精品解析：河南省实验中学2025-2026学年八年级下学期期中数学卷

2025-2026学年（下）期中考试 八年级 数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于”，则应先假设（ ） A. 四边形中每个内角都小于 B. 四边形中有一个内角小于 C. 四边形中有一个内角大于 D. 四边形中每个内角都大于 5. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 图形经过平移，对应线段平行且相等 B. 在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于 C. 两边分别相等的两个直角三角形全等 D. 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 8. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 9. 如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，点、在上．且满足，则四边形周长的最小值为（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是________． 12. 因式分解：______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是______． 14. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________． 15. 如图，已知直线经过原点，点的坐标为，点为直线上位于第一象限内的一个动点，分别以、为一边作等边、等边，点在的左侧，点恰好落在轴的正半轴上．当时，点的坐标为________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； （2）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 17. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的： （2）在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为________． 18. 人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． （1）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码； （2）若多项式分解因式后，利用前面的方法，当时，可以得到密码为242932，求，的值． 19. 如图，在中，，点D在外，，．求证：． 小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题． （1）用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：． 20. 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年的阔叶树种（例如杨树）和1棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 21. 如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． （1）求平移的距离； （2）求的周长． 22. 已知一次函数，其中． （1）若点在的图象上，求的值； （2）当时，若函数有最大值5，求的函数表达式； （3）对于一次函数，当时，都成立，求的取值范围． 23. 综合探究 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．如图1，在中，，，点是线段上一动点（不与点重合），点是线段上一动点（不与点重合），且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求． （1）问题特殊化：如图2，当点运动到点时，的度数是________； （2）探究问题：当点和点不重合时，上述结论是否仍然成立？请说明理由： （3）拓展延伸：如图3，连接，若，当是等腰三角形时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）期中考试 八年级 数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可，核心性质为：不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向不变；两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵已知， 对A选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，∴，A错误， 对B选项，的符号不确定，若，则，若，则，B错误， 对C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，∴，C错误， 对D选项，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，D正确． 3. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 4. 反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于”，则应先假设（ ） A. 四边形中每个内角都小于 B. 四边形中有一个内角小于 C. 四边形中有一个内角大于 D. 四边形中每个内角都大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，解题关键是正确得到原结论的否定形式. 【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于”，则应先假设“四边形中每个内角都小于”. 5. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 6. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 图形经过平移，对应线段平行且相等 B. 在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于 C. 两边分别相等的两个直角三角形全等 D. 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．图形平移后，对应线段可能共线，不一定平行，故A错误； B．结论“一边是另一边的一半，这条边所对的角为”仅在直角三角形中成立（且需满足短边为斜边的一半），任意三角形不满足该结论，故B错误； C．若两个直角三角形中，相等的两边分别为一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边，两个三角形不全等，故C错误； D．∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故D正确． 8. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 9. 如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，点、在上．且满足，则四边形周长的最小值为（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先说明当最小时，四边形的周长最小．如图，在上取，连接交于点，连接，利用矩形的性质可证明四边形是平行四边形，即；再利用垂直平分线的性质、线段的和差可得的最小值为，最后利用勾股定理以及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形的周长为， ∴当最小时，四边形的周长最小． 如图，在上取，连接交于点，连接， ∵、分别是、的中点，四边形是矩形， ∴， ∴, ∵, ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ， ， ∴， ∴当三点共线时，即的最小值为， ∵ ∴四边形周长的最小值为． 10. 如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点D分别作，根据图2得：，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，在中，利用勾股定理可得，然后根据，求出的长，即可． 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作， 根据图2得：，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标是． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：若分式有意义， ∴， 解得． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是______． 【答案】(0，1) 【解析】 【分析】根据旋转的性质确定出点P的位置，再写出坐标即可． 【详解】旋转中心P的位置如图所示，∴点P的坐标为（0，1）． 故答案为（0，1）． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质是解题的关键． 14. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集是求出，且，然后代入求解． 【详解】解： 移项得， ∵关于的不等式的解集是， ∴，且 ∴ ∴，且 ∴ 解得． 15. 如图，已知直线经过原点，点的坐标为，点为直线上位于第一象限内的一个动点，分别以、为一边作等边、等边，点在的左侧，点恰好落在轴的正半轴上．当时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过点C作轴于点M，轴于点N，过点A作于点Q，证明，得到，求得，得到；连接，过点C作轴于点H，轴于点G，仿照前面的解答求解即可； 【详解】解：连接，过点C作轴于点M，轴于点N，过点A作于点Q， 以、为一边作等边、等边，且点的坐标为， 故， ， 故，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 过点A作于点Q， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 故； 连接，过点C作轴于点H，轴于点G， 以、为一边作等边、等边，且点的坐标为， 故， ， 故，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由点C位于第四象限， 故； 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； （2）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 【答案】（1）一，分式的基本性质 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据通分的定义进行解答即可； （2）根据分式混合运算的法则，进行计算得出正确答案即可． 【小问1详解】 解：以上化简过程中，第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的： （2）在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得； （2）结合（1）的作图方法即可解答． 【小问1详解】 解：如图，，即为所求： 【小问2详解】 解：点以点为对称中心的对应点坐标为， 点以点为旋转中心，顺时针方向旋转的对应点坐标为， 则点在上对应点的坐标为． 18. 人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． （1）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码； （2）若多项式分解因式后，利用前面的方法，当时，可以得到密码为242932，求，的值． 【答案】（1）273033 （2），的值分别为29，8 【解析】 【分析】（1）把原多项式因式分解，再把代入各因式，即可求解； （2）设，根据题意可得，，可求出a，b的值，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 当时，，， 王老师密码为273033； 【小问2详解】 解：， 设， 当时，可以得到密码为242932， ，， ，， ， ， 解得． ，的值分别为29，8． 19. 如图，在中，，点D在外，，．求证：． 小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题． （1）用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点；过点A和该交点作直线，交于点E，则即为所求． （2）由等腰三角形性质得E为中点，结合已知条件证明直角三角形全等，从而得证． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问2详解】 ，， 为的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 20. 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年的阔叶树种（例如杨树）和1棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】（1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克； （2）；采购杨树棵、冷杉棵一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【解析】 【分析】（1）设每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可； （2）购买杨树棵，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可； 根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，求出的取值范围，根据一次函数的性质可知随的增大而增大，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案． 【小问1详解】 解：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克， 根据题意得，解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克； 【小问2详解】 解：由题意得， ； 由题意得， 解得， 由得，， ∴随的增大而增大， ∵为正整数， ∴当时，有最大值， 此时（棵）， 答：采购杨树棵、冷杉棵，一年内吸收的二氧化碳总量最大． 21. 如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． （1）求平移的距离； （2）求的周长． 【答案】（1）平移的距离是； （2）的周长为． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，则 ，由角平分线的性质，可得 ，证明，可得 ， ，由勾股定理可得，设 ，则 ，由勾股定理可得，即可得平移的距离； （2）由角平分线的定义可得，由平移，结合平行线的性质，可得，由等角对等边可得，即可得的周长． 【小问1详解】 解：过点作于点，则 ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 设 ，则 ， 在Rt中，， ， 解得， ， 平移的距离是． 【小问2详解】 解：平分， ， 由平移得， ， ， ， 由（1）得，， ， ∴ 的周长为． 22. 已知一次函数，其中． （1）若点在的图象上，求的值； （2）当时，若函数有最大值5，求的函数表达式； （3）对于一次函数，当时，都成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）一次函数解析式为或 （3）且 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）把代入中可求出的值； （2）讨论：当时，根据一次函数的性质得到时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；当时，利用一次函数的性质得到时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式； （3）结合图象，分两个函数平行和有交点两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ． 【小问2详解】 解：当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最大值5 ，即时，， 把代入得， 解得：， 此时一次函数解析式为； 当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值5，即时，， 把代入得， 解得：， 此时一次函数解析式为， 综上，一次函数解析式为或； 【小问3详解】 解：如图： 分为两种情况：①当一次函数与一次函数的图象没有交点时， 即当一次函数与一次函数的图象平行时， 满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方， 此时， 即； ②当一次函数与一次函数的图象有交点时， 若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴， 此时时，成立， 即； 综上，a的取值范围为：且． 23. 综合探究 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．如图1，在中，，，点是线段上一动点（不与点重合），点是线段上一动点（不与点重合），且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求． （1）问题特殊化：如图2，当点运动到点时，的度数是________； （2）探究问题：当点和点不重合时，上述结论是否仍然成立？请说明理由： （3）拓展延伸：如图3，连接，若，当是等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）4或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质结合等边对等角以及三角形的外角性质求解即可； （2）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此求解即可； （3）分三种情况讨论，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：当点运动到点时， ∴， ∴点是的中点，由旋转的性质得，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：成立，理由如下， 在上截取，连接， 由旋转的性质得，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∴，则， ∵，， ∴， ∴； 当时，作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理， ∴； 当时， 点在延长线上，不符合题意； 综上，的面积为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $