微专题02 三角形中角度的复杂计算（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题02 三角形中角度的复杂计算 题型01 几何模型应用 此类题型往往将三角形的基本内角关系隐藏在经典几何模型中，主要考查“8字模型”、“飞镖模型”、“A字模型”等。掌握这些模型的二级结论，能实现“秒杀”选填题，大幅缩短做大题的时间。 核心技巧与通用思路： 1. 8字模型：若两条线段相交形成的图形像数字“8”，则交点处的两组对角分别相等（或对顶角相等）。 2. 飞镖模型：图形呈飞镖状，凹进去的角最大。 答题模板： 1. 识图：观察图形特征，匹配上述四大基础模型。 2. 套用：直接写出模型对应的角度等量关系（大题需简要说明利用了哪个公理或推论）。 3. 代入：将已知条件（常含未知数）代入关系式，建立一元一次方程或二元一次方程组求解。 1．（2026·四川广安·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则___________度． 【答案】 59.6 【分析】根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 2．（2026九年级下·广东清远·学业考试）如图，已知，点在线段上，连接，则_______． 【答案】72 【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补求出 的度数，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求出 的度数． 【详解】解：， ， ， ， 是 的外角， ， ， ． 3．（22-23七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，平分，平分，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____________个． 【答案】4 【分析】根据角平分线的定义得到，，结合平角的定义可判断①；根据平行线的性质得到，，，结合得到，可判断②；通过角平分线的定义和平行线的性质综合判断出，即可判断③④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴，故③正确； 故正确的有①②③④． 4．（2026·江苏宿迁·二模）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，得，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，是的平分线，直线与分别交于点．若，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质列式计算即可得解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先由平行线的性质得到，再由三角形全等的判定与性质求证即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型02 折叠问题 折叠问题的本质是轴对称变换，核心突破口在于抓住“重合”带来的全等关系和等边等角关系。此类题最常考的是将一个三角形的一个角折叠到另一边，或者沿某条对称轴翻折。 核心技巧与通用思路： 1. 找不变量（抓手）：折叠前后，对应角相等，对应边相等。 2. 抓隐藏的2倍关系：设折叠产生的某个小角为x，则原大角往往表示为2x或x＋其他角。在由折叠产生的新三角形中，利用“内角和180°”或“外角等于不相邻两内角和”列出方程组。 3. 方程思想：七年级阶段绝大多数折叠求角度问题，最终都会落脚到解一元一次方程上。 答题模板： 1. 标角：设所求角为x（或在图中标出已知角的等角）。 2. 转化：利用折叠的性质，用x表示出图中其他相关的内角或外角。 3. 建方程：在合适的直角三角形或平角处，利用“内角和180°”或“邻补角相加180°”列出方程。 4. 求解：解方程得出角度。 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在边上，折痕得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到长方形，折叠后的和的面积分别为1和2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据翻折变换的性质得到，，， 设的边上的高为，能够求得，根据题意问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ， 又， ， ， ， 又， 四边形是矩形， 设的边上的高为， ， 由翻折知：， 又， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广西玉林·期中）如图，在长方形中，，将长方形沿对角线折叠，使得点落在处，与相交于点，且，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据长方形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，进而证出，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵长方形， ∴，， 由折叠的性质得，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形，；②折叠后和一定相等；③和一定是全等三角形，其中正确的有______（填写序号）． 【答案】①③ 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据长方形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③正确，无法判断和是否相等． 【详解】解：根据长方形的性质和折叠可得： ，， 在和中， ∴，故③正确； ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 无法判断和是否相等，故②错误； 综上可知：①③正确． 故答案为：①③． 4．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为________． 【答案】21 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 5．（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，将沿折叠，使点与点重合，若的周长为，，则的周长是______． 【答案】 【分析】此题主要考查全等三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据折叠可知，，进而可得，，根据三角形周长即可求解； 【详解】解：根据折叠可知，， ，， 的周长； 故答案为： 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【答案】（1），理由见解析（2）10 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据折叠的性质和平角的定义，推出，即可得出结论； （2）延长交于点，根据翻折的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）延长交于点，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型03 动态旋转问题 这类题型通常以两个三角板（如含30°、60°的直角三角板）拼接或独立旋转为背景，考查分类讨论思想和运动变化中的不变量。题目常以“双解”或“多解”形式出现，极易因漏解而失分。 核心技巧与通用思路： 1. 定基准，分情况：明确哪块三角板是固定的（基准），哪块是运动的。根据题目要求的“重叠”、“共线”或“平行”条件，画出所有可能的静态位置图。 2. 算差值，看倍数：旋转的角度 = 大角 - 小角。注意旋转方向（顺时针/逆时针），通常旋转角等于两块三角板特定内角的度数差或和。 3. 关注特殊位置：当两块三角板的边重合、构成平角或直角时，往往是解题的分界点。 答题模板： 1. 画图：根据题意，画出运动后满足条件的几种极限或特定位置草图（这是防漏解的唯一法宝）。 2. 定角：明确每块三角板固定不变的内角度数（如30°、45°、60°、90°）。 3. 计算：针对每一种情况，利用“角的和差关系”直接计算旋转过的角度。 4. 检验：将求得的角度代入原题，验证是否符合题意（如是否在0°到360°范围内）。 1．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 则， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·全国·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．已知在 中，，，在中，，，并提出了相应的问题． (1)【发现】如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ，，，求 的长．请补全下面小芳的解题过程． 解：∵，∴． ∴，∴． (2)【类比】如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，过点 作，垂足为点 ．猜想、、 之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，若 ，，，连结．请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）过点 作 的延长线于点 由两个三角形全等的判定定理得到，从而，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：补全小芳的解题过程如下： 在 和中， ，，， ， ，， ． （2）、、 之间的数量关系是，理由如下 ， ． ， ， ． 在 和 中， ，，， ， ，． ， ． （3）解： 的面积为． 如图，过点 作 的延长线于点 ， ， ， ． ，， ， ， ． 在 和 中， ，，， ， ， ， ， 4．（24-25八年级上·广西百色·期末）【探究性问题】为进一步探究两个等腰直角三角形的边的关系，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：将两块大小不一的透明的等腰直角三角板和按如图1所示方式摆放，直角顶点重合，三角板的一个顶点在三角板的斜边上，连接． 【初步探究】（1）图1中线段和之间的数量关系和位置关系分别是什么？请说明理由； 【深入探究】（2）如果三角板的一个顶点在三角板的斜边的延长线上，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），；理由见解析  （2）结论还成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，垂线的定义． （1）先证明，再利用即可证明，可得，，再根据等腰直角三角形的性质可求，即可得出结论； （2）由（1）中方法可证， 由全等三角形的性质得到，，则可证明，即． 【详解】解：（1），，理由如下： 和都是等腰直角三角形， ，，，， ， 即 在和中 ， ， ， ， 即． （2）结论还成立，理由如下： 由（1）中方法可证， ，， ， ， ， 即． 5．（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)①是；② (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出线段相等是解题的关键． （1）①连接，证明和全等即可得出结论；②根据结合得出结论即可； （2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样； （3）同（1）得，由，可得． 【详解】（1）证明：①连接， ∵（已知）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 故答案为：是． ②又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ∴． 6．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明，，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长到，使，连接． 当点在边上时， 由题意得，， 同理可证明，， ∴， ∵，， ∴； 当点在边延长线上时， 同理可证明， ∴， 同理可得， 综上，的度数为或． 题型04 与平行线结合 将三角形置于平行线的大背景下，是“承上启下”（连接七上平行线与七下三角形）的经典考法。解题的万能钥匙是“拐点作平行线”或直接使用“铅笔头模型”结论。 核心技巧与通用思路： 无图作图（辅助线）：当光线（或线段）在平行线之间发生转折时，过拐点作已知平行线的平行线，将复杂的折线角转化为基本的同位角和内错角。 答题模板： 1. 识别：确认题干中的平行线（a∥b）和截线（构成三角形两边的射线）。 2. 转化：过转折点作辅助平行线，将未知角转移到与已知角形成同位角或内错角的位置。 3. 代换：利用“两直线平行，同位角/内错角相等”，将已知角和未知角建立等量关系。 4. 求值：整体代入计算。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直线，的两边分别与直线，相交，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据外角性质得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 3．（25-26八年级下·福建三明·月考）如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）如图，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，， ， ． 5．（25-26七年级下·四川达州·月考）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_________ ． 【答案】/130度 【分析】延长交于点，由对顶角相等可得，结合三角形的外角的性质可计算得．根据题意可得，则． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵横梁始终平行于， 又∵由调整得到， ∴， ∴． 6．（2026·四川绵阳·二模）如图，直线，；，则_____． 【答案】 【分析】先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵， ∴． 题型05 角平分线与高线综合 在同一三角形中同时出现“角平分线”和“高线”，必定会产生等腰三角形或互余关系。这类题型计算量适中，但对“整体代入”的代数变形能力要求较高。 核心技巧与通用思路： 1. 导角核心（找余角）：高线带来90°，结合角平分线，在由高线和角平分线构成的直角三角形中疯狂倒角。 2. 方程与整体思想：当遇到求多个角平分线或高线夹角的综合大题时，不要执着于求每一个具体的角，而是设出基础角，将所有待求角用x，y表示，最后利用x＋y＝180°－∠A进行整体消元。 答题模板： 1. 设元：设三角形底角的半角为未知数。 2. 表达：利用高线的垂直关系，用含未知数的代数式表示出目标角。 3. 找桥：寻找不同表达式之间的桥梁（通常是某个公共角或已知角），列出等式。 4. 求解/代回：解出未知数，或直接通过代数式加减乘除得出最终角度。 1．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（   ） A．是的角平分线 B．是的高 C．是的高 D．是的中线 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的定义是解题的关键． 【详解】解：A、， 是的角平分线，本选项说法正确，不符合题意； B、， 是的边上的高线，本选项说法正确，不符合题意； C、，， 是的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意； D、为的中点， 是的边上的中线，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，已知是的角平分线，是边上的高，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线，高的含义，先求解，结合角平分线可得，结合与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故选：D 3．（24-25八年级上·河北唐山·月考）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是________． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高的定义；先根据角平分线的定义得到，则，再由三角形高的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，是角平分线，是高，与相交于点，过点作，当时，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：是高（已知）， ______（三角形高的定义）． ______（直角三角形的两个锐角互余）． ______°． 是角平分线， ______°（角平分线定义）． ______°（______）． （已知）， ______（两直线平行，同位角相等）． 【答案】；；60；30；120；三角形的外角性质； 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据直角三角形的两个锐角互余的性质求得，利用角平分线定义求得，再利用三角形的外角性质结合平行线的性质即可求解． 【详解】解：是高（已知）， （三角形高的定义）． （直角三角形的两个锐角互余）． ． 是角平分线， （角平分线定义）． （三角形的外角性质）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义． （1）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （2）解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ． 6．（24-25八年级上·福建厦门·月考）如图，是的角平分线，是高，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线的定义及三角形内角和定理，根据题意可求出，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故的度数为． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题02三角形中角度的复杂计算 题型01几何模型应用 题型02折叠问题 三角形中角度的复杂计算 题型03动态旋转问题 题型04与平行线结合 题型05角平分线与高线综合 /oo 常点量破 题型01几何模型应用 啸方法 此类题型往往将三角形的基本内角关系隐藏在经典几何模型中，主要考查“8字模型”、“飞镖模型”、“A 字模型”等。掌握这些模型的二级结论，能实现“秒杀”选填题，大幅缩短做大题的时间。 核心技巧与通用思路： 1. 8字模型：若两条线段相交形成的图形像数字“8”，则交点处的两组对角分别相等（或对顶角相等）。 2. 飞镖模型：图形呈飞镖状，凹进去的角最大。 答题模板： 1.识图：观察图形特征，匹配上述四大基础模型。 2.套用：直接写出模型对应的角度等量关系（大题需简要说明利用了哪个公理或推论）。 3. 代入：将已知条件（常含未知数）代入关系式，建立一元一次方程或二元一次方程组求解。 1.(2026四川广安模拟预测)如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2=14936'，则∠1= 度 2.(2026九年级下·广东清远.学业考试)如图，已知AB∥CD,点E在线段BC上，连接 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE,∠B=120°，∠D=12°，则∠BED= B D 3.(22-23七年级下·辽宁丹东期中)如图，CD∥AB,CB平分∠ACD,CF平分LACG,∠AEC=∠ACG ,则下列结论：①FC⊥BC;②LBAE=∠FAC;③∠FQE=3∠ACF;④LAEC=2LF,其中正确的 有 个 GE CD 4.(2026江苏宿迁二模)己知：如图，LABC=∠DCB,AB=DC.求证：∠1=∠2. A 5.(25-26七年级下·福建厦门月考)如图，BC是∠FBD的平分线，直线EC与BF,BC分别交于点A,C.若 ∠FAC=50°，∠CBD=25°.求∠ACB的度数. D 6.(2026陕西榆林.模拟预测)如图，在ABC中，D为边CB上一点，F为CB延长线上一点，EF∥AC交 AB的延长线于点E,且EF=CD,LDEF=∠ADC·求证：AD=DE. D 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02折叠问题 煤方法 折叠问题的本质是轴对称变换，核心突破口在于抓住“重合”带来的全等关系和等边等角关系。此类 题最常考的是将一个三角形的一个角折叠到另一边，或者沿某条对称轴翻折。 核心技巧与通用思路： 1. 找不变量（抓手）：折叠前后，对应角相等，对应边相等。 2. 抓隐藏的2倍关系：设折叠产生的某个小角为x,则原大角往往表示为2x或x十其他角。在由折叠产生 的新三角形中，利用“内角和180°”或“外角等于不相邻两内角和”列出方程组。 3. 方程思想：七年级阶段绝大多数折叠求角度问题，最终都会落脚到解一元一次方程上。 答题模板： 1.标角：设所求角为x(或在图中标出己知角的等角)。 2.转化：利用折叠的性质，用x表示出图中其他相关的内角或外角。 3. 建方程：在合适的直角三角形或平角处，利用“内角和180°”或“邻补角相加180°”列出方程。 4.求解：解方程得出角度。 1.(24-25八年级上·湖北武汉·期中)如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕 EF∥BC得到aEFG;再继续将纸片沿△BEG的对称轴EM折叠，依照上述做法，再将△CFG折叠，最 终得到长方形EMNF,折叠后的△EMG和△FNG的面积分别为1和2，则ABC的面积为() BMG N A.6 B.9 C.12 D.18 2.(25-26八年级上·广西玉林·期中)如图，在长方形ABCD中，AD=12,将长方形沿对角线BD折叠，使 得点C落在E处，AD与BE相交于点F,且DF=8,则EF的长是() A.4 B.3 C.2 D.1 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26七年级上山东威海期中)如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那 么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED;②折叠后∠ABE和LCBD一定相等；③△EBA和 △EDC一定是全等三角形，其中正确的有 (填写序号). D B 4.(25-26八年级上·宁夏吴忠期中)如图，将一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，若CD=6,BE=7, 则重叠部分的面积为 B 5.(24-25八年级上·天津西青·期末)如图，将ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，若△ABD的周长为 8,CE=3,则ABC的周长是 、3 B 6.(24-25七年级下·广东深圳期末)折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线. R R 如图，将纸片折叠使QP与OR重合，得到折痕QM,此时∠POM与∠RQM重合，即∠PQM=∠RQM ,所以射线QM是∠PQR的平分线. 【知识初探】 (1)如图1.小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外）， 他的做法是指长方形纸片ABCD分别沿射线PN，PM折叠成如图所示的样子，此时点B,C,D分别 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 落在点B,C,D处，且PB和PC'在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出 这两条互相垂直的线段，并说明理由； D ND B 图1 【类比再探】 (2)如图2，在四边形ABCD的纸片中，∠A=∠C=90°，AB=AD,CD=5,连接BD,小亮将四边 形ABCD的纸片进行折叠，首先折出了∠ABD的角平分线BE,又将△BCD沿BD折叠，点C的对应点 C恰好落在射线BE上，求线段BE的长度， 图2 题型03动态旋转问题 城方法 这类题型通常以两个三角板（如含30°、60°的直角三角板）拼接或独立旋转为背景，考查分类讨论 思想和运动变化中的不变量。题目常以“双解”或“多解”形式出现，极易因漏解而失分。 核心技巧与通用思路： 1.定基准，分情况：明确哪块三角板是固定的（基准），哪块是运动的。根据题目要求的“重叠”、“共线 或“平行”条件，画出所有可能的静态位置图。 2.算差值，看倍数：旋转的角度=大角·小角。注意旋转方向（顺时针/逆时针），通常旋转角等于两块 三角板特定内角的度数差或和。 3. 关注特殊位置：当两块三角板的边重合、构成平角或直角时，往往是解题的分界点。 答题模板： 1.画图：根据题意，画出运动后满足条件的几种极限或特定位置草图（这是防漏解的唯一法宝）。 2. 定角：明确每块三角板固定不变的内角度数（如30°、45°、60°、90°）。 3 计算：针对每一种情况，利用“角的和差关系”直接计算旋转过的角度。 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.检验：将求得的角度代入原题，验证是否符合题意（如是否在0°到360°范围内）。 1.(25-26八年级上，全国期末)将一副三角板按如图所示位置摆放，使含30°角的三角板的一条直角边和 含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是() 459 A.45° B.60° C.75° D.85° 2.(24-25七年级下山东济南期末) ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC, BE=BD,LDBE=LABC=90°)的三角板， 【问题初探】 (I)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD 与CE的数量关系和位置关系，并说明理由， B 图(1) 图(2) 3.(25-26八年级上全国·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副 三角板.己知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提 出了相应的问题. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D B E 图① 图② 图③ (I)【发现】如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A 作AM⊥DF,垂足为点M,过点C作CN⊥DF,垂足为点N,AM=2,CN=7,求MN的长. 请补全下面小芳的解题过程. 解：：LABC=90°，∠ABM+LCBN=90°. .∠ABM+∠BAM=90°，.∠BAM=∠CBN. (2)【类比】如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上 时，过点C作CP⊥DE,垂足为点P.猜想AE、PE、CP之间的数量关系，并说明理由. (3)【拓展】如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上，且顶点B在线段EF上 时，若AE=7,BE=1,BC2=50,连结CE.请直接写出△ACE的面积. 4.(24-25八年级上广西百色期末)【探究性问题】为进一步探究两个等腰直角三角形的边的关系，数学兴 趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：将两块大小不一的透明的等腰直角三角板ABC和DCE按 如图1所示方式摆放，直角顶点C重合，三角板DCE的一个顶点D在三角板ABC的斜边AB上，连接 BE. 图1 图2 【初步探究】(1)图1中线段AD和BE之间的数量关系和位置关系分别是什么？请说明理由： 【深入探究】(2)如果三角板DCE的一个顶点D在三角板ABC的斜边BA的延长线上，如图2所示， (1)中的结论还成立吗？请说明理由. 5.(25-26八年级上河南周口期中)数学活动课上，张老师借助两个全等的含30°角的直角三角板进行全 等三角形的相关探究. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 (1)问题发现 将三角板ACB与三角板DEB按图1方式摆放，其中∠ACB=LDEB=90°，LA=∠D=30°，点E落在 AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F. ①EF与CF是否相等？ (填“是”或“否”)： ②写出线段AF、EF、DE之间的数量关系： (2)问题探究 若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转角a得到图2，且0°<α<60°，其他条件不变，请判断(1) 中的结论是否仍然成立，并说明理由. (3)问题拓展 若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转角B,且60°<B<180°，其他条件不变，如图3.请直 接写出AF、EF与DE之间的数量关系， 6.（25-26八年级下·广西南宁开学考试)【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同 一平面上进行探究.比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化.设PA=PB, PC=PD,该数学兴趣小组对∠APB与LCPD的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或 发现： 图1 图2 图3 (I)探究一：如图1，当∠APB=∠CPD时，连接AC、BD交于点O,小林发现一个结论：AC=BD.小 亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接BC,AD得到四边形ABCD,点P始终在四边形ABCD内部.小海对小美说： 点E是边AD的中点，当LAPB+∠CPD=180°时，发现线段BC与线段PE存在一定的数量关系，你知 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板APB固定，将另外一个三角板 CPD绕点P旋转，设计了一道题：若F为BC边所在直线上一点，∠APB=a,当E、P、F三点共线 时，请直接写出LCFP的度数（结果用含α的式子表示）. 题型04与平行线结合 嫦方法 将三角形置于平行线的大背景下，是“承上启下”（连接七上平行线与七下三角形）的经典考法。解题 的万能钥匙是“拐点作平行线”或直接使用“铅笔头模型”结论。 核心技巧与通用思路： 无图作图（辅助线）：当光线（或线段）在平行线之间发生转折时，过拐点作己知平行线的平行线，将 复杂的折线角转化为基本的同位角和内错角。 答题模板： 1.识别：确认题干中的平行线(a∥b)和截线（构成三角形两边的射线）。 2. 转化：过转折点作辅助平行线，将未知角转移到与已知角形成同位角或内错角的位置。 3.代换：利用“两直线平行，同位角/内错角相等”，将已知角和未知角建立等量关系。 4.求值：整体代入计算。 1.(2026陕西西安·模拟预测)如图，直线m∥n,∠A的两边分别与直线m,n相交，若∠A=60°， ∠1=140°，则∠2的度数是() 7 A.70° B.60° C.100 D.80° 2.(25-26九年级下·辽宁盘锦月考)如图，直线1∥12，一副三角板放置在l,山2之间，一个三角板的斜边在 4上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上.则∠的度数是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.65° B.70° C.75° D.80° 3.(25-26八年级下·福建三明月考)如图是一款儿童小推车的示意图.若AB∥CD,∠1=33°，∠2=75°， 则∠3的度数为() 2 A.42 B.41° C.40° D.38 4.(25-26七年级下·黑龙江大庆·月考)如图，AB∥CD,∠A=50°，∠C=30°，则LAEC=· A 50° E 130° D 5.(25-26七年级下·四川达州月考)如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与 上拉杆CF形成的∠F=160°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度. 当∠CDB=30°时，点H,D,B在同一直线上，则∠H的度数是 G。H 6.(2026四川绵阳·二模)如图，直线m∥n,∠1=55°；∠3=95°，则∠2= 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型05角平分线与高线综合 妹方法 在同一三角形中同时出现“角平分线”和“高线”，必定会产生等腰三角形或互余关系。这类题型计算 量适中，但对“整体代入”的代数变形能力要求较高。 核心技巧与通用思路： 1.导角核心（找余角）：高线带来90°，结合角平分线，在由高线和角平分线构成的直角三角形中疯狂倒 角。 2. 方程与整体思想：当遇到求多个角平分线或高线夹角的综合大题时，不要执着于求每一个具体的角， 而是设出基础角，将所有待求角用x,y表示，最后利用x十y=180°一∠A进行整体消元。 答题模板： 1. 设元：设三角形底角的半角为未知数。 2. 表达：利用高线的垂直关系，用含未知数的代数式表示出目标角。 3. 找桥：寻找不同表达式之间的桥梁（通常是某个公共角或己知角），列出等式。 4.求解代回：解出未知数，或直接通过代数式加减乘除得出最终角度。 1.(24-25八年级上·河北邢台月考)如图，在ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，连接BG并延长交 AC于点E,过点C作CH⊥AD于点H,延长CH交AB于点F.下面说法错误的是() D A.AD是ABC的角平分线 B.CH是△ACD的高 C.AH是△ACF的高 D.BE是△ABD的中线 2.(24-25八年级上·江西宜春·期末)如图，己知AE是ABC的角平分线，AD是BC边上的高，若 ∠B=25°，∠C=65°，则∠DAE的大小是() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D A.5° B.109 C.15° D.20° 3.(24-25八年级上河北唐山月考)如图，在ABC中，BD是ABC的高，BE是ABC的角平分线， ∠ABC=80°，∠DBE=15°，则∠A的度数是 B DE 4.(23-24七年级下·吉林长春期末)如图，在ABC中，BD是角平分线，CE是高，BD与CE相交于点O, 过点D作DF∥EC,当∠ECB=30°时，求∠BDF的度数. 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） E B 解：：CE是高（已知）， :ZBEC= (三角形高的定义). .∠EBC+ =90°（直角三角形的两个锐角互余). ∠EBC=90°-∠BCE=°. BD是角平分线， 1 ∴.∠EBO=三∠EBC=。(角平分线定义). LBOC=LEB0+LBEC=°(). :DF∥EC(已知)， .∴.∠BDF= =120°（两直线平行，同位角相等）. 5.(23-24八年级上·安徽合肥单元测试)如图，在ABC中BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A, 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B重合)，CD与BE交于点O. E B (1)若∠ABC=64°，CD是高，求∠BOC的度数： (2)若∠A=80°，CD是角平分线，求∠B0C的度数. 6.(24-25八年级上福建厦门月考)如图，AE是ABC的角平分线，AD是高，∠B=30°，∠C=70°，求 ∠DAE的度数. E D