专题02 一次函数与方程（组）、不等式重难点题型专训（2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

本讲义聚焦一次函数与方程（组）、不等式的核心关联，系统梳理从“数”的角度（函数值与方程解、不等式解集的对应）和“形”的角度（直线交点、与坐标轴位置关系）建立知识支架，衔接一次函数基础与方程不等式应用。 资料通过8大基础题型+3类拓展训练分层设计，结合“数”“形”结合例题（如图象法解方程组）培养几何直观与抽象能力，新定义问题（如“和谐函数”）提升推理意识，助力教师课堂系统教学，学生课后可通过即时训练与自我检测查漏补缺，强化应用意识。

专题02 一次函数与方程（组）、不等式重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值 拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题 拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合 知识点一：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释： 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为______． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·期末）下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 【例2】（2025·江西九江·一模）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ______ ． 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·月考）已知一次函数的图象与轴交于点，下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象与轴的交点为 C．关于的方程的解是 D．关于的不等式的解集是 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是___________． 3．（25-26八年级下·北京延庆·期中）小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．则直线的解析式为 ____________． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． (1)当时，求l的解析式； (2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； (3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【例2】（24-25八年级上·山东济南·月考）一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为___________． 1．（24-25八年级下·甘肃天水·月考）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则下列说法正确的个数是（    ） ①是方程的一个解；②方程组的解是； ③不等式的解集是；④不等式的解集是． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线，分别是函数和的图象．    （1）关于x的方程的解为___________． （2）若，分别为方程和的解，则m，n的大小关系是m___________n． 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】 （24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点，根据图象可知的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级下·江苏连云港·月考）如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有______（填序号）． 3．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)求点，的坐标； (3)当时，求的取值范围． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是________． 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 2．（24-25八年级下·四川成都·自主招生）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中；④关于的方程的解是；则正确的序号有___． 3．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【例2】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是________． 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为___________． 3．（2026·山西运城·一模）阅读与思考 下面是玥玥同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程的解与一次函数图象的关系在初中学习阶段，我们了解到二元一次方程描述的是某个变化过程的瞬间，一个变量在某一瞬间有一个值，另一个变量也有唯一确定的值与之对应．而函数描述的是某一事物在变量间变化的完整过程．下面是我对二元一次方程的解与一次函数图象的关系研究过程．二元一次方程的解有，，，，，，，…，若将方程解中的x看作横坐标，y看作纵坐标，即，，，，…．在平面直角坐标系中分别将它们标出来，观察发现这些点恰好都在同一条直线上，反过来，在这条直线上任意选取一点，比如，将这个点的坐标作为一对未知数的值即，代入方程中，发现它也是该方程的一个解．这样，二元一次方程的所有解与这条直线上的所有点就建立了一一对应关系． (1)由上述阅读材料可知，二元一次方程的解所表示的点组成的图象是一条直线，画它的图象至少需要描出___________个点； (2)方程在正整数范围内的解有___________； A． 2组    B． 3组    C． 4组    D． 5组 (3)已知一次函数和另一个一次函数．当a取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？若一定有解，请求出该解；若不一定有解，请说明理由． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 _____（填写序号）． 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为2，以下结论：①关于的方程的解为：②对于直线，当时，：③对于直线，当时，：④方程组的解为，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例1】 （24-25八年级下·安徽芜湖·期末）一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为____． 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和，轴，轴．则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．与m有关 2．（24-25八年级下·重庆渝中·月考）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是___________________． 3．（25-26八年级下·全国·周测）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)①求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． ②求的面积． (3)写出图象上到x轴的距离等于2的点的坐标：___________________________． 【拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值】 【例1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线，，（），若无论取何值，总取的最小值，则当______时，的值最大．（用含的代数式表示） 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为___． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）（1）如图1，结合函数y＝x﹣1的图象填空：y随x的增大而　 　，当﹣1≤x≤3时，该函数的最大值为　 　，最小值为　 　． （2）根据学习函数的经验来探究函数y＝|x﹣1|+1的最小值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 4 3 2 1 2 3 4 … ①若点A（a，n）和点B（b，n）是该函数图象上的两点，则a+b＝　 　； ②在平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； ③由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值为　 　． （3）请结合a的取值范围判断方程|x﹣1|+1＝a的解的个数．（直接写出结果） 【拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（    ） A． B．0 C．5 D．7 【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）定义：一次函数和一次函数互为 “相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为___________． 1．（2025·河北·二模）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当x<y时，max{x，y}＝y，例如max{﹣1﹣2}＝﹣1，max（3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线 的“不动点”． 例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为． 若直线 的“不动点”为 ，则 _________， _____________． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】 一次函数与一次函数称为一对和谐函数（其中，为常数，）．例如：与就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以与这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________ （2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________ 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”的结论依然成立． 【拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 1．（25-26八年级下·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A、B两点， (1)填空：点A的坐标（______，______），点B的坐标（______，______）； (2)画出函数的图象； (3)求的面积． (4)当时，直接写出x的取值范围______． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）近年来，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为_______，的解析式为_________； (2)求的解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ A基础训练 1．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 B 提高训练 6．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是______． 7．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的整数解的和是______． 8．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为______． 10．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是_______． C 培优训练 11．（25-26八年级下·北京·课前预习）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴与轴于点，，，与直线交于点．    (1)求的表达式； (2)求的表达式及点的坐标； (3)点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴于点，与直线交于点，，求点的坐标． 13．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 14．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)观察图象，直接写出不等式的解集是________． (2)求出点和点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集是________________． (4)观察图象，直接写出不等式组的解集是________． 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B．一次函数的图象经过B，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点D，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数与方程（组）、不等式重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值 拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题 拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合 知识点一：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释： 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数图象在一次函数图象的下方对应的的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数与图象的交点坐标为， ∴由图象可知，若，则． 故选：B． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据图象可以看出当时，直线在直线的上方，即可得到答案． 【详解】解：∵两条直线交点坐标为， 由图象可知，当时，直线在直线的上方，满足， ∴不等式的解集为． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·期末）下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 【例2】（2025·江西九江·一模）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—数的变化，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与轴的交点坐标，进入可得出第个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第，，个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第个等腰直角三角形直角边的长为，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第4个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·月考）已知一次函数的图象与轴交于点，下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象与轴的交点为 C．关于的方程的解是 D．关于的不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A．∵， ∴随的增大而减小， 原说法正确，但不符合题意； B．∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴图象与轴的交点为， 原说法正确，但不符合题意； C．∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的方程的解是， 原说法错误，符合题意； D．∵一次函数的图象与轴交于点， 结合图象可知：关于的不等式的解集是， 原说法正确，但不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是___________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解． 【详解】解：把点，点代入得，， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 图象不经过点；故①不符合题意； 由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意； 关于x的方程的解为，故③符合题意； 当时，，故④符合题意； 故答案为：②③④． 3．（25-26八年级下·北京延庆·期中）小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 【答案】(1) (2)0，1 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不能为0求解； （2）令求出的值，令求出的值； （3）将表格中的点在平面直角坐标系中描出来，用平滑的曲线连接即可； （4）的解为函数与交点的横坐标． 【详解】（1）解：， ． （2）解：令，则， ， ， ， ； 令，则， ． （3）解：如图所示． （4）解：函数的图象如图所示， 由图可得：交点坐标为，， ∴方程的解为或． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， 的坐标为， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为：． 【例2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．则直线的解析式为 ____________． 【答案】/ 【分析】由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，求出点，然后用待定系数法求解即可． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴点， 设直线解析式为：， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． (1)当时，求l的解析式； (2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； (3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3)当时，落在y轴上，当时，落在x轴上 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式； （2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围； （3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出中点坐标，最后分别求出时间t的值． 【详解】（1）解：当时，， ∴点P的坐标为， ∴， ∴直线l的表达式为：； （2）解：当直线l过点M时， 将代入直线l的表达式：得：， 解得：， ∴； 当直线l过点N时，同理可得：， 故t的取值范围为：； （3）解：如图，过点M作，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F分别为点M在坐标轴上的对称点． 过点M作轴于点D，则，． 对于直线， ∵当时，；当时，， ∴直线l与坐标轴的夹角为， ∴， ∴与均为等腰直角三角形， ∴， ∴，． ∴线段中点坐标为， 直线过点，则， 解得：， ∴． ∵，， ∴线段中点坐标为． 直线过点，则， 解得：， ∴． 故点M关于l的对称点，当时，落在y轴上，当时，落在x轴上． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·月考）一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为___________． 【答案】/ 【分析】根据图像可知，一次函数的图像过点，即当时，，由此得出关于的方程的解． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像经过点， 关于x的方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用一次函数图像解一元一次方程，利用数形结合是解题的关键． 1．（24-25八年级下·甘肃天水·月考）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则下列说法正确的个数是（    ） ①是方程的一个解；②方程组的解是； ③不等式的解集是；④不等式的解集是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：①∵一次函数的图象过点 ∴当时，， 即 ∴是方程的一个解，故①正确； ②∵一次函数与一次函数的图象交于点 ∴方程组的解是，故②错误； ③由图象可知，当时，直线在直线的上方 ∴不等式的解集是，故③正确； ④对于，当时，，即图象与轴交点为， 由图象可知，当时，，即 又当时， ∴当时，，故④正确． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线，分别是函数和的图象．    （1）关于x的方程的解为___________． （2）若，分别为方程和的解，则m，n的大小关系是m___________n． 【答案】 【分析】（1）由函数和的图象的交点横坐标为，从而可得答案； （2）如图，画直线，与直线，的交点分别为A，B，由图象可得：A的横坐标为，B的横坐标为，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵函数和的图象的交点横坐标为， ∴关于x的方程的解为为； 故答案为：； （2）如图，画直线，与直线，的交点分别为A，B， 由图象可得： A的横坐标为，B的横坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与一元一次方程的联系，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】 （24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点，根据图象可知的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．利用函数图象，写出函数图象在x轴上方且在y轴右侧所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点， 由图象可知的解集为， 故选：B． 【例2】 （25-26八年级下·江苏连云港·月考）如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】解：对于，当时，， 由函数图象可知，不等式的解集为． 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是，故②错误； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 故答案为：①④． 3．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)求点，的坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的性质． （1）找出特殊点，画出一次函数即可； （2）分别将、代入计算即可； （3）分别将、代入计算，进而根据函数图象可知的取值范围． 【详解】（1）解：当时，当时 画出一次函数的图象如图： （2）解：将代入中，得， 将代入中，得， 所以点的坐标为，点的坐标为； （3）解：令，则，解得， 令，则，解得， 所以当时，的取值范围为． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，直线与x轴交于，根据图象即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 【例2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据两条直线在交点两侧的位置回答即可． 【详解】解：函数和的图像交于点， 在直线右侧，直线在直线的上方，即， 不等式的解集为． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点为； ∴方程，即方程的解为；故选项A正确； 不等式的解集为，不等式的解集为，故不等式和不等式的解集相同；故选项B正确； 方程组的解集为，故选项C错误； 把代入，得，解得， ∴， ∴当，解得， ∴不等式组的解集是；故选项D正确； 故选C． 2．（24-25八年级下·四川成都·自主招生）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中；④关于的方程的解是；则正确的序号有___． 【答案】①④/④① 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 故④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，两直线的交点与二元一次方程组的解，判断一次函数的增减性，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 【答案】(1) (2)当时，y随着x的增大而增大 (3) 【分析】（1）理解题意，分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：在正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点． ∴，，， 当点P在上时，如图， 则，， ∴， ∴的面积 ； 当点P在上时，，如图， 则， ∴的面积 ； 综上所述： （2）解：由（1）得， 当时； 当时； 即经过点； 当时，； 当时； 即经过点； 如图： 观察函数图象，得当时，y随着x的增大而增大， （3）解：令，则， ∴， 解得； ∴经过， 令，则， ∴经过， 如图， 由图象知，当时，x的取值范围为， 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 【例2】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数的交点解二元一次方程组．将点代入可求得，进而可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，得：， 解得：， 点P的坐标为， 二元一次方程组即的解为：， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与方程和不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数与方程和不等式的关系逐项判断即可． 【详解】解：①：方程 的解为两函数图象交点的横坐标，即 ，正确． ②：当 时，函数 的图象在 图象下方，即的值小于 的值，正确． ③：不等式 的解集为图象在图象下方时的取值范围，即 ，而不是 ，错误． ④：方程组 的解为两函数图象交点坐标，是 ，正确． 错误的结论有1个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识点，解题的关键是掌握求直线交点的方法． 先利用待定系数法求出两个函数的解析式，联立解析式即可得出交点坐标． 【详解】解：假设的解析式为，将代入得， ， 解得， ∴； 假设的解析式为，将点和点代入得， ， 解得， ∴， 联立， 解得， 所以，交点的坐标为， 故答案为：． 3．（2026·山西运城·一模）阅读与思考 下面是玥玥同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程的解与一次函数图象的关系在初中学习阶段，我们了解到二元一次方程描述的是某个变化过程的瞬间，一个变量在某一瞬间有一个值，另一个变量也有唯一确定的值与之对应．而函数描述的是某一事物在变量间变化的完整过程．下面是我对二元一次方程的解与一次函数图象的关系研究过程．二元一次方程的解有，，，，，，，…，若将方程解中的x看作横坐标，y看作纵坐标，即，，，，…．在平面直角坐标系中分别将它们标出来，观察发现这些点恰好都在同一条直线上，反过来，在这条直线上任意选取一点，比如，将这个点的坐标作为一对未知数的值即，代入方程中，发现它也是该方程的一个解．这样，二元一次方程的所有解与这条直线上的所有点就建立了一一对应关系． (1)由上述阅读材料可知，二元一次方程的解所表示的点组成的图象是一条直线，画它的图象至少需要描出___________个点； (2)方程在正整数范围内的解有___________； A． 2组    B． 3组    C． 4组    D． 5组 (3)已知一次函数和另一个一次函数．当a取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？若一定有解，请求出该解；若不一定有解，请说明理由． 【答案】(1)两 (2)B (3)不一定有解，理由见解析 【详解】（1）解：二元一次方程的解所表示的点组成的图象是一条直线，画它的图象至少需要描出两个点； （2）解：方程整理得， ∵、都是正整数， ∴是偶数， ∴在正整数范围内的解有或或，共3组； （3）解：方程组， 由①得，代入②得，即， 当即时，， ∵； 当即时，方程组无解； ∴当时，方程组的解为， 当时，方程组无解； ∴方程组不一定有解． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得． 【详解】解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和， ∵直线和相交于点P（2，3）， ∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3）， ∴方程组的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 _____（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据两直线的交点坐标判断两函数值是否相等；根据直线与坐标轴的交点坐标，判断三角形的形状；根据直线与x轴的交点坐标，判断交点是否为定点；根据直线的上、下位置关系，判断不等式的解集是否正确． 【详解】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，两函数值相等，故①正确； ∵在直线y＝﹣x+m中，当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝m， ∴直线与坐标轴的交点离原点的距离都等于m， 即直线y＝﹣x+m与坐标轴的围成等腰直角三角形，故②正确； ∵直线y＝nx+4n（n≠0）中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线与x轴交于定点（﹣4，0），故③正确； ∵由图象可得，当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方， ∴x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＜nx+4n的解集，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数的性，两直线的交点问题，直线与坐标轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为2，以下结论：①关于的方程的解为：②对于直线，当时，：③对于直线，当时，：④方程组的解为，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件得到C(2，)，把C(2，)代入y=kx+2得到y=-x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=3，求得B(0，2)，A(3，0)，于是得到结论． 【详解】解：∵点C的横坐标为2， ∴当x=2时，y=x=， ∴C(2，)， 把C(2，)代入y=kx+2得，k=-， ∴y=-x+2， 当x=0时，y=2，当y=0时，x=3， ∴B(0，2)，A(3，0)， ∴①关于x的方程kx+2=0的解为x=3，正确； ②对于直线y=kx+2，当x＜3时，y＞0，正确； ③对于直线y=kx+2，当x＞0时，y＜2，故③错误； ④∵C(2，)， ∴方程组的解为，正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与二元一次方程组，以及一次函数与不等式等知识，数形结合是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________． 【答案】或 【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可． 【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A， ∴点A坐标（－1，2）， ∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点， ∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）． ∴， 解得 故答案为或． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例1】 （24-25八年级下·安徽芜湖·期末）一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，结合一次函数的图象求出图象与x轴的交点以及y轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵在中，令，则， ， ， 令，则， ∴一次函数的图象与x轴的交点，与y轴的交点， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为____． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的求法，解题的关键是综合运用相关知识进行推理． 过点B作轴于C，先得出为等腰直角三角形，再推出为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，的长，继而可得出结果． 【详解】解：过点作轴于， ∵点在直线上，设点的坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 又点的坐标为， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的面积=． 故答案为：1 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和，轴，轴．则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．与m有关 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据题意求得点、的纵坐标，据此可以求得、的长度，然后由直角三角形的面积公式求得的面积． 【详解】解：∵点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和， ∴； 又轴，轴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·重庆渝中·月考）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是___________________． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求一次函数围成的三角形面积等．先求出点的坐标，求出直线与坐标轴的交点坐标，得出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，根据一次函数平移的性质得出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，联立方程组求出直线与直线的交点的坐标，根据即可求解． 【详解】解：∵直线：经过点， 故， 解得：， ∴， ∵直线与坐标轴交于点、， 故当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、在直线：上， ∴把，，代入直线得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 故当时，， ∴， 将直线向下平移个单位得到直线：， ∵直线交轴于点， 故当时，， ∴， ∵直线与直线交于点， 故联立方程组：， 解得：， ∴交点的坐标为， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·周测）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)①求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． ②求的面积． (3)写出图象上到x轴的距离等于2的点的坐标：___________________________． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②4 (3)和 【分析】（1）一次函数图象是直线，只需找到两个点，连接两点即可画出图象； （2）①求与轴交点时令，求与轴交点时令，代入解析式求解坐标； ②是直角三角形，以为直角边，用直角三角形面积公式计算； （3）点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，即，代入函数解析式求出对应的值，得到点的坐标． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则图象如图所示． （2）解：①由（1）可知，． ②∵，， ∴，， ∴． （3）解：点到轴距离为，即，分两种情况： 当时，，得点； 当时，，得点． 故坐标为：和． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、坐标与图形面积的计算，掌握一次函数图象的两点画法、坐标轴交点的求法、点到 轴距离与纵坐标的关系是解题的关键． 【拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值】 【例1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线，，（），若无论取何值，总取的最小值，则当______时，的值最大．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题关键是结合题意作出函数图像，根据图像分析判断．依据题意求得三条直线的交点，再利用题意求得值，最后利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知三条直线两两相交， 由，得； 由，得； 由，得， ∴三个交点为，，，如图， 当时，的值最小， ∵无论取何值，总取的最小值， ∴， ∵的值随的增大而增大， ∴当时，的值最大为； 当时，的值最小， ∵无论取何值，总取的最小值， ∴， ∵的值随的增大而减小， ∴当时，y的值最大为． 综上所述，当时，的值最大． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点D作轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点D的纵坐标，由此即可得． 【详解】解：对于直线， 当时，，解得，即，， 当时，y＝﹣5，即，， 是等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短， 则是等腰直角三角形， 过点D作轴于点E， ∴点E是的中点（等腰三角形的三线合一）， ∴点E的坐标为，即为， ∴点D的横坐标为， 将代入直线得， ， 则点D的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键． 2．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为___． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数，分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得， ∴， 即最大值与最小值之差为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）（1）如图1，结合函数y＝x﹣1的图象填空：y随x的增大而　 　，当﹣1≤x≤3时，该函数的最大值为　 　，最小值为　 　． （2）根据学习函数的经验来探究函数y＝|x﹣1|+1的最小值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 4 3 2 1 2 3 4 … ①若点A（a，n）和点B（b，n）是该函数图象上的两点，则a+b＝　 　； ②在平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； ③由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值为　 　． （3）请结合a的取值范围判断方程|x﹣1|+1＝a的解的个数．（直接写出结果） 【答案】（1）增大，2，-2；（2）①2；②见解析；③1；（3）见解析 【分析】（1）k=1＞0，故y随x的增大而增大，x=-1时，y取得最小值为-2，当x=3时，y取得最大值为：2，即可求解； （2）①由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x轴的和为2，即可求解； ②通过描点画出如下图象； ③从图象看，函数的最小值为1； （3）从图象看，当a＜1时，原方程无解，当a=1时，原方程有1个解，当a＞1时，原方程有两个不相等的解（或有两个解）． 【详解】解：（1）k=1＞0，故y随x的增大而增大， x=-1时，y取得最小值为-2，当x=3时，y取得最大值为：2， 故答案为：增大，2，-2； （2）①由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x轴的和为2， 故a+b=2， 故答案为：2； ②通过描点画出如下图象： ③从图象看，函数的最小值为1； （3）从图象看，当a＜1时，原方程无解， 当a=1时，原方程有1个解， 当a＞1时，原方程有两个不相等的解（或有两个解）． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，要求学生根据题设条件，确定函数的图象，再根据图象上点的特征，完成相关数据的求解． 【拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（    ） A． B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查一次函数，联立与成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据的意义即可得出函数的最小值． 【详解】解：联立与得， 解得， 当时，， ； 当时，， ； 综上可知，该函数的最小值是5， 故选C． 【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）定义：一次函数和一次函数互为 “相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、新定义函数等知识点，掌握“相反函数”的定义是解题的关键． 根据“相反函数”的定义写出的“相反函数”，然后与联立即可解答． 【详解】解：由“相反函数”可得函数的“相反函数”为， 则有：，解得：， 所以点的坐标为． 故答案为． 1．（2025·河北·二模）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当x<y时，max{x，y}＝y，例如max{﹣1﹣2}＝﹣1，max（3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令3x=x+2，解得x=1，画出直线y=3x和直线y=x+2的图象即可判断． 【详解】解：令3x=x+2，解得x=1， 直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x>1时，x+2>3x； 当x>1时，3x>x+2， 故关于x的函数y=max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线 的“不动点”． 例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为． 若直线 的“不动点”为 ，则 _________， _____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，根据不动点的定义，得到是直线与直线的交点，进而求出的值，再把点代入一次函数解析式求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：是直线与直线的交点， ∴， ∴， ∴点为， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】 一次函数与一次函数称为一对和谐函数（其中，为常数，）．例如：与就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以与这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________ （2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________ 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”的结论依然成立． 【答案】（1）；（2）x轴；（3）见解析 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到直线与直线，直线与坐标轴的交点的 坐标是解题的关键． （1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）由直线与坐标轴的交点即可判断对称轴是x轴； （3）求得直线与坐标轴的交点即证明结论． 【详解】（1）解：由， 解得：， ∴这对和谐函数图象的交点坐标是； （2）解：将代入，则， ∴直线与y轴交点为， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， ∵点与点关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是在x轴上， ∴可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴； （3）证明：由， 解得：， ∴谐函数与（其中，为常数，）图象交于x轴上一点， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， ∵点与点关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是在x轴上， ∴一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”． 【拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的平移规律即可得出结果． 【详解】解：函数的图象向左移动一个单位后， 即为函数的图象，该图象过点， 且函数图像上升， 故关于的不等式的解集为． 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用与轴交于且递减，得图像在轴上方时，解集为； （）根据两直线交点横坐标为，得交点左侧在下 方，解集为； （）解：由交点且递减，得函数值小于时；解：由与轴交于，递增，得；取两者公共部分，不等式组解集为． 【详解】（1）解：不等式，表示的图像在轴上方， ∵与轴交于，且随增大而减小， ∴图像在轴上方时； （2）解：不等式，表示的图像在图像下方， ∵两直线交点的横坐标为，交点左侧满足在下方， ∴解集为； （3）解：∵：表示函数值小于，交点，递减， ∴解集为； ∵：表示函数值大于，与轴交于，递增， ∴解集为； ∴两个解集的公共部分为，即不等式组的解集． 1．（25-26八年级下·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； （2）解：对于， 当时，， 把点代入得：， 解得：， 如图， 由题意知，当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为且． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A、B两点， (1)填空：点A的坐标（______，______），点B的坐标（______，______）； (2)画出函数的图象； (3)求的面积． (4)当时，直接写出x的取值范围______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据解析式求出交点坐标； （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，画出直线即可； （3）根据三角形的面积公式即可求出三角形的面积； （4）根据解析式求出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：根据点A的坐标为，点B的坐标为，画出图象如下： （3）解：的面积为； （4）解：当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当时，． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）近年来，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为_______，的解析式为_________； (2)求的解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1)30， (2) (3)小时 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数是解题的关键． （1）利用小时所充的电池电量除以即可求解；利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）将代入两个函数解析式中，计算差值即可． 【详解】（1）解：， 设函数解析式为， 将代入， ， 解得， ； （2）解：设（） 过点和 ， ； （3）解：将代入中得， 将代入中得， ． 答：快速充电器比普通充电器少用时间为小时． A基础训练 1．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式，数形结合，不等式的解集为函数的图象在函数的图象的上方时x的范围，据此即可求解． 【详解】解：不等式表示函数的函数值大于函数的函数值， 即函数的图象在函数的图象的上方， 由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的上方， 故不等式的解集是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征是解题的关键． 由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到，然后根据在第四象限求得当时，存在点P的影像点Q，然后求解作答即可． 【详解】解：由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴当时，存在点P的影像点Q， ∵， ∴的最大值为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程的解． 【详解】解：当时，，解得，则， 当时，， 关于的方程的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键． 5．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D B 提高训练 6．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系；根据表格中的数据可知：当时，，然后根据方程，从而可以求得的值． 【详解】解：∵当时，， ∴ ∵ ∴ 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的整数解的和是______． 【答案】 【分析】根据两图象的交点，求出图象中在下面的部分中的范围即可． 【详解】解：， ， 函数和的图象相交于，两点． 根据图象可以看出，当时，的取值范围是，即当时，； 在范围内的整数有，， 的整数解的和是． 8．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图像的交点问题，三角形的面积，\如图，设点的坐标为，可得，根据函数图像交点的意义可得，再根据，继而得到，求解即可．解题的关键是正确理解一次函数图像的交点的意义：一次函数图像的交点坐标即是由函数解析式所构成的方程组的解． 【详解】解：如图，设点的坐标为， ∵点坐标为， ∴， ∵方程组的解为， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 10．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是_______． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据函数图象结合一次函数性质逐项判断，由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①，由两函数图像的交点情况可判断②，根据函数图象结合一次函数性质可判断③，利用特殊值法可判断④，即可解题． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， ∴，即，故②正确； ③∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 综上所述，正确的是①②． 故答案为：①②． C 培优训练 11．（25-26八年级下·北京·课前预习）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点； (2)当时， (3)； 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴ 点； 令，则， ∴ 点； （2）解：解不等式： 由， 即 解(1)得：； 解(2)得：． ∴ 当时，； （3）解：如图， 由图可知： 方程的解为； 不等式的解集为． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴与轴于点，，，与直线交于点．    (1)求的表达式； (2)求的表达式及点的坐标； (3)点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴于点，与直线交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)；点坐标为； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及解一元一次方程，求得函数的解析式． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据待定系数法求得的表达式，进而可求得的坐标； （3）点坐标为，点坐标为，得出的长即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， ∴， ∴． （2）解：， ，把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴点坐标为． （3）解：点横坐标为，点在上， ∴点坐标为， 点在上， ∴点坐标为， ∴， ， ， ∴， ∴， 当时 ∴点坐标为． 13．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先联立得方程组，再解方程组即可； （2）先求出点和，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意联立，得， 解得， 所以点D的坐标为． （2）解：直线，令，则， 所以点． 直线，令，则， 所以点， 所以， 所以． 14．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)观察图象，直接写出不等式的解集是________． (2)求出点和点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集是________________． (4)观察图象，直接写出不等式组的解集是________． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象可得随x增大而增大，再根据函数的图象过点，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出两函数解析式，再分别求出两函数的函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （3）根据函数图象找到函数的函数值大于等于0时的取值范围即可； （4）根据函数图象找到函数的图象在函数的图象的下方，且二者都在x轴下方时的自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，函数中，随x增大而增大， ∵函数的图象过点， ∴不等式的解集是； （2）解：∵函数和的图象交于点， ∴，， ∴， ∴，， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； （3）解：由函数图象可得不等式的解集是； （4）解：由函数图象可得不等式组的解集是 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B．一次函数的图象经过B，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点D，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）先得出点B的坐标，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式得出点D的坐标，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可令，则有， ∴， ∵一次函数的图象经过B，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：由（1）可令，则有，解得， ∴， 令，则有，解得：， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $