第04讲 三角形的中位线和反证法（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本初中数学讲义聚焦三角形中位线和反证法核心知识点，系统梳理中位线概念、定理（平行且等于第三边一半）及应用，反证法的步骤（反设、归谬、结论）与证明。通过概念辨析、定理推导、题型训练（角度、长度、周长计算等）构建递进式学习支架。 资料特色在于分层设计题型与实际问题（如测量湖面距离），培养数学眼光中的几何直观与应用意识。通过典例变式强化推理能力，助力教师突破难点，学生课后可通过实例巩固，提升逻辑思维与问题解决能力。

第04讲 三角形的中位线和反证法 考点1：三角形的中位线 考点2：反证法 重点：（1）三角形中位线定理的理解、证明与应用； （2）反证法的概念、一般步骤，用反证法证明简单命题。 难点★：（1）中位线定理的灵活应用（尤其是构造中位线解决综合问题）； （2）反证法中 “反设” 的准确性、“归谬” 的逻辑推导，理解反证法的思维本质 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理（中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），能运用定理进行计算、证明。 2.理解反证法的概念，掌握反证法的一般步骤（反设、归谬、结论），能用反证法证明简单的几何命题。 3.能区分三角形中位线与中线，掌握中位线定理的常见应用场景。 知识点1 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【题型01:利用三角形的中位线求角度】 【典例1】如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 【变式1】如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 【变式2】如图，四边形中，，取的中点，的中点，连接、，，则的度数为_____． 【变式3】如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接．若，，则的度数为________． 【题型02:利用三角形的中位线求线段的长度】 【典例2】如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式2】如图，点D、E分别为的中点，F在上，平分，若，的长是（    ）    A．2 B．3 C．5 D．8 【变式3】如图，在中，，，平分，于点D，的延长线交于点F，E为的中点，求的长（   ） A． B． C． D． 【题型03:利用三角形的中位线求周长】 【典例3】的周长是，一条中位线，另一条中位线，则第三条中位线的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】如图，平行四边形的周长为48，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是（   ） A．12 B．21 C．18 D．24 【变式3】如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 【题型04:与三角形中位线有关的规律探究】 【典例4】如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【题型05:三角形中位线的实际应用】 【典例5】学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的五一劳动节系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，调查组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是_____． 【变式1】如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得 ，则，两点的距离为______． 【变式2】某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【变式3】如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 知识点2 反证法 反证法：一种间接证明的数学方法，当直接证明一个命题有困难时，通过否定结论→推出矛盾→肯定原命题的逻辑来完成证明。 反证法的一般步骤（3 步核心） 反设（否定结论）：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（需全面、准确，不能遗漏反面情况）。 归谬（推出矛盾）：从这个假设出发，结合已知条件、定理、公理等，通过逻辑推理，推出与已知条件、定理、公理、假设本身等相矛盾的结果。 结论（肯定原命题）：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确 【题型06 反证法证明中的假设】 【典例6】用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【变式1】用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【变式2】用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【变式3】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【题型07 用反证法证明命题】 【典例7】用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 【变式1】证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【变式2】用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 1．如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A．3 B．6 C．9 D．12 3．用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，点D，E，F分别是各边上的中点，若，则四边形的周长为（　 ） A．7 B．14 C．21 D．无法确定 5．如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 6．如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 7．用反证法证明某一命题的结论“是直角”时，应假设____________． 8．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则______． 9．如图，为中的外角平分线，于，为中点，，，则长为______． 10．用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 11．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 12．数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．已知：如图1，中，，分别是边，的中点． 求证：，． 【定理探究】 (1)下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二 证明：如图3，过作交于点，过作交直线于点． 【定理应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点和点，使，连接，并分别找到和的中点，，若测得，，则，两地间的距离为________． 13．如图，在四边形中，，分别是，的中点． (1)若，，，，求的长； (2)若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 三角形的中位线和反证法 考点1：三角形的中位线 考点2：反证法 重点：（1）三角形中位线定理的理解、证明与应用； （2）反证法的概念、一般步骤，用反证法证明简单命题。 难点★：（1）中位线定理的灵活应用（尤其是构造中位线解决综合问题）； （2）反证法中 “反设” 的准确性、“归谬” 的逻辑推导，理解反证法的思维本质 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理（中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），能运用定理进行计算、证明。 2.理解反证法的概念，掌握反证法的一般步骤（反设、归谬、结论），能用反证法证明简单的几何命题。 3.能区分三角形中位线与中线，掌握中位线定理的常见应用场景。 知识点1 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【题型01:利用三角形的中位线求角度】 【典例1】如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由三角形内角和定理以及等边对等角可得，再根据等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质可得、，易得，再根据直角三角形的性质可得，即，最后运用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等边对等角，根据题意，易得分别为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵是对角线的中点，、分别是、的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】如图，四边形中，，取的中点，的中点，连接、，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形中位线定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据点是中点，，则，所以，由三角形外角性质可得，又为的中点，点是中点，则为中位线，最后根据角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接．若，，则的度数为________． 【答案】30 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由平行四边形的性质可得，根据中位线性质可得，进而根据平行线的性质得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴是是中位线， ∴， ∴． 故答案为：30． 【题型02:利用三角形的中位线求线段的长度】 【典例2】如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理计算即可解题． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理可得，由及已知条件求出的值，进而求得周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是中点， ，是的中位线， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 【变式2】如图，点D、E分别为的中点，F在上，平分，若，的长是（    ）    A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】先证明是的中位线，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵点D、E分别为的中点，且，， ∴为的中位线，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，，，平分，于点D，的延长线交于点F，E为的中点，求的长（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，得出，，求出，再结合三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 【题型03:利用三角形的中位线求周长】 【典例3】的周长是，一条中位线，另一条中位线，则第三条中位线的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据中位线的性质计算三角形两边长，从而得到第三条边长，进而根据中位线性质即可得到答案． 【详解】解：一条中位线，另一条中位线， 故对应的边长分别为和， 的周长是， 第三条边长为， 第三条中位线的长是， 故选： C． 【变式1】如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵的平分线与边相交于点F， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴． 【变式2】如图，平行四边形的周长为48，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是（   ） A．12 B．21 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，结合题意得到，，由三角形周长的计算得到的周长，由此代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴的周长 ． 【变式3】如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 【答案】B 【分析】依据平行四边形的周长为24，即可得到，再根据，，，即可得到的周长． 【详解】解：平行四边形的周长为24， ， 平行四边形对角线、交于点，且， ，， ， ． 又， 则在中，， 的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型04:与三角形中位线有关的规律探究】 【典例4】如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2024个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： ，、、分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， 第n个小等边三角形的周长为 第2024个小等边三角形的周长为． 故选：A． 【变式1】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证明四边形是菱形，可求出，进而得出的值，找出规律即可计算出的值． 【详解】解：∵点D、E是边的中点， ∴，且，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理求得 ， …… ， ∴， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理并能进行推理计算是解题关键． 【变式2】如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 【题型05:三角形中位线的实际应用】 【典例5】学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的五一劳动节系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，调查组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是_____． 【答案】20 【分析】根据三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 【变式1】如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得 ，则，两点的距离为______． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 【变式2】某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【变式3】如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 知识点2 反证法 反证法：一种间接证明的数学方法，当直接证明一个命题有困难时，通过否定结论→推出矛盾→肯定原命题的逻辑来完成证明。 反证法的一般步骤（3 步核心） 反设（否定结论）：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（需全面、准确，不能遗漏反面情况）。 归谬（推出矛盾）：从这个假设出发，结合已知条件、定理、公理等，通过逻辑推理，推出与已知条件、定理、公理、假设本身等相矛盾的结果。 结论（肯定原命题）：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确 【题型06 反证法证明中的假设】 【典例6】用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤，第一步需假设命题结论不成立，找到结论的反面即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需假设原结论不成立， ∵原命题结论为，它的反面是， ∴第一步应该假设，即选项A符合题意． 【变式1】用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需确定原结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步是假设命题结论不成立， 本题原结论为 ， 其否定为 ， ∴ 第一步应假设． 【变式2】用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 【变式3】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 【题型07 用反证法证明命题】 【典例7】用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 【答案】证明过程见解析 【详解】证明：假设三角形三个内角都大于，则，，， ，与三角形内角和为矛盾，故假设不成立，原命题成立． 【变式1】证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【变式2】用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 1．如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：∵中，点D，E分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴． 2．如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可知为中点，进而根据中位线定理可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 3．用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立． 【详解】解：∵ 原命题的结论是“”， ∴ 其否定为“”. 故第一步应假设“若，则”， 故选：D． 4．如图，点D，E，F分别是各边上的中点，若，则四边形的周长为（　 ） A．7 B．14 C．21 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据中位线性质得出，，再根据，，求出四边形的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是各边上的中点， ∴，， ∵，， ∴． 5．如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 6．如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 7．用反证法证明某一命题的结论“是直角”时，应假设____________． 【答案】不是直角 【分析】本题考查反证法，解此题的关键是掌握反证法的一般思路及解题步骤．根据反证法的步骤，得出是直角的反面是不是直角即可． 【详解】解：反证法证明“是直角”时，应先假设不是直角． 故答案为：不是直角． 8．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则______． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线定理和平行线的性质以及角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点F， ∴， ∴. 9．如图，为中的外角平分线，于，为中点，，，则长为______． 【答案】 【分析】延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】延长、交于点， 于， ， 为中的外角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． 10．用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 【答案】，同位角相等，两直线平行，；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据反证法证明的基本思路，平行线的判定和性质，求解即可． 【详解】解：证明：假设，过点M作直线，使得， 根据同位角相等，两直线平行，可得到， 又因为，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾， 故假设不成立，所以． 11．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 12．数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．已知：如图1，中，，分别是边，的中点． 求证：，． 【定理探究】 (1)下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二 证明：如图3，过作交于点，过作交直线于点． 【定理应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点和点，使，连接，并分别找到和的中点，，若测得，，则，两地间的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一、证明，根据全等三角形的性质可证且，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可证结论成立； 方法二、证明，根据全等三角形的性质可证，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证结论成立； （2）连接并延长，交延长线于，可证，根据全等三角形的性质可知，，可证是的中位线，根据中位线的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：方法一： 证明如下：在中，是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 点是边的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，； 方法二： 证明如下：过作交于点，过作交直线于点， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， 点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； （2）解：如下图所示，连接并延长，交延长线于， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， 是中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ． 13．如图，在四边形中，，分别是，的中点． (1)若，，，，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）如图1，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理可求的长． （2）如图2，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理得，将，代入即可证明． 【详解】（1）解：如图1，取的中点，连接， ∵，， ∴分别是的中位线 ∴，，， ∴，，， ∴ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴的长为． （2）证明：如图2，取的中点，连接， ∵，， ∴分别是的中位线 ∴，，， ∴， ∵ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $