10.1二元一次方程组的概念-导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

姓名: 学科: 日期: 10.1二元一次方程组的概念 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课 时 日期：2026年5月15日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历情境问题探究，认识与理解二元一次方程与二元一次方程组的概念，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象·重点） 2.经历问题探究，理解与掌握二元一次方程与二元一次方程组的解的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 情境问题 （一）情境 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来,机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机,就完成了棉田的采摘.如果大型采棉机完成棉田的采摘,小型采棉机完成棉田的采摘,那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? （2） 探究 由题意设该种棉大户租用大型采棉机台，小型采棉机台， ∵问题包含两个必须同时满足的相等关系: 大型采棉机台数+小型采棉机台数总台数, 大型采棉机采摘面积+小型采棉机采摘面积采摘总面积 ∴这两个相等关系可以分别用方程 来表示. （三）思考 上面的两个方程有什么特点?它们与一元一次方程有什么不同? 2、 二元一次方程的概念 （一）定义 在上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(和),且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫作二元一次方程(linear equation with two unknowns). 注：二元一次方程需要满足的条件有 ①方程都含有两个未知数，但不一定是和； ②含有未知数的式子都是整式； ③含有未知数的项的次数都是1； 以上3个条件，缺一不可. （二）实例运用 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断即可，二元一次方程需要满足三个条件：是整式方程，一共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】∵ 选项A中，是分式，方程不是整式方程，∴ A不符合要求； ∵ 选项B中，不是整式，含未知数的项次数不为1，∴ B不符合要求； ∵ 选项C中，是整式方程，含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，∴ C符合要求； ∵ 选项D中，项的次数为2，不符合项的次数为1的要求， ∴ D不符合要求． （三）变式训练 变式1 下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，只含有1个未知数，属于一元一次方程，不合题意； B．，分母含有未知数，不是整式方程，不合题意； C．，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不合题意； D．，是整式方程，含有 两个未知数，含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，符合题意． 三、二元一次方程组的概念 （一）探究 上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系,也就是未知数必须同时满足方程 和 把这两个方程合在一起,写成 就组成了一个方程组. （二）定义 上面方程组中含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1,一共有两个方程,像这样的方程组叫作二元一次方程组(system of linear equations with two unknowns). 注：二元一次方程需要满足的条件有 ①含有两个相同的未知数，但不一定是和； ②含有未知数的式子都是整式； ③含有未知数的项的次数都是1； ④一共有两个二元一次方程； 以上4个条件，缺一不可. （三）实例运用 例2．下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：A：只有未知数x，所以A不是二元一次方程组 ； B：，不是二元一次方程，所以B不是二元一次方程组； C：两个方程中，含有三个未知数，所以C不是二元一次方程组； D：两个方程中含有，，该方程组含有两个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，所以D是二元一次方程组． （四）变式训练 变式2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断选项即可，二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． 【详解】解：∵选项A中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∵选项B中方程里，项的次数是2，不满足所有未知数的项的次数都是1的要求，不是二元一次方程组，符合题意． ∵选项C中两个方程整理后均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∵选项D中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∴答案选B． 四、二元一次方程与二元一次方程组的解 （一）问题探究 满足方程,且符合问题的实际意义的的值有哪些?把它们填入表中. 上表中哪对的值还满足方程? 1.探究1 满足方程且符合问题实际意义的的值如下表所示 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 这些的值能使方程①左右两边的值相等,它们都是方程的解. 2.思考：如果不考虑方程①与上面实际问题的联系,那么还有哪些的值能使方程①左右两边的值相等,也就是这个方程的解呢？请填写到下面的表格中. 答：如果不考虑方程①与上面实际问题的联系,那么满足方程①的的值还有 0.1 2.7 5.12 … 5.9 3.3 0.88 … 由上表可知，如果不考虑方程①与上面实际问题的联系,那么能使方程①左右两边的值相等的的值有无数个. 3.探究2 我们容易发现，只有这一组的值，既满足方程，又满足方程，是方程①与方程②的公共解. （二）二元一次方程的解的定义 一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫作二元一次方程的解. （3） 【温馨提示】：一个二元一次方程的解有无数组 一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫作二元一次方程组的解. 例如，叫作二元一次方程组的解，记作. 【温馨提示】通常情况下，一个二元一次方程组的解只有唯一一组. （4） 实例运用 例3．下列是二元一次方程的解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是该二元一次方程的解，只需将各选项的代入验证即可． 【详解】解：选项A，当时，左边右边， A不是方程的解； 选项B，当时，左边右边， B是方程的解； 选项C，当时，左边右边， C不是方程的解； 选项D，当时，左边右边， D不是方程的解． 例4．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将给定的解代入各选项的方程组，能使两个方程左右两边都相等的方程组即为所求． 【详解】解：把依次代入各选项的方程组验证： A选项∵代入得，∴A不符合题意； B选项∵代入得，∴B不符合题意； C选项∵代入得，左右两边相等，代入得，左右两边相等，两个方程都成立，∴C符合题意； D选项∵代入得，∴D不符合题意． （5） 变式训练 变式3.已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴将代入原方程得， 整理得， 解得． 变式4．已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】把代入方程组，求出的值，即可得出结果. 【详解】解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， ∴. 5、 达标检测 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.86 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：选项A，，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意； 选项B，，项的次数为2，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项C，，只含有1个未知数，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项D，，该方程不是整式方程，不符合定义，故本选项不符合题意； 2．已知，是关于x，y的方程的解．则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解、已知方程的解，求参数 【分析】把，代入原方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：，是关于x，y的方程的解， ， 解得． 3．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：A中的次数为2，不符合定义，A错误； B中的最高次数为2，不符合定义，B错误； C中方程组共含有，两个未知数，所有未知数次数都是1，均为整式方程，符合定义，C正确； D中方程组共含有，，三个未知数，不符合定义，D错误． 4．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 5．若是关于、的二元一次方程，则的值________________． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的定义、绝对值方程 【分析】根据二元一次方程的定义，可得x的次数为，且的系数不为，据此进行求解即可． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ，， 由得或， 解得或， 由得， ． 6．若是关于、的二元一次方程，则的值为________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义可知二元一次方程中所有未知数的最高次数为，从而得到关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解： 是关于、的二元一次方程， 的次数为，即，解得． 7．若是关于x，y的二元一次方程，则n的值为______． 【答案】 【难度】0.8 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义，确定满足的条件，求解得到的值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可得：， 由得， 解得或， 由得． 因此． 8．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】1 【难度】0.87 【知识点】二元一次方程的解 【分析】把x与y的值代入二元一次方程，得到关于a的一元一次方程，即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：． 9．若是方程的一个解，则___________ 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：∵若是方程的一个解， ∴， ∴． 10．已知方程，用含x的代数式表示y，则_________ ． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将看作已知数，根据移项求出． 【详解】解：， 移项得． 11．一个三位数m，将它各位数字倒序排列后得到一个新的三位数，用减去m，其结果叫做m的“逆差数”，记为．如：，，则______．若是一个整数的平方，且m与的和能被8整除，则满足条件的m最小值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解、完全平方数 【分析】根据“逆差数”的定义计算即可得出的值；设，则，，表示出，结合题意得出是一个完全平方数，从而可得，求出，结合m与的和能被8整除，得出能被整除，进而可得或或或或或或，分情况求解即可． 【详解】解：由题意可得， 设，则，， ∴ ， ∵是一个整数的平方，且， ∴是一个完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ∵m与的和能被8整除， ∴能被整除， ∵， ∴为整数， ∵，， ∴， ∴或或或或或或， 当时，此时没有符合题意的正整数解，舍去； 当时，解得，此时为，符合题意； 当时，解得或，此时为或，符合题意； 当时，解得或，此时为或，符合题意； 当时，解得或，此时为或，符合题意； 当时，解得或，此时为或，符合题意； 当时，解得，此时为，符合题意； 综上所述，满足条件的m最小值为． 12．写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 13．观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 【答案】 【难度】0.95 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，只需从表格中找出同时满足两个方程的公共解，即可得到方程组的解． 【详解】解：观察表格可知，，同时满足方程和，是两个方程的公共解， ∴原方程组的解为 14．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解 【分析】所求二元一次方程只需满足是它的解即可，据此构造方程即可． 【详解】解：∵所求方程与所给方程组成的方程组的解为， ∴所求方程的解为， ∵， ∴是符合要求的二元一次方程． 15．已知是方程的一个解，则a的值为________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 16．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②和①，就可解得a，b的值，进而即可求解. 【详解】解：将代入②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴，即：的平方根是． 17．若是方程组 的解，则_____． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】根据方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，求出a和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵是方程组 的解， ∴， ∴， ∴． 六、课堂小结 1.经历情境问题探究，认识与理解了二元一次方程与二元一次方程组的概念，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象·重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了二元一次方程与二元一次方程组的解的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 10.1二元一次方程组的概念 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课 时 日期：2026年5月15日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历情境问题探究，认识与理解二元一次方程与二元一次方程组的概念，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象·重点） 2.经历问题探究，理解与掌握二元一次方程与二元一次方程组的解的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 情境问题 （一）情境 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来,机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机,就完成了棉田的采摘.如果大型采棉机完成棉田的采摘,小型采棉机完成棉田的采摘,那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? （2） 探究 由题意设该种棉大户租用大型采棉机台，小型采棉机台， ∵问题包含两个必须同时满足的相等关系: 台数+ 台数 台数, 采摘面积+ 采摘面积采摘 ∴这两个相等关系可以分别用方程 来表示. （三）思考 上面的两个方程有什么特点?它们与一元一次方程有什么不同? 2、 二元一次方程的概念 （一）定义 在上面两个方程中,每个方程都含有 未知数(和),且含有未知数的式子都是 ,含有未知数的项的次数都是 ,像这样的方程叫作 方程(linear equation with two unknowns). 注：二元一次方程需要满足的条件有 ①方程都含有 未知数，但不一定是和； ②含有未知数的式子都是 ； ③含有未知数的项的次数都是 ； 以上3个条件，缺一不可. （二）实例运用 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． （三）变式训练 变式1 下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 三、二元一次方程组的概念 （一）探究 上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系,也就是未知数必须同时满足方程 和 把这两个方程合在一起,写成 就组成了一个方程组. （二）定义 上面方程组中含有 未知数,且含有未知数的式子都是 ,含有未知数的项的次数都是 ,一共有 方程,像这样的方程组叫作 方程组(system of linear equations with two unknowns). 注：二元一次方程需要满足的条件有 ①含有 相同的未知数，但不一定是和； ②含有未知数的式子都是 ； ③含有未知数的项的次数都是 ； ④一共有 二元一次方程； 以上4个条件，缺一不可. （三）实例运用 例2．下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． （四）变式训练 变式2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 四、二元一次方程与二元一次方程组的解 （一）问题探究 满足方程,且符合问题的实际意义的的值有哪些?把它们填入表中. 上表中哪对的值还满足方程? 1.探究1 满足方程且符合问题实际意义的的值如下表所示 这些的值能使方程①左右两边的值 ,它们都是方程的 . 2.思考：如果不考虑方程①与上面实际问题的联系,那么还有哪些的值能使方程①左右两边的值相等,也就是这个方程的解呢？请填写到下面的表格中. 答：如果不考虑方程①与上面实际问题的联系,那么满足方程①的的值还有 … … 由上表可知，如果不考虑方程①与上面实际问题的联系,那么能使方程①左右两边的值相等的的值有 个. 3.探究2 我们容易发现，只有这一组的值，既满足方程，又满足方程，是方程①与方程②的 解. （二）二元一次方程的解的定义 一般地,使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值,叫作二元一次方程的解. 【温馨提示】：一个二元一次方程的解有 组. （3） 二元一次方程组的解的定义 一般地,二元一次方程组的两个方程的 解,叫作二元一次方程组的解. 例如，叫作二元一次方程组的解，记作. 【温馨提示】通常情况下，一个二元一次方程组的解只有 组. （4） 实例运用 例3．下列是二元一次方程的解的是（    ）． A． B． C． D． 例4．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． （5） 变式训练 变式3.已知是二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 变式4．已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 5、 达标检测 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，是关于x，y的方程的解．则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 3．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 5．若是关于、的二元一次方程，则的值________________． 6．若是关于、的二元一次方程，则的值为________． 7．若是关于x，y的二元一次方程，则n的值为______． 8． 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 9．若是方程的一个解，则___________ 10．已知方程，用含x的代数式表示y，则_________ ． 11．一个三位数m，将它各位数字倒序排列后得到一个新的三位数，用减去m，其结果叫做m的“逆差数”，记为．如：，，则______．若是一个整数的平方，且m与的和能被8整除，则满足条件的m最小值为______． 12．写出一个解为的二元一次方程组________． 13．观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 14．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 15．已知是方程的一个解，则a的值为________． 16．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 17．若是方程组 的解，则_____． 六、课堂小结 1.经历情境问题探究，认识与理解了二元一次方程与二元一次方程组的概念，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象·重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了二元一次方程与二元一次方程组的解的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $