第01讲 矩形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本初中数学讲义聚焦矩形的性质和判定核心知识点，从矩形定义出发，系统梳理其具有平行四边形性质、对角线相等、四个角为直角的性质，再延伸至定义法、对角线相等的平行四边形、四个角相等的四边形等判定方法，构建完整知识脉络。 资料通过题型分类设计，涵盖利用性质求角度、线段长、面积及折叠问题，结合判定的条件补充与综合证明，培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典例变式练习查漏补缺，提升应用意识。

第01讲 矩形的性质和判定 考点1：矩形的定义 考点2：矩形的性质 考点3：矩形的判定 重点： （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 难点： （1）矩形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是的外角， ． 【变式2】如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 【变式3】如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，再由角平分线得出是等腰直角三角形，得出，证明是等边三角形，得出，，得出，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ . ∵ 平分， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【典例2】如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式1】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出，结合与的周长差得出，再根据矩形周长得出，联立求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵矩形的周长为28， ∴， 即， 联立， 解得，． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，可得；再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在矩形中，，，对角线和交于点O，过点O作垂直于，交于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，连接，由矩形的性质得出，，，，再由线段垂直平分线得出，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得． 故选：C． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【典例3】学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 【变式1】如图，矩形，对角线交于点，过点作分别交于点，点．若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据矩形的性质证明，得出阴影部分面积等于矩形的面积的即可求解． 【详解】：四边形是矩形， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式2】如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，，，则阴影部分的面积是（     ） A．5 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】矩形的性质可证明S△DEM=S△BFM，即可求解． 【详解】解：作PM⊥AB于P，交DC于Q． 则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形， ∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC， ∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC， ∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF， ∴2S△DEM=2S△MFB ∵DE=CF=2，EM=5， ∴S△DEM=S△MFB=×2×5=5， ∴S阴=5+5=10， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF． 【变式3】如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．由矩形的性质可得，，，由题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，可得，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∵，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ，， ， 故答案为：． 【题型4 矩形与折叠问题】 【典例4】如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到 ，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 【变式1】如图，将矩形纸片沿对折，使与重合，再将沿折叠，使点A的对应点N落在折痕上，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∴ ． 【变式2】矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 【变式3】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 知识点2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 【典例5】要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：平行四边形中邻边相等可判定为菱形，只能说明平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则A错误； 选项B：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，则B正确； 选项C：平行四边形本身具有对角相等的性质，是平行四边形固有的性质，不能判定它是矩形，则C错误； 选项D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只能判定平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则D错误． 【变式1】如图，要使成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 【变式2】如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 【变式3】如图，在平行四边形中，下列条件：；；；，能说明平行四边形是矩形的有______（填写序号）．    【答案】①④/④① 【分析】根据矩形的判定方法进行逐项判断即可． 【详解】解： ①由，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判定▱ABCD是矩形，故①符合题意； ②由AB=AD，可以判断▱ABCD是菱形，而不能判定是矩形，故②不符合题意； ③由不能判定▱ABCD是矩形，故③不符合题意； ④∵， ∴， ∴根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判定▱ABCD是矩形，故④符合题意； 综上分析可知，能说明平行四边形是矩形的有①④． 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定，解题的关键熟记矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【题型6 矩形的判定】 【典例6】如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． (1)试探索与之间的数量关系； (2)点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)当O为中点时，四边形是矩形，理由见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义和平行线的性质得，进而得出，同理得，则答案可得； 对于（2），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【详解】（1）解：，理由： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； （2）解：当O为中点时，四边形是矩形． 证明：∵O为中点， ∴． 又由（1）知，， ∴四边形是平行四边形. ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式1】如图，在中，，D为边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作，分别交于点E，F．求证：四边形是矩形 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据题意证明四边形为平行四边形，再结合，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：， ∴四边形为平行四边形．   又， ∴四边形是矩形． 【变式2】如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 【答案】四边形是矩形，见解析 【分析】本题考查矩形的判定，根据由3个角是直角的四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：∵分别是及其邻补角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形． 【变式3】已知：如图，四边形中， ，对角线相交于点O，．若 ，求证：四边形为矩形． 【答案】见详解 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理，根据题意推出对角线互相平分相等即可 【详解】证明：∵ ，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】如图，在中，为对角线，，垂足为点．若，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的逆定理： （1）先利用勾股定理的逆定理证明，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，再在中利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为． 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等： （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，结合可证四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得，结合可证是等边三角形，推出，再利用勾股定理解，再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ． ∵ ∴， 是等边三角形， ， ， 在中，． ∴四边形的面积为． 【变式2】如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理； （1）先证明四边形是平行四边形，再根据垂直，即可求证； （2）根据勾股定理的逆定理，求得是直角三角形，等面积法求得，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 是直角三角形，， 的面积 ， ， 由（）得：，四边形是矩形， ， ， ， ． 【变式3】如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点是等边三角形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的性质，勾股定理． （1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质，得到，即可得证； （2）根据勾股定理，进行求解即可． 掌握矩形的判定方法和性质，是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形， ，则， ． 1．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，，则的长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得到、及，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 3． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】根据矩形与平行四边形的性质差异，只需找出矩形有、普通平行四边形没有的核心特征即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的基本性质为对边互相平行，对边长度相等，对角线互相平分，这些性质矩形都具有， 因此选项A，C，D不符合要求； ∵ 矩形是特殊的平行四边形，其区别于普通平行四边形的核心特征是四个内角均为直角， ∴普通平行四边形不满足该性质． 4．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是长方形中，，可得点纵坐标和相同，又根据点在第二象限，，即可求出的横坐标. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，， ∴． 5．如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断. 【详解】∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A， ∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D，排除B与C． 故选D． 6．如图，中，，，，是上的动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，可证四边形是矩形，可得，当时，的值最小，即线段有最小值，在中，可求出的值，根据等面积法即可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即线段有最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴是斜边的高， ∴， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：． 【点睛】本题主要考查线段最小值的计算，等面积法求三角形的高，掌握矩形的判定和性质，线段最小值的转换方法，等面积法求高是解题的关键． 7．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 8.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为________ ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明是等边三角形，求出，进而求出，利用即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，点E恰好为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴，， ∴矩形的面积为； 故答案为：． 9．如图，将一张长方形纸片沿折叠，与交于点，点、点分别落在点、点的位置上，若，则______．    【答案】/100度 【分析】利用矩形的性质即平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得，再利用平行线的性质即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 又长方形纸片沿折叠， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、平行线的性质，熟练掌握其基本知识是解题的关键． 10．如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处，若，，则______． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．由矩形的性质得，，由折叠得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，,， 由折叠得， ， ， 故答案为：． 11．如图，在矩形中，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）结合矩形的性质，证明，即可得证； （2）根据题意得出，是等腰直角三角形，根据，，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ，． ， ． ． （2）， ， 又， 是等腰直角三角形， ． 在矩形中， ， 是等腰直角三角形． ． 同理，． 在矩形中，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 矩形的性质和判定 考点1：矩形的定义 考点2：矩形的性质 考点3：矩形的判定 重点： （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 难点： （1）矩形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【典例2】如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3】如图，在矩形中，，，对角线和交于点O，过点O作垂直于，交于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【典例3】学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【变式1】如图，矩形，对角线交于点，过点作分别交于点，点．若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．8 C．12 D．24 【变式2】如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，，，则阴影部分的面积是（     ） A．5 B．10 C．12 D．14 【变式3】如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是______． 【题型4 矩形与折叠问题】 【典例4】如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将矩形纸片沿对折，使与重合，再将沿折叠，使点A的对应点N落在折痕上，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【变式3】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 知识点2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 【典例5】要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，要使成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【变式3】如图，在平行四边形中，下列条件：；；；，能说明平行四边形是矩形的有______（填写序号）．    【题型6 矩形的判定】 【典例6】如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． (1)试探索与之间的数量关系； (2)点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 【变式1】如图，在中，，D为边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作，分别交于点E，F．求证：四边形是矩形 【变式2】如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 【变式3】已知：如图，四边形中， ，对角线相交于点O，．若 ，求证：四边形为矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】如图，在中，为对角线，，垂足为点．若，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 【变式1】如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【变式2】如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【变式3】如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点是等边三角形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 1．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，，则的长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 4．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，，是上的动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）      A． B． C． D． 7．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 8.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为________ ． 9．如图，将一张长方形纸片沿折叠，与交于点，点、点分别落在点、点的位置上，若，则______．    10．如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处，若，，则______． 11．如图，在矩形中，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $