10.1 二元一次方程组的概念 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学导学案聚焦二元一次方程（组）的概念及解，通过“温故知新”复习方程、一元一次方程等旧知，结合篮球联赛问题引出两个未知数，搭建从一元到二元的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 导学案以“自我挑战”引导学生自主抽象二元一次方程（组）定义，培养抽象能力与创新意识。通过实例辨析和分层习题设计，强化推理意识与应用意识，帮助学生从具体问题中构建数学概念，提升自主学习与问题解决能力。

10.1 二元一次方程组的概念 一、温故知新（导） 1、什么是方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 2、什么是方程的解？ 能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解. 3、什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程. 4、在引言篮球联赛中的问题，你能用学过的知识解决问题吗？ 解：设这个队胜x场，则负（10-x）场，根据题意列方程 2x+（10-x）=16, 解这个方程，得 x=6， 10-6=4， 答：这个队胜6场，负4场. 5、在上述问题中，存在两个未知数，一个是胜几场，另一个是负几场，能不能根据题意直接设两个未知数？设两个未知数又会得到什么样的方程？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。 学习目标 1、了解二元一次方程（组）的概念，识别二元一次方程（组）. 2、理解二元一次方程（组）的解. 学习重难点 重点：了解、识别二元一次方程（组）； 难点：二元一次方程（组）的解. 二、自我挑战（思） 1、引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗? 胜 的场数＋ 负 的场数＝总场数； 胜场 积分＋ 负场 积分＝总积分， 这两个条件可以用方程表示为： x+y=10， 2x+y=16. 2、这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同? 都含有两个未知数、未知项的次数是1次、等号的两边都是整式. 与一元一次方程不同的是：一元一次方程只有一个未知数，这两个方程都有两个未知数. 3、二元一次方程的定义： 含有 两 个未知数，并且含有未知项的次数都是 1 ，像这样的方程叫做二元一次方程. 4、上面问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10 ①和2x+y=16②，把这两个方程合在一起，写成，就组成了一个 方程组 . 5、二元一次方程组定义：含有 两 个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有 两 个方程组成的方程组叫做二元一次方程组. 6、满足方程 ①，且符合问题实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 7、从上表可知，x=0，y=10；x=1，y=9；…；x=10，y=0使方程x+y=10的两边的值相等，它们都是方程x+y=10的 解 .如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系，那么x=-1，y=11；x=0.5，y=9.5；…也都是这个方程的 解 . 8、二元一次方程解的定义：使二元一次方程两边的值相等的 未知数 的值，叫做二元一次方程的 解 . 9、上表中，哪对x，y的值还能满足方程②？ x=6，y=4即满足方程①，又满足方程②. 10、二元一次方程组解的定义： 二元一次方程组的两个方程的 公共解 ， .叫做二元一次方程组的 解 . 三、互动质疑（议） 1、由二元一次方程的定义可以看出，二元一次方程必须同时具备三个条件：（1）含有 两 个未知数；（2）未知项的次数是 1 次；（3）等号的两边是 整 式. 2、二元一次方程有 无数 对解. 3、二元一次方程组一般有 一 组解或 无 解. 3、实例： 例1. 已知方程（m-3）xn-1+=0是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值． 解：由题意，得 n-1=1，且m-3≠0，m2-8=1， 解得n=2，m=-3． 例2.已知是关于m,n的二元一次方程3m+an=18的一组解，求a的值． 解：将代入3m+an=18，得3×2+3a=18， 解得a=4， 即a的值为：4． 四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、下列是二元一次方程的是（　　） A．2x=3 B．2x2=y-1 C．y+＝−5 D．x-6y=0 1、解：A．2x=3，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．2x2=y-1，未知项2x2是2次不是1次，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．y+=-5，等号的左边不是整式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．x-6y=0，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2、下列二元一次方程，以为解的是（　　） A．x=3y-1 B．2x+y=5 C．x-3y=5 D．y-2x=5 2、解：A．把代入x=3y-1得2≠-4，故A选项不符合题意； B．把代入2x+y=5得3≠5，故B选项不符合题意； C．把代入x-3y=5得5=5，故C选项符合题意； D．把代入y-2x=5得-5≠5，故D选项不符合题意；故选：C． 3、下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） ①；②；③；④ A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 3、解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ③方程组含有，不是整式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 综上，①②④是二元一次方程组． 故选：C． 4、已知2xn-3-y2m+1=0是关于x,y的二元一次方程，则m+n= ． 4、解：∵2xn-3-y2m+1=0是关于x,y的二元一次方程， ∴，∴，∴m+n=4，故答案为：4． 5、已知，都是方程ax-y=b的解，则a= ．b= . 5、解：把，代入方程ax-y=b,得， 解得：，故答案为：5，2． 6、若是方程8x-4y=10的解，求4m-2n-3的值． 6、解：∵是方程8x-4y=10的解， ∴8m-4n=10，即4m-2n=5， ∴4m-2n-3=5-3=2． 六、用 （一）必做题 1、已知方程ax+y=3x-1是关于x,y的二元一次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≠0 B．a≠-1 C．a≠3 D．a≠-3 1、解：方程整理得（a-3）x+y+1=0， 由题意得：a-3≠0，即a≠3， 故选：C． 2、二元一次方程x+2y=5的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组 2、解：x+2y=5，x=5-2y, ∵x、y都是正整数， ∴5-2y＞0， 即y＜， ∴y只能为1和2， ∴当y=1时，x=3， 当y=2时，x=1， 即方程的解有和两组， 故选：B． 3、下列叙述正确的是（　　） A．方程组不是二元一次方程组 B．方程xy=1不是二元一次方程 C．既是方程2x-3y=1的解，也是方程x-2y=1的解 D．任何一个二元一次方程组的解都是唯一存在的 3、解：∵方程组是二元一次方程组，∴A的结论不正确； ∵方程xy=1是二元二次方程， ∴B的结论正确； ∵是方程2x-3y=1的解，不是方程x-2y=1的解， ∴C选项的结论不正确； ∵一般的二元一次方程组的解都有无数组， ∴D选项的结论不正确． 故选：B． 4、若是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则3a-2b+2024的值为  ． 4、解：∵若是二元一次方程ax+by=-2的一个解， ∴3a-2b=-2， ∴3a-2b+2024 =-2+2024 =2022， 故答案为：2022． 5、已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 5、解：把代入x+3y=5，得a+3＝5， 解得a=4， ∴方程组的解为． ∵是方程x+y=5的解， ∴再写一个方程可以为x+y=5（答案不唯一）． （二）选做题 6、方程（k2-4）x2+（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？ 6、解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以： ①，解得k=-2； ②，无解， 所以k=-2时，方程为一元一次方程． （2）根据二元一次方程的定义可知，解得k=2， 所以k=2时，方程为二元一次方程． 7、我们称使方程+=成立的一对数x,y为“相伴数对”，记为（x,y）． （1）若（6，y）是“相伴数对”，求y的值； （2）若（a,b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b. 7、解：（1）∵（6，y）是“相伴数对”， ∴+＝， 解得y=-； （2）∵（a,b）是“相伴数对”， ∴+=， 解得：b＝−. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 二元一次方程组的概念 一、温故知新（导） 1、什么是方程？ 2、什么是方程的解？ 3、什么叫一元一次方程？ . 4、在引言篮球联赛中的问题，你能用学过的知识解决问题吗？ 5、在上述问题中，存在两个未知数，一个是胜几场，另一个是负几场，能不能根据题意直接设两个未知数？设两个未知数又会得到什么样的方程？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。 学习目标 1、了解二元一次方程（组）的概念，识别二元一次方程（组）. 2、理解二元一次方程（组）的解. 学习重难点 重点：了解、识别二元一次方程（组）； 难点：二元一次方程（组）的解. 二、自我挑战（思） 1、引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗? 的场数＋ 的场数＝总场数； 积分＋ 积分＝总积分， 这两个条件可以用方程表示为： 2、这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同? 3、二元一次方程的定义： 含有 个未知数，并且含有未知项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程. 4、上面问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10 ①和2x+y=16②，把这两个方程合在一起，写成，就组成了一个 . 5、二元一次方程组定义：含有 个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 ，并且一共有 个方程组成的方程组叫做二元一次方程组. 6、满足方程 ①，且符合问题实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中. x y 7、从上表可知，x=0，y=10；x=1，y=9；…；x=10，y=0使方程x+y=10的两边的值相等，它们都是方程x+y=10的 .如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系，那么x=-1，y=11；x=0.5，y=9.5；…也都是这个方程的 . 8、二元一次方程解的定义：使二元一次方程两边的值相等的 的值，叫做二元一次方程的 . 9、上表中，哪对x，y的值还能满足方程②？ x=6，y=4即满足方程①，又满足方程②. 10、二元一次方程组解的定义： 二元一次方程组的两个方程的 ， .叫做二元一次方程组的 . 三、互动质疑（议） 1、由二元一次方程的定义可以看出，二元一次方程必须同时具备三个条件：（1）含有 个未知数；（2）未知项的次数是 次；（3）等号的两边是 式. 2、二元一次方程有 对解. 3、二元一次方程组一般有 组解或 解. 3、实例： 例1. 已知方程（m-3）xn-1+=0是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值． 例2.已知是关于m,n的二元一次方程3m+an=18的一组解，求a的值． 四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、下列是二元一次方程的是（　　） A．2x=3 B．2x2=y-1 C． y+＝−5 D．x-6y=0 2、下列二元一次方程，以为解的是（　　） A．x=3y-1 B．2x+y=5 C．x-3y=5 D．y-2x=5 3、下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） ①；②；③；④ A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 4、已知2xn-3-y2m+1=0是关于x,y的二元一次方程，则m+n= ． 5、已知，都是方程ax-y=b的解，则a= ．b= . 6、若是方程8x-4y=10的解，求4m-2n-3的值． 六、用 （一）必做题 1、已知方程ax+y=3x-1是关于x,y的二元一次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≠0 B．a≠-1 C．a≠3 D．a≠-3 2、二元一次方程x+2y=5的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组 3、下列叙述正确的是（　　） A．方程组不是二元一次方程组 B．方程xy=1不是二元一次方程 C．既是方程2x-3y=1的解，也是方程x-2y=1的解 D．任何一个二元一次方程组的解都是唯一存在的 4、若是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则3a-2b+2024的值为  ． 5、已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． （二）选做题 6、方程（k2-4）x2+（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？ 7、我们称使方程+=成立的一对数x,y为“相伴数对”，记为（x,y）． （1）若（6，y）是“相伴数对”，求y的值； （2）若（a,b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b. 1 学科网（北京）股份有限公司 $