2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册全册综合测试卷(基础版)

**基本信息** 高中数学选择性必修三期末基础卷，以科技（人形机器人）、社会热点（充电桩建设）、文化传承（六艺课程）为情境，覆盖排列组合、概率统计等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养数据观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|二项式定理、正态分布、古典概型|第2题书架取书考查分步乘法计数原理，夯实基础概念| |选择题（多选）|3/18|分布列、线性回归、排列问题|第11题六艺课程排列，融合文化情境与逻辑推理| |填空题|3/15|二项式展开项、独立性检验、条件概率|第14题外卖骑手配送，联系生活实际考查概率应用| |解答题|5/77|二项式定理应用、概率分布列、回归模型|第18题商场促销方案通过期望计算培养决策能力；第19题充电桩建设运用回归模型体现数学建模与预测|

选择性必修第三册全册综合测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】A 【分析】写出展开式通项，令的指数为0即可求解. 【详解】展开式通项 ，令 得. 所以常数项为，解得. 2．某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 3．已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【分析】利用正态分布曲线对称性求解即可. 【详解】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则． 4．若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 【答案】A 【详解】因为， 所以． 5．以下结论错误的是（    ） A．命题：“，”的否定为“，” B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D．回归直线一定过样本中心 【答案】C 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断；对于B，根据正态分布的特征判断；对于C，根据决定系数的意义判断；对于D，根据回归直线的特征判断. 【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么 ，所以，，故B正确； 对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误； 对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确. 6．某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了200名患者进行双盲实验．其中100人服用新药，100人服用旧药，统计结果如下表 治愈 未治愈 合计 服用新药 67 33 100 服用旧药 48 52 100 合计 115 85 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中． 则下列说法正确的是（    ） A．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 B．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 C．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 D．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 【答案】D 【分析】求出的值，即可得答案。 【详解】因为， 又因为当时，对应的犯错的概率为， 所以有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效. 7．若事件A，B满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率和并事件的概率公式求解. 【详解】，代入，得到， 又因为， 所以. 8．的展开式中，的系数为（    ） A．220 B． C．100 D． 【答案】B 【详解】的展开式的通项为， 所以含有的项的系数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法正确的是（    ） A．变量x，y正相关 B． C．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 D．当时，残差为 【答案】ABD 【分析】求出样本中心点，进而求出经验回归方程，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确； 对于B，， 因此，B正确； 对于C，，当时，（百台），C错误； 对于D，当时，，残差为，D正确. 11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D．课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种 【答案】ABD 【分析】利用间接法计算判断A项；考虑到“射”与“御”的相对位置只有2种，即可求出排法判断B；利用插空法计算判断C，D两项即可. 【详解】对于A，应用间接法，总排法， 减去“数”在第一天的排法种和“礼”在最后一天的排法种， 再加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的排法种， 即不同排法共有种，故A正确； 对于B，“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，故B正确； 对于C，课程“御”、“书”、“数”互不相邻，则可先排“礼、乐、射”，有种排法， 产生4个空位，将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 故排法数为，故C错误； 对于D，要使课程“御”和“书”不相邻， 只需将课程“御”和“书”在另外四门课留下的5个空中选2个安排，有种排法， 再将另外四门课进行全排有种排法，则不同排法共有种，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中含的项为____. 【答案】 【分析】首先原式变形为，再利用两个二项展开式求含的项. 【详解】, 中项的系数为，的常数项为， 中项的系数为，中项的系数为， 中，常数项为，中项的系数为， 所以展开式中含的项的系数为， 所以的展开式中含的项为. 13．学校对社团展演活动满意度进行调研，随机抽取高一高二学生各50名，每位同学给出满意或不满意的评价，得到列联表.依据，若没有95%的把握认为年级会对满意度评价有差异，则的最小值为__________.附：， 满意 不满意 高一 高二 【答案】21 【分析】根据定义算出的表达式，由题意得，可得出的最小值. 【详解】由题意得，并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值为. 14．已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 / 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知. (1)求展开式中所有项的二项式系数之和； (2)求； (3)求. 【答案】(1)32 (2)121 (3)405 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质，可直接求得二项式系数之和； （2）先分别令和，得到两个等式，再将两个等式相减，即可求得结果； （3）先对已知等式两边求导，再令，即可求得. 【详解】（1）因为中，，所以展开式中所有的二项式系数之和为. （2）因为， 令，可得，即①，令，可得，即②，用①式减去②式得：，即. （3）对两边求导， 可得， 令，可得， 即. 16．4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. （2）由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 17．某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 【答案】(1)，人 (2)表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. （2）由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 18．某商场在春节期间举办促销活动，顾客每次消费超过1000元(含1000元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中一种). 方案1：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，有放回地取3次球，每次只能取1个，每取出1个红球，立减200元，若3次都取出红球，则除了立减的600 元外再减300元(即总共减900元). 方案2：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，不放回地取3次球，每次只能取1个，若取出3个红球，则享受免单优惠；若取出2 个红球，则享受四五折优惠(即只需支付消费金额的45%)；其余情况不享受优惠. (1)已知某参与抽奖的顾客选择方案2，则在他第一次取出红球的条件下，求他能够享受优惠的概率； (2)若某顾客恰好消费了1000元，试从实付金额的期望值角度，分析他应该选择哪种抽奖方案. 【答案】(1) (2)选择方案2更合理，理由见解析 【分析】（1）设他第一次摸出红球为事件A，他能够享受优惠为事件B，分后两次取得1个红球或两个红球两种情况可得，然后由条件概率公式可得答案； （2）分别写出两种方案下实付金额对应期望，即可得答案. 【详解】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则. 设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑， 则第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种， 第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种， 综上，， 所以第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为； （2）若选方案1，设实付金额数为，则的可能值为. 注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为， 则，， ，. 则； 若选方案2，设实付金额数为，则的可能值为. 由（1）可得无放回摸出三球的情况有种， 则，，， 则. 因，则他选择方案2更合理. 19．电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 【答案】(1)的拟合程度更好. (2)经验回归方程为，预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量为6400个. 【分析】（1）分别计算两个模型的相关系数，再进行比较即可. （2）首先计算均值，求出经验回归方程，再代入计算即可. 【详解】（1）对于模型，令，代入公式得. 对于模型，令，代入公式得. 因为，所以的拟合程度更好. （2），. 根据最小二乘估计，. 因此关于的经验回归方程为. 当时，代入得. 因此预测到第8个月时，全市充电桩建成数量为千个. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择性必修第三册全册综合测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 2．某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 3．已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 4．若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 5．以下结论错误的是（    ） A．命题：“，”的否定为“，” B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D．回归直线一定过样本中心 6．某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了200名患者进行双盲实验．其中100人服用新药，100人服用旧药，统计结果如下表 治愈 未治愈 合计 服用新药 67 33 100 服用旧药 48 52 100 合计 115 85 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中． 则下列说法正确的是（    ） A．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 B．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 C．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 D．有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 7．若事件A，B满足，，，则（   ） A． B． C． D． 8．的展开式中，的系数为（    ） A．220 B． C．100 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 10．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法正确的是（    ） A．变量x，y正相关 B． C．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 D．当时，残差为 11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D．课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中含的项为____. 13．学校对社团展演活动满意度进行调研，随机抽取高一高二学生各50名，每位同学给出满意或不满意的评价，得到列联表.依据，若没有95%的把握认为年级会对满意度评价有差异，则的最小值为__________.附：， 满意 不满意 高一 高二 14．已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知. (1)求展开式中所有项的二项式系数之和； (2)求； (3)求. 16．4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 17．某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 18．某商场在春节期间举办促销活动，顾客每次消费超过1000元(含1000元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中一种). 方案1：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，有放回地取3次球，每次只能取1个，每取出1个红球，立减200元，若3次都取出红球，则除了立减的600 元外再减300元(即总共减900元). 方案2：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，不放回地取3次球，每次只能取1个，若取出3个红球，则享受免单优惠；若取出2 个红球，则享受四五折优惠(即只需支付消费金额的45%)；其余情况不享受优惠. (1)已知某参与抽奖的顾客选择方案2，则在他第一次取出红球的条件下，求他能够享受优惠的概率； (2)若某顾客恰好消费了1000元，试从实付金额的期望值角度，分析他应该选择哪种抽奖方案. 19．电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $