专题04认识三角形易错必刷题型专项训练(16大题型共计48道题)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题04认识三角形易错必刷题型专项训练 本专题汇总认识三角形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.三角形的识别与有关概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.三角形内角和定理的证明 题型04.与平行线有关的内角和问题 题型05.三角形的分类 题型06.直角三角形的两个锐角互余 题型07.构成三角形的条件 题型08.确定第三边的取值范围 题型09.等腰三角形的定义 题型10.画三角形的高 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.重心的概念 题型13.重心的有关性质 题型14.三角形三边关系的应用 题型15.与三角形高有关的计算 题型16.利用网格求三角形面积 易错必刷题型01.三角形的识别与有关概念 典题特征：给出多个图形，判断哪些是三角形；或判断关于三角形的边、角、顶点的表述是否正确。 易错点：忽略“首尾顺次相接”的条件，把不封闭的图形当成三角形；混淆三角形的表示方法，顶点顺序写错。 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 3．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 易错必刷题型02.三角形的个数问题 典题特征：在复杂图形（如多条线段相交、嵌套）中数三角形的个数。 易错点：不按顺序数，导致漏数、重复数；忽略共顶点、共边的隐藏三角形。 4．如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的定义．解题关键在于准确识别图中由三条线段首尾顺次连接所构成的封闭图形．按照一定的顺序（例如从小到大或从左到右等）去找出图中所有符合三角形定义的图形，然后统计其数量即可． 【详解】解：图中的三角形有、、，共个， 故选：C． 5．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 6．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 易错必刷题型03.三角形内角和定理的证明 典题特征：要求用平行线法等方法证明三角形内角和为180°，或判断证明过程是否正确。 易错点：辅助线作法不规范，逻辑推导不严谨；错误认为内角和会随三角形形状改变。 7．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 9．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【答案】 ，理由见详解． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 易错必刷题型04.与平行线有关的内角和问题 典题特征：三角形一边与平行线结合，求未知角的度数。 易错点：混淆平行线的同位角、内错角、同旁内角性质；角的转化错误，忽略三角形内角和的应用。 10．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 11．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 12．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 【答案】△PEF是直角三角形 【详解】试题分析：根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠BEF＋∠DFE ＝180°，再根据角平分线定义得∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)，然后计算出∠P＝90°，根据直角三角形的定义即可得到△EPF是直角三角形． 试题解析： 证明：因为AB∥CD， 所以∠BEF＋∠DFE＝180°． 又因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE， 所以∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE． 所以∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°． 又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°， 所以∠P＝90°． 所以△PEF是直角三角形． 点睛：本题考查了平行线性质，角平分线定义和三角形内角和定理的运用，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠PEF＋∠PFE＝90°是解题的关键． 易错必刷题型05.三角形的分类 典题特征：根据角的度数或边的长度，判断三角形的类型（按角/按边）。 易错点：把等腰三角形和等边三角形的包含关系搞反；认为有一个锐角就是锐角三角形，忽略“三个角都是锐角”的条件。 13．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 14．已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 15．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 易错必刷题型06.直角三角形的两个锐角互余 典题特征：已知直角三角形一个锐角，求另一个锐角；或结合图形计算角度。 易错点：忘记“直角三角形”的前提，直接用互余计算；计算时角度换算出错（如度分秒）。 16．如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 【答案】71° 【分析】利用三角形内角和求出∠BAC，由角平分线的定义求出∠BAD，根据外角的性质可求∠ADC，进而求出∠EDC，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠E的度数． 【详解】解：∵∠B＝74°，∠ACB＝36°， ∴∠BAC=180°-74°-36°=70°． ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=35°． ∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=35°+74°=109°． ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDC=109°-90°=19°． ∵CE⊥BC， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°-19°=71°． 故答案为：71°． 【点睛】本题考查了三角形内角和，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，垂直的定义等知识，解题的关键是正确识图，分析清楚角与角之间的关系． 17．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 18．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 易错必刷题型07.构成三角形的条件 典题特征：给出三条线段长度，判断能否构成三角形。 易错点：只验证一组两边之和大于第三边，不验证“任意两边”；简化判断时，用短边+短边≤长边就错误判定能构成。 19．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 20．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 21．如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 【答案】(1)不能； (2)8根火柴能搭成1种三角形，边长分别是3，3，2；12根火柴能搭成3种三角形，边长分别是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 【分析】本题主要考查三角形的三边关系． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形． （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形． 【详解】（1）解：4根火柴只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形，故4根火柴不能搭成三角形； （2）解：8根火柴能搭1种，边长是3，3，2； 12根火柴能搭3种，边长是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 示意图如下： 易错必刷题型08.确定第三边的取值范围 典题特征：已知三角形两边长，求第三边的取值范围；或结合等腰三角形求边长。 易错点：只写“两边之和大于第三边”，漏掉“两边之差小于第三边”；等腰三角形忘记分类讨论，忽略三边关系的限制。 22．一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 【答案】2 【分析】根据三角形三边关系，先求出第三边的取值范围，再结合第三边长为整数的条件，即可确定． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，，即， ∵第三边的长为整数， ∴． 23．已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，结合是唯一的最长边、边长为整数的条件求解． 【详解】根据三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵是唯一的最长边，已知边中最大边长为， ∴， 因此， 又∵的长为整数， ∴或． 24．已知为的三边长，且满足． (1)求第三边的取值范围为_________． (2)当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为17 【分析】本题主要考查绝对值与平方的非负性、三角形三边关系和等腰三角形的定义，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据三角形三边关系和非负性进行求解即可； （2）根据等腰三角形的定义分为两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为的三边长， ∴，即， 故答案为：； （2）解：当时， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意， 当时， ∴的周长为， ∴的周长为17． 易错必刷题型09.等腰三角形的定义 典题特征：根据定义判断等腰三角形；或结合边长、角度计算。 易错点：认为“只有两条边相等”，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形；混淆腰和底的概念。 25．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 26．若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】或 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴，， ∴，， 当6为底边长时，腰长为4， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 当4为底边长时，腰长为6， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或． 27．已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)；3 (2)等腰三角形的周长为17 【分析】本题考查了三角形三边关系、绝对值化简及非负数的性质在等腰三角形中的应用，解题的关键是熟练运用三角形三边关系、配方法及分类讨论思想． （1）利用三角形三边关系求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）用配方法求出、的值，再结合等腰三角形的性质和三边关系求周长． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系，得： ， ． ， ，， ． （2）解：， ， ． ，， ，， ，， 是等腰三角形， 分两种情况①当腰长为时，三边长为，，， ，能构成三角形， 周长为； ②当腰长为时，三边长为，，， ，不能构成三角形，舍去． 综上，这个等腰三角形的周长为17． 易错必刷题型10.画三角形的高 典题特征：要求画出锐角、直角、钝角三角形的高；或判断高的位置是否正确。 易错点：钝角三角形的高画在三角形内部；高不是从顶点向对边作的垂线，而是作线段的延长线的垂线；直角三角形的高与直角边混淆。 28．如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【详解】解：A、不是的高，不符合题意； B、是的高，不是的高，不符合题意； C、不是的高，不符合题意； D、是的高，符合题意； 29．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 【答案】 三角形的高 AD 【解析】略 30．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 易错必刷题型11.三角形角平分线的定义 典题特征：判断关于三角形角平分线的表述是否正确；或结合角度计算。 易错点：把三角形角平分线当成射线（实际是线段）；混淆角平分线与角的平分线（射线）的概念。 31．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 32．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 33．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 【点睛】本题考查了角平分线定义，中线定义，三角形面积公式，正确理解并运用角平分线和中线定义及面积公式是解本题的关键 易错必刷题型12.重心的概念 典题特征：判断三角形重心的定义、位置是否正确；或区分重心、垂心、内心、外心。 易错点：把重心当成角平分线交点（内心）或高的交点（垂心）；不知道重心是三条中线的交点。 34．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 35．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 36．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 易错必刷题型13.重心的有关性质 典题特征：利用重心性质计算线段长度、面积比例；或结合坐标求重心。 易错点：记错重心分中线的比例（应为2:1，不是1:1）；忽略重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍；面积计算时比例错误。 37．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 38．如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 39．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为_______ 【答案】 【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线于点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题可知，点O是的重心， ∴， 如图所示，过点B作交AD的延长线于点G， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点． 易错必刷题型14.三角形三边关系的应用 典题特征：结合生活实际（如搭建支架、走路路线），用三边关系解决问题；或求边长的最值。 易错点：不会用三边关系转化线段长度；忽略实际问题中的隐含限制条件。 40．小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【详解】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 41．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 42．已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简及整数的应用，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数求出的值，再计算周长． （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：∵三角形三边关系为， ，， ∴，即． ∵是奇数， ∴． ∴的周长． （2）解：∵三角形三边关系为，， ∴，，． ∴ ． 易错必刷题型15.与三角形高有关的计算 典题特征：已知三角形面积、底，求高；或结合高的位置计算边长、面积。 易错点：钝角三角形的高在外部，计算时用错底和高；面积公式漏乘；不同底对应的高混淆。 43．已知是的高，，，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当高在内时，根据计算，当高在外时，根据计算． 【详解】解：当高在内时， ， ； 当高在外时， ， ． 44．如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 45．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得 ，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ∵， ∴； （2）解：∵ 和是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴． （3）解：∵ 和是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 易错必刷题型16.利用网格求三角形面积 典题特征：在网格中给出三角形，求其面积。 易错点：割补法时，矩形面积或周围三角形面积计算错误；皮克定理用错（内部格点、边界格点数错）；直接用底乘高计算时，高找错。 46．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了在网格中求三角形的面积，利用割补法求解即可． 【详解】解：三角形的面积是：， 故答案为：8 47．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 48．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键． （1）重心是三角形的中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点，即为所求， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识三角形易错必刷题型专项训练 本专题汇总认识三角形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.三角形的识别与有关概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.三角形内角和定理的证明 题型04.与平行线有关的内角和问题 题型05.三角形的分类 题型06.直角三角形的两个锐角互余 题型07.构成三角形的条件 题型08.确定第三边的取值范围 题型09.等腰三角形的定义 题型10.画三角形的高 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.重心的概念 题型13.重心的有关性质 题型14.三角形三边关系的应用 题型15.与三角形高有关的计算 题型16.利用网格求三角形面积 易错必刷题型01.三角形的识别与有关概念 典题特征：给出多个图形，判断哪些是三角形；或判断关于三角形的边、角、顶点的表述是否正确。 易错点：忽略“首尾顺次相接”的条件，把不封闭的图形当成三角形；混淆三角形的表示方法，顶点顺序写错。 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中， ，若的周长为，则______． 3．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.三角形的个数问题 典题特征：在复杂图形（如多条线段相交、嵌套）中数三角形的个数。 易错点：不按顺序数，导致漏数、重复数；忽略共顶点、共边的隐藏三角形。 4．如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 6．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 易错必刷题型03.三角形内角和定理的证明 典题特征：要求用平行线法等方法证明三角形内角和为180°，或判断证明过程是否正确。 易错点：辅助线作法不规范，逻辑推导不严谨；错误认为内角和会随三角形形状改变。 7．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 8．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 9．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 易错必刷题型04.与平行线有关的内角和问题 典题特征：三角形一边与平行线结合，求未知角的度数。 易错点：混淆平行线的同位角、内错角、同旁内角性质；角的转化错误，忽略三角形内角和的应用。 10．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 11．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 12．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 易错必刷题型05.三角形的分类 典题特征：根据角的度数或边的长度，判断三角形的类型（按角/按边）。 易错点：把等腰三角形和等边三角形的包含关系搞反；认为有一个锐角就是锐角三角形，忽略“三个角都是锐角”的条件。 13．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 14．已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 15．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 易错必刷题型06.直角三角形的两个锐角互余 典题特征：已知直角三角形一个锐角，求另一个锐角；或结合图形计算角度。 易错点：忘记“直角三角形”的前提，直接用互余计算；计算时角度换算出错（如度分秒）。 16．如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 17．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 易错必刷题型07.构成三角形的条件 典题特征：给出三条线段长度，判断能否构成三角形。 易错点：只验证一组两边之和大于第三边，不验证“任意两边”；简化判断时，用短边+短边≤长边就错误判定能构成。 19．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 20．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 21．如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 易错必刷题型08.确定第三边的取值范围 典题特征：已知三角形两边长，求第三边的取值范围；或结合等腰三角形求边长。 易错点：只写“两边之和大于第三边”，漏掉“两边之差小于第三边”；等腰三角形忘记分类讨论，忽略三边关系的限制。 22．一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 23．已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 24．已知为的三边长，且满足． (1)求第三边的取值范围为_________． (2)当为等腰三角形时，求的周长． 易错必刷题型09.等腰三角形的定义 典题特征：根据定义判断等腰三角形；或结合边长、角度计算。 易错点：认为“只有两条边相等”，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形；混淆腰和底的概念。 25．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 26．若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 27．已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 易错必刷题型10.画三角形的高 典题特征：要求画出锐角、直角、钝角三角形的高；或判断高的位置是否正确。 易错点：钝角三角形的高画在三角形内部；高不是从顶点向对边作的垂线，而是作线段的延长线的垂线；直角三角形的高与直角边混淆。 28．如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 29．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 30．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 易错必刷题型11.三角形角平分线的定义 典题特征：判断关于三角形角平分线的表述是否正确；或结合角度计算。 易错点：把三角形角平分线当成射线（实际是线段）；混淆角平分线与角的平分线（射线）的概念。 31．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 32．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 33．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 易错必刷题型12.重心的概念 典题特征：判断三角形重心的定义、位置是否正确；或区分重心、垂心、内心、外心。 易错点：把重心当成角平分线交点（内心）或高的交点（垂心）；不知道重心是三条中线的交点。 34．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 35．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 36．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 易错必刷题型13.重心的有关性质 典题特征：利用重心性质计算线段长度、面积比例；或结合坐标求重心。 易错点：记错重心分中线的比例（应为2:1，不是1:1）；忽略重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍；面积计算时比例错误。 37．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 38．如图，已知：G是的重心，，那么______． 39．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为_______ 易错必刷题型14.三角形三边关系的应用 典题特征：结合生活实际（如搭建支架、走路路线），用三边关系解决问题；或求边长的最值。 易错点：不会用三边关系转化线段长度；忽略实际问题中的隐含限制条件。 40．小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 41．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 42．已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 易错必刷题型15.与三角形高有关的计算 典题特征：已知三角形面积、底，求高；或结合高的位置计算边长、面积。 易错点：钝角三角形的高在外部，计算时用错底和高；面积公式漏乘；不同底对应的高混淆。 43．已知是的高，，，则的度数为_______． 44．如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 45．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 易错必刷题型16.利用网格求三角形面积 典题特征：在网格中给出三角形，求其面积。 易错点：割补法时，矩形面积或周围三角形面积计算错误；皮克定理用错（内部格点、边界格点数错）；直接用底乘高计算时，高找错。 46．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是______． 47．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 48．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $