学易金卷：高一数学下学期第三次月考02（上海专用，沪教版必修第二册第6～8章三角、三角函数、平面向量）

2025-2026学年高一数学第三次月考卷 参考答案 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 13 14 15 16 答案 B D B A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）（1）与平行，............4分 （2）与垂直，， 即，............8分 故，............10分 即 由于，所以，则或， 故或............14分 18．（本题14分）（1）因为， 根据正弦定理得： 又，所以， 所以， 即， 所以，或（舍）， 所以..................................................................................................7分 （2）根据正弦定理得，即， 有余弦定理，得， 解得或， 当时，，，，则，， 而，矛盾，舍去，故， 所以的面积为.............................................14分 19．（本题14分）（1），..................3分 （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得...........................................................7分 （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为............................................................14分 20．（本题18分）（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为................................................4分 （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为........................................12分 （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为............................................................18分 21．（本题18分）（1）不具有性质，理由如下： 对于任意实数，，即， 不具有性质； 具有性质， 若，则； 的一个取值为（只要满足即可）...................................................4分 （2）由得：，， 是以为周期的周期函数； 当时，，不等式无解； 当时，，则， ，解得：； 综上所述：当时，的解集为； 的解集为............................................................8分 （3），，则只需研究的情况； ①当时， 令且对于任意恒成立， 此时满足，并具有性质，但不恒等于； ②当时，；当时，；当时，； 令且对于任意恒成立， 此时满足，并具有性质，但不恒等于； ③当时，，，，满足题意； ④当时，，， ，又，，， 则，，满足题意； ⑤当时，，， ，又，，， 则，，满足题意； 综上所述：当时，满足题意的的取值集合为， 满足题意的正整数的取值的集合为........................18分 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 2 N 拓 3 0 阳 11. 12. 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15 16题每题5分) 13[A][B][C]D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) E D 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修二 第6章 三角~第8章 平面向量。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．函数的最小正周期为________. 2．若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 3．已知则________. 4．函数的严格减区间是__________. 5．向量在方向上的数量投影为__________. 6．若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 7．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是___________． 8．设向量满足，，且，则______． 9．已知向量，若，则的值为___________. 10．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 11．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 12．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．“”是“（）”成立的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 15．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 16．已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 18．（本题14分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，求的面积． 19．（本题14分）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 20．（本题18分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 21．（本题18分）对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质. (1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由； (2)若函数具有性质，且当时，，解不等式； (3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学第三次月考卷 （考试时间：90分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版必修二第6章三角第8章平面向量。 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.) 1.函数f)=sin x cosx的最小正周期为 2 2.若扇形的圆心角为，弧长为2，则此扇形的面积为 3.己知f(x)=Asin(ax+p)=20sinx+2 1cosx,则tanp= 4.函数y=sn。+cos。的严格减区间是 2. 5.向量a=(-1,2)在b=(1,0)方向上的数量投影为 6.若平面内不共线的四点0、A、B、c满足O5=0A+20c,则 AB 3 BC 7.已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，C是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则 AC·AB的取值范围是 8.设向量a6满足4=1，=√2，且(a-)1a,则(a,)= 9.已知向量a=(2,1),b=(3,x),若a/1(2a+b),则x的值为 10.如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+1AD, 1/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则x= 11.在平面直角坐标系中，已知向量a=(2,-1),b=(cos,sin).若=0，且2a+b和a-乃的夹角为锐 角，则实数2的取值范围为 12.已知函数f(x)=2026a+cOS@x,.x∈[-元，π]（其中a,o为常数，且o>0)有且仅有5个零点，则0的取 值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.“tam0=1是g=2kx+牙(k∈z)成立的（) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.设V是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是() A.若a,b,c∈V,则(a.b)c=ab.c B.若a,b,ceV,a.b=a.c且a≠0，则b=c C.若，beV,则(a.b2=aP.b D.若a,beV,则(a+b-(a-i=-|b2 15.在物理学中简谐运动可以用函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,o>0,9<元)来表示，其部分图象如图所示， 则下列结论正确的是() 13π A.函数y=)的图象关于点（信0成巾心对称 B.函数y=()的解折式可以为/)=2sin2x- C.函数y=f(x)在[0，π]上的值域为[0,2] 2/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D.若把y=f()图象上所有的点向右平移2个单位，则所得函数是y=2sim2x+12) 兀 12 AB BA OB,OC满足OA =0. BC 16.已知三个不共线的向量0A, 则O为△ABC的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题14分)已知平面上的两个向量a=(cosa,sima)(0≤a<2π)，b=(1,√3) (1)若a与b平行，求tana的值： (2)若ā+万与5a-2b垂直，求a的值. 18.(本题14分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=a(1+2cosB) (1)求证：B=2A: (2)若a=3,b=2√6，求△ABC的面积. 3/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(本题14分)如图所示，在△ABC中，AB=1,AC=2,∠BAC=120°，BD=2DA,CE=2EB E A (I)用AB、AC表示AE: (2)若元∈(0,1)，CP=2CB,是否存在实数1使得CD⊥AP？若存在，求出1的值；若不存在，说明理由. (3)若O是△ABC内一点，且满足OC+2OB+mOA=0(>0),求OA.Oc+2OA.OB的最小值. 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.（本题18分)己知函数f(x)=sinxcosx- cos2x. (1)求y=∫(x)的单调递增区间： (②求函数y=f()-在[0,2m上的零点： 3)对任意的x∈工，亚】 6 不等式f(x)-f(x)-1≤0恒成立，求m的取值范围 5/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(本题18分)对于定义域为R的函数y=f(x),若存在实数a使得f(x+a@+f(x)=2对任意x∈R恒 成立，则称函数y=f(x)具有P(a)性质. (1)判断函数f(x)=x2与f(x)=1+simx是否具有P(a)性质，若具有P(a)性质，请写出一个a的值，若不具 有P(a)性质，请说明理由； ②诺函数=)具有P2)性质，且当x®2]时，f)-小-，解不等式/)} e)尼知函数=()，对任意xeK,+1)=f()恒成立，若由y=)具有P 性质能推出f(x) 恒等于1”，求正整数n的取值的集合 6/6 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学第三次月考卷 : (考试时间：90分钟试卷满分：150分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：沪教版必修二第6章三角第8章平面向量。 O 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.) : 1.函数)=分nr6osx的最小正眉期为 2.若扇形的圆心角为行，弧长为2，则此扇形的面积为 不 尽 3.已知f(x)=Asin(ox+p)=20sinx+2lcos,则tanp= : : : 4.函数y=sin+c0s2的严格减区间是 2 : 5.向量a=（-1,2)在b=(1,0)方向上的数量投影为 ○ 6.若平面内不共线的四点0、A、B、C满足OB=}0A+20C,则 AB C 7.已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，C是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则 AC.AB的取值范围是 : : 8. : 设向量a、6满足|d=l,=2,且(a-)1a,则(a,b)= 北 9.已知向量a=(2,1),b=(3,x),若a/12a+b),则x的值为 : . 10.如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+AD, : 则x= 试题第1页（共4页） : : 可学科网·学易金卷做好：限景是鲁普 D B 11.在平面直角坐标系中，已知向量a=(2,-1),b=(cosa,sina).若a=0,且2a+b和a-2b的夹角为锐 角，则实数2的取值范围为 12.已知函数f(x)=2026a+cOS@x,x∈[-π，π]（其中a,o为常数，且o>0)有且仅有5个零点，则o的取 值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.“tan日=1"是“8=2kπ+元(k∈Z)”成立的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.设V是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是() A.若a,b,ceV,则(ab)c=abc B.若a,b,ceV,a.b=a.c且a≠0，则b=c C.若a,beV,则(ab)2a2.b D.若a,beV,则(a+b)(a-b)=a2-b2 15.在物理学中简谐运动可以用函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,ω>0，p<π)来表示，其部分图象如图所示， 则下列结论正确的是() 3πx 1 A。函数y=/()的图象关于点无0成中心对称 B.函数y=f)的解析式可以为f()=2n2x-剂 C.函数y=f(x)在[0，π上的值域为[0,2] D.若把y=f(x)图象上所有的点向右平移亚个单位，则所得函数是y=2sim2x+ 12 12 试题第2页（共4页） 学科网·学易金卷做概意：就限是鲁 AB,CA BA,CB、 CA 16.已知三个不共线的向量OA,OB,OC满足OA =OB·( Ba =oc-f BC=0, 则O为△ABC的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题14分)已知平面上的两个向量a=(cosa,sina)(0≤a<2元)，b=(1,V3), (I)若a与b平行，求tana的值； (2)若a+6与5a-2b垂直，求a的值. 18.(本题14分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=a(1+2cosB): (1)求证：B=2A; (2)若a=3,b=2√6，求△ABC的面积. 19.(本题14分)如图所示，在△ABC中，AB=1,AC=2,∠BAC=120°，BD=2DA,CE=2EB (I)用AB、AC表示AE: (2)若元∈(0,1)，CP=CB,是否存在实数2使得CD⊥AP？若存在，求出2的值：若不存在，说明理由. (3)若O是△ABC内一点，且满足OC+2OB+mOA=0(m>0),求OA.0C+2OA.OB的最小值. 试题第3页（共4页） 20.(本题18分)已知函数f(x)=sinxcosx- 3 2 cos2x (1)求y=f(x)的单调递增区间： （2求函数y=f)在[D.2刘上的零点： 3对任意的xe8引，不等式f广)-似1s0恒破立，求m的取值范围 张 擗 棕 21.(本题18分)对于定义域为R的函数y=f(x),若存在实数a使得f(x+a)+f(x)=2对任意x∈R恒 : 成立，则称函数y=f(x)具有P(a)性质， O (1)判断函数(x)=x2与f(x)=1+sinx是否具有P(a)性质，若具有P(a)性质，请写出一个a的值，若不具 有P(a)性质，请说明理由； (2)若函数y=f(x)具有P(2)性质，且当x∈[0,2]时，f(x)=x-1,解不等式f(x) 3 : 的 : (3)已知函数y-f(x),对任意x∈R,f(x+1)=f(x)恒成立，若由y=f(x)具有P n 12 性质能推出 堂 : “f(x)恒等于1”，求正整数n的取值的集合 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高一数学第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修二 第6章 三角~第8章 平面向量。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．函数的最小正周期为________. 2．若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 3．已知则________. 4．函数的严格减区间是__________. 5．向量在方向上的数量投影为__________. 6．若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 7．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是___________． 8．设向量满足，，且，则______． 9．已知向量，若，则的值为___________. 10．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 11．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 12．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．“”是“（）”成立的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 15．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 16．已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 18．（本题14分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，求的面积． 19．（本题14分）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 20．（本题18分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 21．（本题18分）对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质. (1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由； (2)若函数具有性质，且当时，，解不等式； (3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合. 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修二 第6章 三角~第8章 平面向量。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．函数的最小正周期为________. 【答案】 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 2．若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则， . 3．已知则________. 【答案】/ 【详解】由辅助角公式得 ， 令， 则由同角三角函数的基本关系得. 故答案为：. 4．函数的严格减区间是__________. 【答案】 【详解】， ， 令， 解得：， 故答案为： 5．向量在方向上的数量投影为__________. 【答案】 【详解】因为，， 所以在方向上的数量投影为. 6．若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 【答案】2 【详解】， 又， . 故答案为：2. 7．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 故答案为： 8．设向量满足，，且，则______． 【答案】 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 9．已知向量，若，则的值为___________. 【答案】 【详解】由题意有，由有， 故答案为：. 10．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 11．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 12．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 令 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．“”是“（）”成立的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，有， 当时，， 故是（）的必要非充分条件. 故选：B. 14．设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】由向量的数量积可知是一个与共线的向量，是一个与共线的向量， 故不一定相等，故A错误； 由，可得，因为，所以或，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 15．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 16．已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）与平行，............4分 （2）与垂直，， 即，............8分 故，............10分 即 由于，所以，则或， 故或............14分 18．（本题14分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得： 又，所以， 所以， 即， 所以，或（舍）， 所以..................................................................................................7分 （2）根据正弦定理得，即， 有余弦定理，得， 解得或， 当时，，，，则，， 而，矛盾，舍去，故， 所以的面积为.............................................14分 19．（本题14分）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【详解】（1），..................3分 （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得...........................................................7分 （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为............................................................14分 20．（本题18分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为................................................4分 （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为........................................12分 （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为............................................................18分 21．（本题18分）对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质. (1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由； (2)若函数具有性质，且当时，，解不等式； (3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合. 【答案】(1)不具有性质，理由见解析；具有性质，（只要满足即可） (2) (3) 【详解】（1）不具有性质，理由如下： 对于任意实数，，即， 不具有性质； 具有性质， 若，则； 的一个取值为（只要满足即可）...................................................4分 （2）由得：，， 是以为周期的周期函数； 当时，，不等式无解； 当时，，则， ，解得：； 综上所述：当时，的解集为； 的解集为............................................................8分 （3），，则只需研究的情况； ①当时， 令且对于任意恒成立， 此时满足，并具有性质，但不恒等于； ②当时，；当时，；当时，； 令且对于任意恒成立， 此时满足，并具有性质，但不恒等于； ③当时，，，，满足题意； ④当时，，， ，又，，， 则，，满足题意； ⑤当时，，， ，又，，， 则，，满足题意； 综上所述：当时，满足题意的的取值集合为， 满足题意的正整数的取值的集合为........................18分 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $