23.1一次函数的概念.（4知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

23.1一次函数的概念 （4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 正比例函数的定义】 1 【题型2 一次函数的概念】 2 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 4 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 7 【题型5 列一次函数解析式并求值】 8 · 掌握一次函数、正比例函数的定义及解析式特征，能准确判断、区分两类函数。 · 明确一次函数与正比例函数的联系和区别，掌握二者从属关系。 · 熟练掌握一次函数解析式的列写方法，能精准求解自变量和对应函数值。 · 能结合实际场景，确定自变量的合理取值范围。03 知识•梳理 知识点1：正比例函数的概念 一般地，形如（ 是常数，）的函数，叫做正比例函数。其中叫做比例系数。 核心特征：① 解析式为单项式形式，无常数项；② 自变量的次数为1；③ 比例系数不为0。 知识点2：一次函数的概念 一般地，形如（ 是常数，）的函数，叫做一次函数。 核心特征：① 自变量的最高次数为1；② 为常数；③ 一次项系数。 知识点3：一次函数与正比例函数的关系 当一次函数 中 时，解析式变为 ，即正比例函数是特殊的一次函数。 从属关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 知识点4：自变量与函数值 在一次函数（）中，为自变量，为的函数。给定一个自变量的值，有唯一对应的值（函数值）；已知函数值可反向求解自变量的值。实际问题中，自变量需满足现实意义，取值范围有限制。 04 题型•汇总 【题型1 正比例函数的定义】 解题核心技巧 严格满足三要素：① 形式为；② 为常数且；③ 自变量次数为1，无常数项、分母、根号。 判定步骤 1. 化简解析式，去除括号、移项整理；2. 检查次数是否为1；3. 检查是否无常数项；4. 检查系数不为0。 【典例1】．下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 正比例函数需满足形如（为常数且）， A选项是反比例函数，不符合定义； B选项，其中，符合正比例函数定义； C选项含常数项，属于一次函数，不符合正比例函数定义； D选项是二次函数，的次数为2，不符合定义． 【变式1】．当_____．时，函数是正比例函数． 【答案】 2 【分析】先将函数解析式整理为一般形式，再根据正比例函数的定义列关系式求解即可 【详解】解：先整理函数解析式，， 函数 是正比例函数， ， 解得 【变式2】．已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得， 解得， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得． 【变式3】．已知y与x成正比例关系，且时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，利用待定系数法求解析式； （2）将代入解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例关系， ∴设， 当时，， 代入得：． y与x的函数解析式为：； （2）当时，， ∴． 【题型2 一次函数的概念】 解题核心技巧 抓住一次函数唯一标准：（），只需满足次数为1、一次项系数不为0，有无常数项均可。 判定步骤 1. 化简式子；2. 确认自变量最高次数为1；3. 确认一次项系数不为0；4. 排除分式、根式、高次函数。 【典例2】．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义．判断函数是不是一次函数或正比例函数的步骤：（1）等号两边是否为整式，（2）是否具有（k，b为常数，且）的形式，若是，则为一次函数，否则不是一次函数．当时，则为正比例函数． 【详解】解：A项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求； B项等号右边不是整式，不符合一次函数要求； C项符合一次函数要求，符合题意； D项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求． 【变式1】．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③不是一次函数；④不是一次函数． 其中一次函数的个数是2个． 【变式2】．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如（，、为常数）的函数叫做一次函数，对给出的函数逐一判断即可. 【详解】解：①符合一次函数的定义，符合题意； ②不符合一次函数的定义，不符合题意； ③对整理得，符合一次函数的定义，符合题意； ④是反比例函数，不符合一次函数的定义，不符合题意； ⑤是二次函数，不符合一次函数的定义，不符合题意. 故填①③． 【变式3】．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】(1)，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数 (2)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 【详解】（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 解题核心技巧 利用定义列方程+不等式，两个条件缺一不可：自变量次数=1、一次项系数≠0；正比例函数额外要求：常数项=0。 标准解题步骤 1. 令自变量次数等于1，列方程求参数；2. 令一次项系数不等于0，排除增根；3. 正比例函数需额外令常数项为0。 【典例3】．已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 【变式1】．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 【变式2】．当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 【变式3】．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 解题核心技巧 本质为代数代入计算，知x求y直接代，知y求x解方程，计算细心即可。 解题步骤 1. 知自变量：将数值代入解析式，计算化简得函数值；2. 知函数值：将值代入，得到关于的一元一次方程，求解即可。 【典例4】．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】解：当时，． 【变式1】．点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ． 【变式2】．（1）当时，函数的值为______； （2）若当______时，函数的值为0； （3）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多，这个多边形的边数是__________． 【答案】 5 / 7 【分析】（1）将自变量取值代入函数解析式计算即可； （2）令函数值为解一元一次方程即可； （3）根据多边形内角和定理与外角和定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）将代入得； （2）令，得方程， 移项得， 系数化为得； （3）设这个多边形的边数为，根据多边形外角和为，内角和公式为，列方程得， 方程两边同除以得， 解得 【变式3】．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 【答案】17 【分析】把代入解答即可． 【详解】解：把代入得： ， 即当温度时，电阻． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 解题核心技巧 三步走：找关系→列解析式→定范围→代值计算，核心是找出题目中的等量关系，转化为模型。 标准解题步骤 1. 设：设自变量和函数；2. 列：根据题目数量关系，列出一次函数解析式；3. 定：结合实际意义，确定自变量取值范围；4. 求：根据题意代入数值，求出对应函数值或自变量值。 【典例5】．如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列一次函数关系式，一次函数的应用，设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的矩形的周长为，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 矩形的周长为， ， ， 即直线的函数表达式是， 故选择：B． 【变式1】．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 【变式2】．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)当为整数，且时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当为整数，且时，选择甲商场划算 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次不等式的应用. （1）根据两种不同的优惠方式列函数关系式即可. （2）当时，，，则，当时，且为整数，再分三种情况求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：当时，且为整数， ，. （2）解：当时，，，则， 当时，且为整数， 分三种情况，①，即， 解得时， 当时，选择乙商场划算； ②当，即， 解得时，选择两家商场一样划算； ③当，即， 解得时，选择甲商场划算； 综上：当，为整数时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当，为整数时，选择甲商场划算． 【变式3】．阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 【答案】(1)且为整数 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出与的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据总费用品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数计算即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，从而得到的最大值即可． 【详解】（1）解：， 与的函数关系为且为整数． （2）根据题意，得，即， 解得． 答：最多可购进品牌红富士苹果箱． 05 过关•检测 1．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 2．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 3．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 5．已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：当x增加3时，y增加6， ， 即， ， ， 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，已知，，点是直线在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为，的面积为，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据点、的坐标求出、的长度，再设出点的坐标，然后分别表示出和的面积，最后求出它们面积的比值． 【详解】解：∵，， ∴，， 因为点是直线在第一象限内的图象上一个动点， 所以可设， ∵的面积为，的面积为， ∴，， ∴． 7．根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得． ∴当时，得． 故选：C． 8．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象及性质，点坐标平移，一元一次方程等．根据题意将点N表示出，再代入中即可求出和点N的坐标，再利用一次函数图象及性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度，得到点N， ∴点N的坐标为：， ∵点N在直线上， ∴，解得：， ∴，， ∵一次函数的图象与线段有公共点， ∴将点代入中得：， 将点代入中得：， ∴， 故选：A． 9．定义为一次函数的特征数，若特征数是的一次函数为正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据题意，得出为正比例函数，即可求出的值． 【详解】解：若特征数是的一次函数为正比例函数， 即为正比例函数， 故， 得． 10．当____________时，函数是正比例函数． 【答案】3 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足的次数为且系数不为这两个核心条件是解题的关键． 根据正比例函数的定义列出关于的方程与不等式，求解得到符合要求的值． 【详解】解：由正比例函数定义，得， 解得，即或， ∵系数， ∴， 因此． 当时，函数为，符合正比例函数定义． 故答案为：． 11．要使是关于的一次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查一次函数的定义，由一次函数定义，得 且，解得或，然后代入判断即可，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由一次函数定义，得 且， 解得或， 当 时，，不符合条件； 当时，，符合条件； ∴， 故答案为：． 12．若点在函数的图象上，则a的值是________． 【答案】2 【分析】将点代入计算即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 13．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【答案】 【分析】将原解析式变形为关于的一次式，根据对任意实数等式恒成立，可得的系数为0，计算即可得到定点坐标． 【详解】解：， ， 对任意实数，直线经过一个定点， ，解得， 将代入得， 这个定点为． 14．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 15．某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【详解】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 16．某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 17．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 18．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 19．在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 【答案】(1) (2)安排方案有4种，见解析 【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可； （2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为， 则有， 整理得，， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x， 由题意，得， 解这个不等式组，得， 因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8． 所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆． 【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 20．某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)每月的乘车人数，公交车每月的利润 (2) (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元 【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案； （2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式； （3）把x=4000代入函数关系式求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润． 故答案为∶ 每月的乘车人数，公交车每月的利润． （2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元， 每位乘客坐一次车需要（元， 即函数关系式为： ． （3）解：当时， （元． 答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元． 【点睛】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键． 21．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 【答案】(1)，，； (2)乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米． 【分析】（1）由函数图象可以分别求出甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒，就可以求出乙追上甲的时间a的值，b表示甲跑完全程时甲、乙之间的距离，c表示乙出发后多少时间，甲走完全程就用甲走完全程的时间−2就可以得出结论； （2）分别求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把代入即可解出x值． 【详解】（1）解：由题意及函数图象可以得出： 甲的速度为：（米/秒），乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）， （秒）； （米）， （秒）， 所以． （2）设秒和秒的解析式分别为和， 把代入得解得， 把代入得解得， 秒解析式：，秒的解析式， 当时，则， 所以在乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的运用，清晰准确从图像获得信息是解题的关键． 22．经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下： 公司 器材租赁费（单位：元） 人工费用（单位：元/平方米） A 0 0.5 B 40 0.3 C 298 0 （1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是　 　，　 　． 若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　． （2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围． 【答案】（1）y1＝0.5x，y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860； 860≤x≤1000；（2）300≤a≤332． 【分析】（1）根据题意，A公司人工费用每平方米0.5元，可得，y1＝0.5x；B公司需要器材租赁费40元，人工费用每平方米0.3元，则y2＝0.3x+40；若选择公司A最省钱，则需要让A公司的收费金额小于等于B公司和C公司的费用，列出不等式组进行求解；依此类推． （2）已知消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，由此可列出不等式组，进行求解． 【详解】解：（1）由题意可得，y1＝0.5x，y2＝0.3x+40， 若选择公司A最省钱，则有 ， 解得x≤200， ∵0＜x≤1000， ∴0＜x≤200； 若选择公司B最省钱，则有， 解得200≤x≤860； ∵0＜x≤1000， ∴200≤x≤860； 若选择公司C最省钱，则有 ， 解得x≥860， ∵0＜x≤1000， ∴860≤x≤1000． 故答案为：y1＝0.5x；y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000． （2）根据题意可得，推出优惠活动后，y1＝0.5a+0.25（x﹣a）＝0.25x+0.25a， 则有， 解得300≤a≤332． ∴此时a的取值范围为：300≤a≤332． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1一次函数的概念 （4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 正比例函数的定义】 1 【题型2 一次函数的概念】 2 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 3 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 3 【题型5 列一次函数解析式并求值】 4 · 掌握一次函数、正比例函数的定义及解析式特征，能准确判断、区分两类函数。 · 明确一次函数与正比例函数的联系和区别，掌握二者从属关系。 · 熟练掌握一次函数解析式的列写方法，能精准求解自变量和对应函数值。 · 能结合实际场景，确定自变量的合理取值范围。03 知识•梳理 知识点1：正比例函数的概念 一般地，形如（ 是常数，）的函数，叫做正比例函数。其中叫做比例系数。 核心特征：① 解析式为单项式形式，无常数项；② 自变量的次数为1；③ 比例系数不为0。 知识点2：一次函数的概念 一般地，形如（ 是常数，）的函数，叫做一次函数。 核心特征：① 自变量的最高次数为1；② 为常数；③ 一次项系数。 知识点3：一次函数与正比例函数的关系 当一次函数 中 时，解析式变为 ，即正比例函数是特殊的一次函数。 从属关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 知识点4：自变量与函数值 在一次函数（）中，为自变量，为的函数。给定一个自变量的值，有唯一对应的值（函数值）；已知函数值可反向求解自变量的值。实际问题中，自变量需满足现实意义，取值范围有限制。 04 题型•汇总 【题型1 正比例函数的定义】 解题核心技巧 严格满足三要素：① 形式为；② 为常数且；③ 自变量次数为1，无常数项、分母、根号。 判定步骤 1. 化简解析式，去除括号、移项整理；2. 检查次数是否为1；3. 检查是否无常数项；4. 检查系数不为0。 【典例1】．下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．当_____．时，函数是正比例函数． 【变式2】．已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【变式3】．已知y与x成正比例关系，且时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【题型2 一次函数的概念】 解题核心技巧 抓住一次函数唯一标准：（），只需满足次数为1、一次项系数不为0，有无常数项均可。 判定步骤 1. 化简式子；2. 确认自变量最高次数为1；3. 确认一次项系数不为0；4. 排除分式、根式、高次函数。 【典例2】．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【变式3】．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 解题核心技巧 利用定义列方程+不等式，两个条件缺一不可：自变量次数=1、一次项系数≠0；正比例函数额外要求：常数项=0。 标准解题步骤 1. 令自变量次数等于1，列方程求参数；2. 令一次项系数不等于0，排除增根；3. 正比例函数需额外令常数项为0。 【典例3】．已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．当________时，函数是关于x的一次函数． 【变式3】．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 解题核心技巧 本质为代数代入计算，知x求y直接代，知y求x解方程，计算细心即可。 解题步骤 1. 知自变量：将数值代入解析式，计算化简得函数值；2. 知函数值：将值代入，得到关于的一元一次方程，求解即可。 【典例4】．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【变式1】．点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 【变式2】．（1）当时，函数的值为______； （2）若当______时，函数的值为0； （3）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多，这个多边形的边数是__________． 【变式3】．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 解题核心技巧 三步走：找关系→列解析式→定范围→代值计算，核心是找出题目中的等量关系，转化为模型。 标准解题步骤 1. 设：设自变量和函数；2. 列：根据题目数量关系，列出一次函数解析式；3. 定：结合实际意义，确定自变量取值范围；4. 求：根据题意代入数值，求出对应函数值或自变量值。 【典例5】．如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【变式2】．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【变式3】．阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 05 过关•检测 1．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 2．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 3．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 4．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 6．在平面直角坐标系中，已知，，点是直线在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为，的面积为，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 7．根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．定义为一次函数的特征数，若特征数是的一次函数为正比例函数，则的值是_____． 10．当____________时，函数是正比例函数． 11．要使是关于的一次函数，则的值为______． 12．若点在函数的图象上，则a的值是________． 13．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 14．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 15．某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 16．某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 17．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 18．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 19．在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 20．某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 21．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 22．经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下： 公司 器材租赁费（单位：元） 人工费用（单位：元/平方米） A 0 0.5 B 40 0.3 C 298 0 （1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是　 　，　 　． 若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　． （2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $