4.2.3二项分布与超几何分布（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第二册

4.2.3二项分布与超几何分布 题型一 独立重复试验判断及概率计算 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为 . 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 题型二 利用二项分布确定概率 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率 . 3．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是 . 4．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知随机变量，则 . 5．（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 6.（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从二项分布，随机变量Y服从二项分布，若，求. 题型三 利用二项分布确定分布列 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 题型四 二项分布与超几何分布的辨析 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2．（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 3．（多选）（24-25高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 4．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 5．（2025高二·全国·专题练习）某批件产品的次品率为，现从中任意抽取件进行检验，当时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到件次品的概率各是多少？比较结果，你有什么发现？为什么呢？ 题型五 超几何分布的概率计算 1．（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 题型六 超几何分布的分布列 1．（25-26高二上·全国·单元测试）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·期中）某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列． 4.（24-25高二下·全国·课后作业）一批照明灯泡有100个，规定其使用寿命达到1000小时以上的为合格品，使用寿命不足1000小时的为不合格品．使用方从该批灯泡中抽样，采用抽样方案，即从该批灯泡中随机抽取5个，若全部合格，则该批灯泡通过验收，否则该批灯泡未通过验收． (1)假定生产方和使用方约定，允许这批灯泡有的不合格率，实际这批灯泡中有7个不合格品．经检测该批产品未通过验收的概率有多大？（结果精确到0.001） (2)现已知这批灯泡中有2个不合格品，写出抽样方案中合格品数的分布并求这批灯泡通过验收的概率．（结果精确到0.001） 题型七 建立二项分布模型解决实际问题 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 4．（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分 元奖金比较公平． 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1)这能否看成独立重复试验？ (2)求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率； (3)求恰有3个患者被治愈的概率； (4)设有X人被治愈，求X的分布列. 题型一 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二上·全国·单元测试）泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二下·湖南郴州·期末）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 题型二 二项分布、超几何分布综合问题 1．（24-25高二下·全国·课前预习）已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为，试写出的分布列． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 3．（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 4．（22-23高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 题型三 概率的综合计算问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 2．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期末）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 3．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 4．（24-25高二下·天津和平·期末）已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率 .若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为 . 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 1．（24-25高二下·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 2．（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东烟台·期中）一个不透明的袋子中装有除颜色外，大小，质地完全相同的5个黑球，个白球，已知一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为．现一次从中任取4个球，若取出一个黑球得1分，取出一个白球得2分，设随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知在重伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为，记试验进行至事件发生次为止时试验进行的次数为，称服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则，，… C．若，则，，，，… D．若，则当取不小于的最小正整数时，最大 5．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ． 6．（24-25高二下·河北承德·期末）作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 7．（24-25高二下·安徽合肥·期末）为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 9．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了12道单选题和4道多选题，其中单选题每道答对得5分，不答或答错得0分，多选题每道答对得10分，不答或答错得0分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为0.8和0.6.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取3道请内部员工试做，求抽到2道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了3道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的3道试题全部答对，求在3道试题的得分不低于25分的条件下，他选到3道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为70分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.3二项分布与超几何分布 题型一 独立重复试验判断及概率计算 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据不放回摸球的概率可确定红球个数，再利用二项分布公式计算恰好两次摸到红球的概率即可. 【详解】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率， 即，解得（舍去负根）， 有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率. 故选：A. 4．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，设没有鸡感染病毒为事件，则. 故答案为： 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 【答案】 【分析】依题意，判断这是伯努利概型，利用二项分布概率公式列式计算即得. 【详解】设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同， 则， 因，化简得：，解得. 故答案为：. 题型二 利用二项分布确定概率 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的分布列可得，可解问题. 【详解】根据随机变量， 且，可得. 故选：C 2．（2025高二·全国·专题练习）某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率 . 【答案】 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】设X表示三次射击命中10环的次数，则X服从二项分布， 所求概率为 . 故答案为： 3．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是 . 【答案】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 4．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知随机变量，则 . 【答案】 【分析】直接根据二项分布的概念即可得结果. 【详解】因为随机变量， 则， 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据正面次数多和反面次数多各占一半即可得解，或者利用二项分布概率公式求解即可. 【详解】因为正面出现次数和反面出现次数不可能相等， 将每一种正面出现次数多的结果的所有硬币翻转，即可得到反面次数多于正面次数的结果， 所以正面次数多和反面次数多各占一半，故所求概率为. 另解：记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为事件，则， 则抛掷5次硬币，正面出现的次数服从二项分布， 则正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为： . 故答案为：． 6.（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从二项分布，随机变量Y服从二项分布，若，求. 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为X服从二项分布， 则，又，解得， 故. 题型三 利用二项分布确定分布列 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析. 【分析】（1）某人每次的射击是相互独立且互不影响的，相当于多次重复试验．满足二项分布定义，可以用二项分布性质求解． （2）求离散型随机变量的分布列时要注意随机变量的所有可能取值． （3）应用独立重复试验的概率求法求分布列即可. 【详解】（1）因为此人每次击中目标的概率是， 所以他射击6次，击中目标次的概率． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 （2）的取值为，若，则前次均未击中目标． 则, 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 （3）由（2）可得， 所以的分布列为： 1 2 3 2．（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用间接法求解； （2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可 【详解】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 题型四 二项分布与超几何分布的辨析 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 3．（多选）（24-25高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 【答案】ABD 【分析】根据二项分布和超几何分别的特征逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故A正确； 对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故B正确； 对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量X服从二项分布，故C错误； 对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X表示抽取4名样本中某类样本被抽取的人数， 所以随机变量X服从超几何分布，故D正确； 故选：ABD. 4．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【答案】(1)二项分布 (2)二项分布 (3)超几何分布 (4)超几何分布 (5)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据二项分布和超几何分布的特点逐项判断，可得出结论. 【详解】（1）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题. （2）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题. （3）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （4）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （5）样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题，也不是二项分布问题． 5．（2025高二·全国·专题练习）某批件产品的次品率为，现从中任意抽取件进行检验，当时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到件次品的概率各是多少？比较结果，你有什么发现？为什么呢？ 【答案】答案见解析 【分析】分有放回和不放回讨论，根据随机变量满足二项分布和超几何分布进行分析即可. 【详解】当有放回抽取时，次品数， . 当不放回抽取时，； ； . 这表明当产品总数很大而抽出的产品比较少时，每次抽取产品后，次品率近似不变， 这样就可以近似看成每次抽样的结果都是相互独立的，抽到的次品件数近似服从二项分布； 事实上，样本数量越大，超几何分布和二项分布的对应概率相差越小.当样本数量无限大时，超几何分布和二项分布的对应概率相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布. 题型五 超几何分布的概率计算 1．（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可 【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由超几何分布的概率公式求解即可. 【详解】设抽到的男生数为，则服从超几何分布，，解得3. 故选：C. 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 4．（2025高二·全国·专题练习）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 【答案】B 【分析】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布，则，分别求得概率，再验证各选项即可. 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故， 所以， ，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 题型六 超几何分布的分布列 1．（25-26高二上·全国·单元测试）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 2．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用超几何分布求出概率结合互斥事件和概率公式计算求解即可. 【详解】设抽取的2个产品中次品数为，则随机变量服从超几何分布，的可能取值有0，1，2， 则，，， ∴至少一件是次品， 故选:C． 3．（24-25高二下·广东·期中）某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列. 【详解】记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为， ， ， 所以该同学会做的题目数的分布列为： 0 1 2 3 4 4.（24-25高二下·全国·课后作业）一批照明灯泡有100个，规定其使用寿命达到1000小时以上的为合格品，使用寿命不足1000小时的为不合格品．使用方从该批灯泡中抽样，采用抽样方案，即从该批灯泡中随机抽取5个，若全部合格，则该批灯泡通过验收，否则该批灯泡未通过验收． (1)假定生产方和使用方约定，允许这批灯泡有的不合格率，实际这批灯泡中有7个不合格品．经检测该批产品未通过验收的概率有多大？（结果精确到0.001） (2)现已知这批灯泡中有2个不合格品，写出抽样方案中合格品数的分布并求这批灯泡通过验收的概率．（结果精确到0.001） 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由超几何分布的概率、对立事件的概率公式求解即可. （2）由超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】（1）记抽到的合格品数为，该批灯泡中的合格品为93个，不合格品为7个， 所以采取抽样方案时通过验收的概率为， 所以未通过验收的概率约为． （2）该批灯泡中的合格品为98个，不合格品为2个， ， 所以采取抽样方案时的合格品数的分布为 3 4 5 0.002 0.096 0.902 所以该批产品通过验收的概率为． 题型七 建立二项分布模型解决实际问题 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】记质点向右移动的次数为，据题意可得，服从二项分布.分别求得和时对应的的值，由此求得和，从而求得. 【详解】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质，各取值概率之和为1，可求出分布列，进而可得到答案 【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的分布列为： 1 2 3 4 5 P 设事件为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则， 所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为． 设某同学游戏结束时取走的奖品个数为，则，所以， 所以，， 所以． 故选：B 3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 【答案】B 【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为： ， 有，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， ， 可得，故为递增数列，可知D选项正确，B错误. 故选：B 4．（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分 元奖金比较公平． 【答案】 【分析】在比分是的情况下，先求得甲赢的概率，然后乘以100即可得解. 【详解】在比分是的情况下，甲赢的概率是， 故甲应该分元. 故答案为：64.8. 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1)这能否看成独立重复试验？ (2)求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率； (3)求恰有3个患者被治愈的概率； (4)设有X人被治愈，求X的分布列. 【答案】(1)可以看成4次独立重复试验； (2)； (3)； (4)分布列见解析 【分析】（1）由独立重复事件的概念即可判断； （2）根据独立事件概率公式求解即可． （3）根据独立事件概率公式求解即可． （4）根据题意，判定为二项分布，根据概率公式求出概率，列出分布列． 【详解】（1）由题意可知：因为每名患者被治愈的概率不会互相影响， 所以构成独立重复实验．可以看成4次独立重复试验； （2）由独立事件乘法公式可得甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率： ； （3）恰有3个患者被治愈的概率：； （4）根据题意可知则 , , , , . 则分布列为： 题型一 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由二项分布的概率公式计算的概率，再结合组合数性质即可得解. 【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则， 则正面朝上次的概率为， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得. 【详解】设抽检的元件中次品的个数为，则， 由题知，，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，所以， 所以，， 正品率大于（即只能有0个，1个或2个次品）的概率为 ． 故选：C． 3．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 4．（24-25高二下·湖南郴州·期末）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 【答案】(1)0.30 (2)0.68 (3)8次． 【分析】（1）由条件可得，记事件“小张恰好击中8次目标”，结合二项分布概率公式求结论； （2）记事件“小张至少击中8次目标”，结合二项分布概率公式求； （3）设击中k次概率最大，列不等式组求其解即可. 【详解】（1）记击中目标的次数为，则， 则，其中，1，2，…，10 记事件“小张恰好击中8次目标”，则 （2）记事件“小张至少击中8次目标”， 则 （3）设击中k次概率最大，则 ，即 化简得，解得， 小张在10次射击中，最有可能击中目标8次． 题型二 二项分布、超几何分布综合问题 1．（24-25高二下·全国·课前预习）已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为，试写出的分布列． 【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，按有放回和无放回分别求出的分布列. 【详解】若采用有放回抽样，的可能取值为0，1，2，3， 则服从二项分布，即，其分布列为，； 若采用不放回抽样，的可能取值为0，1，2，3， 表示“取出的3件产品中恰有件次品”，， 从4件次品中取出件，再从6件正品中取出件，共有种取法， 所以的分布列为，． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分布，据此可以求解; （2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 3．（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3)分布列见解析，服从超几何分布 【分析】（1）判断，写出二项分布列即可； （2）判断，写出二项分布列即可； （3）判断服从超几何分布，写出分布列即可. 【详解】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （3）的分布列为 0 1 .. .. .. .. 服从超几何分布. 4．（22-23高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析. 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列． （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列． 【详解】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3， 每次抽到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2， ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 题型三 概率的综合计算问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 2．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期末）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【详解】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 3．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 4．（24-25高二下·天津和平·期末）已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率 .若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为 . 【答案】 【分析】由条件概率公式得到第一个空；由超几何分布，分别计算出从甲中取出的是两个正品、一个正品一个次品、两个次品的概率，再由全概率公式得到第二个空的答案. 【详解】设事件为“从甲中取出的件产品中有一个为正品”，事件为“从甲中取出的个产品中有一个为次品”， 则，，所以； 设事件为“从乙中取出的这个产品是正品”，事件为“从甲中取出两个正品”， 事件为“从甲中取出一个正品、一个次品”，事件为“从甲中取出两个次品”， 则， ， 由全概率公式得. 故答案为：；. 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出的可能值，结合（1）中概率，利用二项分布求出概率分布列. （3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品， 则，， 所以每个盲盒含限量版商品的概率. （2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为. 1．（24-25高二下·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 【答案】D 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D 2．（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数，结合古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·山东烟台·期中）一个不透明的袋子中装有除颜色外，大小，质地完全相同的5个黑球，个白球，已知一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为．现一次从中任取4个球，若取出一个黑球得1分，取出一个白球得2分，设随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为，列方程求出，然后根据题意确定的可能取值范围，再分析满足的得分对应黑球数量的取值，计算对应组合数之和，从而可求出概率. 【详解】由题意得球的总数为，取3个球的总数为，取2黑1白的组合数为， 因为一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为， 所以，所以， 化简得， ， ， ， 得或， 由，得， 所以， 设从袋子中取出个黑球，则白球为个，所以， 由，得，则，得， 即的取值为0，1，2， 当时，不合题意， 当时，即取出1个黑球3个白球，则有种方法， 当时，即取出2个黑球2个白球，则有种方法， 所以. 故选：B 4．（多选）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知在重伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为，记试验进行至事件发生次为止时试验进行的次数为，称服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则，，… C．若，则，，，，… D．若，则当取不小于的最小正整数时，最大 【答案】ABD 【分析】利用负二项分布的定义可判断ABC选项；利用不等式法，结合负二项分布的定义可判断D选项. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B， 由，则，，…，故B正确； 对于C，因，则，，，，…，故C错误； 对于D，因，最大时，当且仅当成立， 即，解得：. 故当取不小于的最小正整数时，最大，故D正确. 故选：ABD. 5．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 6．（24-25高二下·河北承德·期末）作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）利用超几何分布概率公式求解即可； （2）由题意先把的表达式写出来，利用函数以及不等式分析求解即可. 【详解】（1）记“抽取的产品中次品数不超过1”为事件， 则 ， 即的概率为． （2）由题可知， 设， 则． 令， 得， 解得． 故当时，， 当时，， 又，故当时，取得最大值． 所以当时，的概率最大． 7．（24-25高二下·安徽合肥·期末）为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 【答案】(1)0.36 (2)①；②预测该同学不能进入决赛. 【分析】（1）根据超几何分布概率公式计算； （2）①由4题全对，或只错一个艺术题，或只错一个历史题可得；②求出提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率，利用甲获得奖章的个数，求得期望，再确定其取值与3比较后可得. 【详解】（1）由题意； （2）①甲在一轮比赛中获得奖章，4题全对或只错1题，概率为， 又， 所以； ②由题意知4轮比赛甲获得奖章的个数， 所以， 其中， 又，所以， 所以， 设， 又在时是减函数，所以， 所以预测该同学不能进入决赛. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 【答案】(1)，，事件与相互不独立 (2)当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小 (3)或14时，概率的值最大 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式性质求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可； （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值； （3）由题可得，结合二项分布的概率可得，再根据最大可得，解不等式组即可得此时的值. 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球， 则，，， 所以， 则，所以事件与相互不独立． （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，, 设， 当时，， ， 当时，， 当时，， 因此， 而， 则，， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小． （3）若，盒中有9个白球，11个黑球，则每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大. 9．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）先找出编号相邻的情况有4种.用组合数算出从5个里选2个的总情况数，再用1减去编号相邻的概率，就得到不相邻概率. （2）（i）运用古典概型，结合组合数计算得到概率. （ii）先确定“”的事件总数，再得出表达式.通过与1比较大小，得到的范围.比较和、大小.最后根据能否被整除，得出取最大值时的值.当时，也符合不能整除的情况. 【详解】（1）编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为． （2）（ⅰ）． （ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，即． “”所包含的事件总数为， ∴， 设， ． 令． ①当时，（比较与k大小） ②当时，（比较与大小） ∴． 则当能被整除即时，在或处达到最大值： 当不能被整除即时，在（表示不超过x的最大整数）． 当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况． 综上：使概率取得最大值时． 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了12道单选题和4道多选题，其中单选题每道答对得5分，不答或答错得0分，多选题每道答对得10分，不答或答错得0分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为0.8和0.6.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取3道请内部员工试做，求抽到2道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了3道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的3道试题全部答对，求在3道试题的得分不低于25分的条件下，他选到3道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为70分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析. 【分析】（1）由超几何分布的概率公式求概率； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求相关概率，再由条件概率公式求目标概率； （3）设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，，通过题意分析，应用独立事件的概率求法依次求出、，、，、，、的对应概率，即可得结论. 【详解】（1）由题设，抽到2道单选题的概率； （2）由题意，3道试题的情况有{2道多选1道单选}、{3道多选}， 所以它们的概率依次为、， 得分不低于25分，即上述两种情况的3道题均答对， 所以、， 综上，在3道试题的得分不低于25分，选到3道多选题的概率； （3）设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，， 当时，小张总分不可能达到70分， 当时，，总分刚好70分，且，， 当时，，总分大于等于70分，且， 当时，，总分大于等于70分，且， 而 当时，，总分大于等于70分，， 而 所以，小张所得总分，则. 所以从概率论的角度小张今年能通过笔试. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $