专题01 一次函数的图象和性质重难点题型专训（5个知识点+16大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

本讲义聚焦一次函数的图象和性质核心知识点，构建从定义（含正比例函数特例）到表达式确定（待定系数法），再到图像绘制与特征（直线、象限、交点），最后到性质应用（增减性、平移等）的递进式学习支架。 资料通过16大题型分层训练与4类拓展（平移、对称等），以经典例题结合实际情境（如出租车收费）培养模型意识，通过规律探究题发展推理能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与数学思维。

专题01 一次函数的图象和性质重难点题型专训 （5个知识点+16大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 识别一次函数 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 正比例函数的图象 题型七 正比例函数的性质 题型八 判断一次函数的图象 题型九 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十 已知函数经过的象限求参数范围 题型十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十二 画一次函数图象 题型十三 根据一次函数增减性求参数 题型十四 比较一次函数值的大小 题型十五 求一次函数解析式 题型十六 一次函数的规律探究问题 拓展训练一 一次函数的平移问题 拓展训练二 一次函数的对称问题 拓展训练三 一次函数的旋转问题 拓展训练四 一次函数的最值问题 知识点一：正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正比例函数，根据正比例函数定义，形如（为常数且），自变量的次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，含常数项，不符合的形式，故错误； B．，符合（），是正比例函数，正确； C．，自变量次数为2，不符合次数为1的条件，错误； D．，自变量次数为，不符合次数为1的条件，错误． 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）若与成正比例，当时，，则与的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题实质是考查正比例函数的代值求系数，比较容易．根据成正比例的条件设关系式，再把数值代入求解则可． 【详解】解：因为与成正比例， 所以， 将，代入求得， 故与的函数关系式为． 故答案为：． 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 1．（2025·安徽合肥·二模）已知直线y=-4x-6经过点（m，n），且2m-7n≤0，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数解析式确定m与n之间的数量关系，根据不等式的性质确定m和n的范围，最后根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵直线y=-4x-6经过点（m，n）， ∴n=-4m-6． ∴． ∵2m-7n≤0， ∴，． ∴，． ∴，n可能是正数，0或者负数． ∵2m-7n≤0， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______． 【答案】y=1.1x+2.7 【分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的费用即可得出． 【详解】解：依据题意得：y=6+1.1（x-3）=1.1x+2.7， 故答案为：y=1.1x+2.7． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到数量关系是本题关键． 知识点三：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象性质是解题的关键．根据函数的图象过原点，且即可判断出函数形状． 【详解】解：中，当时，， 函数图象过原点， ∵， 随的增大而增大，从左到右呈上升趋势， 综上所述，只有A选项符合， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于_____． 【答案】-4 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a-b=-2，代入2（3a-b）即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上， ∴b=3a+2， 则3a-b=-2． ∴6a-2b=2（3a-b）=-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式． 知识点四：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 1．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、三象限， 故A，B，C选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、二、四象限， 故D选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查饿了正比例函数的性质，根据直线越靠近轴越大，即可判定求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线越靠近轴越大，且由图象可知为正数， ∴， 故答案为：． 知识点五：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，过原点的两条直线分别为，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，过点，作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，依次进行下去，则点的坐标________．    【答案】 【分析】根据函数解析式求出各点坐标，确定点所在位置后，可根据坐标规律确定点的坐标． 【详解】∵过点作轴的垂线与：交于点， ∴点， 把代入：得：， ∴，即， 把代入得：， ∴， 把代入得：， ∴，即， 同理可得：，，，，．．． ∵ ∴点在第三象限，且第三象限点的坐标特征为， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查两条直线相交或平行的问题、一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据各点的坐标特征找出点的变化规律是解题的关键． 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 【详解】解：根据正比例函数的定义：， 解得：， 又， 故． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）一物体从米高处自由落下与运动时间的平方成正比例，当秒时，米；当米时， _________． 【答案】3 【分析】设，根据“当秒时，米”求出的值，当时，得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 当秒时，米， ， 解得：， ， 当米时，， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，根据题意得出的函数关系式，是解题的关键． 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据题意求出正比例函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 解得， ， 将代入， 解得． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是关于的正比例函数，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足常数项为且比例系数不为是解题的关键． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），即常数项为零且比例系数非零． 【详解】解：∵ 是正比例函数，所以常数项 且比例系数 由 得 ， ∴或 ∵，即 ， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)当自变量满足：，求对应函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数， （2）根据（1）所求，先求出、时，对应的函数值，再根据解析式可得y随x的增大而减小，即可得出函数值的取值范围． 【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， 当时，， 当时，， ∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，． 【经典例题二 识别一次函数】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【详解】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【详解】解：正比例函数的形式为，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 1．（2025八年级·广东深圳·模拟预测）对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，新定义，理解直角距离的含义是解题的关键．根据直角距离的定义，点P到直线的直角距离即为P到该直线上所有点的直角距离的最小值．设直线上的点Q坐标为，计算，可知当时，取到最小值0，此时最小，即可得解． 【详解】解：设直线上的点Q坐标为， 则， 当时，取得最小值0，此时直角距离最小为2， 到直线的直角距离为2， 故选：． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 【答案】6 【分析】根据题中新定义得到一次函数表达式，再利用正比例函数的定义，得到常数项为，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正比例函数为， ， 解得． 3．（2025九年级·全国·专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）         （2）                 （3） （4）          （5）    （6） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）是一次函数，（2）是正比例函数 【分析】首先对各选项中的函数关系式进行化简整理，结合一次函数的定义进行分析并作出判断；然后再对整理好的解析式根据正比例函数的定义进行分析判断． 【详解】(1)，∵，，∴ 此函数是一次函数； (2)，∵，，∴ 此函数是一次函数，也是正比例函数； (3) ，∵，，∴ 此函数是一次函数； (4)，∵，，∴ 此函数是一次函数； (5)，∵，，∴ 此函数是一次函数； (6)由得：，它与一次函数的形式不符，此函数不是一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，掌握相关函数的定义是解题的关键． 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】 （25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一次函数的定义列出关于的方程和不等式． 根据一次函数（、为常数，）的定义，可得且，解方程组和不等式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的一次函数， 的指数 ，且系数 ． 解方程 得 ， ． 又，即 ， ． 故答案为： 1．（2025八年级下·全国·专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意得出，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， ， ， ， 可以是5，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知 是关于x的一次函数，则______________，当时， y的取值范围是________________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 根据一次函数的定义，函数中的指数必须为1，且系数，由此求出的值；再代入得到一次函数解析式，根据的取值范围，利用一次函数的性质求的取值范围． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴且， 解得：或且， ∴； 此时函数为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； 故答案为，． 3．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数y随x的增大而增大，可知，分别将点M和各选项代入，求出k的值，即可确定． 【详解】解：∵一次函数过 ∴把代入得，即 又∵随的增大而增大 ∴ A、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 B、将代入得，把代入得，化简得，不满足且，舍去 C、将代入得，把代入得，化简得，解得，满足条件 D、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，对于函数，当___________时，． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，将代入解析式求解，即可解题． 【详解】解：当时，， 则或， 解得或； 故答案为：或． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 … y … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5， ∴当时，， 当时，， 故算错的函数值为； 故选C． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】36 【分析】本题考查了一次函数的性质，因式分解，代数式求值，掌握将点代入函数解析式得到关系式，通过因式分解简化代数式求值是解题的关键． 将点代入一次函数解析式，得到和的值，对所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】解：一次函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数的图象如图所示． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数的定义及函数图象上点的特征，解题关键是熟练掌握一次函数的定义，掌握点坐标与方程的关系． （1）根据一次函数的定义得，一次函数的图象过第一、三、四象限得，进而求解． （2）将点，代入一次函数解析式求解． 【详解】（1）解：∵关于的一次函数的图象过第一、三、四象限． ∴， 解得， ∴的值为； （2）解：由（1）可得一次函数表达式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴，． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·月考）已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过， ∴， ∴， ∴可化为， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式． 【例2】（2025·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 1．（2026·安徽合肥·一模）如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是_____________； 【答案】Q=50-0.10s． 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s． 故答案为：Q=50-0.10s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【经典例题六 正比例函数的图象】 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的图像表示老虎和棕熊的奔跑情况，下列叙述中正确的有______．（填序号） （1）老虎比棕熊每小时多跑60千米； （2）第6小时老虎比棕熊多跑220千米； （3）棕熊2.5小时跑了100千米； （4）棕熊的奔跑路程和奔跑时间成正比例关系． 【答案】 （3）（4） 【分析】通过观察函数图像获取路程与时间的数据，分别计算老虎和棕熊的奔跑速度，再根据速度、时间、路程的关系逐项进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，老虎小时奔跑路程为千米，棕熊小时奔跑路程为千米， 老虎的奔跑速度为：， 棕熊的奔跑速度为：， 对于（1），老虎比棕熊每小时多跑，故（1）错误 对于（2），第小时老虎奔跑路程为，棕熊奔跑路程为， 老虎比棕熊多跑，故（2）错误， 对于（3），棕熊小时奔跑路程为，故（3）正确， 对于（4），棕熊的图像是一条过原点的直线，路程与时间的比值为定值， 所以棕熊的奔跑路程和奔跑时间成正比例关系，故（4）正确． 综上所述，正确的有（3）（4）． 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数和正比例函数的图象分别判断出每个选项中，的符号，即可判断． 【详解】解：A、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过二、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； B、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、二、三象限，则，，符合题意； C、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； D、由图象可得，正比例函数经过一、三象限，则，， 一次函数经过一、二、四象限，则，，矛盾，不符合题意； 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)，y的值随x值的增大而减小 (2)见解析 (3)点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点、点横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式， ∵， ∴y的值随x值的增大而减小； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上． 【经典例题七 正比例函数的性质】 【例1】（2026·安徽宣城·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据得，结合图象解答即可． 【详解】解：根据图象得，，， 又， 故． 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是_______． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由得，，如图，取， 则是关于的正比例函数，而，则随着的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：由得，， 如图，取， 则是关于的正比例函数， 而， ∴随着的增大而增大， ∴甲，乙，丙，丁中电阻最大的是丁， 故选：D． 2．（25-26八年级下·北京·期中）我们把弹簧所受的拉力F与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是______． 【答案】甲 【分析】将图中甲、乙、丙、丁四个点与原点连接，根据题意，设，则拉力F是关于伸长量的正比例函数，根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，作出辅助线， 根据题意，设， 则拉力F是关于伸长量的正比例函数， 由图象可知，且图象越陡， k越大 ， 所以弹性系数最大的是甲． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）把代入求解即可，根据代入坐标求解即可； （2）根据点的坐标与解析式的关系，结合定义求解即可； （3）仿照（2）的解答求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； 根据得； （2）证明：因为正比例函数图像上任意不同的两点， 所以， 所以， 所以， 由， 故； （3）解：根据题意，得，结合（2）的结论得， 由时， 故该物体的密度为． 【经典例题八 判断一次函数的图象】 【例1】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据点、的坐标关系，可求解出，即可排除C、D，结合当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡，可判断出正确选项． 【详解】解：将点，代入一次函数表达式， 得，解得， 即，且， 观察各选项图象，选项、满足， ∵当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡， 选项A中满足，选项B满足， 故判断出选项满足题意要求， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有______；（2）y随x的增大而减小的有______；（3）图象互相平行的有______；（4）与x轴交于正半轴的有______；（5）与y轴交于正半轴的有______． 【答案】 ②③⑥ ①④⑤ ②⑥ ①② ①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．当时，与y轴交于正半轴，反之与y轴交于负半轴．根据一次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：①， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ② ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ③， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ④， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ⑤， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴该函数经过原点； ⑥， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴该函数经过原点； ∵和的k值相等， ∴和互相平行； （1）y随x的增大而增大的有②③⑥； （2）y随x的增大而减小的有①④⑤； （3）图象互相平行的有②⑥； （4）与x轴交于正半轴的有①②； （5）与y轴交于正半轴的有①③． 故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． (1)当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ (2)图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） (3)求要使输出结果为2，应输入的x值． 【答案】(1)和 (2)A (3)或 【分析】本题考查了函数的图像以及函数的值，读懂“函数求值机”的示意图，并用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． （1）把，分别代入“函数求值机”可得其值； （2）根据函数图像的特点，即可找出对应的图像； （3）分类讨论：①当时，，求出符合题意的值；②当时，，求出符合题意的值． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∴输出的值分别是和； （2）解：当时，，，，图像下降，交于轴的正半轴； 当时，，，，图像上升， 且时，， 综上所述，符合对应的图像是A选项． 故答案为：A； （3）解：①当时，， 即，解得：， ，符合题意； ②当时，， 即，解得：， ，符合题意； ∴应输入的值为或． 【经典例题九 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·月考）若，则一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象和性质即可判断． 【详解】解：在一次函数中，，， ∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）对于一次函数，下列说法正确的有______（填写序号） ①图像不经过第三象限； ②点在直线上； ③图像与直线平行； ④图像与直线的交点在x轴上； ⑤若点，在该函数图像上，则； ⑥图像可以由直线向右平移3个单位长度得到； ⑦图像与两坐标轴形成的三角形面积为18． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：①．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①正确； ②．∵时，， ∴函数图像必经过点，故②正确； ③．∵与的一次项系数k均为， ∴的图像与直线平行，故③正确； ④联立 解得： ∴图像与直线的交点为，在轴上，不在x轴上，故④不正确 ⑤．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故⑤不正确． ⑥由直线向右平移3个单位长度得到，故⑥正确； ⑦一次函数，当时，；当时， 图像与坐标轴的交点坐标为和 ∴图像与两坐标轴形成的三角形面积为，故⑦不正确 故答案为：①②③⑥． 1．（25-26八年级下·重庆·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正比例函数与正比例函数的图象，判断、的取值范围，再根据、的取值范围判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数的图象是随的增大而减小， ， 正比例函数的图象是随的增大而增大， ， 一次函数的图象是随的增大而减小，与轴交点的坐标是， ， 图象与轴的交点在轴正半轴， 函数图象过第一、二、四象限． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）一次函数 不经过第__________象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k，b关系，熟练掌握一次函数图象的位置与k，b的符号关系是解答此题的关键； 一次函数的系数，那么图象经过二、四象限，常数项，所以直线与y轴的交点在负半轴上，即可结果。 【详解】一次函数，中，， 该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 3．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，准确判断出函数图象经过的象限是解题的关键． （1）根据已知一次函数的图象的位置关系进行解答即可； （2）根据已知函数图象判断出，即可得到经过的象限，进行解答即可； （3）根据已知函数图象判断出，，，即可得到经过的象限，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵的图象与的图象平行，且过坐标原点， ∴函数的图象如图1所示： （2）根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴， ∴函数经过第二，三，四象限， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴函数的图象如图2所示： （3）根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴，， ∴函数经过第一，三，四象限，且与y轴交于点， ∴函数的图象如图3所示： 【经典例题十 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象得出，，，，根据两条直线交点的横坐标为4，得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据函数图象可得：，，，， ∴，，故A、B错误； ∵两条直线交点的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即，故D错误． 【例2】（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是______；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点______． 【答案】 且且； 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，根据题意理解复合函数的表达式是解题的关键． 先根据复合函数的定义得出一次函数与的复合函数，再由复合函数的图象经过第一、三、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可；先求出一次函数与的复合函数，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数与的复合函数为， 复合函数的图象经过第一、三、四象限， ∴且， 解得且， 综上所述：且且， 依题意，一次函数与的复合函数为， ， ， ， ， 当时，函数值与无关， 解得，此时， 复合函数的图象经过定点． 故答案为：且；． 1．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在同一坐标系中，一次函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质；根据一次函数的图象确定相应的系数，然后比较，找出矛盾即可求解． 【详解】解：A、中即，中，即，矛盾，不符合题意； B、 中即，中，即，矛盾，不符合题意； C、中即，中，即，符合题意； D、中即，中，即，矛盾，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 将代入得，则代入原不等式，化为，再根据图象可得，则，即可求不等式的解集． 【详解】解：将代入得：， ∴， ∴化为：， ∴， 由函数图象可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两条直线的平行问题，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象与直平行得出，解方程求出的值，即可； （2）依据题意，由函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限得出，解不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直平行， ∴， 解得：． （2）解：∵函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：． 【经典例题十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 在中，，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数， （1）则该函数在轴上的截距是___________ （2）当时，的最大值与最小值的差为8，则的值为___________． 【答案】 2或/或2 【分析】本题考查了一次函数的基本性质（截距定义）及一次函数的增减性与最值问题，解题的关键是掌握一次函数中截距的定义，以及根据的符号判断函数增减性，进而分情况求解即可． （1）根据一次函数截距的定义，令求出对应的值，即为轴截距； （2）先确定自变量取值区间的长度为，分（随增大而增大）和（随增大而减小）两种情况，分别表示出最大值和最小值，根据差值为列方程求解． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则， 故答案为：； （2）解：∵ 自变量取值范围为，区间长度为， 分两种情况讨论： ① 当时，随增大而增大， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； ② 当时，随增大而减小， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； 综上，的值为2或． 1．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列结论错误的是（   ） … 0 1 2 … … 5 2 … A．是方程的解 B．随的增大而减小 C．一次函数的图象经过第一、二、四象限 D．一次函数的图象与轴交于点 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵当时，；当时，． 将，代入，得 ． 将，，代入，得 ， 解得． ∴一次函数的表达式为． A．当时，，所以不是方程的解，该选项错误，符合题意； B．在一次函数中，，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，该选项正确，不符合题意； C．在一次函数中，，，根据一次函数的性质，当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，该选项正确，不符合题意； D．当时，，所以一次函数的图象与轴交于点，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 【答案】 或或 【分析】本题考查了一次函数的定点问题、一次函数的性质以及直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）通过对直线解析式进行变形，分析出不受参数影响的定点坐标； （2）分析点在端点及特殊位置（直线平行）时的斜率，结合线段的范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：将直线变形为， 当，即时，的取值不影响的值，此时， 定点． （2）直线与轴交于点， 令，解得， ， ①当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ②当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ③当直线与直线平行时，此时，与直线无交点， 故， 结合图形分析， 当时，与线段（及右侧延伸）相交； 当时，与线段（及左侧延伸）相交； 当时，与线段相交． 的取值范围为或或． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． (1)求这个一次函数解析式； (2)若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，一次函数与坐标轴的交点问题，准确求出一次函数的解析式为解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入，求出C点坐标，求出的面积，设，表示出，利用的面积等于的面积的，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把点，分别代入 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）将代入， 得， 解得：， 即， ， 设， 的面积等于的面积的， ，即， 解得，或， 点坐标为或． 【经典例题十二 画一次函数图象】 【例1】（2025·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 【例2】（2025·四川成都·三模）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 【答案】c＞a＞b 【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断． 【详解】解：∵＞0，＜0， 点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等 ∴ y＝n﹣1是一条水平线 画出满足题意位置关系的函数图像如下， 由图像易得：c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键． 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据计算程序得出函数的解析式，再去绝对值，得到分段函数，在同一平面直角坐标系中画出图像即可． 【详解】解：由计算程序分析可得， ， 化简绝对值得： ， 在同一平面直角坐标系中，分别画出的图像，如图， 故选：A． 【点睛】本题考查化简绝对值，画一次函数的图像，解题关键是能够从计算程序中读懂题意，再根据绝对值的性质，化简绝对值，正确画出对应图像． 2．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．    【答案】 3 【分析】利用函数和的图象交点个数判断方程的解的个数，作出直线，然后通过比较直线与函数和的图象的交点位置判断m、n的大小． 【详解】解：由函数图象可知，函数和的图象有三个交点， 所以方程的解的个数为3； 作直线，如图，函数的图象与直线的交点在的图象与直线的交点的右侧， 则． 故答案为3；．    【点睛】本题考查图象法解方程和不等式，解题的关键是利用图象的交点，解方程和不等式． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知一次函数的图像经过点． (1)求k的值； (2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)若，则的取值范围是______（直接写结果）． 【答案】(1)； (2)见详解； (3) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，画出函数图象，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）求出时的x的值，利用图象法确定取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：； （2）解：由（1）得，取 画图象如下： （3）由（1）知：， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：， ∴当时， 故答案为：． 【经典例题十三 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 由，，可知y随x的增大而增大，则，从而求出k的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∴，得． 选项A中的3满足题意， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知一次函数（是常数且）． （1）若该一次函数是正比例函数，则____________； （2）当时，该一次函数有最大值8，则的值为____________． 【答案】 2 0或 【分析】本题考查了一次函数的性质，包括正比例函数的定义和一次函数增减性问题． 对于（1），根据正比例函数要求常数项为零求解即可； 对于（2），分类讨论，根据一次函数的增减性确定最大值点求解即可． 【详解】（1）因为该一次函数是正比例函数， 所以常数项为零，即， 解得． 故答案为：2； （2）当时，即，函数随x的增大而增大，最大值在处取得． 代入得：， 化简得， 解得． 当时，即，函数随x的增大而减小，最大值在处取得． 代入得：， 化简得， 解得． 综上，m的值为0或． 故答案为：0或． 1．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）若点和点是一次函数（m，t为常数且）的图象上的两点，当时，m的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据且，判定即，自主选择即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据且，判定，即， 故， 故答案为：1（答案不唯一）． 3．（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 【经典例题十四 比较一次函数值的大小】 【例1】（24-25八年级下·上海·期中）已知点，都在直线上，则大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 根据得到y随x的增大而减小，据此比较判断即可解答． 【详解】解：∵点，都在直线上，且， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是__________. 【答案】①②③ 【分析】此题考查了一次函数交点问题，一次函数的性质，根据一次函数的图象及交点分别判断即可得到答案，正确理解函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象得过一，二，三象限；过二，三，四象限； ∴, ∴随x的增大而减小，故①正确； 函数的图象不经过第二象限，故②正确； ∵两图象交点横坐标为， ∴ ∴，故③正确； 当时，，故 ∴，故④错误； 故正确的是①②③． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知点都在一次函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 2．（2025·江苏泰州·一模）已知一次函数(是常数，且)，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则_____． (填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质和因式分解的应用，根据一次函数的性质进行判断即可，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【详解】当时，， ∴， 则有随的增大而减小， ∴当时，，即， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东清远·期末）已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)当时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 函数图象如下所示： （2）解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； （3）解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 【经典例题十五 求一次函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，正确的是（    ） A．的值随着值的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象与两坐标轴围成的三角形的面积为12.5 D．图象与轴的交点坐标点是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题．先根据点，，求出一次函数的解析式，再根据解析式判断各选项的正确性． 【详解】解：将，代入，得：， 解得， ∴函数解析式为， ∵， ∴y随x增大而增大，故A错误； ∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故B错误； 令，得，解得， ∴与x轴交点为； 令，得， ∴与y轴交点为； ∴围成的三角形面积，故C错误； 与x轴交点为，故D正确． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键． 根据直线解析式得出，，，，利用勾股定理得出，根据折叠性质得出，，，设，利用勾股定理求出的值，得出，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∵点是上的一点，， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为： 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）全世界大部分国家都采用摄氏温标表示温度，但也有部分国家采用华氏温标．因此，一般温度计上都同时标注了摄氏温度和华氏温度（如图）．小明观察温度计，发现华氏温度y（单位：）是摄氏温度x（单位：）的一次函数，并据此列出了表格．同桌小亮发现下表中有一个函数值写错了，这个错误的函数值是（   ） 20 25 30 35 67 77 86 95 A．20 B．67 C．77 D．86 【答案】B 【分析】根据表格中的数据，设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，结合题意求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由自变量的值求函数值，求出函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故解析式为， 当时，， 点在直线上； 当时，， 此时得到67这个数据是错误的． 故选：B． 2．（2025八年级上·四川成都·专题练习）八个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过点P的一条直线l交y轴于点A，直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式；延长点所在正方形的两边，分别交轴于，交轴于，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，延长点所在正方形的两边，分别交轴于，交轴于， 正方形的边长为， ， ， ， 直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， ， 解得， ， ， 设直线l的解析式为，则有 ， 解得， 直线l的解析式为， 故答案为． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤组的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤组的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 7 11 12 （斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一对是___________；（用坐标表示）． (2)求与之间的函数关系式． (3)求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是多少厘米． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16厘米 【分析】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键． （1）利用描点法画出图形即可判断； （2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可； （3）根据（2）中求得的函数解析式，当时，可求得秤杆上秤砣到秤组的水平距离． 【详解】（1）解：观察图象可知：，这组数据错误． 故答案为：； （2）由（1）的图象可知，与的关系满足一次函数， 设与的函数解析式为，把，，，代入可得： ，解得， 与之间的函数关系式是； （3）当时，， 解得， 当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是16厘米． 【经典例题十六 一次函数的规律探究问题】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【例2】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：∵，过点P作y轴的平行线交直线a于点，点在直线上， ∴当时，则有， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为1， ∴，解得：， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴当时，则有， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， 同理可得：，，，，….； ∴， 令， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 1．（24-25八年级下·北京海淀·月考）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 【答案】B 【分析】观察可以发现：①n为奇数时，横坐标纵坐标变化得出规律；②n为偶数时，横坐标纵坐标变化得出规律，再求解即可． 【详解】解：观察①n为奇数时，横坐标变化： 纵坐标变化为： ， ②n为偶数时，横坐标变化： 纵坐标变化为：， ∵点（n为正整数）的纵坐标为， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，找出坐标的规律是解题的关键． 2．（2025·四川广元·二模）将正方形 …按如图所示的方式放置，点和点 分别在直线和 x轴上，已知点，，则 的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点A的系列坐标判断出相应正方形的边长，然后得到点B的系列坐标的变化规律是解题的关键．根据正方形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求出k、b的值，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出的坐标，然后求出的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴第三个正方形边长为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为，， ∴第四个正方形边长为， ∴点的横坐标为， ∴的坐标是， 故答案为： 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 【拓展训练一 一次函数的平移问题】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求原直线解析式，再根据平移的性质确定参数的值，最后代数求解． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 假设直线的解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得， ∴， 将直线向上平移2个单位长度后可得，， ∴， ∴． 【例2】（2026八年级下·吉林·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的d的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移d个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则． 1．（2025八年级上·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 【答案】(1)2；4 (2) 【分析】（１）点代入，得到，再把代入求解即可． （2）设直线向下平移个单位长度后的表达式为，根据题意，得 交点为，根据交点在第一象限，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 故， 把代入得， 解得． （2）解：根据题意，得， 设直线向下平移个单位长度后的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故两条直线的交点为， 由于与直线的交点在第一象限， 故， 解得． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线l经过原点，且点在直线l上． (1)求直线l的解析式； (2)已知直线与直线l平行，且过点，求直线的解析式； (3)直接写出直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图像的平移问题，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可设直线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）所求求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线l的解析式为； （2）解：∵直线与直线l平行， ∴可设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：在中，当时，，当时，， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积是． 3．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． (1)求直线的解析式； (2)若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； (3)如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b值，从而求得A、B的坐标，再用待定系数法求解好戏可； （2）根据，得，即，求出即可求解； （3）先根据一次函数平移规律求得直线的解析式为，从而可求出点，再根据平行四边形的性质，根据平移的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式． （2）解：∵，， ∴，， ∵ ∴ 解得：，， ∴点P的坐标为或． （3）解：∵直线的解析式，将直线向上平移4个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴， 当以为对角线的平行四边形时， ∵， ∴向左平移4个单位，向上平移1个单位，可以得到， ∵ ∴点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本师考查非负数的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，平移坐标变换，熟练掌握算术平方根的非负性、待定系数法求一次函数解析式、平移坐标变换规律是解题的关键． 【拓展训练二 一次函数的对称问题】 【例1】（2025·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·河南·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了新定义下的函数关系，解题的关键是掌握新定义． 根据“对偶关系”的定义，通过设点坐标，列方程求解，判断各结论是否正确． 【详解】解：①设点P在函数上，横坐标为m，则纵坐标为，点Q在函数上，横坐标为n，则纵坐标为， 若P与Q关于y轴对称，则Q的横坐标为，； 则， 解得， 故具有“对偶关系”，结论①错误； ②由①可知，点的坐标为 则函数与函数的“对偶值”为，结论②正确； ③当时，， 解得， ∴当，时，， 解得，结论③正确； 综上，正确的选项为：②③， 故答案为：②③． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式． （1）根据一次函数的定义得到，，求解即可； （2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 2．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，图见详解 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用待定系数法求出函数解析式是关键； （1）根据表格信息建立方程组求解的值； （2）把代入求出，再由表格画图即可； （3）求出A，B两点纵坐标，再根据点A，B关于轴对称，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ，解得： （2）解：当时，， ∴， 画图如下： （3）解：令，则，， 当点A，B关于轴对称时，， 解得：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·月考）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)是 (4) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把的值分别代入计算，即可求出、的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再分别求出当、、 时的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即； 故答案为：，； （2）如图，即为所求； （3）由（2）图象可知，函数的图象是轴对称图形， 故答案为：是； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【拓展训练三 一次函数的旋转问题】 【例1】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 【答案】(1)见解析 (2)①②③ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键． （1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案； （2）把函数变换后验证是否过点即可． 【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为， 当时，，，得到直线与x轴的交点为， 在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示： ； （2）①向上平移4个单位，平移后解析式：， 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ②沿x轴翻折 翻折后解析式：，即 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ③绕原点按顺时针方向旋转， 设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即， 代入原函数，得，整理得， 代入：， ∴函数图象经过变换后过点． 综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③． 故答案为：①②③． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【分析】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 3．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 【拓展训练四 一次函数的最值问题】 【例1】 （2025八年级下·安徽宣城·模拟预测）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的性质，二次根式的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后得到数轴上点x到和5的距离之和等于6，然后得到，然后根据一次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即数轴上点x到和5的距离之和等于6， ∴， ∵函数中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，y有最大值，最大值为； ∴的最大值与最小值的和是． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为，直线的表达式为，点在这两条直线上，当时，的最大值是 ___________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的表达式求法及函数差在给定区间上的最值问题，能根据题意表示出是解题的关键． 先求出直线AB的函数表达式，再表示出，最后根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】解：将点代入得， ，解得， 所以直线的表达式为， 则． 设函数 ∵， ∴根据函数图像的性质，当时，取最大值为：． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为7 (2)一次函数解析式为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，即可求解； （2）分和两种情况，根据一次函数的增减性求出最大值与最小值，根据函数最大值与最小值的差为4列出方程，求解得到k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①∵点在一次函数的图象上 ∴， 解得； ②当时，该一次函数为， ∴， ∴P随x的增大而减小， ∵ ∴当时，P的值最大，为． （2）解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∵ ∴当时，y取得最小值，为 当时，y取得最大值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， ∵ ∴当时，y取得最大值，为 当时，y取得最小值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在直角坐标系内的位置如图所示，． (1)在网格中作出关于轴的对称图形； (2)若点是轴上一动点，当取最小值时，求点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了坐标与轴对称，最短路线问题及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题关键． （1）根据关于轴的对称的点的坐标特征，分别得出，，，顺次连接即可； （2）作点关于轴对称的点，连接，交轴于，连接，可得，根据两点之间，线段最短可得的最小值为，利用待定系数法可求出直线的解析式，令，求出的值，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴点、、关于轴对称的点的坐标为，，， ∴如图，关于轴的对称图形即为所作： （2）解：如图，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，连接， ∴，， ∴，此时取最小值， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -1 -2 a -2 b 0 … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象； (3)判断：函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； 观察函数图象，当时，x的取值范围是________． 观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)是；；存在最小值，最小值是 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把x的值代入计算，即可求出a、b的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； 分情况讨论：时和时，分别求解不等式，即可得到答案； 利用绝对值的性质，得到，当且仅当时取等号，即可判断最小值． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即， 故答案为：；； （2）解：函数图象如下： （3）解：由（2）图象可知，函数的图像是轴对称图形， 故答案为：是； ， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：， 综上所述：x的取值范围是； 故答案为：； 存在，最小值为，证明如下： ， ，当且仅当时取等号， 函数的最小值为； 即存在最小值，最小值为． A基础训练 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与正比例函数的图象性质，分、两种情况找出函数及函数的图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，正比例函数的图象经过第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，正比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数两直线间的关系，根据方程组无解可知两条直线无交点，即两直线平行，从而列方程求得k的值，然后再根据一次函数图象性质作出判断． 【详解】解：x，y的二元一次方程组无解，且两直线的截距不相等， 直线与直线平行. ， 为 一次函数的图象不经过第一象限 故选：． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．点，在图象上，当时， C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A：当时，，故图象与轴交于，正确，故该选项不符合题意； B：当时，对于函数，随的增大而减小，，故，正确，故该选项不符合题意； C. 当时，，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，错误，故该选项符合题意； D. 将代入函数，，故图象恒过定点，正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线交于点E，则图中阴影部分面积为（   ） A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据一次函数解析式求出一次函数与坐标轴交点坐标，从而求得，再根据平移性质，得出，把代入，从而得出点E的坐标，即可得出，根据平移得出，由，即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， 由平移知， 把代入得：， ∴点E的坐标为， ∴， 由平移得， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·北京海淀·月考）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 【答案】B 【分析】观察可以发现：①n为奇数时，横坐标纵坐标变化得出规律；②n为偶数时，横坐标纵坐标变化得出规律，再求解即可． 【详解】解：观察①n为奇数时，横坐标变化： 纵坐标变化为： ， ②n为偶数时，横坐标变化： 纵坐标变化为：， ∵点（n为正整数）的纵坐标为， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，找出坐标的规律是解题的关键． B 提高训练 6．（25-26八年级下·福建福州·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为10，则________． 【答案】 【分析】先求直线与两坐标轴的交点，再利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， 直线与轴交于点， 当时，， 直线与轴交于点， 两交点间的距离为， 解得：． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为________． 【答案】或 【分析】先根据直线经过点得到，再分，，三种情况结合当时，y的最大值为6进行求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 当时，则，则直线即为直线， 又∵当时，y的最大值为6， ∴此种情况不成立； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 联立①②得：； 当时，则y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 联立①③得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 8．（24-25八年级下·四川眉山·月考）已知点在直线为常数）上，则____（填“”“ ”或“=”）． 【答案】 【分析】先根据一次函数中判断出函数的增减性，再根据进行解答即可． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是_____________．    【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点代入求出，得，设点，表示出，以为点的高是A点纵坐标7，根据三角形面积求得a的值，进而写出点C坐标． 【详解】解：∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； 设点C的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点C的坐标是或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·山西临汾·期中）如图，已知、、…在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为…，（其中点都在x轴正半轴上，都为顶角，，2，3，…），若，则________．    【答案】675 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，得到、、的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解． 【详解】解：∵、、，…，在直线上， ∴ ，， ，，…，； 又∵， 故， ∴； ， ； ， ； ， ； … ∴ （n为奇数）， （n为偶数）， ∴ ． 故答案是：675． 【点睛】本题考查一次函数上点的坐标特征，根据特殊点的坐标得到变化规律是解决问题的关键． C 培优训练 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）请通过列表、描点、连线在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】列表，描点，连线画出图象见解答． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，列出各点，在图中给出的平面直角坐标系中描出各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 列表：如表是与的对应值： … … … … 描点并画出该函数的图象： ． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，绝对值方程．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，，即，待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）将代入，求得，即，将代入，求得，即，根据，设，则，由的面积等于的面积的，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将，代入得，，解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得，，解得，，即， 将代入得，，解得，，即， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可． （2）将和分别代入函数关系式即可解决问题． 【详解】（1）设正比例函数的解析式为， 则， 解得， 所以这个正比例函数的解析式为． 函数图象如图所示， （2）将代入得， ； 将代入得， ； 因为， 所以． 14．（24-25八年级下·天津津南·期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，5）． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象； (3)当﹣3≤y≤2时，写出x的取值范围． 【答案】(1)y=2x-1 (2)见解析 (3)-1≤x≤ 【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）利用两点法画出图象即可；（3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（3，5）， ∴3k-1=5， ∴k=2， ∴函数解析式为y=2x-1； （2）解：如图： （3）解：当y=-3时，， ∴； 当y=2时，， ∴； 由图象可得：当-3≤y≤2 时，自变量 x 的取值范围为：-1≤x≤． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)此时点的运动时间为 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解可得． （2）根据，求出时x的值，即可得的长，再除以P点运动的速度即可求出点的运动时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 将点和点代入上式，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：由（1），可得直线的函数表达式为． 令，则， 解得， 即， ． 答：此时点的运动时间为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数的图象和性质重难点题型专训 （5个知识点+16大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 识别一次函数 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 正比例函数的图象 题型七 正比例函数的性质 题型八 判断一次函数的图象 题型九 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十 已知函数经过的象限求参数范围 题型十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十二 画一次函数图象 题型十三 根据一次函数增减性求参数 题型十四 比较一次函数值的大小 题型十五 求一次函数解析式 题型十六 一次函数的规律探究问题 拓展训练一 一次函数的平移问题 拓展训练二 一次函数的对称问题 拓展训练三 一次函数的旋转问题 拓展训练四 一次函数的最值问题 知识点一：正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）若与成正比例，当时，，则与的函数关系式为________． 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 1．（2025·安徽合肥·二模）已知直线y=-4x-6经过点（m，n），且2m-7n≤0，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______． 知识点三：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于_____． 知识点四：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 1．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 知识点五：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，过原点的两条直线分别为，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，过点，作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，依次进行下去，则点的坐标________．    【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【例2】（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）一物体从米高处自由落下与运动时间的平方成正比例，当秒时，米；当米时， _________． 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是关于的正比例函数，则的值是__________． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)当自变量满足：，求对应函数值的取值范围． 【经典例题二 识别一次函数】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 1．（2025八年级·广东深圳·模拟预测）对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 3．（2025九年级·全国·专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）         （2）                 （3） （4）          （5）    （6） 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例2】 （25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是________． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知 是关于x的一次函数，则______________，当时， y的取值范围是________________________． 3．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，对于函数，当___________时，． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 … y … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为__________． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数的图象如图所示． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·月考）已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 1．（2026·安徽合肥·一模）如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是_____________； 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【经典例题六 正比例函数的图象】 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的图像表示老虎和棕熊的奔跑情况，下列叙述中正确的有______．（填序号） （1）老虎比棕熊每小时多跑60千米； （2）第6小时老虎比棕熊多跑220千米； （3）棕熊2.5小时跑了100千米； （4）棕熊的奔跑路程和奔跑时间成正比例关系． 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【经典例题七 正比例函数的性质】 【例1】（2026·安徽宣城·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是_______． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级下·北京·期中）我们把弹簧所受的拉力F与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是______． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 【经典例题八 判断一次函数的图象】 【例1】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有______；（2）y随x的增大而减小的有______；（3）图象互相平行的有______；（4）与x轴交于正半轴的有______；（5）与y轴交于正半轴的有______． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． (1)当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ (2)图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） (3)求要使输出结果为2，应输入的x值． 【经典例题九 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·月考）若，则一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）对于一次函数，下列说法正确的有______（填写序号） ①图像不经过第三象限； ②点在直线上； ③图像与直线平行； ④图像与直线的交点在x轴上； ⑤若点，在该函数图像上，则； ⑥图像可以由直线向右平移3个单位长度得到； ⑦图像与两坐标轴形成的三角形面积为18． 1．（25-26八年级下·重庆·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）一次函数 不经过第__________象限． 3．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． (1)； (2)； (3)． 【经典例题十 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是______；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点______． 1．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在同一坐标系中，一次函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【经典例题十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数， （1）则该函数在轴上的截距是___________ （2）当时，的最大值与最小值的差为8，则的值为___________． 1．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列结论错误的是（   ） … 0 1 2 … … 5 2 … A．是方程的解 B．随的增大而减小 C．一次函数的图象经过第一、二、四象限 D．一次函数的图象与轴交于点 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． (1)求这个一次函数解析式； (2)若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 【经典例题十二 画一次函数图象】 【例1】（2025·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（2025·四川成都·三模）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象应为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．    3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知一次函数的图像经过点． (1)求k的值； (2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)若，则的取值范围是______（直接写结果）． 【经典例题十三 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（    ） A．3 B．1 C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知一次函数（是常数且）． （1）若该一次函数是正比例函数，则____________； （2）当时，该一次函数有最大值8，则的值为____________． 1．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）若点和点是一次函数（m，t为常数且）的图象上的两点，当时，m的值可以是_______．（写出一个即可） 3．（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【经典例题十四 比较一次函数值的大小】 【例1】（24-25八年级下·上海·期中）已知点，都在直线上，则大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是__________. 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知点都在一次函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·一模）已知一次函数(是常数，且)，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则_____． (填“”、“”或“”) 3．（25-26八年级上·广东清远·期末）已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【经典例题十五 求一次函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，正确的是（    ） A．的值随着值的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象与两坐标轴围成的三角形的面积为12.5 D．图象与轴的交点坐标点是 【例2】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______． 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）全世界大部分国家都采用摄氏温标表示温度，但也有部分国家采用华氏温标．因此，一般温度计上都同时标注了摄氏温度和华氏温度（如图）．小明观察温度计，发现华氏温度y（单位：）是摄氏温度x（单位：）的一次函数，并据此列出了表格．同桌小亮发现下表中有一个函数值写错了，这个错误的函数值是（   ） 20 25 30 35 67 77 86 95 A．20 B．67 C．77 D．86 2．（2025八年级上·四川成都·专题练习）八个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过点P的一条直线l交y轴于点A，直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤组的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤组的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 7 11 12 （斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一对是___________；（用坐标表示）． (2)求与之间的函数关系式． (3)求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是多少厘米． 【经典例题十六 一次函数的规律探究问题】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 1．（24-25八年级下·北京海淀·月考）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 2．（2025·四川广元·二模）将正方形 …按如图所示的方式放置，点和点 分别在直线和 x轴上，已知点，，则 的坐标是___________． 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【拓展训练一 一次函数的平移问题】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026八年级下·吉林·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 1．（2025八年级上·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线l经过原点，且点在直线l上． (1)求直线l的解析式； (2)已知直线与直线l平行，且过点，求直线的解析式； (3)直接写出直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 3．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． (1)求直线的解析式； (2)若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； (3)如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【拓展训练二 一次函数的对称问题】 【例1】（2025·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河南·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 2．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 3．（24-25八年级上·陕西西安·月考）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 【拓展训练三 一次函数的旋转问题】 【例1】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【拓展训练四 一次函数的最值问题】 【例1】 （2025八年级下·安徽宣城·模拟预测）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为，直线的表达式为，点在这两条直线上，当时，的最大值是 ___________ ． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在直角坐标系内的位置如图所示，． (1)在网格中作出关于轴的对称图形； (2)若点是轴上一动点，当取最小值时，求点坐标． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -1 -2 a -2 b 0 … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象； (3)判断：函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； 观察函数图象，当时，x的取值范围是________． 观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． A基础训练 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．点，在图象上，当时， C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过定点 4．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线交于点E，则图中阴影部分面积为（   ） A．8 B． C．9 D． 5．（24-25八年级下·北京海淀·月考）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 B 提高训练 6．（25-26八年级下·福建福州·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为10，则________． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为________． 8．（24-25八年级下·四川眉山·月考）已知点在直线为常数）上，则____（填“”“ ”或“=”）． 9．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是_____________．    10．（24-25八年级下·山西临汾·期中）如图，已知、、…在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为…，（其中点都在x轴正半轴上，都为顶角，，2，3，…），若，则________．    C 培优训练 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）请通过列表、描点、连线在平面直角坐标系中画出函数的图象． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 14．（24-25八年级下·天津津南·期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，5）． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象； (3)当﹣3≤y≤2时，写出x的取值范围． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 学科网（北京）股份有限公司 $