7.3 常用分布（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

7.3常用分布 题型1 二项分布的概率计算 1．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 【答案】 【解析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 2．某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率______. 【答案】 【解析】设X表示三次射击命中10环的次数，则X服从二项分布， 所求概率为. 3．某篮球运动员投球的命中率是，则他投球4次，恰好投进3个球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设他投球4次，投进球的个数为，则. 根据二项分布的概率公式可知投球4次，恰好投进3个球的概率为. 故选：C. 4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若移动5次质点位于的位置，则向左移动3次，向右移动2次， 所以质点位于的位置的概率为，故选B. 题型2 二项分布的期望与方差 5．已知随机变量满足，若，则期望______． 【答案】1 【解析】， 因为，所以，故. 6．已知随机变量，且，则___________. 【答案】10 【解析】由于随机变量，，故， 则，故. 7．抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记X表示掷出的点数为合数的次数，则X的数学期望________． 【答案】 【解析】记事件A表示“掷出的点数为合数”，样本空间， 事件，故. 每次掷出的点数为合数的概率不变，抛掷4次相当于4次独立重复试验，， 故． 8．做投掷一枚骰子的试验，当出现1或2时，就说明这次试验成功，假设骰子质地均匀，则在6次这样的试验中成功次数的期望为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】根据题意可知，符合二项分布即， 所以，故选：A． 题型3 超几何分布的概率计算 9．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【解析】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 10．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 【答案】 【解析】法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 11．一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 ___________ 【答案】 【解析】由题意根据超几何分布的概率公式，可知. 12．已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】设抽到的男生数为，则服从超几何分布，，解得3. 故选：C. 题型4 超几何分布的期望与方差 13．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则________. 【答案】 【解析】设袋中黑球个数为，则白球个数为， 则，故，则的可能取值为1,2,3， ，，， 故， 14．某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为______． 【答案】/ 【解析】由题意：设取到次品零件个数为，的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以取到次品零件个数的期望为． 15．某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 【答案】 0，1； . 【解析】X的取值可能为0，1．依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 16．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为______.若记取出3个球中黑球的个数为，则______. 【答案】 3 /0.36 【解析】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布，由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1，2，3， 由超几何分布事件分别计算对应概率， ，， 可得分布列如下： 1 2 3 则， . 题型5 正态曲线及其特点 17．关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 【答案】①②③ 【解析】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 18．在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 【答案】①③ 【解析】由题意可得：，其中，即正态分布的对称轴为， 对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确； 对②：分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同，②错误； 对③：分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，③正确； 对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误． 19．某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 【答案】273 【解析】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 20．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确.故选：A. 题型6 利用正态分布的性质求概率 21．某校高二学生的数学期末考试成绩近似服从正态分布，若，则______. 【答案】0.22/ 【解析】. 22．已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】/ 【解析】由正态分布性质得正态曲线关于对称， 因为，所以， 因为正态分布的总概率为1，所以， 则. 23．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得.故选：C. 题型7 正态分布的实际应用 24．某种零件的尺寸（单位：cm）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 【答案】4.6％/ 【解析】由条件可知，，，则， 所以属于区间，即区间的取值概率约为， 故不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的． 25．据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 【答案】8 【解析】由，， 得， 所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有. 26．某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 【答案】 【解析】由题意知，期末考试数学成绩X服从正态分布， 因为，可得， 则， 又因为某地有8000名学生参加考试， 所以估计某地学生数学成绩在130分以上的人数为. 27．假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【答案】C 【解析】因为，则， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，故等级对应“”， 因为考试的成绩服从正态分布，， 则，则A等级的分数线约为115.故选：C. 题型1 二项分布最值问题 28．若，则取得最大值时，_____． 【答案】5 【解析】因为，所以，， 由组合数的性质知，当时最大，此时取得最大值． 29．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则__________． 【答案】10 【解析】，当时，． 显然当时，取得最大值． 30．在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时______. 【答案】 【解析】由数学成绩合格的学生人数，可得， 则满足且， 解得且，所以，所以取最大值时，实数的值为. 31．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.故选. 题型2 常用分布与统计 32．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 33．某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 【解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴ 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， ∴中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， 且 0 1 2 故． 34．为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： (1)若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 【解】（1）通过阅读茎叶图，得知“优秀成绩”为4人，设“优秀成绩”人数为，服从超几何分布,,,，，. 设“至多一人成绩优秀”为事件，则． （2）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率． 表示抽到“优秀成绩”学生的人数， ,,. ，， ， 可取0，1，2，3，故的分布列为 0 1 2 3 故． 35．某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. （2）由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 36．已知随机变量，若，则__________. 【答案】36 【解析】由题知， 所以，解得. 37．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球．甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为_____． 【答案】 【解析】黑球只有一个，各次交换独立，每次交换时，黑球换入的概率显然是，不换入的概率为．由条件，要求黑球换入的次数为偶数，故只能是换入0，2，4次， 从而所求为 38．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 【答案】4 【解析】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 39．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则________． 【答案】 【解析】服从正态分布，且， ． 40．某少年体校田径队招收短跑运动员，前来参加100米项目测试的有120人，他们的测试成绩（秒）近似服从正态分布．已知，则测试成绩（秒）位于的大约有________人． 【答案】 【解析】， 则， 则120人中成绩位于的人数大约为． 41．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为__________；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为__________. 【答案】 【解析】①若先从甲箱摸出的是红球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有 个红球，6个白球（共11个球）， 此时再从乙箱摸出红球的概率为 ； 若从甲箱摸出的是白球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有4个红球， 个白球（共11个球）， 此时从乙箱摸出红球的概率为 . 由全概率公式，可得概率为：； ②服从超几何分布（超几何分布的期望公式为 ， 其中 是抽取数， 是总体红球数， 是总体球数）， 所以：. 42．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】A 【解析】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 43．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以.故选：B 44．一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设质点向右移动次，则向左移动次，最终落在， 质点向右移动服从二项分布， 令，其中 即， 即， 整理得，解得， 所以当时，， 当时，， 则最大， 即质点最有可能向右移动次，最终落在， 所以秒后质点最有可能落在数轴上所对应的位置. 故选：B. 45．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立 理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 46．为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 【解】（1）分别记甲、乙培训合格为事件， 则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率：. （2）由已知得的近似值为的近似值为3， 所以， 而， 所以估计这些员工中成绩超过分的人数为. （3）的所有可能取值为. 且， 所以的分布列为 0 800 1600 2400 47．搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 【解】（1）①根据题意，，得，即厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6． ②， ，则， 易知一件搪瓷水杯等级系数位于区间内的概率约为0.6827，依题意知的二项分布， ． （2）厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为． 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件， ， 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，， 又，故厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 48．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 49．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. （2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 50．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即， 解得，且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 51．某商场组织一次抽奖活动，在商场消费的顾客可进行抽奖，抽奖规则为：抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数小于3，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立．设该顾客抽奖n次． (1)若，求中奖次数多于不中奖次数的概率； (2)若，记：中奖次数与不中奖次数之差为X，求X的期望； (3)设为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，求，，，并说明当n足够大时，的实际意义． 【解】（1）抛掷一枚质地均匀的骰子有6种不同的结果，掷出的点数小于3有2种不同的结果， 所以顾客在一次抽奖活动中中奖的概率为. 若时，设顾客中奖次数为，则不中奖次数为， 由题意可得，解得，所以或， 由二项分布得，， 所以中奖次数多于不中奖次数的概率为； （2）设时，设中奖次数为，则不中奖次数为， 则中奖次数与不中奖次数之差， 因为服从二项分布，所以， 所以. （3）当时，单次抽奖不可能出现连续两次不中奖的概率，故； 当时，连续两次不中奖的概率为， 故未出现连续两次不中奖的概率，； 为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，考虑第1次抽奖结果： 若顾客第1次中奖，则后第次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率为； 若顾客第1次抽奖未中奖，则第2次抽奖必中奖，后第次未出现连续两次不中奖的概率为； 则， 设存在常数使得， 代入递推式，比较系数得：， 解方程，得， 取 ，则有：， 则是以为首项，为公比的等比数列， 则①， 另取，同理可得：， 则是以为首项，为公比的等比数列， 则②， 由①+2②得：，所以. 当足够大时：由于和，故. 实际意义：当抽奖次数非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3常用分布 题型1 二项分布的概率计算 1.【答案】 【解析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 2.【答案】 【解析】设X表示三次射击命中10环的次数，则X服从二项分布， 所求概率为. 3.【答案】C 【解析】设他投球4次，投进球的个数为，则. 根据二项分布的概率公式可知投球4次，恰好投进3个球的概率为. 故选：C. 4.【答案】B 【解析】若移动5次质点位于的位置，则向左移动3次，向右移动2次， 所以质点位于的位置的概率为，故选B. 题型2 二项分布的期望与方差 5.【答案】1 【解析】， 因为，所以，故. 6.【答案】10 【解析】由于随机变量，，故， 则，故. 7.【答案】 【解析】记事件A表示“掷出的点数为合数”，样本空间， 事件，故. 每次掷出的点数为合数的概率不变，抛掷4次相当于4次独立重复试验，， 故． 8.【答案】A 【解析】根据题意可知，符合二项分布即， 所以，故选：A． 题型3 超几何分布的概率计算 9.【答案】/ 【解析】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 10.【答案】 【解析】法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 11.【答案】 【解析】由题意根据超几何分布的概率公式，可知. 12.【答案】C 【解析】设抽到的男生数为，则服从超几何分布，，解得3. 故选：C. 题型4 超几何分布的期望与方差 13.【答案】 【解析】设袋中黑球个数为，则白球个数为， 则，故，则的可能取值为1,2,3， ，，， 故， 14.【答案】/ 【解析】由题意：设取到次品零件个数为，的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以取到次品零件个数的期望为． 15.【答案】 0，1； . 【解析】X的取值可能为0，1．依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 16.【答案】 3 /0.36 【解析】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布，由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1，2，3， 由超几何分布事件分别计算对应概率， ，， 可得分布列如下： 1 2 3 则， . 题型5 正态曲线及其特点 17.【答案】①②③ 【解析】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 18.【答案】①③ 【解析】由题意可得：，其中，即正态分布的对称轴为， 对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确； 对②：分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同，②错误； 对③：分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，③正确； 对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误． 19.【答案】273 【解析】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 20.【答案】A 【解析】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确.故选：A. 题型6 利用正态分布的性质求概率 21.【答案】0.22/ 【解析】. 22.【答案】/ 【解析】由正态分布性质得正态曲线关于对称， 因为，所以， 因为正态分布的总概率为1，所以， 则. 23.【答案】C 【解析】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得.故选：C. 题型7 正态分布的实际应用 24.【答案】4.6％/ 【解析】由条件可知，，，则， 所以属于区间，即区间的取值概率约为， 故不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的． 25.【答案】8 【解析】由，， 得， 所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有. 26.【答案】 【解析】由题意知，期末考试数学成绩X服从正态分布， 因为，可得， 则， 又因为某地有8000名学生参加考试， 所以估计某地学生数学成绩在130分以上的人数为. 27.【答案】C 【解析】因为，则， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，故等级对应“”， 因为考试的成绩服从正态分布，， 则，则A等级的分数线约为115.故选：C. 题型1 二项分布最值问题 28.【答案】5 【解析】因为，所以，， 由组合数的性质知，当时最大，此时取得最大值． 29.【答案】10 【解析】，当时，． 显然当时，取得最大值． 30.【答案】 【解析】由数学成绩合格的学生人数，可得， 则满足且， 解得且，所以，所以取最大值时，实数的值为. 31.【答案】B 【解析】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.故选. 题型2 常用分布与统计 32.【解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 33.【解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴ 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， ∴中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， 且 0 1 2 故． 34.【解】（1）通过阅读茎叶图，得知“优秀成绩”为4人，设“优秀成绩”人数为，服从超几何分布,,,，，. 设“至多一人成绩优秀”为事件，则． （2）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率． 表示抽到“优秀成绩”学生的人数， ,,. ，， ， 可取0，1，2，3，故的分布列为 0 1 2 3 故． 35.【解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. （2）由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 36.【答案】36 【解析】由题知， 所以，解得. 37.【答案】 【解析】黑球只有一个，各次交换独立，每次交换时，黑球换入的概率显然是，不换入的概率为．由条件，要求黑球换入的次数为偶数，故只能是换入0，2，4次， 从而所求为 38.【答案】4 【解析】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 39.【答案】 【解析】服从正态分布，且， ． 40.【答案】 【解析】， 则， 则120人中成绩位于的人数大约为． 41.【答案】 【解析】①若先从甲箱摸出的是红球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有 个红球，6个白球（共11个球）， 此时再从乙箱摸出红球的概率为 ； 若从甲箱摸出的是白球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有4个红球， 个白球（共11个球）， 此时从乙箱摸出红球的概率为 . 由全概率公式，可得概率为：； ②服从超几何分布（超几何分布的期望公式为 ， 其中 是抽取数， 是总体红球数， 是总体球数）， 所以：. 42.【答案】A 【解析】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 43.【答案】B 【解析】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以.故选：B 44.【答案】B 【解析】设质点向右移动次，则向左移动次，最终落在， 质点向右移动服从二项分布， 令，其中 即， 即， 整理得，解得， 所以当时，， 当时，， 则最大， 即质点最有可能向右移动次，最终落在， 所以秒后质点最有可能落在数轴上所对应的位置. 故选：B. 45.【解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立 理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 46.【解】（1）分别记甲、乙培训合格为事件， 则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率：. （2）由已知得的近似值为的近似值为3， 所以， 而， 所以估计这些员工中成绩超过分的人数为. （3）的所有可能取值为. 且， 所以的分布列为 0 800 1600 2400 47.【解】（1）①根据题意，，得，即厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6． ②， ，则， 易知一件搪瓷水杯等级系数位于区间内的概率约为0.6827，依题意知的二项分布， ． （2）厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为． 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件， ， 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，， 又，故厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 48.【解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 49.【解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. （2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 50.【解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即， 解得，且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 51.【解】（1）抛掷一枚质地均匀的骰子有6种不同的结果，掷出的点数小于3有2种不同的结果， 所以顾客在一次抽奖活动中中奖的概率为. 若时，设顾客中奖次数为，则不中奖次数为， 由题意可得，解得，所以或， 由二项分布得，， 所以中奖次数多于不中奖次数的概率为； （2）设时，设中奖次数为，则不中奖次数为， 则中奖次数与不中奖次数之差， 因为服从二项分布，所以， 所以. （3）当时，单次抽奖不可能出现连续两次不中奖的概率，故； 当时，连续两次不中奖的概率为， 故未出现连续两次不中奖的概率，； 为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，考虑第1次抽奖结果： 若顾客第1次中奖，则后第次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率为； 若顾客第1次抽奖未中奖，则第2次抽奖必中奖，后第次未出现连续两次不中奖的概率为； 则， 设存在常数使得， 代入递推式，比较系数得：， 解方程，得， 取 ，则有：， 则是以为首项，为公比的等比数列， 则①， 另取，同理可得：， 则是以为首项，为公比的等比数列， 则②， 由①+2②得：，所以. 当足够大时：由于和，故. 实际意义：当抽奖次数非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3常用分布 题型1 二项分布的概率计算 1．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 2．某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率______. 3．某篮球运动员投球的命中率是，则他投球4次，恰好投进3个球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ）    A． B． C． D． 题型2 二项分布的期望与方差 5．已知随机变量满足，若，则期望______． 6．已知随机变量，且，则___________. 7．抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记X表示掷出的点数为合数的次数，则X的数学期望________． 8．做投掷一枚骰子的试验，当出现1或2时，就说明这次试验成功，假设骰子质地均匀，则在6次这样的试验中成功次数的期望为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 题型3 超几何分布的概率计算 9．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 10．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 11．一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 ___________ 12．已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型4 超几何分布的期望与方差 13．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则________. 14．某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为______． 15．某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 16．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为______.若记取出3个球中黑球的个数为，则______. 题型5 正态曲线及其特点 17．关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 18．在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 19．某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 20．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 题型6 利用正态分布的性质求概率 21．某校高二学生的数学期末考试成绩近似服从正态分布，若，则______. 22．已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 23．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型7 正态分布的实际应用 24．某种零件的尺寸（单位：cm）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 25．据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 26．某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 27．假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 题型1 二项分布最值问题 28．若，则取得最大值时，_____． 29．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则__________． 30．在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时______. 31．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型2 常用分布与统计 32．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 33．某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 34．为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： (1)若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 35．某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 36．已知随机变量，若，则__________. 37．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球．甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为_____． 38．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 39．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则________． 40．某少年体校田径队招收短跑运动员，前来参加100米项目测试的有120人，他们的测试成绩（秒）近似服从正态分布．已知，则测试成绩（秒）位于的大约有________人． 41．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为__________；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为__________. 42．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 43．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 44．一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 45．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 46．为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 47．搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 48．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 49．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 50．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 51．某商场组织一次抽奖活动，在商场消费的顾客可进行抽奖，抽奖规则为：抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数小于3，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立．设该顾客抽奖n次． (1)若，求中奖次数多于不中奖次数的概率； (2)若，记：中奖次数与不中奖次数之差为X，求X的期望； (3)设为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，求，，，并说明当n足够大时，的实际意义． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $