直线越靠近y轴，图象倾斜程度越大。 知识点2：一次函数的图象特征 一次函数的图象是一条不经过原点（b≠0）的直线，可由正比例函数上下平移得到。 画图常用两点法：选取图象与坐标轴的两个交点、描点连线即可。 知识点3：k、b对一次函数图象的影响（象限分布） · ：直线经过一、二、三象限 · ：直线经过一、三、四象限 · ：直线经过一、二、四象限 · ：直线经过二、三、四象限 知识点4：一次函数增减性 · ：y随x的增大而增大（增函数，图象上升） · ：y随x的增大而减小（减函数，图象下降） · 关键：增减性只与有关，与无关。 知识点5：一次函数与坐标轴交点 · 与y轴交点：令，得交点 · 与x轴交点：令，得交点 知识点6：一次函数图象平移规律 直线平移，k值保持不变（斜率不变，直线平行） · 向上平移个单位： · 向下平移个单位： · 向左平移个单位： · 向右平移个单位： 知识点7：一次函数对称规律 · 关于x轴对称：x不变，y变相反数，解析式变为，即 · 关于y轴对称：y不变，x变相反数，解析式变为 · 关于原点对称：x、y均变相反数，解析式变为 知识点8：待定系数法求一次函数解析式 核心步骤：设→代→解→写。设，代入两组x、y值，列二元一次方程组求出，还原解析式。 04 题型•汇总 【题型1 正比例函数的图象】 解题技巧：正比例函数图象为过原点的直线，无截距，图象特征完全由比例系数决定。解题时优先通过的正负锁定图象所在象限，再结合大小判断直线倾斜陡峭程度。所有正比例函数图象必经过坐标原点，这是区分普通一次函数图象的核心关键点。 【典例1】．在正比例函数图象上的点为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 【变式2】．已知正比例函数． (1)判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． (2)若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 【变式3】．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【题型2 正比例函数的性质】 解题技巧：牢记核心规律：，图象过一、三象限，函数整体递增；，图象过二、四象限，函数整体递减。为倾斜系数，数值越大，直线越靠近y轴，倾斜程度越陡，函数变化速度越快；反之直线越平缓。可通过k的符号、大小双重判断函数所有性质。 【典例2】．若正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【变式3】．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点，都在该函数图象上，且，试判断，的大小关系． 【题型3 判断一次函数的图象】 解题技巧：一次函数图象本质是一条不平行、不垂直于坐标轴的无限延伸直线，解题时采用“系数双判法”：通过正负判断直线升降趋势，通过正负判断直线与y轴交点位置，二者结合即可精准锁定图象整体位置，快速排除错误图象。 【典例3】．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【变式3】．已知一次函数的图象过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上． 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 解题口诀&细化技巧：k定升降、b定上下，二者组合定象限。掌控直线倾斜方向，掌控直线与y轴交点位置，无需画图，仅通过解析式中的正负组合，即可直接判断直线经过的所有象限。 【典例4】．若点在第三象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．直线向下平移2个单位后的解析式为，下列说法正确的是（   ） A．直线经过第一、二、三象限 B．与x轴交点 C．与y轴交点 D．y随x的增大而减小 【变式2】．函数的图象不经过第______象限． 【变式3】．已知，则一次函数的图象不经过第_________象限． 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 解题技巧：属于逆向推理题型，核心是“象限反推系数正负”。根据直线经过的象限，对应匹配的正负取值，列出对应的不等式或不等式组，同时必须保留一次函数核心限制条件，避免出现增根。 【典例5】．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 【变式3】．若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 解题技巧：利用坐标轴坐标特征解题，x轴上的点纵坐标恒为0，y轴上的点横坐标恒为0。求交点直接代入赋值计算；求函数与坐标轴围成的图形面积时，交点坐标取绝对值作为直角三角形的两条直角边长，固定套用直角三角形面积公式，避免边长为负的错误。 【典例6】．一次函数的图象与x轴的交点坐标为（） A． B． C． D． 【变式1】．下列关于一次函数的图像信息正确的是（   ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与直线平行 D．与x轴相交于点 【变式2】．一次函数与轴的交点坐标为____________． 【变式3】．如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 【题型7 画一次函数图象】 解题技巧（两点法细化）：画一次函数图象首选坐标轴交点两点法，是最精准高效的方法。优先计算函数与x轴、y轴的两个交点坐标，两个点位置固定、计算简单，可完美确定直线位置，避免随意找点导致图象偏移、倾斜角度错误。 【典例7】．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式1】．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【变式2】．若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【变式3】．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 【题型8 一次函数图象平移问题】 核心口诀&细化技巧：上加下减常数项，左加右减自变量，平移全程k不变。所有平移变换只改变直线位置，不改变直线倾斜程度，因此一次项系数恒定不变。上下平移只改动末尾常数项，直接加减平移单位；左右平移必须给自变量整体加括号后再加减单位。 【典例8】．把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1】．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，平移直线：，使其过点，得到直线，则在第一象限内，与之间整点的个数（不含边界）有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】．在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【变式3】．若将直线向上平移个单位，使得平移后的直线经过点，则的值为_____． 【题型9 一次函数图象与对称问题】 解题技巧（细化）：一次函数对称问题无需画图，直接采用变量替换法求解，规律固定、零失误。核心原理：对称变换只改变坐标符号，不改变函数结构，根据对称类型，对应替换x、y的符号，整理化简后即可得到对称后的解析式。 关于x轴对称：横坐标不变、纵坐标变号，原式变，整理为；关于y轴对称：纵坐标不变、横坐标变号，原式变；关于原点对称：横、纵坐标同时变号，原式变，整理为。 【典例9】．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【变式3】．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【题型10 判断一次函数的增减性】 解题技巧（细化）：一次函数增减性为固定属性，只由一次项系数k决定，与常数项b完全无关。判断时只需观察解析式中的正负：，函数单调递增，图象从左至右上升；，函数单调递减，图象从左至右下降。 【典例10】．下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点 D．图象与y轴的交点坐标是 【变式1】．直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【变式3】．若，是如图所示一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是：___________．（填“>”“=”或“<”） 【题型11 根据一次函数的增减性求参数】 解题技巧（细化）：已知增减性求参数属于逆向基础题型，核心是根据增减性锁定的不等关系。函数递增等价于，函数递减等价于，将含字母的一次项系数代入不等关系，解不等式即可，同时必须满足一次函数。 【典例11】．已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式1】．对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】．正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 【变式3】．已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是________． 【题型12 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 解题技巧（细化）：依托函数增减性判断变量变化关系，核心看正负。增函数（）：自变量x和函数值y变化同向，x增大y增大、x减小y减小；减函数（）：自变量x和函数值y变化反向，x增大y减小、x减小y增大。 【典例12】．点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【变式1】．一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则_____．（填“”、“”或“”） 【变式3】．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 【题型13 比较一次函数值的大小】 解题技巧（细化）：无需代入数值计算，直接利用增减性秒判大小，高效且零计算误差。先判断正负确定函数增减性，再对比两个自变量的大小，结合增减规律直接得出函数值大小关系，适用于所有比大小题型。 【典例13】．若点，都在直线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，均在直线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】．点在直线上，则的大小关系是_____ 【变式3】．点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 【题型14 一次函数的规律探究问题】 解题技巧（细化）：一次函数规律探究题核心是找等差变化规律，所有一次函数对应的数列、坐标变化均为均匀变化。先计算前3组基础数据，观察横坐标、纵坐标、线段长度的固定变化量，确定一次函数的（变化速率）和（初始值），归纳出通用通项公式。 【典例14】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    【变式3】．正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 【题型15 求一次函数的解析式】 解题技巧（待定系数法·细化四步）：所有求一次函数解析式题型通用此方法，适配两点、一点+平移、增减性、图象特征等所有条件，步骤固定、通用性极强。 1. 设：根据一次函数定义，预设解析式，切记标注；2. 代：将题目给出的点坐标、对应x、y值代入预设解析式，构建二元一次方程组；3. 解：规范求解方程组，精准算出的数值；4. 写：将参数代回原式，写出最终完整的一次函数解析式。 【典例15】．如图，直线是一次函数的图象，求出函数的表达式． 【变式1】．已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【变式2】．已知直线的图象与直线的图象平行． (1)求直线的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； (2)直线的函数图象与轴，轴分别交于、两点，为轴上的一个动点，当的面积为8时，求的值． 【变式3】．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 05 过关•检测 1．正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．对于一次函数，下列说法：①当时，随的增大而减小；②当时，函数图象一定交于轴的负半轴；③当时，函数图象经过原点；④函数图象一定经过点，其中正确的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 6．如图，直线分别与轴、轴相交于点，，点在平面内，，点，则长度的最小值是(     ) A． B． C． D． 7．已知，是一次函数图象上的两点，且，，则该函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 8．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．已知正比例函数，若y随x增大而增大，则m的取值范围是_______． 10．已知直线: ，则直线一定经过点______． 11．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 12．将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是___________． 13．若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 14．若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 15．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 16．已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值． 18．综合与探究 【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点Q的纵坐标满足： 则称点Q为点P的“关联点”． 例如：点“关联点”的坐标是，点“关联点”的坐标是． 【特殊感知】 (1)点“关联点”的坐标为______； 【问题解决】 (2)已知点在函数的图象上，点是点P的“关联点”： ①求关于x的函数解析式； ②若点Q的纵坐标为5，求点Q的横坐标； ③当时，的取值范围是，请直接写出m的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 20．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值； x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中， ； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ； 当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②直接写出不等式的解集： ． 21．已知，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，A分别在轴和轴的正半轴上，顶点C的坐标为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，并且． (1)如图1，若a，b满足：，则__________，__________； (2)在（1）的条件下 ①如图1，若点为中点，过点作交轴于点，求点坐标； ②如图2，若坐标为，过点作交的延长线于点，求点横坐标； (3)如图3，若，若点坐标为，求点坐标__________． 22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2一次函数的图象和性质 （8知识点+15题型+过关检测） 【题型1 正比例函数的图象】 2 【题型2 正比例函数的性质】 5 【题型3 判断一次函数的图象】 7 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 10 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 11 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 13 【题型7 画一次函数图象】 16 【题型8 一次函数图象平移问题】 19 【题型9 一次函数图象与对称问题】 21 【题型10 判断一次函数的增减性】 24 【题型11 根据一次函数的增减性求参数】 25 【题型12 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 27 【题型13 比较一次函数值的大小】 29 【题型14 一次函数的规律探究问题】 31 【题型15 求一次函数的解析式】 35 · 掌握正比例函数、一次函数的图象特征，熟练使用两点法绘制函数图象。 · 理解系数的几何意义，掌握对函数图象、增减性、经过象限的影响。 · 掌握一次函数图象与坐标轴交点、平移、对称的核心规律，能快速求解相关题型。 · 熟练运用一次函数增减性比较函数值、求参数范围、判断自变量变化规律。 · 掌握待定系数法求一次函数解析式，能解决图象规律探究类拓展题型。 03 知识•梳理 知识点1：正比例函数的图象与基本性质 正比例函数的图象是一条经过坐标原点(0,0)的直线，简称直线。 核心性质： · 当时，直线经过第一、三象限，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 · 当时，直线经过第二、四象限，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 · 越大，直线越靠近y轴，图象倾斜程度越大。 知识点2：一次函数的图象特征 一次函数的图象是一条不经过原点（b≠0）的直线，可由正比例函数上下平移得到。 画图常用两点法：选取图象与坐标轴的两个交点、描点连线即可。 知识点3：k、b对一次函数图象的影响（象限分布） · ：直线经过一、二、三象限 · ：直线经过一、三、四象限 · ：直线经过一、二、四象限 · ：直线经过二、三、四象限 知识点4：一次函数增减性 · ：y随x的增大而增大（增函数，图象上升） · ：y随x的增大而减小（减函数，图象下降） · 关键：增减性只与有关，与无关。 知识点5：一次函数与坐标轴交点 · 与y轴交点：令，得交点 · 与x轴交点：令，得交点 知识点6：一次函数图象平移规律 直线平移，k值保持不变（斜率不变，直线平行） · 向上平移个单位： · 向下平移个单位： · 向左平移个单位： · 向右平移个单位： 知识点7：一次函数对称规律 · 关于x轴对称：x不变，y变相反数，解析式变为，即 · 关于y轴对称：y不变，x变相反数，解析式变为 · 关于原点对称：x、y均变相反数，解析式变为 知识点8：待定系数法求一次函数解析式 核心步骤：设→代→解→写。设，代入两组x、y值，列二元一次方程组求出，还原解析式。 04 题型•汇总 【题型1 正比例函数的图象】 解题技巧：正比例函数图象为过原点的直线，无截距，图象特征完全由比例系数决定。解题时优先通过的正负锁定图象所在象限，再结合大小判断直线倾斜陡峭程度。所有正比例函数图象必经过坐标原点，这是区分普通一次函数图象的核心关键点。 【典例1】．在正比例函数图象上的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，在正比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其对应的解析式，则在正比例函数图象上的点的纵坐标是横坐标的倍，据此特点可得答案．掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，所以点不在正比例函数图象上，故选项不符合题意； B、当时，，所以点在正比例函数图象上，故选项符合题意； C、当时，，所以点不在正比例函数图象上，故选项不符合题意； D、当时，，所以点不在正比例函数图象上，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，常数项为零，求出m的值，得到函数表达式，再根据一次函数的性质比较a和b的大小． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以， 解得， 则函数为． 因为， 所以y随x的增大而减小， 又因为，所以． 故答案为：． 【变式2】．已知正比例函数． (1)判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． (2)若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 【答案】(1)不在，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算时，对应的函数值，若等于，在正比例函数的图象上，反之不在． （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了点与图象的关系，函数的增减性解题，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故点不在正比例函数的图象上． （2）解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【题型2 正比例函数的性质】 解题技巧：牢记核心规律：，图象过一、三象限，函数整体递增；，图象过二、四象限，函数整体递减。为倾斜系数，数值越大，直线越靠近y轴，倾斜程度越陡，函数变化速度越快；反之直线越平缓。可通过k的符号、大小双重判断函数所有性质。 【典例2】．若正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正比例函数解析式为，将已知点代入求出的值，得到函数解析式，再判断各选项的点是否在函数图象上，即可得出结果． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为， 选项A：当时，，所以不在该函数图象上，A不符合题意； 选项B：当时，，所以不在该函数图象上，B不符合题意； 选项C：当时，，所以不在该函数图象上，C不符合题意； 选项D：当时，，所以在该函数图象上，D符合题意． 【变式1】．在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两点都在正比例函数图象上，因此坐标满足函数解析式，代入坐标列方程求出的值，得到函数解析式，再验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵都在正比例函数的图象上， ∴将两点坐标分别代入解析式得， 把代入，得， 解得， ∴正比例函数的解析式为，即横纵坐标相等， ∴该函数图象一定经过的点是． 【变式2】．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 【变式3】．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点，都在该函数图象上，且，试判断，的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与成正比例设出关系式，利用待定系数法求出比例系数，整理得到关于的函数表达式； （2）根据一次函数的增减性，结合判断和的大小关系． 【详解】（1）解：由题意，设， 把，代入上式，得， 解得， 将代入所设关系式，得， 整理得； （2）解：函数的一次项系数为，且， 随的增大而增大， 点，都在该函数的图象上，且， ． 【题型3 判断一次函数的图象】 解题技巧：一次函数图象本质是一条不平行、不垂直于坐标轴的无限延伸直线，解题时采用“系数双判法”：通过正负判断直线升降趋势，通过正负判断直线与y轴交点位置，二者结合即可精准锁定图象整体位置，快速排除错误图象。 【典例3】．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出一次函数与坐标轴的交点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：将代入，得；将，代入，得， ∴函数的图象，交轴于点，交轴于点，只有选项C符合． 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 【变式2】．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 【变式3】．已知一次函数的图象过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个一次函数图象上。 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，计算值，并与比较即可判断点是否在这个一次函数的图象上． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵一次函数的图象过，两点， ∴， 解得， ∴解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上． 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 解题口诀&细化技巧：k定升降、b定上下，二者组合定象限。掌控直线倾斜方向，掌控直线与y轴交点位置，无需画图，仅通过解析式中的正负组合，即可直接判断直线经过的所有象限。 【典例4】．若点在第三象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第三象限内点的横坐标、纵坐标均小于0，利用一次函数的图象进行解答即可． 【详解】解：点在第三象限， ，， 一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 【变式1】．直线向下平移2个单位后的解析式为，下列说法正确的是（   ） A．直线经过第一、二、三象限 B．与x轴交点 C．与y轴交点 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先根据平移规则得到平移后的直线解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵将直线向下平移个单位， ∴平移后直线解析式为，即，， A、∵，，∴直线经过第一、三、四象限，故此选项错误，不符合题意； B、当时，，解得，故与轴交于，故此选项错误，不符合题意； C、当时，，∴与轴交于，故此选项正确，符合题意； D、∵，∴随的增大而增大，故此选项错误，不符合题意． 【变式2】．函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【详解】解：在一次函数中，，， 此函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限． 【变式3】．已知，则一次函数的图象不经过第_________象限． 【答案】二 【分析】根据题意得到，再进行判断即可． 【详解】解：， ， 当时，，矛盾； 当时，，矛盾； 故， 一次函数的图象不经过第二象限． 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 解题技巧：属于逆向推理题型，核心是“象限反推系数正负”。根据直线经过的象限，对应匹配的正负取值，列出对应的不等式或不等式组，同时必须保留一次函数核心限制条件，避免出现增根。 【典例5】．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 【变式1】．一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的图象经过第一、二、四象限，利用一次函数图象与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：一次函数（、为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ． 【变式2】．直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线不经过第二象限，可得函数表达式当中一次项系数大于等于零，常数项小于等于零，进而得到m取值范围． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ， 解得：． 【变式3】．若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数图像与系数的关系，判断的取值范围，选取一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限， ， k的值可以是1（答案不唯一，满足即可）． 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 解题技巧：利用坐标轴坐标特征解题，x轴上的点纵坐标恒为0，y轴上的点横坐标恒为0。求交点直接代入赋值计算；求函数与坐标轴围成的图形面积时，交点坐标取绝对值作为直角三角形的两条直角边长，固定套用直角三角形面积公式，避免边长为负的错误。 【典例6】．一次函数的图象与x轴的交点坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与x轴交点坐标的求解，x轴上所有点的纵坐标都为0，只需令代入解析式求出x，即可得到交点坐标． 【详解】∵x轴上点的纵坐标为0， ∴令，代入得， 解得， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 【变式1】．下列关于一次函数的图像信息正确的是（   ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与直线平行 D．与x轴相交于点 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像性质. 根据和的取值判断象限. 过点情况，结合一次函数平行的性质判断选项，最后求出与轴交点验证即可． 【详解】解：对于一次函数 ，可得，． ∵ ，． ∴ 函数图像经过一、二、三象限，故A错误． 把代入函数得 ，因此图像不经过原点，故B错误． ∵ 直线 与 的值相等，b值不相等，两直线不重合． ∴ 两直线平行，故C正确． 求函数与轴交点，令，得 ，解得 ． ∴ 函数与轴交于点 ，故D错误． 综上，选C． 【变式2】．一次函数与轴的交点坐标为____________． 【答案】 【分析】将代入一次函数解析式即可求出对应纵坐标，进而得到交点坐标． 【详解】解：在中，当时，， 一次函数与轴的交点坐标是． 【变式3】．如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】先得出，，再根据以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），分三种情况讨论即可． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点， 当时，即，解得，； 当时，， ，， ，． 若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则分情况如下： ①当，且点在点右侧时，如图所示： 则， ． ， ； ②当时，如图所示： 则， ， ； ③当，且点在点左侧时，如图所示： 则， ． ， ． 综上，点的坐标为或或． 【题型7 画一次函数图象】 解题技巧（两点法细化）：画一次函数图象首选坐标轴交点两点法，是最精准高效的方法。优先计算函数与x轴、y轴的两个交点坐标，两个点位置固定、计算简单，可完美确定直线位置，避免随意找点导致图象偏移、倾斜角度错误。 【典例7】．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4， ∴当时，， 故算错的函数值为3． 故选：A． 【变式1】．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 【变式2】．若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 【变式3】．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】(1)当时，，当时， (2)图象见解析；性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； (3)或 【分析】（1）先求出，再直接利用三角形面积公式即可求解； （2）直接画出图象并观察图象特征即可求解； （3）直接观察图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴ 当时，， 当时，， （2）解：图象如图所示： 性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； （3）由图象可知， 当时，或， 解得：或， 当时，自变量x的取值范围是或． 【题型8 一次函数图象平移问题】 核心口诀&细化技巧：上加下减常数项，左加右减自变量，平移全程k不变。所有平移变换只改变直线位置，不改变直线倾斜程度，因此一次项系数恒定不变。上下平移只改动末尾常数项，直接加减平移单位；左右平移必须给自变量整体加括号后再加减单位。 【典例8】．把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 【变式1】．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，平移直线：，使其过点，得到直线，则在第一象限内，与之间整点的个数（不含边界）有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】先求得的解析式为，结合图形，即可求解． 【详解】解：设的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 如图所示， 在第一象限内，与之间整点的个数（不含边界）有共4个整点． 【变式2】．在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【答案】5 【分析】根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再根据正比例函数的定义，令常数项为，即可求解的值． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后的函数的解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴，解得． 【变式3】．若将直线向上平移个单位，使得平移后的直线经过点，则的值为_____． 【答案】2 【分析】根据平移规律“上加下减”得到平移后的直线解析式，再将已知点的坐标代入解析式求解即可 【详解】解：将直线向上平移个单位后，根据平移规律，所得直线的解析式为， 将点代入，得， 解得 【题型9 一次函数图象与对称问题】 解题技巧（细化）：一次函数对称问题无需画图，直接采用变量替换法求解，规律固定、零失误。核心原理：对称变换只改变坐标符号，不改变函数结构，根据对称类型，对应替换x、y的符号，整理化简后即可得到对称后的解析式。 关于x轴对称：横坐标不变、纵坐标变号，原式变，整理为；关于y轴对称：纵坐标不变、横坐标变号，原式变；关于原点对称：横、纵坐标同时变号，原式变，整理为。 【典例9】．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 【变式1】．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查新定义问题的理解与应用，平面直角坐标系中的轴对称，一次函数与方程的综合，准确理解新定义是解题关键． 根据“对偶关系”的定义，点和点关于轴对称，即若坐标为，则坐标为，且在图象上，据此列方程求解即可． 【详解】解：①设在上，坐标为，则为， ∵在上， ∴， 解得， 可知存在这样的点和，故具有对偶关系，①错误； ② 对于和，设对偶值存在，则存在使， 解得，则对偶值为，不是，故②错误； ③对偶值为，在上，则纵坐标为，横坐标也为，即， ∵与关于轴对称， ∴， 代入，得， 解得，故③正确； ④ 设在上，坐标为，则为， ∵在上，且， ∴， 即， ∵， ∴，与结论不符，故④错误． 综上，只有③正确，共个． 故选：． 【变式2】．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 【变式3】．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解． 【详解】解：直线，时，；时，； ∴直线与x轴交于，与y轴交于． ∴直线经过点，． ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【题型10 判断一次函数的增减性】 解题技巧（细化）：一次函数增减性为固定属性，只由一次项系数k决定，与常数项b完全无关。判断时只需观察解析式中的正负：，函数单调递增，图象从左至右上升；，函数单调递减，图象从左至右下降。 【典例10】．下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点 D．图象与y轴的交点坐标是 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质判断选项A，B，求出时的函数值，即可判断选项C，把代入解析式，求出函数值即可得到图象与y轴的交点坐标，即可判断选项D． 【详解】解：A选项：∵一次函数中，， 随的增大而增大，故本选项正确； B选项：∵一次函数中，， 一次函数图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故本选项正确； C选项：当时，， 图象经过点，故本选项正确； D选项：当时， 图象与轴的交点坐标是，不是，故本选项错误． 【变式1】．直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知， 随x的增大而增大， ， ． 【变式2】．若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小. 的横坐标为，的横坐标为，且， . 【变式3】．若，是如图所示一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是：___________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【详解】解：由函数图象可得，随的增大而减小， ∵， ∴． 【题型11 根据一次函数的增减性求参数】 解题技巧（细化）：已知增减性求参数属于逆向基础题型，核心是根据增减性锁定的不等关系。函数递增等价于，函数递减等价于，将含字母的一次项系数代入不等关系，解不等式即可，同时必须满足一次函数。 【典例11】．已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数()中，当时，随的增大而减小，据此列不等式求解即可． 【详解】解：一次函数中，随的增大而减小 一次项系数满足 解不等式得． 【变式1】．对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出变化前后的函数值等式，即可求出的值． 【详解】解：设原来的自变量为，对应函数值为， 当减小后，新自变量为，对应函数值， 的值减小， ， 解得． 【变式2】．正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的增减性可知一次项系数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 【变式3】．已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 【详解】解：一次函数，， ∴随的增大而减小， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于k， ， 解得． 【题型12 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 解题技巧（细化）：依托函数增减性判断变量变化关系，核心看正负。增函数（）：自变量x和函数值y变化同向，x增大y增大、x减小y减小；减函数（）：自变量x和函数值y变化反向，x增大y减小、x减小y增大。 【典例12】．点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点都在直线上，且，即， ∴． 【变式1】．一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：图象经过第一、二、三象限， ，， ，故①③正确； ②由图象知，y随x增大而增大．点与都在直线上， ， ∴，故②错误； 综上，正确的说法是①③． 【变式2】．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则_____．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ，且， 则一次函数的函数值随的增大而减小， 由点和在函数图象上，且，可得， 故答案为：． 【变式3】．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的解析式，，因此随的增大而减小．点的纵坐标小于点的纵坐标，故点的横坐标大于点的横坐标． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而减小． ∵点和点都在一次函数的图象上， ∴ 故答案为：． 【题型13 比较一次函数值的大小】 解题技巧（细化）：无需代入数值计算，直接利用增减性秒判大小，高效且零计算误差。先判断正负确定函数增减性，再对比两个自变量的大小，结合增减规律直接得出函数值大小关系，适用于所有比大小题型。 【典例13】．若点，都在直线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数的增减性比较大小，也可代入横坐标直接计算函数值再比较． 【详解】方法一：利用一次函数增减性判断 ∵直线中，一次项系数 ∴随的增大而减小， ∵两点的横坐标满足， ∴． 方法二：代入计算比较 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【变式1】．已知，均在直线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据直线的解析式判断一次函数的增减性，再结合两个点横坐标的大小关系，即可得到，的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，均在直线上，且， ∴． 【变式2】．点在直线上，则的大小关系是_____ 【答案】/ 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小， 结合增减性判断纵坐标的大小关系. 【详解】解：直线是一次函数，其中一次项系数， 随的增大而减小. 点，的横坐标满足. . 【变式3】．点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质.，可通过代入横坐标计算函数值直接比较，也可根据一次函数的增减性结合横坐标大小关系判断与的大小． 【详解】解：方法一：代入求值比较 将代入，得， 将代入，得， ， . 方法二：利用一次函数增减性判断 在直线中，， ， ， ． 【题型14 一次函数的规律探究问题】 解题技巧（细化）：一次函数规律探究题核心是找等差变化规律，所有一次函数对应的数列、坐标变化均为均匀变化。先计算前3组基础数据，观察横坐标、纵坐标、线段长度的固定变化量，确定一次函数的（变化速率）和（初始值），归纳出通用通项公式。 【典例14】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线的表达式为可得，直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，由点的坐标为，可得，由作图过程可知，是等腰直角三角形，，同理可得，，， ， (为正整数)，将代入即可解答． 【详解】解：直线的表达式为， 直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为， 点的坐标为， ， 由作图过程可知，， 又， 是等腰直角三角形， ， 同理可得，，，， 所以 (为正整数)， 当时，， 点的横坐标为， 故选：． 【变式2】．如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    【答案】 【分析】 分别过点作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，    ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴， ∴． 【变式3】．正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 【答案】 7 【分析】根据正方形的性质得出相等的边，根据一次函数得出各正方形的边长，得出规律求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ∴， ∴点的横坐标是； ∴点的横坐标是． 【题型15 求一次函数的解析式】 解题技巧（待定系数法·细化四步）：所有求一次函数解析式题型通用此方法，适配两点、一点+平移、增减性、图象特征等所有条件，步骤固定、通用性极强。 1. 设：根据一次函数定义，预设解析式，切记标注；2. 代：将题目给出的点坐标、对应x、y值代入预设解析式，构建二元一次方程组；3. 解：规范求解方程组，精准算出的数值；4. 写：将参数代回原式，写出最终完整的一次函数解析式。 【典例15】．如图，直线是一次函数的图象，求出函数的表达式． 【答案】． 【分析】根据函数的图象可得直线经过点，，再利用待定系数法即可得． 【详解】解：由图象可知，直线经过点，， 把点，代入得：， 解得， 所以一次函数的解析式为． 【变式1】．已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例函数的定义设出函数解析式，再将已知的、值代入，求出比例系数，从而得到函数解析式． （2）将点代入已求出的函数解析式，得到关于的方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设函数解析式为． ∵当时，， ∴， 解得． ∴与之间的函数解析式为． （2）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 【变式2】．已知直线的图象与直线的图象平行． (1)求直线的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； (2)直线的函数图象与轴，轴分别交于、两点，为轴上的一个动点，当的面积为8时，求的值． 【答案】(1)，图象见详解 (2)或 【分析】（1）根据两条直线平行可以得出这两条直线的解析式中自变量的系数相等即可求出的值，问题即可解； （2）先求出、两点的坐标，进而得出，再根据三角形的面积求出，结合点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴直线， 当时，解得：， 当时，解得：， ∴，， 结合上述两点，画函数图象如下： （2）∵， ∴， 如图， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∵，， ∴，或者， 即：，或者． 【变式3】．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 且． 【分析】（1）根据函数图象的平移得到，再把点代入计算得到； （2）根据题意，画图分析即可． 【详解】（1）解：函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数图象经过点， ∴， 解得，； （2）解：由（1）得，， ∴， 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，如图所示， 当时，函数的图象与函数的图象平行，此时，符合题意； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象有交点，设为， ∴当时，，不符合题意； ∴； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象平行，，不符合题意； 在函数中，当时，， ∴当函数的图象与函数的图象交于时，如图所示， 此时，，解得，， 当时，如图所示，函数的图象与函数的图象有交点，设为， 此时，时，，不符合题意； ∴； 综上，且． 05 过关•检测 1．正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据经过的象限，可以判断的符号，从而判断出中和的正负性，最后便能判断该函数所经过的象限． 【详解】解：经过第二、四象限， ， ，， 经过二、三、四象限， A正确． 2．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 3．已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据一次函数的增减性判断的符号，再结合一次函数与轴的交点位置，判断函数图象经过的象限，从而得到答案． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且时，，即随的增大而增大， ∴， 又∵一次函数中，常数项，说明函数图象与轴交于负半轴， ∴该一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限． 4．对于一次函数，下列说法：①当时，随的增大而减小；②当时，函数图象一定交于轴的负半轴；③当时，函数图象经过原点；④函数图象一定经过点，其中正确的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性、图象与坐标轴交点的特点，逐个判断四个说法的正误，统计正确个数即可得到答案。 【详解】①当时，根据一次函数性质，随的增大而减小，故①正确，符合题意； ②一次函数与轴的交点为，当时，，即函数图象与轴交于正半轴，故②错误，不符合题意； ③当时，即，函数图象经过原点，故③正确，符合题意； ④，当时，即，，函数图象一定经过点，不是，故④错误，不符合题意； 综上，符合题意的是①和③，一共个． 5．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵ ∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得． 6．如图，直线分别与轴、轴相交于点，，点在平面内，，点，则长度的最小值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确找到满足最小值时动点的位置是解题的关键．取的中点H，连接，，根据三边关系可得，确定当和在同一条直线上时，的值最小，即，利用一次函数图象的性质求出M，N，H的坐标，利用勾股定理求出，最后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，计算即可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，， 当和在同一条直线上时，的值最小，即，   直线分别与x轴、y轴相交于点M，N， 当时，， 当时，， 解得：， ，， ，， 在中，， H是的中点， ，即， ，， ， 又点的坐标为，， ， ． 故选：C． 7．已知，是一次函数图象上的两点，且，，则该函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质判断出，再结合一次函数的性质即可得出结论． 【详解】∵，， ∴对于一次函数，随的增大而增大， ∴， 故一次函数的图象经过第一、三象限； ∵，， 故，两点在第二象限， 故一次函数的图象经过第二象限； 综上，一次函数的图象经过第一、二、三象限． 8．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，结合新定义“整点”“超整点”，考查象限内点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，分式整除性质，只需逐个判断三个说法的正确性即可． 【详解】解：逐一判断三个说法： 对于①：∵点为整点且在第二象限， ∴， 解得 ∵为整点， ∴和均为整数，可得为整数， ∴的取值为，，，，，共个，即点的个数为个，故①正确； 对于②：把代入直线， 得：，与点的纵坐标相等， ∴所有满足条件的整点都在直线上，故②正确； 对于③：∵点为超整点， ∴， ∴， ∴， ∴为整数， ∵结果为整数， ∴为整数，点为整数 ∴为整数，即为整数 ∴是的整数因数 ∵的整数因数为，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，； ∴，共个符合条件的点，故③错误， 综上，正确的说法共个， 故选：B． 9．已知正比例函数，若y随x增大而增大，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的增减性可得，解不等式即可得结果． 【详解】解：∵在正比例函数中，随的增大而增大， ∴， ∴． 10．已知直线: ，则直线一定经过点______． 【答案】 【分析】将直线方程变形整理为含参数的式子，根据等式恒成立的条件，令参数的系数为，即可求出直线恒过的定点坐标． 【详解】解： ∵该式对任意实数都成立， ∴需满足的系数为，即， 解得， 将代入 ，得， ∴直线一定经过点． 11．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 12．将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是___________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律即可求解． 【详解】解：将的图象向上平移个单位后，所得直线的解析式为：． 13．若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】结合已知两点横纵坐标的大小关系，得到关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：，是直线 上的两点，且， 随的增大而减小 根据一次函数的性质可得 解得 14．若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：由可得：， 一次函数的图象y随的增大而减小，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 15．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 则， ∴， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：列表如下： … 3 0 … … 1 … 函数图象如下所示： 16．已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，求出m的值即可； （2）根据一次函数y随x的增大而减小，列出关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ， 解得； （2）解：∵函数随的增大而减小， ∴， 解得． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)存在点M的坐标为或，使得； (3)最大值为4，最小值为1 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，将点，代入，即可解答； （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论，即可解答； （3）由题意得图象的解析式为，分两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：存在． 当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； （3）解：由题意得图象的解析式为， 当时，， 当时，；当时，， ∴； 当时，， 当时，；当时，， ∴； 综上，当，图象所表示的函数的最大值为4，最小值为1． 18．综合与探究 【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点Q的纵坐标满足： 则称点Q为点P的“关联点”． 例如：点“关联点”的坐标是，点“关联点”的坐标是． 【特殊感知】 (1)点“关联点”的坐标为______； 【问题解决】 (2)已知点在函数的图象上，点是点P的“关联点”： ①求关于x的函数解析式； ②若点Q的纵坐标为5，求点Q的横坐标； ③当时，的取值范围是，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②7或 ；③ 【分析】（1）根据“关联点”的含义即可完成； （2）①根据“关联点”的含义分与，即可求解； ②根据①所求即可求解； ③分及，根据的表达式及取值范围即可确定m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴点“关联点”的坐标为； （2）解：①∵点在函数的图象上， ∴， 当时，； 当时，； 综上，； ②当时，，解得； 当时，，解得； 综上，点Q的横坐标为7或； ③当时， 此时，则函数值随自变量的增大而减小， ∴， 当时， 若，此时，则函数值随自变量的增大而增大， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∵当时，的取值范围是， ∴，解得：． 19．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)2，1，2 (2)①6；②或 【分析】（1）当点E在点B或点D处时，的长最大，根据两点间距离公式求解即可，当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，即可解答； （2）①先求出，再求出，，即可得到答案； ②先求出，分和两种情况，分别求出，的值，即可分别列不等式求解． 【详解】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为， 当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1， ，， ； （2）解：①如图，当时，，， 设直线为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长， ，即， 最小值为线段与之间的距离，即， ； ②将代入，得， ， ， 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题在解答时要先理解“距离关联值”的定义，并结合图形逐步求解，对于第（2）小题要注意分类讨论． 20．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值； x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中， ； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ； 当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)；减小 (4)①或；② 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）将代入函数求解即可； （2）根据表格中的数据，描点画出函数图象； （3）根据函数图象解答即可； （4）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：令得：； （2）解：函数的图象如下： （3）解：由（2）中图象可知，该函数图象的最低点坐标是， 当时，y随x的增大而减小； （4）解：①由图象可知，不等式的解集为或； ②不等式移项得：， 由图象可知，该不等式的解集为． 21．已知，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，A分别在轴和轴的正半轴上，顶点C的坐标为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，并且． (1)如图1，若a，b满足：，则__________，__________； (2)在（1）的条件下 ①如图1，若点为中点，过点作交轴于点，求点坐标； ②如图2，若坐标为，过点作交的延长线于点，求点横坐标； (3)如图3，若，若点坐标为，求点坐标__________． 【答案】(1)， (2)①；②点的横坐标为； (3) 【分析】（1）利用二次根式的性质即可求出，进而求出； （2）①先证明四边形是正方形，再证明，连接，证明，设，则，结合点为中点，利用勾股定理即可求解；②过点作轴的垂线交轴于点，证明，即可解答； （3）同理（2）①解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴点H的横坐标为， ∴点的横坐标为； （3）解：如图，以为边，在下方构造正方形，过作交延长线于点，延长交于点，连接， ∵， ∴正方形的边长为，即， 同理（2）①得， ∴， 设，则， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∴点的纵坐标为， 令，解得， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）分别令和求得对应的y和x的值即可解答； （2）根据题意先判断线段的平移方向，然后写出平移后对应点的横坐标，然后根据平后要与y轴相交，可知平移后的点的横坐标大于等于0，且点的横坐标小于等于0时，满足题意，据此列出不等式解答即可； （3）过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接，则四边形是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质推出直线l垂直平分，从而得到，进而可知当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小，最后利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】（1）解：在中， 令，得， ∴； 令，得， ∴； （2）解：由题意可知，直线l与x轴正方向夹角为，平移距离为t（）， ∵点，， ∴当线段沿直线l的反向（左下方）平移时，才可能与y轴相交， ∴此时点A平移后的对应点的横坐标为；点B平移后的对应点的横坐标为， ∵线段与y轴有交点， ∴， 解得； ∴平移后的线段与y轴有交点时，t的取值范围是； （3）解：存在，最小值为； 如图，过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接， 则四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵，l与x轴正方向夹角为，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即直线l垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵和为定值， ∴当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小， ∵，， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $