21.3.2菱形（4知识点+9题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

21.3.2菱形 （4知识点+9题型+过关检测） 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 3 【题型3 利用菱形的性质求面积】 4 【题型4 利用菱形的性质证明】 5 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 7 【题型6 证明四边形是菱形】 8 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 9 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 10 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 11 · 1. 理解菱形的定义，掌握菱形与平行四边形的从属关系，明确菱形是特殊的平行四边形。 · 2. 熟练掌握菱形的性质定理，区分菱形与普通平行四边形、矩形的性质差异，牢记菱形专属特性。 · 3. 精准掌握菱形的三类判定定理，能根据题干条件灵活选择判定方法。 · 4. 熟练运用菱形性质求解角度、线段长度、图形面积，掌握菱形特殊面积计算公式。 03 知识•梳理 知识点1. 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 核心关系：菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质，同时拥有独有的特殊性质。 知识点2. 菱形的性质（重点） · 通用性质：继承平行四边形所有性质，对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 · 专属性质1（边）：菱形的四条边全部相等。 · 专属性质2（对角线）：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 · 图形特征：对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可结合勾股定理解题。 知识点3. 菱形的判定定理（重点） · 判定1（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 · 判定2（边判定）：四条边都相等的四边形是菱形（无需先证平行四边形）。 · 判定3（对角线判定）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识点4. 菱形常用公式与结论 · 周长：（a为菱形的边长） · 面积公式1（通用）： · 面积公式2（菱形专属）：（对角线互相垂直的四边形均可使用） · 重要结论：菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，可构造直角三角形结合勾股定理求边长、对角线长。 本节高频易错点总结 · 1. 判定误区：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形。 · 2. 公式误用：只有对角线互相垂直的四边形才能用“对角线乘积一半”求面积，不可通用到所有平行四边形。 · 3. 性质混淆：混淆菱形与矩形的专属性质，菱形对角线垂直但不一定相等，矩形对角线相等但不一定垂直。 · 4. 角度计算错误：忽略菱形对角线平分一组对角的性质，角度推导繁琐且易出错。 · 5. 证明不严谨：证明菱形时缺少前置条件，未先证平行四边形直接用判定定理，导致证明步骤不完整。 · 6. 周长计算失误：忘记菱形四边相等的特征，误用普通平行四边形周长公式计算。 04 题型•汇总 【题型1 利用菱形的性质求角度】 解题技巧：利用菱形邻角互补、对角相等、对角线平分一组对角的性质，结合对角线垂直构造直角三角形，依托三角形内角和、互余关系，逐步推导未知角度。 【典例1】．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【变式3】．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 解题技巧：借助菱形四边相等的性质快速确定边长；利用对角线互相垂直平分的特征，拆分出直角三角形，结合勾股定理，求解对角线、边长等线段长度。 【典例2】．如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【变式1】．如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角形的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图②，则的长为（    ） A．3 B． C． D．2 【变式2】．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 【变式3】．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题技巧：已知底和高，直接用底乘高计算；已知两条对角线长度，优先使用菱形专属面积公式；无直接条件时，先求边长、对角线，再代入公式求值。 【典例3】．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【变式1】．如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【变式2】．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【变式3】．已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题技巧：证明线段相等、角相等、线段垂直时，调用菱形四边相等、对角线垂直且平分内角的性质，结合全等三角形、等腰三角形性质完成几何推理证明。 【典例4】．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式1】．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式2】．如图1，在矩形中，，，分别是，的中点，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是怎样的四边形（点相遇时除外）? 答：______．（直接填空，不用说理） (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若向点运动，向点运动，速度均为每秒个单位长度，且与点同时出发，当四边形为菱形时，的值为______． 【变式3】．如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 解题技巧：已知平行四边形：添加一组邻边相等或对角线互相垂直即可；已知普通四边形：可添加四条边相等、对角线互相垂直且平分，优先补充最简条件。 【典例5】．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【变式2】．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 【变式3】．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【题型6 证明四边形是菱形】 解题技巧：根据题干条件灵活选方法：条件含边长，优先证四边相等；条件为平行四边形，证邻边相等或对角线垂直；结合题干已知条件，简化证明步骤，避免多余推理。 【典例6】．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式1】．如图，在矩形中，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点B，点D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：作直线分别交于点E，点F，连接．请根据以上步骤，解答以下问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 【变式2】．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 【变式3】．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接、． (1)求证：； (2)四边形能否成为菱形？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出结果． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题技巧：先通过判定定理证明图形为菱形，再利用菱形对角相等、邻角互补、对角线平分内角的性质，结合直角三角形、等腰三角形特征，综合求解角度。 【典例7】．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【变式2】．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【变式3】．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题技巧：先判定四边形为菱形，得到四边相等、对角线垂直平分的等量关系，再结合勾股定理、线段中点性质，转化线段关系，求解各类线段长度。 【典例8】．如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 【变式2】．如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 【变式3】．如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题技巧：先判定图形为菱形，再根据题干已知条件，灵活选用底乘高或对角线乘积的一半两种面积公式；优先选择计算简便的公式，快速求出图形面积。 【典例9】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【变式1】．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【变式2】．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【变式3】．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 05 过关•检测 1．艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．小明将由四条长为10的木条组成的菱形沿向右推至四边形的位置，如图所示，当，且菱形与四边形的大小完全一致时，的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 5．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线互相垂直平分 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 6．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（   ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 8．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在下列方案中，能够得到是的平分线的是（   ） 方案I： 取，以，为顶点作平行四边形，连接． 方案II： 取，以为顶点作矩形，连接，交于点，连接． A．方案I可行，方案II不可行 B．方案I、II都可行 C．方案I不可行，方案II可行 D．方案I、II都不可行 10．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 11．已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的度数之比为，则这个菱形的较大内角为________． 12．如图，菱形的对角线与相交于点，，，于点，点，分别为，的中点，连接，．则的值为__________． 13．如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 _________ ． 14．如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 15．如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 16．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)已知，若，求的长． 17．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 18．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在线段上（不与点O，B重合），点F在线段上，且，连接．求证：四边形是菱形． 19．【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 20．阅读与理解 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下：如图2， 第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法… 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)类比操作： 如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； (2)拓展探究： ①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使； ②如图5，四边形是平行四边形，点在上，，作的平分线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.2菱形 （4知识点+9题型+过关检测） 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 5 【题型3 利用菱形的性质求面积】 9 【题型4 利用菱形的性质证明】 13 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 19 【题型6 证明四边形是菱形】 22 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 29 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 34 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 38 · 1. 理解菱形的定义，掌握菱形与平行四边形的从属关系，明确菱形是特殊的平行四边形。 · 2. 熟练掌握菱形的性质定理，区分菱形与普通平行四边形、矩形的性质差异，牢记菱形专属特性。 · 3. 精准掌握菱形的三类判定定理，能根据题干条件灵活选择判定方法。 · 4. 熟练运用菱形性质求解角度、线段长度、图形面积，掌握菱形特殊面积计算公式。 03 知识•梳理 知识点1. 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 核心关系：菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质，同时拥有独有的特殊性质。 知识点2. 菱形的性质（重点） · 通用性质：继承平行四边形所有性质，对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 · 专属性质1（边）：菱形的四条边全部相等。 · 专属性质2（对角线）：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 · 图形特征：对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可结合勾股定理解题。 知识点3. 菱形的判定定理（重点） · 判定1（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 · 判定2（边判定）：四条边都相等的四边形是菱形（无需先证平行四边形）。 · 判定3（对角线判定）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识点4. 菱形常用公式与结论 · 周长：（a为菱形的边长） · 面积公式1（通用）： · 面积公式2（菱形专属）：（对角线互相垂直的四边形均可使用） · 重要结论：菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，可构造直角三角形结合勾股定理求边长、对角线长。 本节高频易错点总结 · 1. 判定误区：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形。 · 2. 公式误用：只有对角线互相垂直的四边形才能用“对角线乘积一半”求面积，不可通用到所有平行四边形。 · 3. 性质混淆：混淆菱形与矩形的专属性质，菱形对角线垂直但不一定相等，矩形对角线相等但不一定垂直。 · 4. 角度计算错误：忽略菱形对角线平分一组对角的性质，角度推导繁琐且易出错。 · 5. 证明不严谨：证明菱形时缺少前置条件，未先证平行四边形直接用判定定理，导致证明步骤不完整。 · 6. 周长计算失误：忘记菱形四边相等的特征，误用普通平行四边形周长公式计算。 04 题型•汇总 【题型1 利用菱形的性质求角度】 解题技巧：利用菱形邻角互补、对角相等、对角线平分一组对角的性质，结合对角线垂直构造直角三角形，依托三角形内角和、互余关系，逐步推导未知角度。 【典例1】．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 【变式1】．如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，．由等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求出．根据，得出等式，变形后即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【答案】120 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等，结合已知条件可判定由两条邻边和较短对角线组成的三角形为等边三角形，从而求得菱形的一个内角度数，再利用菱形邻角互补的性质即可求出较大的内角度数． 【详解】解：设菱形为，较短对角线为， 四边形是菱形， ， 边长和较短对角线的长都为， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， . ，， 这个中国结菱形部分较大的内角是度． 【变式3】．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 解题技巧：借助菱形四边相等的性质快速确定边长；利用对角线互相垂直平分的特征，拆分出直角三角形，结合勾股定理，求解对角线、边长等线段长度。 【典例2】．如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得，，利用菱形的面积公式求得，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵该菱形的面积为30， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】．如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角形的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图②，则的长为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角形的较长的直角边长为， ， 即， 解得（负值舍去）． 【变式2】．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 【答案】或 【分析】利用菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质及勾股定理，分两种情况画出图形进行解答即可：①；②． 【详解】解：∵与菱形的对角线平行，而菱形的对角线有和， ∴分和两种情况进行讨论： ①当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【变式3】．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题技巧：已知底和高，直接用底乘高计算；已知两条对角线长度，优先使用菱形专属面积公式；无直接条件时，先求边长、对角线，再代入公式求值。 【典例3】．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，结合菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线、的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ，， 菱形的面积． 【变式1】．如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O，， ∴菱形的面积为， 【变式2】．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，．结合已知得到，，利用勾股定理求得，则，然后利用菱形的面积公式求解面积即可；再证明四边形是平行四边形，得到，．利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴菱形的面积为； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 【变式3】．已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 【答案】 或 【分析】根据菱形的性质，菱形邻角互补，对角线互相垂直平分，且平分内角，已知一个内角为，可得相邻内角为，需分已知对角线为短对角线和长对角线两种情况讨论，利用勾股定理求出另一条对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：设菱形中，，对角线，交于点， 由菱形的性质可得：，，，，平分，平分，， 分两种情况讨论： 当长度为的对角线是较短对角线时，如图所示，， ，， 是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 菱形面积， 当长度为的对角线是较长对角线时，如图所示，， ， 设，在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负根）， ，， 菱形面积， 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题技巧：证明线段相等、角相等、线段垂直时，调用菱形四边相等、对角线垂直且平分内角的性质，结合全等三角形、等腰三角形性质完成几何推理证明。 【典例4】．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由两对对边平行证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得，，再由勾股定理求出，再求矩形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， 在中，，， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 【变式1】．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，，，证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是矩形； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在菱形中，对角线，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图1，在矩形中，，，分别是，的中点，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是怎样的四边形（点相遇时除外）? 答：______．（直接填空，不用说理） (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若向点运动，向点运动，速度均为每秒个单位长度，且与点同时出发，当四边形为菱形时，的值为______． 【答案】(1)平行四边形 (2)矩形，理由见详解 (3) 【分析】（1）先证明，得出，进而得到，即可证明； （2）根据题中条件及（1）中结论，当时，证得的两条对角线相等即可； （3）根据菱形的判定与性质证得四边形为菱形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，则， 分别是中点， ， ， 由题意得， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形为矩形， 理由如下： 在中，，，则由勾股定理可得， 当时，，连接，如图所示： 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ，， 由（1）知四边形是平行四边形，则，， 在中，，则由勾股定理可得， ， 则， 在中，， 则四边形为矩形； （3）解：令分别是，的中点，连接与交于，如图所示： ， 由题意知，则， 在矩形中，， ， 则四边形是平行四边形， ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得x， ，即， ∴当时，四边形为菱形． 【变式3】．如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形； （2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，、为对角线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 故的长为． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 解题技巧：已知平行四边形：添加一组邻边相等或对角线互相垂直即可；已知普通四边形：可添加四条边相等、对角线互相垂直且平分，优先补充最简条件。 【典例5】．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线与交于点， ∴ ，， 对选项A：∵ ， ∴ ，即，可得平行四边形是矩形，不能判定它是菱形； 对选项B：∵ 一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 可判定是菱形； 对选项C：∵ 中， ∴ ，又， ∴ ， ∴ ，可判定是菱形； 对选项D：∵ ，， ∴ 由可得，由勾股定理逆定理得，即，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； 综上，不能判定一定为菱形的是选项A． 【变式1】．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，不能证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得． 【详解】解： ①，不能作为构成菱形的条件； ②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； ③时，平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【变式3】．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型6 证明四边形是菱形】 解题技巧：根据题干条件灵活选方法：条件含边长，优先证四边相等；条件为平行四边形，证邻边相等或对角线垂直；结合题干已知条件，简化证明步骤，避免多余推理。 【典例6】．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】．如图，在矩形中，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点B，点D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：作直线分别交于点E，点F，连接．请根据以上步骤，解答以下问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由即可证得四边形是菱形； （2）设，在中，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明: ∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴点是矩形的对称中心， ∴， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴四边形是菱形； （2）解: 设，则， 在中，， 即 解得 ， ， ． 【变式2】．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，结合，可得，从而可得结论； （2）由菱形的性质可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为120，与的和34， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 【变式3】．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接、． (1)求证：； (2)四边形能否成为菱形？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 (3)当为秒或秒时，是直角三角形 【分析】（1）由题意得、，根据直角三角形的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）易证明四边形是平行四边形，若四边形是菱形，则需，利用得到，据此列出等式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，证明四边形为矩形，进而得到，根据含角的直角三角形的性质得到，进而求出长，据此列出等式求解；②当时，由（2）知，四边形是平行四边形，进而求出，根据含角的直角三角形的性质得到，据此列出等式求解；③当时，、、三点共线，不构成三角形，该情况不存在． 【详解】（1）证明：在中，， 由题意得：、， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：四边形能成为菱形，理由如下： 、， ，即， 由（1）知，， 四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，则需， 、， ， ， ， 解得， ， 当时，四边形是菱形； （3）解：若是直角三角形，分三种情况讨论： 当时， ， 四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， 由（2）知，， ， 解得； 当时， 由（2）知，四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， 由（2）知，， ， 解得； ③当时，此时、、三点共线，不构成三角形， 则该情况不存在； 综上所述，当为秒或秒时，是直角三角形． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定定理，熟练掌握相关性质定理，分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题技巧：先通过判定定理证明图形为菱形，再利用菱形对角相等、邻角互补、对角线平分内角的性质，结合直角三角形、等腰三角形特征，综合求解角度。 【典例7】．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质．根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【变式2】．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式3】．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平分，可得，利用四边形是平行四边形，求证即可; （2）连接、，根据平分，四边形是矩形，可得和都是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，可得，，，证明，即可得是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长、交于点，连接，求证四边形是菱形，证明可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，． ，． 平分， ． ． ， ． ． （2）如图，连接、， ∵四边形是矩形， ，． ． 平分， ． ． ，，． ． 又是的中点， ，，． ． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． （3）如图，延长、交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ∴四边形为平行四边形． ，平分， ，． ． ． ， ． ∴平行四边形为菱形． ，． 、为等边三角形． ． ， ， ∴四边形为平行四边形． ，． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题技巧：先判定四边形为菱形，得到四边相等、对角线垂直平分的等量关系，再结合勾股定理、线段中点性质，转化线段关系，求解各类线段长度。 【典例8】．如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，证明四边形为菱形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出的长，求出的长，利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵交于点F，E为的中点， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 【变式1】．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】连接，设交于点H，由作图可得，，平分，根据菱形的判定证明四边形是菱形，则，，，在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点H． 由作图可得，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴． 【变式2】．如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 【答案】40 【分析】由，，判定四边形是平行四边形，由平行线的性质推出，得到，推出，判定平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形的周长为． 【变式3】．如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形的中位线定理，得到，结合，证明四边形平行四边形，平行结合角平分线，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，得到，结合菱形的性质，线段的和差关系，求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，点、分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点到，的距离相等， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知：，四边形是菱形， ∵菱形的周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题技巧：先判定图形为菱形，再根据题干已知条件，灵活选用底乘高或对角线乘积的一半两种面积公式；优先选择计算简便的公式，快速求出图形面积。 【典例9】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，，点到和的距离相等，均等于纸条的宽， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积纸条的宽纸条的宽， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴四边形的面积为. 【变式1】．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，菱形的判定，菱形的面积等知识点，熟练掌握及运用勾股定理是做题的关键．先求得四个全等的直角三角形的斜边长为，即可得出图1中的的长度；设两条直角边分别为，，利用图3的外轮廓周长为，求得，再判定图1中的四边形为菱形，根据面积公式，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 【变式2】．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，再证明，则可证明四边形为平行四边形；由直角三角形的性质得到，据此可证明平行四边形为菱形； （2）由平行四边形的性质得到，求出，证明，，可得到，，则；可证明，，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用矩形性质和线段垂直平分线的性质，证明四边形是平行四边形，再结合邻边相等的条件，证明其为菱形． （2）设菱形边长为，在中利用勾股定理求出边长，再用底×高计算菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：设菱形的边长为，则， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 在中，由勾股定理得： ，即， 解得． ∴， ∴菱形的面积：． 05 过关•检测 1．艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意可知，可得，再根据平行线的性质得，然后根据平行线的性质得，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 3．小明将由四条长为10的木条组成的菱形沿向右推至四边形的位置，如图所示，当，且菱形与四边形的大小完全一致时，的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】连接，交于O，菱形与四边形的大小完全一致，得到，，根据勾股定理求出，得到，即可求得 【详解】解：连接，交于O， ∵菱形与四边形的大小完全一致， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ 4．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式求出的长，利用菱形对角线互相平分得出为中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 菱形的面积，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 5．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线互相垂直平分 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质及判定条件逐一判断，即可作答． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项是正确的，不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故该选项是错误的，符合题意； C、菱形的两条对角线互相垂直平分，故该选项是正确的，不符合题意； D、顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，故该选项是正确的，不符合题意； 故选：B 6．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 7．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（   ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质逐一判断选项，即可找出正确答案． 【详解】解：菱形的性质为：四条边都相等，对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，仅特殊菱形（正方形）的对角线相等． A 菱形四边一定相等，不符合题目要求； B 菱形对角线一定互相垂直，不符合题目要求； C 菱形对角线不一定相等，符合题目要求； D 菱形一定是轴对称图形，不符合题目要求． 8．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 9．在下列方案中，能够得到是的平分线的是（   ） 方案I： 取，以，为顶点作平行四边形，连接． 方案II： 取，以为顶点作矩形，连接，交于点，连接． A．方案I可行，方案II不可行 B．方案I、II都可行 C．方案I不可行，方案II可行 D．方案I、II都不可行 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质，解题的关键是正确推理． 根据菱形的性质与判定和矩形的性质证明即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， （菱形的性质）， 是的平分线； 方案Ⅱ： 矩形， （矩形的性质）， ，， ， ， 是的平分线； 综上所述，方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：B． 10．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 11．已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的度数之比为，则这个菱形的较大内角为________． 【答案】/120度 【分析】根据已知条件，设，则，由菱形的对角线互相垂直得出方程，解方程得出各个内角的度数，找到菱形内的较大内角，通过计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴，， ∴菱形的较大角． 12．如图，菱形的对角线与相交于点，，，于点，点，分别为，的中点，连接，．则的值为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别求出、的长，最后求和即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，点为的中点， ， 在中，点为的中点， ， ． 13．如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质及面积求法，三角形面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点作于点，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式，得到，证明是等腰直角三角形，从而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 【答案】5 【分析】如图，在的上方作，且使得，连接．证明，得到．易证．当三点共线时，取最小值，即为的长．即可求解． 【详解】如图，在的上方作，且使得，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当三点共线时，取最小值，即为的长． ∵的长为， ∴，即的长为． 15．如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②③ 【分析】先证明是等边三角形，利用可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和得到，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即平分，故③正确； ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 16．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明，进而证明四边形为平行四边形，则； （2）连接，证明四边形为平行四边形，进而证明为矩形则；证明为等边三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ，即， ； 又， ∴四边形为平行四边形， ； （2）解：如图所示，连接， 四边形为菱形， ，， ，即， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∵， 为矩形， ； ∵， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 17．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明四边形是矩形即可求证； （）由（）可得，设，，利用勾股定理可得，即得，，得到，，再根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴，， ∴． 18．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在线段上（不与点O，B重合），点F在线段上，且，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据菱形的性质得，，，即可得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，然后“根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，． ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 19．【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 【答案】(1)菱形 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合可得，，由此判定为菱形； （2）容易判断四边形也是菱形，由菱形的性质可得，，，，，结合平行四边形的性质和中点的性质可得，，，命题得证； （3）分两类讨论，当四边形为矩形时，作于点，作于点，设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得可得，，，容易证明四边形是矩形，则，．由矩形的性质可得，，则，从而得到，进一步计算出，因此；当四边形为菱形时，延长交于点，设，容易判断，，从而判断是等边三角形，则，进而计算出，因此． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：同理（1）可得，四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵为边的中点，为边的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）可知，四边形是平行四边形， 又∵四边形为轴对称图形， ∴四边形为矩形或菱形， ①当四边形为矩形时，如图，作于点，作于点，设， ∵为边的中点，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，如图，延长交于点，设， 由①可知，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 20．阅读与理解 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下：如图2， 第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法… 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)类比操作： 如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； (2)拓展探究： ①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使； ②如图5，四边形是平行四边形，点在上，，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②见解析 【分析】（1）结合菱形的性质可证，由全等三角形性质即可得证； （2）①结合菱形的性质可证，由全等三角形性质即可得证；②结合平行四边形的性质可判定四边形是平行四边形，再判定即可得证. 【详解】（1）解：连接，交于点O， 连接并延长交于点G， 连接，如图，则，为所求； （2）解：①连接，交于点， 连接并延长交于点，如图，则点为所求； ②连接，交于点，连接， 连接并延长交于点， 如图，为所作． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $