2025年山东省初中学业水平考试(临沂、菏泽、枣庄、济宁、泰安、日照、聊城-【中考321】备战2026山东省中考真题汇编·数学

13.m>一4【解析】，方程x2十4x一m=0有两个不相等 参考答案及详解详析 的实数根，.△=42-4×1×(-m)>0,解得m>一4.故 答案为：m>一4. P4 14.(1,一1)【解析】点A1 2025年山东省初中学业水平考试 的坐标为(1，一1)，点A2 (临沂、菏泽、枣庄、济宁、泰安、日照、聊城) 的横坐标为1，.点A2的坐 1.A2.B3.C4.C 标为(1,1)，点A3的纵坐 5.B【解析】一2a十3a=a,故A选项错误；a2与a不是同 标为1，点A3的坐标为 类项，无法合并为a,C选项错误；a÷a2=a,故该选项错 (-1,1),同理点A4的横坐 误.故选：B. 标为一1，点A,的坐标为 6A【解析】设三款镇馆之宝“亚丑俄”“蛋壳黑陶杯”“颂 （一1，一1)，点A,的坐标为(1，一1)，.四个点一个循环. 簋”分别用A,B,C表示，根据题意列表如下： 2025÷4=506…1,.点A225的坐标与点A1相同， A B 是(1，-1).故答案为：(1，-1). C A A,A A,B A,C 15号 【解析】在Rt△ABC B B.A B,B B,C 中，∠ABC=90°，AB=6, C,A C,B C,C BC=8,∴.AC=√AB2+BC= 则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚丑 √62+82=10，如图，设AB与PQ交于点O,过点O作 钱”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时抽到“亚丑钱”的概率 OP1⊥AC于点P1,.∠AP1O=90°. 是日放选：A :四边形PAQB是平行四边形，∴OA=OB=2AB=3, 7.D【解析】设哪吒有x个，夜叉有y个，然后根据题意可 3x十y=36,故选：D. OP=OQ=2PQ,当线段PQ长最小，则线段OP的长 得：6z+8y=108. 最小，由垂线段最短可得OP1⊥AC时，即点P与，点P1 8.D【解析】如图，连接AB,DC相交 D 重合时，OP1最小 于点O,·正方形的内切圆的半径 是2，∴.AC=BC=4,OA=OB, n∠BAP-胎-品0-总每得04-号 3 .AB=√AC2+BC2=√42+42= 24 42,0A=0B=号AB=22,:图 线段P0长最小为20P,-(答家为：号 中阴影部分的面积是π·(2√2)2一π·22=4π故选：D. 16解：1-×+-×3+1 9.A【解析】四边形OABC是面积为4的正方形，设，点B的 =1+1 坐标为(b,b),∴b2=4,解得b=2(已舍弃负值)， =2 “点B的坐标为2,2.：函数y=（c>0)的图象经过点B, (2x-1(z++) x ∴满足y≥2的x的取值范围是0<x≤2.故选：A =+1x-1(2+7+》 10.B【解析】当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小， 即A选项错误；由函数图象可知：抛物线的对称轴为直线 =+-1 x=100,300=200,即当工=2000时，y有最大值， =(x十2)(x一1) 2 =x2十x-2. 则B选项正确；由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤ 当x=2时，原式=22+2-2=4. x≤3000，即C选项错误；当y=0.4时，由图象知，x对 17.解：(1)，∠ABC=90°，∠ACB=30°， 应的值有两个，即D选项错误.故选：B. ∴∠BAC=60°. 11.1(答案不唯一) AD是∠BAC的平分线， 12.(3,2)【解析】将，点P(3,4)向下平移2个单位长度，得 到的对应点P'的坐标是(3,4一2)，即(3,2).故答案为： ∠DAC=∠DAB=∠BAC=30, (3,2) ∴.∠ADC=∠DAB+∠ABC=120°. (2)由作图知MN是线段CD的垂直平分线， ∴.OB=√2OA=2√2，∴.CB=OB-OC=2√2-2. .DE-CE-CD. 21.解：(1).⊙0分别与AC,AD相切于点B,D, .∠DAC=∠C=30°，.AD=CD. ∴AB=AD,∠0AB=∠0AD-2∠CAD=30 .∠ABC=90°，∠DAB=30°， (2)连接OB,,钢柱的底面圆半径为1cm, ..AD=AB o5 30-2/3,BD-ZAD-CD-DE. ∴.BC=OB=1cm. ,∠OAB=30°，∠OBA=90°， :∠ADB=∠FDE,∠ABD=∠FED=9O°， ∴.△ADB≌△FDE, ..AB=OB tan 30=3 cm, .DF=AD=2√3. ∴.AC=BC+AB=(1+√3)cm, 18.解：(1)由题意可得：蓄水池的水位高度y(米)与注水时间 同理A'C'=(1十√3)cm, x(小时)之间的表达式为y=6.x十5. .l=7.52-2(1+3)≈2.06(cm). (2)根据题意，得0.4(6x十5)X0.3=4.2,解得x=5. ,1.9<2.06<2.1,∴.该部件1的长度符合要求. 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时. (3)能，将圆柱换成正方体.如图， 19.解：(1)根据题意得a=24-4-2-9一2=7， 设正方体的棱长为a,用游标卡尺测 补全频数分布直方图如图. 量出CF的长度y, 乙基地水体H值数据的频数分布直方图 频数 .'.BC=BD=a. BD 3a ∠CAD=60°，.AB= tan60°31 ,3a ∴.AC=a 3 1=y-2(a+2）=y28+80 3 22.解：(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)+(x-a) V7.007.307.607.908.208.50pH值 (x-b)+x(x一b)可化为y=x(x-0)十(x-0)(x-3) (2)7.677.79解析：甲基地水体的pH值数据中，7.67 十x(x-3)=3x2-6x, 出现了4次，出现次数最多，则b=7.67; -6 乙基地水体的pH值数据中，由小到大排列中间两个数为 一此函数图象的对称轴为直线x=一2X31. 7.7和7.81，则c=7.77)7.81-7.79.故答案为7.67， (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)十(x-a)(x-b) +x(x-b)可化为y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+ 7.79 x(x-2a)=3.x2-6a.x+2a2, (3)甲基地水体的pH值更稳定.理由如下：甲的方差为 b 0.10,乙的方差为0.13,0.10<0.13，∴.甲基地水体的pH 抛物线的对称轴为直线x=一2a =a 值更稳定 ,3>0,∴抛物线开口方向向上。 (4)甲基地水体pH值的日变化量：8.26-7.27=0.99，乙 在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，a≥1. 基地水体pH值的日变化量：8.21一7.11=1.1，∴.该日两 在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，a≤3， 基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求. .1≤a≤3. 20.(1)证明：.AD⊥OB,.∠DAC+∠ACD=90°. .OA=OC,.∠OAC=∠OCA. (3)存在.：若点A(a,),B(2,y),C6,y)均在 ,AC是∠BAD的平分线，∴.∠DAC=∠BAC, 该函数的图象上， '.∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°， .y1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a2-ab. 即AB⊥OA. y=x(z-a)+(x-a)(x-6)+x(x-b) 又.OA为⊙O的半径， =3x2-2(a+b)x+ab, .AB为⊙O的切线. (2)∠AOB=45°，又AB⊥OA, =3(2）°-2a+b士)+6 ∴.△OAB是等腰直角三角形. ⊙0的半径为2，.OA=2=OC, -3Xa+b) 4 -(a+b)2+ab ·53· =-(a十b) 4 -+ab ∴.DQ=AQ-AD=2, 4a2-61 ⊙、 BC=√BD2+CD2=√(25)2+(45)2=10. 2-4b2+a6 四边形ABA'Q是正方形，AQ/CB, 1 +空 ·△DQEACBE,CE-BC=10-5' DE DQ 2 1 4(a2-2ab+6) DE=名CD-2,5 3· 4(a-b) (3)存在.线段CP的最小值为√85-5.提示：由折叠的 性质得∠EBD=∠EBD',BD=BD', y3=8(6-a)+(6-a)(6-6)+b(6-8)=62-ab. ∴BE是线段DD'的垂直平分线， ,y1+my2+y3=0, ∠BPD=90°， [1 +a'-ab+m_-j(a-b)J+bi-ab-0. ∴.点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC,OP, 1 整理，得(a-b)(1-4m=0. a,b为两个不相等的实数，∴.a一b≠0， 1子m=0,解得m=4 ∴.CP≥OC-OP,即点P在OC上时，线段CP存在最 23.解：(1).∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°， 小值 ∴.AD∥BC, .0C=√OD2+CD=√(W5)2+(45)2=√85， ∴.∠ADB=∠DBC,∴.△ADBn△DBC, 品温 ∴.线段CP的最小值为√85一√5 2025年济南市初中学业水平考试 ∠BAD=90°，AD=2,AB=4, .BD=√22+42=2V5, 1.D2.B3.C4.B 2是高cD=4后 4 5.A【解析】ms÷m2=m4,B选项错误；2m与3n不是同类 项，不能合并，C选项错误；(m2)3=m6,D选项错误.故 (2)①四边形DBA'F是矩形，理由如下， 选：A 由折叠的性质，得 6.D【解析】a>b,则a-1>b-1,A选项错误；a>b,则 ∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD'. 2>2,B选项错误；a>b,则-a<-b,C选项错误；a> a b ,∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°， b,则a十a>a十b,即2a>a十b,D选项正确.故选：D. ∠A'BD=∠A'BD'+∠DBC=90°， .四边形DBA'F是矩形 7.C【解析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知 ②延长AD和A'D'相交于点Q,连接BQ,如图， ta∠DAC-音-号，an∠EBA-号，南可知nDAC= tan∠EBA,即可得出∠DAC=∠EBA,由tan∠DAC= m<EA-号 ≠3，即可推出∠DAC+∠EBA≠60，故 4 选：C 由折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD', 8.A【解析】画树状图为： ∠EBD=∠EBD'. 点A'恰好落在边BC上， 开始 ∴.AB=A'B=4,∠ABA'=90°， C D ∴.四边形ABA'Q是矩形 A B C D A B C D A B C D A B C D AB=A'B=4,∴.四边形ABA'Q是正方形 ∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD'= 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选 ∠ABE=2×90=45, 到同一种营养套餐的结果有4种，∴恰好选到同一种营养 .点E在对角线BQ上， 套餐的概率是后一子故选：A ·54· 9.D【解析】连接DE,由作法得CD ∠1=37°，.∠3=∠ABC-∠1=120°-37°=83° 平分∠ACB,EF垂直平分CD, l1∥2，∠3+∠2=180°，.∠2=180°-∠3=97°.故 ∴.∠ECD=∠FCD,CE=DE, 答案为：97. ∴∠ECD=∠EDC,.∠FCD= 00 M ∠EDC,.DE∥BC,∴.△ADE∽ 14.7 【解析】由题图可得，甲的函数图象为正比例函数， △Ac,铝--怨 AE B FN 乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为 o (0,100),.设甲的函数图象为s=k1t,乙的函数图象为 :AD=4,DB=2,BC=3E,4+2=3N2 4 DE :.DE= s=k2t+100,则30=2k1,80=k2十100，解得k1=15, k2=一20，.甲的函数图象为s=15t,乙的函数图象为 AE 6AE=42. 4 22,.CE=DE=22, 20 AE+22 /s=15t, t7’ s=-20t十100，联立 解得 即他 故选：D 5=-20t+100, 300 10.A【解析】，二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c为常数， 7 a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n),且经过(1,0)，(0，m) 们相遥时距离A地9km(答案为：9 7 两点，.抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1，a< 0,抛物线与x轴的交点为 15.2十2√5【解析】如图，连接AG交 A (1,0)和（一3,0），图象如 EF于点M,过点F作FN⊥AD,垂 图所示：令y=n一1，即把 足为N,则∠FNA=∠FNE=90°. V= y=n向下平移一个单位 正方形ABCD,,.AB=AD=CD B- 长度，再结合函数图象可 ∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴.四 F H 知ax2+bx十c=n一 边形ABFN是矩形，∴.NF=AB= 1(a≠0)有两个不相等的 AD,由折叠可知AG⊥EF,∴.∠GAE十∠AEF= 实数根，故关于x的一元 ∠NFE+∠AEF=90°，∴.∠GAE=∠NFE. 二次方程ax2十bx十c-n十1=0(a≠0)有两个不相等的 又，∠FNE=∠D=90°，∴.△ADG≌△FNE(ASA), 实数根，故①正确.，抛物线开口向下，对称轴为直线x= .AG=EF.,EF=4√5AG=EF=45,设正方形边 一1，∴.当x>一1时，y的值随x值的增大而减小，故② 长为x,则AB=AD=CD=x.CG=4,∴.DG=CD一 正确.抛物线与x轴的交点为(1,0)和（一3,0），∴.二次 CG=x-4,在Rt△ADG中，AG2=DG+AD2,即 函数为y=a(x-1)(x十3)=a(x2十2x-3)=ax2+2ax (4√3)2=(x-4)2十x2,解得x=2+2W5或x=2-2W5 -3a,.m=-3a,3<m<4,.3<-3a<4,解得 (不合题意舍去)，∴AB=2十2√5.故答案为：2十25. <1,故③正确，结合函数图象可知，当 16解：原武=1十2+5+2×号-2，反 时，y=4如-2b十c>0,故④正确.：x=一力 2a =-1, =8+√2-2√2 ∴.b=2a,∴.(t+1)(at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)= =8-√2. (t+1)(at+a)=a(t+1)(t+1)=a(t+1)2.:a<0, 17.解：解不等式①，得x>-2, (t十1)2≥0，∴.a(t十1)2≤0，即对于任意实数t,(t十1) 解不等式②，得x<4, (at一a十b)≤0，故⑤正确.综上所述：①②③④⑤正确. 原不等式组的解集是-2<x<4, 故选：A ∴.原不等式组的整数解为一1,0,1,2,3. 11.√2 18.证明：，在平行四边形ABCD中，AD∥BC, 12.号【解析】因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4 ∴.∠DAE=∠AEB. .AD∥BC,AF=CE, 个白球，这些球除颜色外都相同，所以从中随机摸出一个 .四边形AFCE是平行四边形， 22 2 球，这个球是红球的概率为2十3十4一9故答案为： .AECF,.∠DAE=∠CFD, 13.97【解析】如图，正六边形内角 ∴.∠AEB=∠CFD. 和为(6-2)×180°=720°， 19.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°， ,'.AC=AB X sin B=AB X sin40°≈21×0.643= ∠ABC=6×720°=120： 13.503(m),2025年山东省初中学业水平考试 (临沂、菏泽、枣庄、济宁、泰安、日照、聊城) 数学试题 (时间：120分钟总分：120分) 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1.如图，数轴上表示一2的点是 -3-2-10123 A.M B.N C.P D.Q 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 3.我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是 正面 A B D 4.好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山 东省2024年全年接待游客超9亿人次.数据“9亿”用科学记数法表示为 A.9×10 B.0.9×108 C.9×108 D.0.9×109 5.已知a≠0，则下列运算正确的是 ( A.-2a+3a=5aB.(-2a3)2=4a C.a2-a-a D.a6÷a2=a3 6.某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶 杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可 能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是 () A日 R吉 c号 n号 7.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪 吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少？ 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 () A2+3y=36, x+3y=36, B. c.? 3x+y=36, 3x+y=36, D. 8x+6y=108 6x+8y=108 8x+6y=108 (6x+8y=108 8.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉 璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分 的面积是 () A.π B.2π C.3π D.4π 0.6 0. 0 020010003000 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在平面直角坐标系中，A,C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数 y=(x>0)的图象经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为 () x A.0<x≤2 B.x≥2 C.0<x≤4 D.x≥4 10.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存 在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强 度范围(x≥1O00)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正 确的是 ) A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1.写出使分式2z有意义的x的一个值 12.在平面直角坐标系中，将点P(3,4)向下平移2个单位长度，得到的对应点P'的坐标是 13.若关于x的一元二次方程x2+4x一m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 14如图，取直线y=一x上一点A(),①过点A:作x轴的垂线，交y=是于点A:: ②过点A2作y轴的垂线，交y=一x于点A3(x3,y3)…如此循环进行下去.按照上面的操作， 若点A1的坐标为(1，一1)，则点A225的坐标是 Y= 0 第14题图 第15题图 15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8.点P为边AC上异于A的一点，以PA,PB 为邻边作口PAQB,则线段PQ的最小值是 ·1 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16(8分)D计算：-司 XW9+元； 2)先化简，再求值：c-1D(z十1)，其中x=2 17.(8分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,如图1. (1)求∠ADC的度数， (2)已知AB=3,分别以C,D为圆心，以大于？CD的长为半径作弧，两弧相交于点M,N,作直 线MN交BC于点E,交AD的延长线于点F.如图2，求DF的长. 图1 图2 18.(8分)山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某地结合实 际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型. 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米. (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间 可供发电4.2万千瓦时 ·2· 19.(10分)在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值 进行了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析. 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7.27,7.28,7.34,7.35,7.36,7.51,7.53,7.67,7.67,7.67,7.67,7.81,7.81,7.88,7.91,8.01, 8.02,8.03,8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26. 乙基地水体的pH值数据： 7.11,7.12,7.14,7.25,7.36,7.52,7.63,7.67,7.69,7.75,7.77,7.77,7.81,7.84,7.89,8.01, 8.12,8.13,8.14,8.16,8.17,8.18,8.20,8.21 【整理数据】 7.00≤x<7.30 7.30≤x<7.60 7.60≤x<7.90 7.90≤x<8.20 8.20≤x≤8.50 甲 2 5 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 乙基地水体H值数据的频数分布直方图 频数 7.007.307.607.908.208.50pH值 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：b= C (3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断 并说明该日两基地的pH值是否符合要求. 20.(10分)如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D.AC是 ∠BAD的平分线， (1)求证：AB为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长. 21.(9分【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小 组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到1的长度的方案，以 检测该部件中1的长度是否符合要求 正面 图1 图2 图3 图4 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法。 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱） 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4， ⊙O分别与AC,AD相切于点B,D.用游标卡尺测量出CC'的长度y. 【问题解决】 已知∠CAD=∠C'A'D'=60°，l的长度要求是1.9cm~2.1cm. (1)连接OA,求∠BAO的度数； (2)已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l 的长度是否符合要求.（参考数据：√3≈1.73） 【结果反思】 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体 吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由. 22.(11分)已知二次函数y=x(x一a)十(x-a)(x-b)十x(x一b),其中a,b为两个不相等的 实数 (1)当a=0,b=3时，求此函数图象的对称轴. (2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而 增大，求a的取值范围 (3若点Aa,9）.B士：)，C,均在该函数的图象上，是丙存在常数m,使得1十 my2十y3=0?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 23.(11分)【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. D 图1 图2 图3 图4 (1)求CD的长. 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究. 在线段CD上取一点E,连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED',其中A',D 分别是A,D的对应点， (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F,如图2.判断四边形DBA'F的形状，并说 明理由. ②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3.求DE的长. (3)如图4，连接DD'交BE于点P,连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最 小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由」 ·3·