专题01 期末复习计算专练11大题型145题（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 期末复习计算专练11大题型145题 【新教材华东师大版】 【题型1 解一元一次方程】 1 【题型2 已知一元一次方程的解求参数】 19 【题型3 一元一次方程解的关系】 32 【题型4 加减消元、代入消元解二元一次方程组】 46 【题型5 换元法解二元一次方程组】 54 【题型6 求二元一次方程组中的参数】 62 【题型7 解三元一次方程组】 69 【题型8 解一元一次不等式（组）】 75 【题型9 求一元一次不等式（组）的整数解】 81 【题型10 一元一次不等式（组）的解集用数轴表示】 86 【题型11 求一元一次不等式（组）中的参数】 94 【题型1 解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键： （1）移项，合并同类项求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解． 【详解】（1）解：移项得 合并同类项，得 系数化为1得； （2）解：去分母得 去括号得 移项合并得 系数化为1得． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）解下列方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母与去括号是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化成1即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求解； 【详解】（1）解： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1得： （2）解： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1得： 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的一般步骤，先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1来求解． （2）先将方程中的小数分母化为整数，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解： 原方程可化为， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 4．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 5．（24-25六年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．（24-25六年级下·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以8，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以8，得． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x＝18 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）运用移项，合并同类项，系数化1即可求解； （2）运用去括号，去分母，移项合并同类项，系数化即可求解． 【详解】（1）， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化1，得：； （2） 去括号，得：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）解方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）移项，合并同类项，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 9．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． （1）方程去括号，移项合并同类项，把系数化为1，即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：即方程变为：， 化简：，即， ， ， ， 解得：； 10．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （2）先将小数化为整数，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：原方程可变为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 11．（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得：， 系数化为1得：． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键， （1）根据解一元一次方程的步骤解方程即可得到答案； （2）根据解一元一次方程的步骤解方程即可得到答案； 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 系数化为1得：． 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．求解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为一，然后即可求解； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为一，然后即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 16．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是关键． （1）方程去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）解：， ， ， ， ． 17．（24-25七年级下·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用去括号法则去掉括号，再通过移项把含未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，接着合并同类项，最后将未知数系数化为求解． （2）先找到分母的最小公倍数去分母，将分数方程化为整数方程，再去括号、移项、合并同类项、系数化为来求解． 本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握去括号法则、移项变号规则、合并同类项方法以及去分母时的运算（找最小公倍数、等式两边同乘最小公倍数）是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 18．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解题步骤是解答本题的关键． （1）方程根据移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可； （2）方程根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元一次方程的解法步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解； （2）根据一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．（24-25七年级上·山东青岛·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项合并，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，系数化为1，即可求出解； 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 21．（25-26七年级上·山东日照·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号法解方程即可． （2）利用去分母法解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 整理，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 22．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 23．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·月考）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先整理得，去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得 去括号得 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 24．（25-26七年级上·山东济宁·月考）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号： 移项，合并同类项： 系数化为1：； （2） 原方程化为：： 去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为：． 25．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （2）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （3）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （4）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【题型2 已知一元一次方程的解求参数】 26．（24-25七年级上·北京东城·期末）已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 【答案】(1) (2)当时，方程的解为（或当时，方程的解为） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入原方程得，求解即可； （2）先求得原方程的解为：，再利用要使为正整数，且该方程的解也为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【详解】（1）解：当时， 原方程为：， 解得：， 所以该方程的解为； （2）解：方程， 解得：， 要使为正整数，且该方程的解也为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为（或当时，方程的解为）． 27．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并正确求出方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和代数式求值，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 把代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可． 【详解】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为）， ， 把代入得：， 将代入原方程得：， 去分母得： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 所以，方程的解为． 28．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 29．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）由，得，解得，先解根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是和解方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：． 30．（24-25七年级上·湖南·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； 对于（2），先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于1列出方程，然后求出解即可； 对于（3），先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ，解得； （3）解：方程的解为， 为整数，且也为整数， ，，，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意， 综上可得，或1，故所有可能的的和为． 31．（24-25七年级上·四川达州·月考）已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 【答案】或 【分析】本题考查解一元一次方程的整数解问题，先解方程，把方程的解用未知数表示出来，分析其为整数的情况，可得出答案，熟练解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 要使方程的解为正整数，只能为， 或． 32．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是_____；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念，是解题的关键； （1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解； （2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值； （3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值． 【详解】（1）解：①，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； ②，解得：， 因为， 所以该方程是“友好方程”； ③，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； 故答案为：② （2）解：，解得： 因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 所以， 解得：； （3）解：因为的一元一次方程的解为， 所以， 因为， 所以， 因为一元一次方程是“友好方程”， 所以， 所以， 解得：． 33．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 34．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 35．（24-25七年级上·山西太原·月考）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 36．（24-25七年级上·陕西榆林·月考）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解； （）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为列式解答即可求解； 本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴，， 解得，． 37．（24-25七年级上·重庆·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了新定义——“至诚方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，代回原方程求解即得； （2）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一元一次方程是“至诚方程”， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵一元一次方程是“至诚方程”， ∴， ∴， 整理得 ∴ ． 38．已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 39．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于x的多项式，(m，n为常数)． (1)若代数式的值与x无关，求的值． (2)若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，整式加减中的无关型问题，已知一元一次方程的解求参数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化简，根据代数式的值与x无关，得到关于m，n的方程求解，再代入求值； （2）先化简，根据为关于x的一元一次方程，得到且，得到方程为，再当方程的解为时，求得n即可． 【详解】（1）解：∵，(m，n为常数) ∴ ∵代数式的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， 整理得， ∵为关于x的一元一次方程， ∴且， ∴且， 于是方程为， 当方程的解为时，， 解得：， 此时，满足一元一次方程． 综上，，． 40．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）已知代数式的值比代数式的值大1． (1)求的值； (2)小轩在解关于的一元一次方程去分母时，等号右边的没有乘3，因此求得方程的解为，求原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，方程的解的含义，熟练地解方程是解本题的关键． （1）根据题意，列出方程求解即可； （2）根据小轩的作法，将代入方程求出，然后再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得方程：， 解得：； （2）解：小轩去分母时，方程变为， 把代入得：， 解得． 则原方程为， 解得：． 【题型3 一元一次方程解的关系】 41．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得到，进而求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据题意得， 解得：． 42．（24-25七年级上·福建三明·期末）若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 【答案】(1)方程是方程的“滑行方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解“滑行方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两方程的解，然后根据“滑行方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的解，再根据“滑行方程”的定义确定关于的方程的解，然后代入求a即可． 【详解】（1）解：方程是方程的“滑行方程”， 理由如下： 解方程得：； 解方程得：； ∵， ∴方程是方程的“滑行方程”． （2）解：解方程得：， ∵关于的方程是方程的“滑行方程”， ∴关于的方程的解为， ∴，解得：． 43．如果关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，求出方程的解，代入中，求解即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故m的值为． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键． 先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 45．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程是“成双方程” (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． （3）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程” （2）解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：； （3）解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 46．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴关于的方程的“反对方程”为 ∴； （3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， ∵方程 ∴ ∴ ∵方程 ∴ ∴方程和方程互为“反对方程” ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴的解为． 47．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入方程得：， 解得． （2）解：， ， 解得， ， ， ， 解得， ∵关于的方程的解比方程的解大， ∴， 解得， ∴， 所以已知方程的解为． 48．如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． (1)若方程是方程的“稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义，熟练解一元一次方程是解题关键． （1）先分别解方程、，再根据“稻香方程”的定义即可求解； （2）解关于x方程，再根据“稻香方程”的定义进行计算可以得解； （3）依据题意，先解方程和，再根据“稻香方程”的定义，求出x，b，c，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 又， ∴， ∵方程是方程的“稻香方程”， ∴． 故答案为：2； （2）解：解关于x方程，得， 解关于x的方程，得， 关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”， ∴． 整理得， 又， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴关于x方程的解是，关于x方程的解是， ∵关于x方程是方程的“稻香方程”， ∴， ∴， ∴ ． 49．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可． （2）先解出的解，再根据“美好方程”的定义可得，即可列式求解a和b的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：， 解得：， ∴方程的解为， ， ， ， ∵无论k取任何有理数，两个方程是 “美好方程”，， ，， 解得：，， ∴． 50．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法． （1）根据关于的方程与方程是“兄弟方程”，先求出方程的解为，再代入中求解； （2）根据“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为，利用两个解的差为，列出方程求解． 【详解】（1）解： 解方程， 得 ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴， ， ∴． （2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∵两个解的差为， ∴或， ∴，． 51．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程的解及关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，可得出关于x的方程的解为，据此即可求解． 【详解】（1）∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程的解为，关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”， 关于x的方程的解为， ， 解得， 的值为1． 52．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较小的方程为另一个方程的“前置k格方程”． 例如：方程的解是，方程的解是． 则称方程为方程的“前置3格方程”． (1)判断方程是否为方程的“前置k格方程”________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“前置2格方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x的方程是方程的“前置k格方程”．求代数式的值． 【答案】(1)否 (2) (3)12 【分析】（1）分别求出两个方程的解即可得到答案； （2）分别求出两个方程的解，再根据“前置2格方程”的定义求出n的值即可得到答案； （3）分别求出两个方程的解，再根据“前置k格方程”的定义求出，然后把整体代入所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程不是方程的“前置k格方程”； 故答案为：否； （2）解∶解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程是关于x的方程的“前置2格方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程是方程的“前置k格方程”， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意所给的“前置k格方程”的定义是解题的关键． 53．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查新定义“m的后移方程”的定义、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，理解“m的后移方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程，再计算解的差，判断是否为正整数即可解答； （2）根据两个方程的解满足差值2，得到关于n的方程求解即可； （3）根据两个方程的解满足差值4，得到b与c的关系，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， 方程可得：， ∵，即两方程解的差值为正整数， ∴方程是的“m的后移方程”． 故答案为：是． （2）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴，解得：． （3）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”， ∴，整理得：， ∴． 54．（24-25六年级上·上海·月考）已知是一个固定的数，当为何值时，关于的方程的解是的解的3倍？ 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．先解关于的方程，再根据两个方程的解的关系，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：解方程得，， 解方程得，， 关于的方程的解是的解的3倍， 则， 解得：． 55．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先解两个方程，再根据定义判断即可； （2）先解方程得到，解方程得，根据两个方程为“互反方程得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：方程与为“互反方程．理由： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与为“互反方程； （2）解：解方程，得， 解方程， 得， 则， 即， 解得， ∵两个方程为“互反方程”，， ∴是方程的解， ∵， ∴． 【题型4 加减消元、代入消元解二元一次方程组】 56．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 去括号，得， 解得：， 把代入①，得， 方程组的解为； （2）解：， 整理，得， ①②，得， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． 57．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为； （3）解：， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 58．（25-26七年级下·云南昆明·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴原方程组的解为． （2）解：， 得，， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的解为． 59．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列二元一次方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：方程组整理为， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 60．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）原方程组整理为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得， 去括号，得， 解得， 把代入，得， 方程组的解为； （2）解：，即， ，得， ，得， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， 方程组的解为． 61．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 62．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好二元一次方程组的解法是关键． （1）使用加减消元法解方程即可； （2）使用加减消元法解方程即可； 【详解】（1）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 63．（25-26八年级上·山西运城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， ①代入②得，， 解得：， 将代入①得，； ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：； ∴原方程组的解为：． 64．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 65．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，         将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：，         得：， 解得：，         把代入得， 解得：， 原方程组的解为． 【题型5 换元法解二元一次方程组】 66．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解二元一次方程组，灵活运用换元思想简化复杂方程组是解题的关键．观察到方程组中和重复出现，可令，，将原方程组转化为关于、的二元一次方程组，解出m的值，即可得到的值． 【详解】解：令，， 则原方程组变为， 解得：， ． 67．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解是求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 68．（25-26八年级下·上海松江·期中）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，设，利用换元法，加减消元法求出解即可． 【详解】解：设：，， 方程组变形为， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为：，即． 69．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）选择适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程组的解法，根据题目特点选择适当的方法是解题的关键． （1）设，原方程组变形为，求解，再还原解答即可． （2）先加再整体消元解答即可． 【详解】（1）设， 原方程组变形为， 解得， ， 解得． （2）， 由得， ∴， 解得． 70．计算：解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．利用换元法和加减消元法解方程组即可． 【详解】解：令， 原式可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ∴方程组的解为：． 71．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 72．（25-26七年级下·四川泸州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便： 解：①②得，，所以， 将③，得， ②④，得，由③，得， 所以方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组． (2)直接写出关于x、y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题例进行解题即可； （2）根据题例进行解题即可． 【详解】（1） ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）， ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 73．（25-26七年级下·山东济宁·期末）阅读理解： 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答下列问题： （1）若方程组的解是，求方程组的解． （2）若方程组的解是，求方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等式的性质可把第二个方程组化成第一个方程组的形式，根据相同的方程组的解也相同，可得关于x、y的二元一次方程组，进而求解即可； （2）把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于x、y的方程组，即可求解． 【详解】解：（1）将中每一个方程的左右两边都除以4，得： ， ∵方程组的解是， ∴，解得：； （2）将中的每一个方程的左右两边都除以5，得： ， ∵原方程组的解为， ∴， 将两个方程相加可得：，① 将中的两个方程相加，可得：②， 由①②得：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的特殊解，熟练掌握二元一次方程组的相同解是解题的关键． 74．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期末）三位同学对下面这个问题提出了自己的看法： 若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解． 甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，将方程组化为，然后通过换元替代的方法来解决？” 你认为这个方程组有解吗？如果认为有，求出它的解． 【答案】有解；． 【分析】方程组有解，理由为：根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可． 【详解】方程组有解， ∵方程组的解是， ∴方程组解为， 解得：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 75．（25-26七年级下·山东济宁·期末）【阅读材料】小明同学遇到下列问题：解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，，这时原方程组化为 ，解得 ，把代入，，得， 解得 所以，原方程组的解为 【解决问题】请你参考小明同学的做法，解决下面的问题： （1）解方程组 （2）已知方程组的解是，直接写出方程组的解：_____________． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）令m＝，n＝，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可； （2）令e＝x＋1，f＝−y，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可． 【详解】解：（1）令m＝，n＝， 原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得， ∴原方程组的解为； （2）令e＝x＋1，f＝−y， 原方程组可化为， 依题意得， ∴， 解得． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，认真阅读材料，学会利用换元法解二元一次方程组，可以简化计算过程． 【题型6 求二元一次方程组中的参数】 76．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴解方程组得：， ∴． 77．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： (1)求原方程组中的a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，正确解方程组是解题的关键． （1）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解； （2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】（1）根据题意得： 解得： ； （2）原方程组是： ， 得， 解得，再代入得， 即，解得， 所以原方程组的解为． 78．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 79．已知方程组中互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解二元一次方程组，根据相反数的定义得出，把代入方程组得到一个新的二元一次方程组，利用代入法求解即可得出m的值． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， 把代入方程组， 得： 把②代入①得：， 解得： 80．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 由得， 方程组的解满足， ∴， 解得． 81．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 82．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 83．（24-25七年级下·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数． （1）根据加减消元法计算即可； （2）设印刷不清的数字为a，由题意可知，代入求出，可知，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：设印刷不清的数字为a， 由题意，得， 将其代入中， 得， 所以． 将代入， 得， 即原题中□是3． 84．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组求参数，方程组的两个方程相加得，即可求解． 【详解】解： 解：①②得 ， 解得：， ， ， 解得：． 85．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意，解二元一次方程组，得到，，结合x，y互为相反数，求出k值即可； （2）根据，，得到，代入到不等式，解不等式，得到结果． 本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得：， 把代入②，得， ， ，y互为相反数， ， 解得； （2）解：， 方程组的解满足， ， ， 【题型7 解三元一次方程组】 86．（25-26七年级下·辽宁营口·期末）解三元一次方程组 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法，根据题意将，解得，代入原方程得到，利用加减消元法求得解即可． 【详解】解：， ，得，则； 那么，， 解这个方程组，得， 因此． 87．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 88．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组是解题的关键； 通过加减消元法，消去，联立，解方程得，再将解代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题知，， 得，， 得，， 联立，解得， 把，代入中，可得，解得， 原方程组的解为． 89．（25-26七年级下·江苏·课后作业）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握将三元一次方程组转化成二元一次方程组求解是解题的关键． 观察到三个方程里的系数都是1或，故先用加减消元法消去，再把含、的方程联立方程组来解． 【详解】解：， 得：④， 得：⑤， 得：⑥， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 90．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解： 得，， 故 得，， 解得， 把代入，得， 解得， 把，都代入，得， 解得， 故方程组的解为． 91．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组．利用消元法解三元一次方程组． 【详解】解：②+③得， 解得：， ①+③得，④ 将代入④得， 解得：， 将，，代入①得， 解得： ∴原方程组的解为 92．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握消元法解三元一次方程组是解题的关键. 先利用第一个方程简化：由 ，直接将 代入第二个和第三个方程，得到关于 和 的方程组。得到关于 和 的方程组，使用加减消元法解关于 和 的方程组即可解题. 【详解】解：由 ，直接将 代入第二个和第三个方程，可得到关于 和 的方程组 将方程得, 解得： ， 将 代入方程②得 ， 解得 ， 方程组的解为 93．（25-26六年级·上海·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确消元的数学思想，会解三元一次方程组．先将三元一次方程化为二元一次方程组，再化为一元一次方程即可解答本题． 【详解】解：， ①②，得④， ②③，得⑤， ④⑤，得， 解得， 把代入④，得， 把，代入②，得． 所以原方程组的解是． 94．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，求出二元一次方程组的解，再求出第三个未知数的值即可． 【详解】解：， ①+②，①+③得： ， 解得， 把代入②得：， 解得， 所以原方程组的解为． 95．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 【题型8 解一元一次不等式（组）】 96．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式和解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可 （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去分母得， 移项得， 系数化为1得； （2）解：解不等式①， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式②， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴原不等式组的解集为． 97．（25-26八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式及不等式组的步骤． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得． 故不等式组的解集为． 98．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 99．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组,熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的基本步骤是银题的关键． （1）根据解不等式的基本步骤解答即可． （2）根据不等式组的解法步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ． （2）解：∵ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 100．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组． （1）直接移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）分别求出两不等式的解集，进而可求不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：解得； 解得； ∴不等式组解集是． 101．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解不等式（组）． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元一次不等式或不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式或不等式组的解法及步骤是解题的关键． （）根据解不等式的步骤求解即可， （）分别解两个不等式，然后求出解集即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解：， 解不等式得， 解不等式：， ， ∴原不等式组的解集是：． 102．（25-26八年级上·浙江金华·期末）解不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在熟练掌握解一元一次不等式的步骤和确定不等式组解集的原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，进行计算即可解答； （2）先分别求出不等式组每一个不等式的解集，再确定不等式的公共解集的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴． 103．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤． （1）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 104．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式组，掌握不等式、不等式组的解法是解题的关键． （）根据解一元一次不等式的步骤即可求解； （）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解为． 105．（25-26八年级上·陕西西安·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握一元一次不等式（组）的解法是解答本题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ， （2）解不等式组 解 得 ， 解 得 ， 所以不等式组的解集为 ． 【题型9 求一元一次不等式（组）的整数解】 106．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 107．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3 【分析】找出正整数解．本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的一般步骤，先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴不等式的正整数解为1，2，3． 108．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）求不等式的最大整数解． （2）求不等式组的所有整数解． 【答案】（1）19（2），， 【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解以及求不等式组的所有整数解. （1）先求出不等式的解集，根据解集得出最大整数解即可. （2）分别求出其中每一个不等式，再取公共解，得到不等式组的解集，最后按照题意求出整数解． 【详解】解： 则不等式的最大整数解为19 （2）， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 109．（24-25七年级下·陕西西安·期末）解不等式：，并写出它的正整数解． 【答案】，不等式的正整数解为：1，2，3 【分析】本题考查了解一元一次不等式并求正整数解. 先求出一元一次不等式的解集，再求正整数解即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴不等式的正整数解为：1，2，3． 110．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解一元一次不等式组，并写出满足该不等式组的x的整数值． 【答案】不等式组的解集为，满足该不等式组的x的整数值为，0 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并据此得出满足该不等式组的x的整数值即可． 【详解】解： 由①得． 由②得． ． ∴不等式组的解集为 ∴满足该不等式组的x的整数值为，0 111．（25-26九年级上·重庆·期末）求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求解集范围内的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．先利用解一元一次不等式组的步骤求出其解集，再确定解集内的整数即可； 【详解】解：解不等式①得， ， 解不等式②得， ， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组：的整数解为：，0，1， 故答案为：，0，1． 112．（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集，通过解集确定所有整数解，从而确定整数解的和，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先求出两个不等式各自的解集，然后依据不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找，确定不等式组的解集，找出所有整数解求和即可得． 【详解】解：， 解不等式①，，解得； 解不等式②，，解得； 则不等式组的解为，它的所有整数解为， 因此，不等式组的所有整数解的和为． 113．（25-26九年级上·重庆·期末）解不等式组：，并写出所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别解两个不等式，再求不等式组的解集，最后找出正整数解. 【详解】解： 解①得：； 解②得： ∴不等式组的解集为 ∴所有正整数解为 ． 114．（25-26八年级上·全国·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【答案】解为，所有非正整数解的和为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，从而得出原不等式组的解为，即可得出非正整数解为、、、0，求和即可，熟练掌握解一元一次不等式组的运算方法是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∴原不等式组的解为． ∴非正整数解为、、、0． ∴所有非正整数解的和为． 115．（24-25八年级下·山东聊城·期末）解不等式组：并写出它的整数解． 【答案】，整数解为、0、1、2． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， 整数解为、0、1、2． 【题型10 一元一次不等式（组）的解集用数轴表示】 116．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： （2）解：， 解得： 解得：， ∴， 在数轴上表示为： 117．（25-26八年级下·全国·单元测试）(1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式（组），在数轴上表示解集是解题的关键． （1）先去分母，去括号，然后移项合并，最后系数化为1可求不等式的解集，在数轴上表示解集即可； （2）分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，， 在数轴上表示解集如下： （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示解集如下： 118．（25-26八年级上·重庆·期末）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2) 【答案】(1) (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 119．（24-25七年级下·云南昆明·期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握解不等式及不等式组的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可； （2）先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为： （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 120．解下列不等式（组），并把所求得的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式和不等式组的解集是解题的关键． （1）先按照去分母、去括号、移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1，然后再在数轴上表示出解集即可； （2）先求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后再在数轴上表示出解集即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 121．（25-26七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式（组）的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，会在数轴上表示不等式（组）的解集． （1）根据解一元一次不等式的方法解答，并把解集表示在数上即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法解答，并把解集表示在数上即可． 【详解】（1）解： 不等式两边同乘以6，得， 去括号得，， 移项及合并同类项，得 ∴原不等式的解集是， 在数轴表示如图所示， （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 在数轴上表示如图所示， 122．（24-25八年级上·浙江金华·月考）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)无解，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的． （1）将不等式移项，未知数系数化为1，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可； （2）先求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并，得：， 系数化为1，得：， 将不等式的解集在数轴上表示为： （2）解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 将①②的解集在数轴上表示为： 所以，不等式组无解． 123．（25-26七年级下·全国·期末）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)   见解析 (2)   见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别解两个一元一次不等式，然后取两个解集公共部分就是这个不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式， 移项得 合并同类项得， 解不等式， 移项得 合并同类项得 系数化为得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图①所示． （2）解：解不等式， 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为得， 解不等式， 去分母得 移项得 合并同类项得 系数化为得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图②所示． 124．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 125．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）解下列不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找（无解）”确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 【题型11 求一元一次不等式（组）中的参数】 126．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】(1) (2)整数a的值为：3，4 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． （2）解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 127．（25-26七年级下·江苏·课后作业）已知不等式组的解集为，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．解出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集比较，可得答案． 【详解】解：由，得：， 由得：， 不等式组的解集为， ，， 解得，． 128．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如果关于的不等式有个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 先解出不等式组，然后根据关于的不等式有个整数解得到关于的不等式组，解关于的不等式组求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 关于的不等式有个整数解， ， 解得：． 129．（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可； （2）先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的解集与①的解集相同得出关于a、b的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由不等式得：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集与①的解集相同， ∴， 解得：． 130．如果不等式组的解集是 (1)求m的取值范围； (2)当m为何整数时，不等式的解为 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键． （1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围； （2）根据不等式的基本性质即可得出结论． 【详解】（1）， 由①得，， ∵不等式组的解集是， ∴； （2）∵不等式的解为， ∴， 解得． 131．（25-26七年级下·河北邢台·月考）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成，请你解不等式组； (2)王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围． 【答案】(1) (2)“□”的取值范围为大于等于 【分析】（1）根据题意求不等式的解集即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后由不等式组的解集求解即可． 【详解】（1）解：解不等式，得 解不等式，得 所以不等式组的解集是 （2）设常数“□”为a， 解不等式，得 又因为不等式的解集为， 不等式组的解集为， 所以， 解得，． ∴“□”的取值范围为大于等于． 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及其相关参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键． 132．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于x的方程的解也是不等式组的解，求m的取值范围． 【答案】2 < m6 【分析】先求出关于x的方程的解，然后根据不等式组的解集，即可确定出m的范围． 【详解】解： 去括号得：2x－m=3x－3 解得：x=3－m； 解不等式①得：x<1 解不等式②得：x≥－3 ∴不等式组的解集为：-3x<1； ∵x=3－m， ∴－33－m<1， 解得：2<m6． ∴m的取值范围是2<m6． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 133．（25-26七年级下·福建莆田·期末）已知关于x、y的方程组的解满足， （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）求出方程组的解，根据不等式组即可解决问题； （2）根据不等式即可解决问题； 【详解】解：解方程组， ①+②得：2x=4m+2， 解得：x=2m+1，代入①， 解得：y=m-3， ∴方程组的解为：， ∵x≥0，y＜1， ∴， 解得：； （2）∵（2-m）x＞2-m的解集为x＜1， ∴2-m＜0， ∴m＞2， 又∵m＜4，m是整数， ∴m=3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、解二元一次不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 134．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组的整数解恰有5个，求a的范围． 【答案】 【详解】试题分析：先分别解两个不等式得到不等式组的解集为a≤x<2，则可确定不等式组的5个整数解为1，0，-1，-2，-3，于是可得到a的取值范围． 解①得， ； 解②得， ； ∴不等式组的5个整数解为1，0，-1，-2，-3， ∴. 点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解，已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待求出不等式组的解集，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的值． 135．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 136．（24-25八年级上·浙江宁波·月考）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答． （1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【详解】（1）解：两个方程相加可得， 则， 根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴，得， 又∵且为整数， ． 137．（25-26七年级下·吉林·期末）如果关于x的不等式的解集为，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解一元一次不等式可得，然后根据已知不等式的解集为，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 不等式的解集为， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 138．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”． (1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号） (2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据“友好不等式”的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“友好不等式”的定义可得，解不等式即可求解； （3）分两种情况讨论根据“友好不等式”的定义得到含a的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：①的解集为，②，③的解集为， 不等式和没有公共解，故①不是不等式的“友好不等式”； 不等式不等式和有公共解，故②是不等式的“友好不等式”； 不等式不等式和有公共解，故③是不等式的“友好不等式”； 故答案为：②③； （2）解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“友好不等式”， ∴， 解得， 故m的取值范围是； （3）解不等式，得到；解不等式，得到 ①当时，即时，依题意有，即，故； ②当时，即时，始终符合题意，故； 综上，a的取值范围为或． 139．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 140．（25-26七年级下·四川乐山·期末）若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的“解集中点”． (1)不等式组的解集中点是______； (2)若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法． （1）先求出不等式组的解集，再根据“解集中点”的定义求解即可； （2）先求出不等式组的解集，再求出解集中点，然后分别求出两个一元一次方程的解，最后根据题意得到关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点是， 故答案为：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集中点为：， 解方程，得， 解方程，得：， 关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解， ， 解得：， 即的取值范围是． 141．（25-26七年级下·四川自贡·期末）已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 142．（25-26七年级下·吉林长春·期末）对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据新定义及已知列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新定义把不等式转化为，解不等式即可求解； （）由新定义可把不等式组转化为，求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 即，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴不等式即为， 解得； （3）解：∵，， ∴不等式组可转化为， 解得， ∵不等式组只有一个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 143．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数． 【答案】，，，0，1，2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组得：， 关于x，y的二元一次方程组的解满足， ， 解得：， 解不等式组得， 又关于x的不等式组有解， ， 解得：， 即， 所有符合条件的整数a为：，，，0，1，2，． 144．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于的不等式组 (1)若，求上述不等式组的解集； (2)已知题干中的不等式组有解． ①求的取值范围； ②若不等式组的解集中只含有4个整数解，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】（1）若，分别求出两个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得不等式组的解集； （2）①分别求出两个不等式的解集为，，根据不等式组有解，可得 ，即可求出的范围．②由①得不等式组的解集为，由不等式组的解集中只含有4个整数解，可得，进而可求得的范围． 【详解】（1）解：当时，解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为； （2）解：①解不等式①得， 解不等式②得． 不等式组有解， ， ． ②由题意得不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中只含有4个整数解， 这4个整数解为，，，， ， 解得， ∴的最小值为1． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法与不等式的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 145．（24-25七年级下·四川泸州·期末）定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”． (1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值； (2)已知与是关于3的“关联数”，求的值； (3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据“关联数”的定义，列一元一次方程求解即可； （2）根据“关联数”的定义，列出方程整理得出，利用平方和绝对值的非负性，求出、的值，代入计算的值即可； （3）根据“关联数”的定义，得出，代入不等式组整理得出，根据不等式组的整数解的情况，得出，求解综合得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵3与是关于2的“关联数”， ∴，即， ∴； （2）解：∵与是关于3的“关联数”， ∴，整理得：， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵与是关于的“关联数”， ∴， ∴， 把代入不等式组得：， 整理得：， ∵关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了新定义、列一元一次方程求解、平方和绝对值的非负性、由不等式组解集的情况求参数范围，理解题意、正确列式求解是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习计算专练11大题型145题 【新教材华东师大版】 【题型1 解一元一次方程】 1 【题型2 已知一元一次方程的解求参数】 4 【题型3 一元一次方程解的关系】 6 【题型4 加减消元、代入消元解二元一次方程组】 9 【题型5 换元法解二元一次方程组】 10 【题型6 求二元一次方程组中的参数】 12 【题型7 解三元一次方程组】 14 【题型8 解一元一次不等式（组）】 14 【题型9 求一元一次不等式（组）的整数解】 16 【题型10 一元一次不等式（组）的解集用数轴表示】 16 【题型11 求一元一次不等式（组）中的参数】 17 【题型1 解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）解下列方程 (1)． (2)． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2)． 4．解方程： (1) (2) 5．（24-25六年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1)； (2)． 6．（24-25六年级下·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2)． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）解下列方程： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）解方程 (1) (2)． 9．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）解下列方程： (1)． (2)． 11．（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程 (1) (2) 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)． (2)． 14．求解下列方程： (1) (2) 15．解方程： (1) (2) 16．解方程 (1)； (2)． 17．（24-25七年级下·全国·期末）解方程： (1) (2) 18．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）解方程： (1)； (2)． 19．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）解方程： (1)； (2) 20．（24-25七年级上·山东青岛·期末）解方程： (1)； (2)． 21．（25-26七年级上·山东日照·月考）解方程： (1)； (2)． 22．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）解方程： (1)； (2)． 23．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·月考）解方程： (1)． (2)． 24．（25-26七年级上·山东济宁·月考）解方程． (1) (2) 25．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 已知一元一次方程的解求参数】 26．（24-25七年级上·北京东城·期末）已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 27．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并正确求出方程的解． 28．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 29．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 30．（24-25七年级上·湖南·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 31．（24-25七年级上·四川达州·月考）已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 32．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是_____；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 33．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 34．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 35．（24-25七年级上·山西太原·月考）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 36．（24-25七年级上·陕西榆林·月考）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 37．（24-25七年级上·重庆·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值． 38．已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 39．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于x的多项式，(m，n为常数)． (1)若代数式的值与x无关，求的值． (2)若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 40．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）已知代数式的值比代数式的值大1． (1)求的值； (2)小轩在解关于的一元一次方程去分母时，等号右边的没有乘3，因此求得方程的解为，求原方程正确的解． 【题型3 一元一次方程解的关系】 41．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 42．（24-25七年级上·福建三明·期末）若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 43．如果关于x的方程与的解相同，求m的值． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 45．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 46．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 47．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 48．如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． (1)若方程是方程的“稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 49．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 50．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 51．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 52．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较小的方程为另一个方程的“前置k格方程”． 例如：方程的解是，方程的解是． 则称方程为方程的“前置3格方程”． (1)判断方程是否为方程的“前置k格方程”________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“前置2格方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x的方程是方程的“前置k格方程”．求代数式的值． 53．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 54．（24-25六年级上·上海·月考）已知是一个固定的数，当为何值时，关于的方程的解是的解的3倍？ 55．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【题型4 加减消元、代入消元解二元一次方程组】 56．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解方程组： (1)； (2)． 57．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）解方程组： (1) (2) (3) 58．（25-26七年级下·云南昆明·期中）解下列方程组： (1) (2) 59．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列二元一次方程组 (1) (2) (3) 60．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）解方程组： (1) (2) 61．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 62．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： (1)； (2)． 63．（25-26八年级上·山西运城·期末）解方程组： (1) (2) 64．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 65．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 【题型5 换元法解二元一次方程组】 66．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 67．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解是求方程组的解． 68．（25-26八年级下·上海松江·期中）解方程组： 69．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）选择适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 70．计算：解方程组 71．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 72．（25-26七年级下·四川泸州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便： 解：①②得，，所以， 将③，得， ②④，得，由③，得， 所以方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组． (2)直接写出关于x、y的方程组的解． 73．（25-26七年级下·山东济宁·期末）阅读理解： 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答下列问题： （1）若方程组的解是，求方程组的解． （2）若方程组的解是，求方程组的解． 74．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期末）三位同学对下面这个问题提出了自己的看法： 若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解． 甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，将方程组化为，然后通过换元替代的方法来解决？” 你认为这个方程组有解吗？如果认为有，求出它的解． 75．（25-26七年级下·山东济宁·期末）【阅读材料】小明同学遇到下列问题：解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，，这时原方程组化为 ，解得 ，把代入，，得， 解得 所以，原方程组的解为 【解决问题】请你参考小明同学的做法，解决下面的问题： （1）解方程组 （2）已知方程组的解是，直接写出方程组的解：_____________． 【题型6 求二元一次方程组中的参数】 76．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 77．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： (1)求原方程组中的a，b的值； (2)求原方程组的解． 78．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 79．已知方程组中互为相反数，求的值． 80．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 81．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 82．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 83．（24-25七年级下·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 84．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 85．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 【题型7 解三元一次方程组】 86．（25-26七年级下·辽宁营口·期末）解三元一次方程组 87．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 88．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 89．（25-26七年级下·江苏·课后作业）解方程组： 90．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 91．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 92．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 93．（25-26六年级·上海·期末）解方程组： 94．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：． 95．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【题型8 解一元一次不等式（组）】 96．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式和解不等式组： (1)； (2)． 97．（25-26八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组： 98．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 99．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1)． (2) 100．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1) (2) 101．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解不等式（组）． (1)； (2)． 102．（25-26八年级上·浙江金华·期末）解不等式（组）： (1)； (2) 103．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 104．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 105．（25-26八年级上·陕西西安·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组 【题型9 求一元一次不等式（组）的整数解】 106．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 107．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）求不等式的正整数解． 108．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）求不等式的最大整数解． （2）求不等式组的所有整数解． 109．（24-25七年级下·陕西西安·期末）解不等式：，并写出它的正整数解． 110．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解一元一次不等式组，并写出满足该不等式组的x的整数值． 111．（25-26九年级上·重庆·期末）求不等式组：的所有整数解． 112．（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）求不等式组：的所有整数解的和． 113．（25-26九年级上·重庆·期末）解不等式组：，并写出所有正整数解． 114．（25-26八年级上·全国·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 115．（24-25八年级下·山东聊城·期末）解不等式组：并写出它的整数解． 【题型10 一元一次不等式（组）的解集用数轴表示】 116．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 117．（25-26八年级下·全国·单元测试）(1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 118．（25-26八年级上·重庆·期末）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2) 119．（24-25七年级下·云南昆明·期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 120．解下列不等式（组），并把所求得的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 121．（25-26七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)． 122．（24-25八年级上·浙江金华·月考）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来： (1)； (2)． 123．（25-26七年级下·全国·期末）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 124．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 125．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）解下列不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【题型11 求一元一次不等式（组）中的参数】 126．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 127．（25-26七年级下·江苏·课后作业）已知不等式组的解集为，求、的值． 128．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如果关于的不等式有个整数解，求的取值范围． 129．（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 130．如果不等式组的解集是 (1)求m的取值范围； (2)当m为何整数时，不等式的解为 131．（25-26七年级下·河北邢台·月考）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成，请你解不等式组； (2)王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围． 132．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于x的方程的解也是不等式组的解，求m的取值范围． 133．（25-26七年级下·福建莆田·期末）已知关于x、y的方程组的解满足， （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式的解集为？ 134．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组的整数解恰有5个，求a的范围． 135．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 136．（24-25八年级上·浙江宁波·月考）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 137．（25-26七年级下·吉林·期末）如果关于x的不等式的解集为，求a的值． 138．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”． (1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号） (2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围． 139．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 140．（25-26七年级下·四川乐山·期末）若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的“解集中点”． (1)不等式组的解集中点是______； (2)若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围． 141．（25-26七年级下·四川自贡·期末）已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 142．（25-26七年级下·吉林长春·期末）对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 143．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数． 144．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于的不等式组 (1)若，求上述不等式组的解集； (2)已知题干中的不等式组有解． ①求的取值范围； ②若不等式组的解集中只含有4个整数解，求的最小值． 145．（24-25七年级下·四川泸州·期末）定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”． (1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值； (2)已知与是关于3的“关联数”，求的值； (3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $