精品解析：上海市嘉定区安亭高级中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段练习数学试卷

2025学年第二学期第一次阶段练习 高一数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分．考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．） 1. 已知全集，集合，则______． 2. 不等式的解集为______． 3. 将角化为弧度：______． 4. 函数的值域为______． 5. 已知一个扇形的面积为6π，圆心角为，则该扇形的弧长为______． 6. 若角的终边过点，则______． 7. 已知，且，则______． 8. 已知，则______． 9. 若函数的图象与的图象重合，且，则______． 10. 若是正整数，方程有两个不相等的实数根、，且，则正整数的最小值为______． 11. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°） 12. 如图是由六个正方形拼成的图形，则______． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分．每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 13. 已知在等腰梯形中，，，则（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 16. 记的定义域为D，集合，若，则t的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 17. 如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数． （1）写出这段时间的最大温差（单位：℃）； （2）若，，，．试确定常数A、、、b的值． 18. 在中，，. （1）若，求的值，以及的面积; （2）若，求. 19. 已知，． （1）是否存在常数，使得函数是奇函数； （2）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数，．若存在正常数m、T，使得对于恒成立，则称是D上的“m-类周期函数”，周期为T． （1）已知是定义在上的“2-类周期函数”，周期为2，且当时，．求的值； （2）已知是定义在上的“m-类周期函数”，周期为π，且当时，．若满足，的组成的集合共有2个元素，求正数的取值范围； （3）是否存在非零实数，使得是定义在上的“-类周期函数”，且周期为T？请说明理由． 21. 设，其中；再设，其中． （1）写出当时函数的表达式； （2）证明：当时，； （3）若平面直角坐标系上与的图象在范围内恰有3个不同的交点，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期第一次阶段练习 高一数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分．考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．） 1. 已知全集，集合，则______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为全集，集合， 所以集合在全集中的补集为且. 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的运算法则和解集的表示方法求解即可. 【详解】由不等式可得，即不等式的解集为. 3. 将角化为弧度：______． 【答案】8π 【解析】 【详解】由题意得. 4. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则，可得， 所以函数的值域为. 5. 已知一个扇形的面积为6π，圆心角为，则该扇形的弧长为______． 【答案】2π 【解析】 【详解】由扇形的面积公式，知，解得半径为， 所以扇形的弧长为. 6. 若角的终边过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数诱导公式整理原式，再结合三角函数定义求解. 【详解】由三角函数诱导公式，可得. 已知角的终边过点，设点的横坐标，纵坐标， 该点到原点的距离：， 根据任意角三角函数的定义，， 所以. 7. 已知，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断的符号，然后根据同角的三角函数关系式求出其平方值，进而得到结果. 【详解】因为，所以，所以，而， 所以. 8. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两角差公式得到，再利用二倍角公式求解. 【详解】由， 则， 所以. 9. 若函数的图象与的图象重合，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合诱导公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，且， 则，，且， 所以，. 10. 若是正整数，方程有两个不相等的实数根、，且，则正整数的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由对数的运算以及绝对值的性质求解即可. 【详解】因为方程有两个不相等的实数根、， 所以有，，解得，， 所以要有， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以正整数的最小值为3. 11. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°） 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意可求出，再根据二倍角的正切公式可求得，进而求解. 【详解】由题意知为锐角， 因为E是的中点，横档与杆垂直，所以， 所以为等腰三角形，所以. 又，横档的长度为20，所以， 所以， 所以. 12. 如图是由六个正方形拼成的图形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积运算求夹角余弦值，再结合同角三角函数基本关系式求解正切值即可. 【详解】设小正方形的边长为，如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，可得 ，，， 则，， 所以， 因为，所以， 所以. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分．每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 13. 已知在等腰梯形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 根据题意，，， 所以， 所以. 14. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值可对A、B判断求解；令可对C判断求解；由，可得，可对D求解判断. 【详解】A：令，，此时，故A错误； B：令，，，，此时，故B错误； C：由，当时，，故C错误； D：由，则，所以可得，故D正确. 故选：D. 15. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性判断即可. 【详解】，定义域为，定义域关于原点对称. 又，所以为奇函数. 又的最小正周期为，且， 所以的最小正周期为. 故函数是最小正周期为的奇函数. 16. 记的定义域为D，集合，若，则t的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的定义域，再根据的取值不同，判断选项是否符合 【详解】函数的定义域， 因为 所以， 解得， 当时，，而 再考虑时，， 不包含其他选项的值，故只有A选项正确 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 17. 如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数． （1）写出这段时间的最大温差（单位：℃）； （2）若，，，．试确定常数A、、、b的值． 【答案】（1）℃ （2），，，. 【解析】 【详解】（1）最高温为，最低温为，因此℃ （2）由图象可知，，， ，， 当时，，即， 解得， 因为，所以，即. 18. 在中，，. （1）若，求的值，以及的面积; （2）若，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）已知，，，利用余弦定理，即可求得边；根据面积公式：，代入即可求得面积. （2）先将进行切化弦，再利用边角互化和射影定理，即可求得的值，利用知一求二得的值，最终利用正弦定理求得的结果. 【小问1详解】 根据余弦定理，因为，，， 代入公式计算得：； 根据面积公式：. 【小问2详解】 ； 根据边角互化的原则得：； 化简得：； 根据射影定理：，所以，所以； 根据三角函数的定义得：； 由正弦定理：，将，，代入得：. 19. 已知，． （1）是否存在常数，使得函数是奇函数； （2）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在，当时，函数是奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性及两角和差的余弦公式求解即可. （2）利用两角和的余弦公式化简不等式，分离参数得到，结合单调性求出在上的最小值即可. 【小问1详解】 若是奇函数，则对任意恒成立 即 所以，因为，所以． 故当时，函数是奇函数. 【小问2详解】 若，则， 则不等式对任意恒成立可化为对任意恒成立， 因为在上单调递减，所以， 所以的取值范围是． 20. 已知函数，．若存在正常数m、T，使得对于恒成立，则称是D上的“m-类周期函数”，周期为T． （1）已知是定义在上的“2-类周期函数”，周期为2，且当时，．求的值； （2）已知是定义在上的“m-类周期函数”，周期为π，且当时，．若满足，的组成的集合共有2个元素，求正数的取值范围； （3）是否存在非零实数，使得是定义在上的“-类周期函数”，且周期为T？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，满足题意，理由为： 若存在，则对恒成立 令，则对恒成立． 由于，，所以． 即，当且仅当，时对恒成立． 即存在，． 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出，代入即可求解； （2）根据题意，求出每个区间的解析式，再画出，的图象，根据满足，的组成的集合共有2个元素，转化为与有两个交点，即，从而解得正数的取值范围； （3）假设存在这样的非零实数，根据“​-类周期函数”和周期为T的定义，得到，根据三角函数值域可知，再根据三角函数值相等推出. 【小问1详解】 由题知是定义在上的“2-类周期函数”，周期为2，所以， 故． 【小问2详解】 由题意对恒成立． 当时，，． 当时，，． 画出，的图象，可知，解得． 【小问3详解】 略 【点睛】 21. 设，其中；再设，其中． （1）写出当时函数的表达式； （2）证明：当时，； （3）若平面直角坐标系上与的图象在范围内恰有3个不同的交点，求实数的值． 【答案】（1） （2） 当时，， 令， 因为，可得，可得的开口向上，且对称轴， 由．所以． 当且仅当时等号成立，因为，所以， 所以当时，． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，得到时，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，得到函数与均以为对称轴，画出函数与的图象，结合图象，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 当时，可得， 所以当时，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数与均以为对称轴， 先写出时，在各区间的表达式 若，当时，，当时，； 若，当时，，当时，； 若，当时，，当时，； 由（2）知，当时，，所以第3个交点只能出现在前两个周期内， 画出函数与的图象，如图所示， ①如图（1）所示，当交点为时，可得， 整理得，解得或（舍去）； ②如图（2）所示，当交点为时，可得， 整理得，解得或（舍去）， 综上可得，实数的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $