专题04认识三角形专项训练(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题04认识三角形专项训练 题型1.三角形计数与概念辨析 题型2.三边关系判定与范围计算 题型3.等腰三角形定义辨析 题型4.三边关系的应用 题型5.三角形三线辨析与作图 题型6.网格中三角形面积计算 题型7.三角形重心性质应用 题型8.平行线与三角形内角和 题型9.直角三角形性质与判定 题型10.三边关系最值计算问题 题型11.等腰三角形多解分析问题 题型12.三角形高的位置分类讨论 题型13三角形与折叠问题 题型14.三角形比例计算题 题型15.三角形三边关系与绝对值化简 题型16.三角形与动点问题 解答题5题 知识点01.三角形基础认知 定义：由 3 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 规范表示：△ABC（读作：三角形 ABC） 知识点02.三边关系（核心考点） 核心定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边 实用结论：已知两边、（a>b），第三边c取值范围：a−b<c<a+b 判断技巧：三条线段能否构成三角形，只需验证最短两边之和 > 最长边（一步判定，避繁琐） 知识点03.内角性质（必考） 内角和定理：三角形内角和为180∘ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘ 直角三角形推论：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A+∠B=90∘（两锐角互余） 按角分类： 知识点04.三大重要线段（作图 + 性质双考点） 线段类型 定义 核心性质 图形 角平分线 平分三角形一个内角，且交对边于一点的线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 三角形三条中线交于一点（重心），中线平分三角形面积 高 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形三条高交于一点（垂心）；高的位置随三角形形状变：锐角△高都在内部，直角△两直角边为高，钝角△两条高在外部 1.三边关系忽略任意性，仅验证一组和 / 差 2.画钝角三角形的高时，漏画对边的延长线，误将高画在三角形内部 3.内角和计算时，漏减已知角，或忽略直角三角形的锐角互余结论 4.混淆中线、角平分线的性质，如误认角平分线平分面积 题型1.三角形计数与概念辨析 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的定义．解题关键在于准确识别图中由三条线段首尾顺次连接所构成的封闭图形．按照一定的顺序（例如从小到大或从左到右等）去找出图中所有符合三角形定义的图形，然后统计其数量即可． 【详解】解：图中的三角形有、、，共个， 故选：C． 3．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 4．已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 5．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 6．如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 题型2.三边关系判定与范围计算 7．下列各组数中，能作为一个三角形三条边长的是（    ） A．1，1，2 B．2，2，5 C．2，3，4 D．1，2，4 【答案】C 【详解】解：A．，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B．，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； C．，满足三边关系，符合题意； D．，不满足两边之和大于第三边，不符合题意． 8．三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 9．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 10．若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 11．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得，，， ∴，即， ∴，间的距离不可能是． 题型3.等腰三角形定义辨析 12．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为3． 故选：A． 13．若等腰三角形两边长为和，则该等腰三角形的周长为_______cm． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键，分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断是否成立，再计算周长即可. 【详解】解：情况一：当等腰三角形的腰长为时，三边长分别为，，. 满足三角形三边关系，此时周长为. 情况二：当等腰三角形的腰长为时，三边长分别为，，. 满足三角形三边关系，此时周长为. 14．已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【答案】B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 题型4.三边关系的应用 15．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系的应用． 连接，根据三角形三边的关系，可得的取值范围，即可求解． 【详解】解：连接， ∵米，米， ∴， ∴， ∴，间的距离不可能是米． 故选：D． 16．已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据构成三角形的三边关系求出的取值范围，判断选项中的数据是否满足范围即可得出答案． 【详解】解：∵ 三条线段能围成三角形， ∴ ， ∴ ， 则四个选项中，只有符合取值范围． 17．在中，，，若的长为整数，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合为整数即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，三角形三边关系为两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵的长为整数， ∴， 故选：． 18．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边，由三角形两边之和大于第三边得，由是最长边，得，即可得的取值范围． 【详解】解：设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∵， ∴， 代入不等式得 ， 解得， ∵是三角形的最长边， ∴且， ∴， 即， 解得得， 当时，，此时三角形为等边三角形，满足最长边的限定条件， ∴最长边m的取值范围是． 故选：A． 题型5.三角形三线辨析与作图 19．下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 20．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 21．下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键．根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡， 点是的重心， 线段、、是的三条中线， 故选：A． 22．在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 23．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 24．如图，，，，在中，边上的高是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的高是指，从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答即可． 【详解】解：在中，边上的高应该是从向引垂线， ， 边上的高是． 故答案为：． 25．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 题型6.网格中三角形面积计算 26．如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积，根据网格的特点，结合三角形面积计算公式找到底为1，高为2或底为2，高为1的即可得到答案． 【详解】解：C点所有的情况如图所示， 故选：D． 27．如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为________．    【答案】10 【解析】略 28．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米，. ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 题型7.三角形重心性质应用 29．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 30．如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 31．如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】B 【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，进而得到3S△BCG＝S△ABC，即可求解． 【详解】解：连接AG延长交BC于点D， ∵G是△ABC的重心， ∴D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG， ∵AG＝2GD， ∴2S△BGD＝S△ABG，2S△CGD＝S△ACG， ∴3S△BCG＝S△ABC， ∴S△BCG：S△ABC＝1：3， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 题型8.平行线与三角形内角和 32．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 33．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 34．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 35．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 题型9.直角三角形性质与判定 36．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：A、∵G为的中点， ∴是的中线，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段是的角平分线，故本选项说法错误，符合题意； D、∵G为的中点， ∴与的面积相等，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 37．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 38．在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 题型10.三边关系最值计算问题 39．四面体棱长为4，7，20，22，28，t，其中t为整数，则t的最小值为_______ ． 【答案】9 【分析】本题考查四面体的结构特征，利用三角形任意两边的和大于第三边可得长为4和28的棱必为相对棱，4，7，t为四面体的一个表面三角形三边，求出t的范围得解． 【详解】解：由，得长为4和28的棱不能为四面体的同一个表面三角形的边， 则长为4和28的棱必为四面体的相对棱， 又， 则四面体与长为7的棱相对的棱长为20或22， 因为小于另两条已知棱长20和22，所以与棱4、7构成三角形面的第三条棱只能是t，且需满足， 若7与22为对棱，t与20为对棱，则四面体中存在一个面由棱7, 20, 28构成，但，无法构成三角形，故此情况不成立。因此，7的对棱只能是20，t的对棱为22此时，对棱组合必为, , ，由面构成三角形可知，即 因此，而t为整数， 所以t的最小值是9． 故答案为：9． 40．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 41．已知的三边长、、均是整数，且满足，则周长的最大值是______． 【答案】13 【分析】根据非负数的和是0，可以得到两个数一定都是0，就可以求得两边的长．进而根据三边关系定理就可确定第三边，从而求得周长． 【详解】解：由(a−3)2+|b−4|=0知，(a−3)=0，|b−4|=0， ∴a=3，b=4． ∴三角形第三边要满足不大于3+4=7，只能为6． ∴△ABC周长的最大值是3+4+6=13， 故答案为13． 【点睛】本题考查非负数性质与三角形三边关系的综合应用，熟练掌握非负数的性质和三角形中两边之和大于第三边的性质是解题关键． 42．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 题型11.等腰三角形多解分析问题 43．已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【分析】本题根据等腰三角形的定义分类讨论的可能取值，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 44．一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分腰长为或两种情况，分别利用三角形的三边关系进行判断，并求周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三边分别为、、，由于，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能构成三角形； 当腰长为时，三边分别为、、，由于，满足三角形三边关系，能构成三角形，周长为． 故答案为12． 45．若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 【答案】17 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；分两种情况考虑：腰长为的等腰三角形；腰长为的等腰三角形，结合构成三角形的条件即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为， 故周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为，但， 此时三线段不构成三角形； 综上，三角形的周长为， 故答案为：17． 46．等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为，则腰长为_______． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．设腰长为，列出方程或，求出，最后根据三角形三边关系进行验证作答即可． 【详解】解：设腰长为，则 或， 解方程，得, ， 解方程，得， ， 当三角形的三边为，符合三角形三边关系定理； 当三角形的三边为，，不符合三角形三边关系定理； 三角形的腰长为， 故答案为：． 题型12.三角形高的位置分类讨论 47．在中，边上的高，则边上的高为（   ） A．8 B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形面积公式的应用，利用面积法求高．利用三角形面积公式，通过已知底和高求面积，再求另一条高. 【详解】解：是边上的高，， ， 设边上的高为，则 ， ， 故选：B． 48．的面积为，是边上的高，，，则______． 【答案】5或7 【分析】本题考查三角形的面积公式及应用，解题的关键是正确画出图形，根据题意分两种情况画出图形，运用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时， 的面积为，是边上的高，， ， ， ； 如图，当是钝角三角形时， ， ． 故答案为：5或7． 49．我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有_________个． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形面积的计算，熟练掌握三角形三边关系，是解题的关键．设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，，根据三角形三边关系得出，整理得出，根据第三条高的长是整数，得出答案即可． 【详解】解：设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，， 根据三角形三边关系可知：， 即， 即， ∴， ∴， ∴， ∵第三条高的长是整数， ∴这样的整数有个． 故答案为：20． 50．在中，是高，，，若的面积为12，则线段的长度为________． 【答案】3或5 【分析】根据题意分在内部和在外部两种情况进行讨论，根据三角形的面积公式求得长度，再根据边之间的和差关系求解即可． 【详解】当在内部时，如下图    根据题意可知：， 解得： 当在外部时，如下图    根据题意可知， 解得： 故答案为：3或5． 【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据题意作出相关的图形（在内部和外部)，数形结合进行求解． 题型13三角形与折叠问题 51．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【答案】7.5 【分析】根据翻折的性质得到平分，根据，求出的长，角平分线的性质，结合等积法进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离均为， ∵，， ∴， ∴， ∴；即点D到的距离是7.5． 52．如图，在​中，​，是​上一点，连接​，将​沿​对折得到​，若​恰好经过点​，，则​的度数为________ 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到等角，结合三角形内角和定理，通过等量代换证得，再由角的倍数关系计算出的度数． 【详解】解：将​沿​对折得到， ，， ， ， ， ， ， ． 53．如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【答案】A 【分析】折叠是一种全等变换，折叠前后对应部分全等，即对应角相等、对应边相等．根据折叠的性质，分析折痕与各元素的关系，从而判断折痕的性质． 【详解】解：∵折叠后点落在边上的处， ∴与关于折痕对称， 根据折叠的性质，对称的两个三角形全等，即， 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以 根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线， 由于，即折痕把分成了两个相等的角， 所以折痕是的角平分线． 54．如图，在中，，点是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据折叠得出，，，求出，根据等边对等角，得出，根据三角形内角和定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型14.三角形比例计算题 55．一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【答案】 直角 等腰 【分析】本题主要考查了比的应用，三角形内角和定理，三角形的分类，理解题意，正确进行计算是解题的关键． 根据三角形的内角度数和是，三角形的最大的角的度数占内角和度数和的，再根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可． 【详解】解：， 最大的角为：， 其余两个角都是， 这是一个直角三角形， 按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：；直角；等腰 56．如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为_____． 【答案】12 【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案． 【详解】解：，的面积为2， 的面积为4， 的面积为， 点为的中点， 的面积的面积， 的面积为， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键． 57．如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积比与线段比例的转化，解题的关键是利用同高三角形面积比等于底边比，结合辅助线构造的垂线，将面积比转化为对应线段的比例． 通过过点A、C作的垂线，构造出两组同高三角形；利用和的条件，推导出、、的面积比为；进而得到与的面积比，再结合同高三角形的性质，将面积比转化为的值． 【详解】解：过点A、C分别作或其延长线的垂线，垂足为点M、N，并连接． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． 题型15.三角形三边关系与绝对值化简 58．等腰三角形的两边长分别为5和11，三边长分别是，，，其中b为底边长，则______． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，先根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系求出腰和底，然后结合题意代入计算即可． 【详解】解：当腰为5，底为11时， ∵， ∴三角形不存在； 当腰为11，底为5时， ∵， ∴三角形存在， ∵b为底边长， ∴，， ∴， 故答案为：10． 59．是的三边长，化简____________； 【答案】 【分析】本题考查三角形三边的关系，绝对值的化简，整式的加减，首先根据三角形的三边关系确定，，，然后去绝对值，化简即可求得． 【详解】解：∵是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 60．已知，，为的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，熟悉掌握绝对值的化简方法是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到，，再化简绝对值运算即可． 【详解】解：∵，，为的三边长， ∴，， ∴， 故选：B． 61．若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为_______． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系等知识点，根据题意列出方程式求得a、b的值是解答本题的关键． 根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形周长为． 所以三角形的周长为20， 故答案为：20． 62．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，，的值分别为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． 题型16.三角形与动点问题 63．如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． . 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 64．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 65．如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 当点与重合，点与 重合时，的最小值． 三角形的面积为，， ， ． 即的最小值为． 故答案为：． 66．如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答． 【详解】解：根据题意得：当时，有最小值， 中，，于E，， ， ， ， 故答案为：． .解答题 67．如图，在中，，，，，，求和的长． 【答案】； 【分析】根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 68．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 69．综合与探究 问题情境： 已知，点C在直线，之间，连接，． 初步探究： （1）如图1，若，设，，求，之间的数量关系． 深入探究： （2）如图2，，的平分线交于点P． ①在（1）的条件下，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数； ②若，则______．（用含m的代数式表示） 拓展延伸： （3）若点C在直线的上方，或直线的下方，，，，的平分线所在直线交于点P，则______．（用含，的代数式表示）    【答案】（1）；（2）①不发生变化，；②；（3） 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）过点C作，进而得到，根据平行线的性质得到、，根据进行解答即可； （2）①由（1）知、，根据角平分线的性质得到、，过点P作，则，根据平行线的性质得到、，再利用解答即可；②过点C作，过点P作，则，根据平行线的性质得到、，同①求出即可； （3）分情况讨论，当点C在直线的上方或直线的下方时，同理（2）求出即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作，    、 ； （2）①解：不发生变化，理由如下： 由（1）知、 ，的平分线交于点P 、 如图，过点P作，则   、， ； ②解：如图，过点C作，过点P作，则，   、 ； 、 ，的平分线交于点P 、 ， ， ； （3）解：①当点C在直线的上方时， 过点C作，过点P作，如图：   ， 、， ， ，的平分线交于点P， 、， ， 、， ； ②当点C在直线的下方时， 过点C作，过点P作，如图：   ， 、， ， ，的平分线交于点P， 、， ， 、， ； 综上所述，， 故答案为：． 70．如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的中线和高、全等三角形的性质和判定、无刻度直尺作图、网格中三角形面积的求法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义解题即可； （2）通过构造全等三角形解题； （3）通过割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，由网格知点是线段的中点， ∴线段即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所求； （3）解：． 71．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识三角形专项训练 题型1.三角形计数与概念辨析 题型2.三边关系判定与范围计算 题型3.等腰三角形定义辨析 题型4.三边关系的应用 题型5.三角形三线辨析与作图 题型6.网格中三角形面积计算 题型7.三角形重心性质应用 题型8.平行线与三角形内角和 题型9.直角三角形性质与判定 题型10.三边关系最值计算问题 题型11.等腰三角形多解分析问题 题型12.三角形高的位置分类讨论 题型13三角形与折叠问题 题型14.三角形比例计算题 题型15.三角形三边关系与绝对值化简 题型16.三角形与动点问题 解答题5题 知识点01.三角形基础认知 定义：由 3 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 规范表示：△ABC（读作：三角形 ABC） 知识点02.三边关系（核心考点） 核心定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边 实用结论：已知两边、（a>b），第三边c取值范围：a−b<c<a+b 判断技巧：三条线段能否构成三角形，只需验证最短两边之和 > 最长边（一步判定，避繁琐） 知识点03.内角性质（必考） 内角和定理：三角形内角和为180∘ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘ 直角三角形推论：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A+∠B=90∘（两锐角互余） 按角分类： 知识点04.三大重要线段（作图 + 性质双考点） 线段类型 定义 核心性质 图形 角平分线 平分三角形一个内角，且交对边于一点的线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 三角形三条中线交于一点（重心），中线平分三角形面积 高 从三角形一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形三条高交于一点（垂心）；高的位置随三角形形状变：锐角△高都在内部，直角△两直角边为高，钝角△两条高在外部 1.三边关系忽略任意性，仅验证一组和 / 差 2.画钝角三角形的高时，漏画对边的延长线，误将高画在三角形内部 3.内角和计算时，漏减已知角，或忽略直角三角形的锐角互余结论 4.混淆中线、角平分线的性质，如误认角平分线平分面积 题型1.三角形计数与概念辨析 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．已知中，，则按角分类是________三角形． 5．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 6．如图，在中， ，若的周长为，则______． 题型2.三边关系判定与范围计算 7．下列各组数中，能作为一个三角形三条边长的是（    ） A．1，1，2 B．2，2，5 C．2，3，4 D．1，2，4 8．三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 9．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 10．若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 11．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 题型3.等腰三角形定义辨析 12．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定 13．若等腰三角形两边长为和，则该等腰三角形的周长为_______cm． 14．已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 题型4.三边关系的应用 15．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 16．已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（    ） A． B． C． D． 17．在中，，，若的长为整数，则的长为（    ） A． B． C． D． 18．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 题型5.三角形三线辨析与作图 19．下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 21．下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（   ） A． B． C． D． 22．在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 23．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 24．如图，，，，在中，边上的高是________． 25．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 题型6.网格中三角形面积计算 26．如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 27．如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为________．    28．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 题型7.三角形重心性质应用 29．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 30．如图，已知：G是的重心，，那么______． 31．如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 题型8.平行线与三角形内角和 32．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 33．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 34．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 35．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 题型9.直角三角形性质与判定 36．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 37．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 38．在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 题型10.三边关系最值计算问题 39．四面体棱长为4，7，20，22，28，t，其中t为整数，则t的最小值为_______ ． 40．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于______． 41．已知的三边长、、均是整数，且满足，则周长的最大值是______． 42．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 题型11.等腰三角形多解分析问题 43．已知是等腰三角形，，则边_________． 44．一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为________． 45．若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 46．等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为，则腰长为_______． 题型12.三角形高的位置分类讨论 47．在中，边上的高，则边上的高为（   ） A．8 B． C．10 D．12 48．的面积为，是边上的高，，，则______． 49．我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有_________个． 50．在中，是高，，，若的面积为12，则线段的长度为________． 题型13三角形与折叠问题 51．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 52．如图，在​中，​，是​上一点，连接​，将​沿​对折得到​，若​恰好经过点​，，则​的度数为________ 53．如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 54．如图，在中，，点是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 题型14.三角形比例计算题 55．一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 56．如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为_____． 57．如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，求的值． 题型15.三角形三边关系与绝对值化简 58．等腰三角形的两边长分别为5和11，三边长分别是，，，其中b为底边长，则______． 59．是的三边长，化简____________； 60．已知，，为的三边长，则（   ） A． B． C． D． 61．若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为_______． 62．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 题型16.三角形与动点问题 63．如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． . 64．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为______． 65．如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为__________ 66．如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是_________． .解答题 67．如图，在中，，，，，，求和的长． 68．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 69．综合与探究 问题情境： 已知，点C在直线，之间，连接，． 初步探究： （1）如图1，若，设，，求，之间的数量关系． 深入探究： （2）如图2，，的平分线交于点P． ①在（1）的条件下，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数； ②若，则______．（用含m的代数式表示） 拓展延伸： （3）若点C在直线的上方，或直线的下方，，，，的平分线所在直线交于点P，则______．（用含，的代数式表示）    70．如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 71．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $