平行线中的拐点问题（专项训练）-2025-2026学年人教版七年级下册数学

平行线中的拐点问题 一、选择题（共8小题） 1．（2025•如皋市校级自主招生）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180° 2．（2024秋•晋中校级期末）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°； ③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°； ④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 3．（2025春•兴宁市校级期中）如图，AB∥CD，PG平分∠FPE，∠CFP+∠FPH＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024春•海门区期中）如图，AB∥CD，P为直线AB、CD之间一点，∠BAP的平分线与∠DCP邻补角的角平分线所在直线交于点Q，则∠P与∠Q之间的关系为（　　） A．∠P＝∠Q B．∠P+∠Q＝180° C．2∠P+∠Q＝180° D．∠P+2∠Q＝180° 5．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B．180°﹣α C． D．90°+α 6．（2024秋•灯塔市期中）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，若AB＝27，AD：BD＝2：1，则AF的长是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 7．（2024•沅江市三模）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°，则∠2为（　　） A．60° B．40° C．30° D．20° 8．（2025•肃南县校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 二、填空题（共8小题） 9．（2025秋•宁江区校级期末）为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 　 　 ． 10．（2025春•旺苍县校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论： ①GE∥MP； ②∠EFN＝135°； ③∠BEF＝75°； ④∠AEG＝∠PMN． 其中正确的结论有 　 　 （写出所有正确结论的序号）． 11．（2025春•通化期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　 　 °． 12．（2025春•泸州期末）如图，E线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大18°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝18°．其中正确结论的序号是 　 　 ． 13．（2025春•拱墅区校级期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝　 　 °，∠EMN﹣∠MNF＝　 　 °． 14．（2025•盐山县二模）如图，AB∥CD，∠1＝105°，∠2＝65°，则∠3＝　 　 ． 15．（2024春•嘉祥县期末）如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论： ①∠EPF＝∠AEP+∠CFP； ②∠EPF＝2∠M； ③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM； ④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM． 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 16．（2025春•厦门校级期中）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论： ①CD∥PH； ②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG； ③∠FPH＝∠GPH； ④若∠BEP＞∠DFP，则， 其中结论正确的是 　 　 （填序号）． 三、解答题（共5小题） 17．（2025秋•白银期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 18．（2025春•兰州期中）【阅读思考】如图①，已知AB∥ED，探究∠B、∠E、∠BCE之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝∠BCE． 证明过程如下： 如图①，过点C作CF∥AB， ∴∠B＝∠1． ∵AB∥ED，AB∥CF， ∴DE∥CF， ∴∠E＝∠2， ∴∠B+∠E＝∠1+∠2，即∠B+∠E＝∠BCE． （1）【理解应用】如图②，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数； （2）【拓展探索】如图③，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC，若∠ABC＝n°，则∠BED度数为多少？（用含n的代数式表示） 19．（2025春•赣州期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上． （1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝　 　 ； （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由； （3）应用（2）中的结论解答下列问题； 已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°． ①如图2，求∠AEC的度数； ②如图3，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数． 20．（2025春•无棣县期末）（1）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．若与互为相反数，求的值； （2）已知：如图，CA是∠ECD的角平分线，过点A作∠FAB＝∠ECA，CA与DF交于点B．求证：∠F＝∠D． 21．（2025春•光山县期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　 　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 一、选择题（共8小题） 1．【答案】C 【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系． 【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°． 故选：C． 2．【答案】C 【分析】分别过E、F作GE∥AB，FH∥CD，再根据平行线的性质可以得到解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°， ∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确， ∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， ∴∠ABE+∠CDE＝280°， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确， 与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）， ∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE， ∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确， 由题意，④不一定正确， ∴①②③正确， 故选：C． 3．【答案】C 【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°， ∴PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PH，故①正确； ∴AB∥CD∥PH， ∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH， ∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF， 又∵PG平分∠EPF， ∴∠EPF＝2∠EPG，故②正确； ∵∠GPH与∠FPH不一定相等， ∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误： ∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG， ∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG ＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG ＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG ＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG ＝∠A+∠PHG， ∵AB∥PH， ∴∠A+∠PHG＝180°， 即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，故④正确； ∵∠BEP﹣∠DFP＝∠EPH﹣∠FPH＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH＝∠GPH+∠GPH＝2∠GPH， ∴2为定值，故⑤正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 4．【答案】D 【分析】过点P作PG∥AB，利用猪脚模型可得：∠APC＝∠EAP+∠PCF，再利用平行线的性质可得∠BAQ＝∠1，然后利用三角形的外角性质可得∠Q＝∠1﹣∠HCQ，再根据对顶角相等可得∠4＝∠HCQ，从而可得∠Q＝∠BAQ﹣∠4，最后利用角平分线的定义可得∠4∠FCP，∠BAQ∠BAP（180°﹣∠EAP），从而利用等量代换进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点P作PG∥AB， ∴∠2＝∠EAP， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠3＝∠PCF， ∵∠APC＝∠2+∠3， ∴∠APC＝∠EAP+∠PCF， ∵AB∥CD， ∴∠BAQ＝∠1， ∵∠1是△CHQ的一个外角， ∴∠Q＝∠1﹣∠HCQ， ∵∠4＝∠HCQ， ∴∠Q＝∠BAQ﹣∠4， ∵AQ平分∠BAP，CM平分∠FCP， ∴∠4∠FCP，∠BAQ∠BAP（180°﹣∠EAP）， ∴∠Q（180°﹣∠EAP）∠FCP ＝90°∠EAP∠FCP ＝90°（∠EAP+∠FCP） ＝90°∠APC， ∴2∠Q＝180°﹣∠APC， ∴∠APC+2∠Q＝180°， 故选：D． 5．【答案】C 【分析】设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB，先利用角平分线的定义可得：∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND，然后利用猪脚模型可得：∠MEN＝∠BMD+∠DNE（∠BMH+∠GND），再利用平行线的性质可得∠BMH＝∠DQH，最后利用三角形的外角性质可得∠H＝∠DQH﹣∠DNH，从而可得∠H＝∠BMH﹣180°+∠GND，进而可得∠BMH+∠GND＝180°+α，再进行计算即可解答． 【解答】解：设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB， ∴∠BMD＝∠MEP， ∵AB∥CD， ∴EP∥CD， ∴∠PEN＝∠DNE， ∵MD平分∠BMH，NE平分∠GND， ∴∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND， ∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN ＝∠BMD+∠DNE ∠BMH∠GND （∠BMH+∠GND）， ∵AB∥CD， ∴∠BMH＝∠DQH， ∵∠DQH是△NQH的一个外角， ∴∠H＝∠DQH﹣∠DNH， ∴∠H＝∠BMH﹣（180°﹣∠GND）＝∠BMH﹣180°+∠GND， ∵∠H＝α， ∴∠BMH+∠GND＝180°+∠H＝180°+α， ∴∠MEN（∠BMH+∠GND）＝90°， 故选：C． 6．【答案】C 【分析】根据DE∥BC得出，再根据EF∥CD得出，即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC，AD：BD＝2：1， ∴， ∵AB＝27， ∴， 解得：AD＝18， ∵EF∥CD， ∴， ∵AB＝18， ∴， 解得：AF＝12， 故选：C． 7．【答案】D 【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：延长FG交CD于点E， ∵∠FGH是△EGH的一个外角， ∴∠FGH＝∠2+∠3＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3， ∴∠2+∠1＝60°， ∵∠1＝40°， ∴∠2＝60°﹣40°＝20°， 故选：D． 8．【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得出∠A＝60°，再根据平角的定义求出∠AEF＝110°，最后再根据三角形的外角定理可求出∠3的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°， ∴∠A＝∠1＝30° ∵∠2＝70°， ∴∠AEF＝180°﹣∠2＝110°， ∴∠3＝∠A+∠AEF＝30°+110°＝140°． 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】30°． 【分析】延长DC交AE于点F，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFC＝80°，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数． 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠EFC＝∠A＝80°， 由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC， ∴∠E＝110°﹣80°＝30°． 故答案为：30°． 10．【答案】①③④． 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K，先求解∠KEG＝45°，从而可判断③④，于是可得答案． 【解答】解：由题意得： ∠GEF＝60°，∠GFE＝30°，∠EGF＝90°＝∠MPN，∠PMN＝∠PNM＝45°， ∴∠MPG＝∠EGP＝90°， ∴EG∥PM，故①符合题意； ∵∠EFG＝30°， ∴∠EFN＝180°−30°＝150°，故②不符合题意； 如图，延长FG交AB于K， ∵AB∥CD， ∴∠GKE＝∠PNM＝45°， ∴∠KEG＝90°−45°＝45°， ∴∠BEF＝180°−45°−60°＝75°，∠AEG＝∠PMN＝45°，故③④符合题意； 综上：符合题意的有①③④ 故答案为：①③④． 11．【答案】20． 【分析】过点E作直线MN∥AB，则AB∥MN∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°，易得∠AEM+∠CEM＝∠2，则∠1＝∠AEM＝∠2﹣∠CEM，代入计算即可求解． 【解答】解：如图，过点E作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°， ∵∠AEM+∠CEM＝∠2， ∴∠AEM＝∠2﹣∠CEM＝55°﹣35°＝20°， ∴∠1＝∠AEM＝20°． 故答案为：20． 12．【答案】①②④． 【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；若GK∥CD，则∠AGK＝∠EAD，又AD∥BC，∠B＝∠EAD，而无条件能证明∠AGK＝∠B，故③错误；根据∠FGA的余角比∠DGH大18°，即90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝18°，又因为∠FGA＝∠DGH，则90°﹣2∠FGA＝18°，即可得∠FGA＝∠DGH＝36°，设∠AGM＝α，∠MGK＝β，得到∠AGK＝α+β，根据角平分线的定义即可得到∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，即36°+α＝β+α+β，即可求得β＝18°，即∠MGK＝18°，故④正确． 【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC，故①正确； ∴∠AGK＝∠CKG， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴∠AGK＝∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； 若GK∥CD，则∠AGK＝∠EAD， 又∵AD∥BC，∠B＝∠EAD，而无条件能证明∠AGK＝∠B， 故③错误； ∵∠FGA的余角比∠DGH大18°， ∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝18°， ∵∠FGA＝∠DGH， ∴90°﹣2∠FGA＝18°， ∴∠FGA＝∠DGH＝36°， 设∠AGM＝α，∠MGK＝β， ∴∠AGK＝α+β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK＝∠AGK＝α+β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM＝∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK， ∴36°+α＝β+α+β， ∴β＝18°， ∴∠MGK＝18°，故④正确， 故答案为：①②④． 13．【答案】260；40． 【分析】过点O作OG∥AB，易得AB∥OG∥CD，过点M作MK∥AB，由∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，结合∠EOF＝100°，得到∠BEO+∠DFO＝260°，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，由∠BEO+∠DFO＝260°，可求x﹣y＝40°，进而求解． 【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点 N作NH∥CD，如图： ∵AB∥CD，OG∥AB， ∴AB∥OG∥CD， ∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°， ∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°， ∵∠EOF＝100°， ∴∠BEO+∠DFO＝260°， ∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO， 设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y， BEO+∠DFO＝260°； ∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°， ∴x﹣y＝40°， ∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD， ∴AB∥MK∥NH∥CD， ∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM， ∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y＝x﹣y＝40°， ∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°， 故答案为：260；40． 14．【答案】40°． 【分析】过E作EH∥AB，则AB∥CD∥EH，再通过对顶角的性质，邻补角的性质，平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图，过E作EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH， ∴∠3＝∠5，∠4+∠EFB＝180°， ∵∠1＝∠EFB＝105°， ∴∠4＝75°， ∵∠2+∠4+∠5＝180°，∠2＝65°， ∴∠5＝40°， ∴∠3＝∠5＝40°， 故答案为：40°． 15．【答案】①②④． 【分析】作PQ∥AB，证出PQ∥CD，由内错角相等可得①正确；同理可证∠M＝∠AEM+∠CFM，再根据角平分线的定义，可得②正确；若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，再由平行线的性质和角平分线的定义可得∠AEP＝∠PFH，因为∠CFP与∠PFH不一定相等，所以∠AEM与∠CFM不一定相等，判断③不正确；由FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，得到∠MFN＝90°，即∠N+∠M＝90°，即可判断④正确． 【解答】解：①：作PQ∥AB， ∴∠AEP＝∠EPQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CFP＝∠FPQ， ∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故①正确； 同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM， ∵EM平分∠AEP，FM平分∠CFP， ∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM， ∴∠AEP+∠CFP＝2（∠AEM+∠CFM）， 即∠EPF＝2∠M，故②正确； 设AB交NF于点H， 若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF， ∵AB∥CD， ∴∠AHF＝∠HFD， ∵FN平分∠PFD， ∴∠HFD＝∠PFH， ∴∠AEP＝∠PFH， 若∠AEM＝∠CFM，则∠AEP＝∠CFP， ∵∠CFP与∠PFH不一定相等， ∴∠AEM与∠CFM不一定相等，故③不正确； ∵FN平分∠PFD，FM平分∠CFP， ∴∠MFN＝90°， ∴∠N+∠M＝90°， ∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM， ∴∠M＝∠PEM+∠PFM， ∴∠N+∠PEM+∠PFM＝90°， ∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故④正确． 故答案为：①②④． 16．【答案】①②④． 【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°， ∴PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PH，故①正确； ∴AB∥CD∥PH， ∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH， ∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF， 又∵PG平分∠EPF， ∴∠EPF＝2∠EPG，即∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，故②正确； ∵∠GPH与∠FPH不一定相等， ∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误； ∵∠BEP﹣∠DFP ＝∠EPH﹣∠FPH ＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH ＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH ＝∠GPH+∠GPH ＝2∠GPH， ∴为定值，故④正确． 综上所述，正确的选项①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）∠EAB；∠DAC；180°； （2）∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D，理由见解答． 【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 18．【答案】（1）∠B+∠BCD+∠D＝360°； （2）． 【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的性质即可求解； （2）过点E作EF∥AB，由角平分线的定义求得，∠CDE＝25°，再由平行线的性质求得，∠CDE＝25°，进一步计算即可求解． 【解答】解：（1）如图②，过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠FCD+∠D＝180°， ∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°； （2）如图③，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝50°， ∴，， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴，∠CDE＝∠DEF＝25°， ∴． 故答案为：． 19．【答案】（1）57°； （2）∠1+∠2＝∠3，理由见解答过程； （3）①∠AEC＝53°； ②∠AEC＝143°． 【分析】（1）利用平行线性质和三角形内角和定理求解； （2）利用平行线性质和三角形内角和定理计算推理说明； （3）①利用角平分线性质和平行线的性质求解即可； ②利用角平分线性质和平行线的性质，与①求解过程相似，不同的是用到了同旁内角互补． 【解答】解：（1）∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠3＝∠1+∠2＝23°+34°＝57°； 故答案为：57°； （2）∠1+∠2＝∠3，理由如下： ∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠1+∠2＝∠3； （3）①如图2， ∵l1∥l2， ∴EF∥l2， ∵l1∥l2， ∴∠BCD＝∠α， ∵∠α＝74°， ∴∠BCD＝74°， ∵CE是∠BCD的角平分线， ∴∠ECD∠BCD74°＝37°， ∵EF∥l2， ∴∠FEC＝∠ECD＝37°， 同理可求∠AEF＝16°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝53°； ②过点E作EF∥l1， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD， ∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD， ∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°， ∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°， ∴∠EAB∠BAD148°＝74°， ∠ECD∠BCD74°＝37°， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°， ∴∠AEC的度数为143°． 20．【答案】（1）﹣1； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件，列出关于x的方程，解方程求出x，再代入所求式子进行计算即可； （2）先根据角平分线的定义求出∠ECA＝∠ACD，再根据∠FAB＝∠ECA，证明∠A＝∠DCA，然后根据平行线的判定证明AF∥DC，再根据平行线的性质求出结论即可． 【解答】（1）解：∵与互为相反数， ∴2x+4+5﹣3x＝0， ﹣x+9＝0， ﹣x＝﹣9， x＝9， ∴； （2）证明：∵CA是∠ECD的角平分线， ∴∠ECA＝∠ACD， ∵∠FAB＝∠ECA， ∴∠A＝∠DCA， ∴AF∥DC， ∴∠D＝∠F． 21．【答案】（1）35°； （2）1与∠2间的数量关系为∠2＝120°+∠1，理由见解答； （3）射线BA与直线所夹锐角的度数为80°或30°． 【分析】（1）过点C作直线a的平行线CD，根据平行线的性质可得∠1+∠2＝90°，从而可得∠1＝35°； （2）过点B作直线a的平行线BE，根据平行线的性质可得∠2＝180°﹣∠ABE，∠CBE＝∠1，由已知∠ABC＝60°，故∠ABE＝60°﹣∠1，从而有∠2＝180°﹣（60°﹣∠1）＝120°+∠1； （3）根据点A始终在直线BD的上方可知，分两种情况：①边BC在直线BD上方时，∠CBD+∠1+∠ABC＝180°，从而可得∠CBD＝20°，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°，②边BC再直线BD的下方，此时∠1+∠ABC﹣∠CBD＝180°，从而可得∠CBD＝30°，射线BA与直线所夹锐角的度数为30°． 【解答】解：（1）如题1，过点C作直线a的平行线CF， ∵a∥b， ∴CF∥a∥b， ∴∠2＝∠ACF，∠1＝∠BCF， ∵∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝35°， 故答案为：35°； （2）∠1与∠2间的数量关系为∠2＝120°+∠1，理由如下： 如图2，过点B作直线a的平行线BE， ∵a∥b， ∴BE∥a∥b， ∴∠2+∠ABE＝180°，∠1＝∠CBE， ∵∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， 即∠2＝120°+∠1； （3）由题意可知，分两种情况： ①当边BC在直线BD上方时，如图3， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABC+∠CBD＝180°， ∠1＝5∠CBD， ∴6∠CBD＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠CBD＝20°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝80°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为80°， ②当边BC再直线BD的下方时，如图4， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABD＝180°，∠1＝5∠CBD， ∴5∠CBD+∠ABD＝180°， ∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝30°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为30°， 综上所述，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°或30°. 学科网（北京）股份有限公司 $