7.3.1 二项分布同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【原卷版】 7.3.1 二项分布 【附录】相关考点 考点一 n重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验； 考点二 二项分布 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数 服从二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为，； 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作； 说明： 1、n重伯努利试验 （1）n重伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做n重伯努利试验； （2）定义：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立。 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验； 2、二项分布 （1）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件发生的次数，则的分布列为，；如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作， 且有，； （2）n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）的分布列可表示为 （4）从这个角度可以证明二项式定理，这是这个分布被称为二项分布的理由； （5）在二项分布的概念中，n，p，k各表示什么意义？ 【解析】n为重复试验的次数；p是在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数． （6）若X～B(n，p)，则P(X＝k)为何值？ 【解析】P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.　 3、二项分布与两点分布有何关系？ 【解析】（1）两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次． （2）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布． 4、二项分布的均值和方差 （1）均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝np. （2）方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 5、确定一个二项分布模型的步骤 （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则（有些资料上，记着 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标，其中是n重伯努利试验的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是(　 ) A．0.607 6 B．0.751 6 C．0.392 4 D．0.248 4 3、设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为（ ） A． B． C． D． 4、在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　) A． B． C． D． 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为 6、将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 7、设随机变量X～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则p的值为 8、若X～B，则P(X＝2)等于 （用分数表示） 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0，1，2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为（ ） A．8　 B．12 C． D．16 10、在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ） A．[0.4，1) B．(0，0.4] C．(0，0.6] D．[0.6，1) 11、现有10 000人参加某保险公司的人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10 000元．如果每人每年死亡的概率为0.006，那么该公司会赔本吗？ 12、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【解析版】 7.3.1 二项分布 【附录】相关考点 考点一 n重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验； 考点二 二项分布 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数 服从二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为，； 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作； 说明： 1、n重伯努利试验 （1）n重伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做n重伯努利试验； （2）定义：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立。 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验； 2、二项分布 （1）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件发生的次数，则的分布列为，；如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作， 且有，； （2）n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）的分布列可表示为 （4）从这个角度可以证明二项式定理，这是这个分布被称为二项分布的理由； （5）在二项分布的概念中，n，p，k各表示什么意义？ 【解析】n为重复试验的次数；p是在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数． （6）若X～B(n，p)，则P(X＝k)为何值？ 【解析】P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.　 3、二项分布与两点分布有何关系？ 【解析】（1）两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次． （2）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布． 4、二项分布的均值和方差 （1）均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝np. （2）方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 5、确定一个二项分布模型的步骤 （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则（有些资料上，记着 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标，其中是n重伯努利试验的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A； 【解析】根据n重伯努利试验的定义可知，只有④符合n重伯努利试验的定义； 2、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是(　 ) A．0.607 6 B．0.751 6 C．0.392 4 D．0.248 4 【答案】A； 【解析】两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32＋C×0.6×0.4×C×0.7×0.3＋0.62×0.72＝0.392 4，故两人投中次数不相等的概率为1－0.392 4＝0.607 6；故选A； 3、设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】由题知随机变量服从二项分布，且它们的概率相同，P(ξ＝0)＝C(1－p)2＝1－，解得p＝，则P(η≥2)＝Cp3＋Cp2·(1－p)＝＋＝. 4、在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝， 所以1－p＝，p＝. 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为 【答案】0.048 6 【解析】P＝C×0.12×(1－0.1)2＝0.048 6； 6、将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 【答案】； 【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次， 所求概率P＝C6＋C6＋C6＝； 7、设随机变量X～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则p的值为 【答案】； 【解析】因为X～B(4，p)，所以P(X＝0)＝(1－p)4，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)4＝， 解得p＝. 8、若X～B，则P(X＝2)等于 （用分数表示） 【答案】； 【解析】P(X＝2)＝C2×4＝15××＝. 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0，1，2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为（ ） A．8　 B．12 C． D．16 【答案】A； 【解析】由题意可知X～B，所以，E(X)＝n＝24，则n＝36. 所以，D(X)＝36××＝8； 10、在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ） A．[0.4，1) B．(0，0.4] C．(0，0.6] D．[0.6，1) 【答案】A 【解析】由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，又因为，0<p<1，所以，0.4≤p<1； 11、现有10 000人参加某保险公司的人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10 000元．如果每人每年死亡的概率为0.006，那么该公司会赔本吗？ 【提示】应用二项分布模型解决的实际问题，首先应判断问题是否符合二项分布，若符合则按二项分布来解决．本题中该公司的盈利额与意外死亡的人数有关联，且意外死亡人数服从二项分布，因而可利用二项分布求解； 【解析】设这10 000人中意外死亡的人数为X， 根据题意，X服从参数为n＝10 000，p＝0.006的二项分布， 则它的分布列为P(X＝k)＝C×0.006k(1－0.006)10 000－k(k＝0，1，2，…，10 000)． 死亡人数为X时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为(120－X)万元． 由上述分布列知公司赔本的概率为 P(X>120)＝1－P(X≤120)＝1－(X＝k) ＝1－×0.006k×0.99410 000－k≈0. 这说明，该公司几乎不会赔本． 12、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率． 【解析】（1）设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A. 因为事件A等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”， 所以事件A的概率为：P(A)＝××＝. （2）设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0，1，2，3，4)． 由题意得P(B0)＝4＝， P(B1)＝C×1×3＝， P(B2)＝C×2×2＝. 所以事件B的概率为 P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝. 【说明】1、二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率；2、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$