专题02相交线与平行线易错必刷题型专项训练(21大题型共计66道题)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题02相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平面内两直线的位置关系 题型02.立体图形中平行的棱 题型03.对顶角的定义 题型04.对顶角相等 题型05.求一个角的余角 题型06.求一个角的补角 题型07.余角补角的有关计算 题型08.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型09.垂线的定义理解 题型10.垂线段最短 题型11.点到直线的距离 题型12.同位角.内错角.同旁内角 题型13.同位角相等两直线平行 题型14.平行公理的应用 题型15.平行公理推论的应用 题型16.内错角相等两直线平行 题型17.同旁内角互补两直线平行 题型18.垂直于同一直线的两直线平行 题型19.由平行线性质求角的度数 题型20.由平行线判定与性质求角度 题型21.平行线性质与判定证明 易错必刷题型01.平面内两直线的位置关系 典题特征：选择题判断同一平面内两直线关系、判断说法正误；常考重合、垂直、平行分类。 易错点：容易漏掉同一平面内前提；把重合当成相交；把立体异面直线当成平行或相交。 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 2．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：①________；②________． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 3．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 易错必刷题型02.立体图形中平行的棱 典题特征：长方体、正方体数互相平行的棱，判断哪两条棱平行。 易错点：分不清平行棱和异面棱；数棱的时候多数、漏数；凭肉眼乱判不看棱的延伸方向。 4．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义，结合图形与平行线的定义求解即可． 【详解】解：在正方体中，与棱平行的是，，， 故选D 5．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 6．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【分析】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 易错必刷题型03.对顶角的定义 典题特征：给多个角的图形，选出哪组是对顶角；判断对顶角说法对错。 易错点：只看有公共顶点就当成对顶角；不知道两边必须是反向延长线。 7．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”结合具体的图形进行判断即可． 【详解】解：A.选项中的与不是对顶角，故此选项不符合题意； B.选项中的与是对顶角，故此选项符合题意； C.选项中的与不是对顶角，故此选项不符合题意； D.选项中的与不是对顶角，故此选项不符合题意． 8．已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 易错必刷题型04.对顶角相等 典题特征：两直线相交，给一个角度，求对顶角大小；填空求角度。 易错点：不是相交线形成的角，乱套用对顶角相等；看图不仔细找错对顶角。 10．如图，直线、交于点O，在内部作射线．若平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵直线、交于点O，， ∴， ∵平分， ∴． 11．如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 【答案】，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 12．如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等得到，根据垂线的定义得到，即可求出的度数； （2）根据求出，根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵且平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 易错必刷题型05.求一个角的余角 典题特征：已知一个锐角，直接求它的余角；判断某角有没有余角。 易错点：记错公式，用180°去减；钝角、直角还硬求余角；不懂只有锐角才有余角。 13．如图，直线，相交于点，，垂足为．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对顶角相等、垂直定义及余角定义，数形结合求解即可． 【详解】解：由图可知，， ， ， 则． 14．如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系：______； （2）设，用含的代数式表示：______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 15．直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，的余角有_______．（填写所有符合情况的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用余角的定义求解即可； （2）设，，利用角平分线的定义得到，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角有，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，， 则， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型06.求一个角的补角 典题特征：给任意角度，求补角；比较余角和补角大小。 易错点：记混成90°去减；分不清余角补角公式；忽略任何角都有补角。 16．已知与互为补角，，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查补角和余角的概念，熟记定义是解题关键．根据补角定义求出，再根据余角定义求出的余角． 【详解】解：∵与互为补角，， ∴， ∴的余角． 故选：B． 17．如图，条形彩带的边上有一点，边上有两点、．将彩带沿、同时向中间翻折，点落在处，点落在处，设，，则、满足的关系式为_____． 【答案】 【分析】本题结合翻折变换考查平角的性质以及角的和差计算，关键是利用翻折前后对应角相等的性质，结合平角的度数建立角之间的等量关系． 【详解】解：根据翻折的性质，得，； ， ， ； 又， ，整理得． 故答案为：． 18．新定义：若，则称是的“3倍互余角”．例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． (1)如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； (2)如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； (3)如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的补角． （1）由“3倍互余角”的定义，可得，由，可得，即可得； （2）由“3倍互余角”的定义，可得，由射线平分，可得，结合，可得，即可得； （3）由“3倍互余角”的定义，可得，由与互补，，按照与的位置关系进行分类讨论，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∵ 与互补， ∴， 当在的内部时，由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上方， ∴， 当在上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上方， ∴， 当在下方时，，， ∴， ∴，舍去． 故答案为：或． 易错必刷题型07.余角补角的有关计算 典题特征：列方程题型，一个角的余角比补角少多少度，求这个角；度分秒换算计算。 易错点：列方程等量关系找错；度分秒进制当成10进制；余角补角概念用反。 19．如果一个角的补角是， 那么这个角的余角的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据补角的定义求出这个角的度数，再根据余角定义计算该角的余角即可． 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为，该角的补角是， ∴这个角的度数为， 又∵互为余角的两个角的和为， ∴这个角的余角为． 20．如图，与互补，是的平分线，，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用． 设的度数为，求得，根据，列方程，计算即可求解． 【详解】解：设的度数为， ∵与互补， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ ，解得，即的度数为， 故答案为：． 21．O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用及即可求得与的数量关系； （2）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； （3）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型08.同(等)角的余(补)角相等的应用 典题特征：图形中有多个角同余、同补，不用计算直接判两角相等。 易错点：没有公共余角/补角，乱套用相等；看不出隐藏的同余同补关系。 22．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“同角的补角相等”即可推出与的关系，即可求解． 【详解】解∶∵和互为补角，和互为补角， ∴． 23．如图，，则图中三个角的数量关系是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 【答案】；；；；；同角的补角相等； 【分析】先利用平角的定义求出的度数，再根据互补的定义求出的度数，最后通过平角减去已知的、、，得到的度数． 【详解】解：∵点在直线上， (平角的定义)， ， ， ∴， ∵与互补， ， (同角的补角相等)， ， ． 易错必刷题型09.垂线的定义理解 典题特征：判断两直线是否垂直；看图形找垂直直线；正误说法判断。 易错点：夹角不是90°也说垂直；忽略同一平面前提；凭视觉判断不用角度判定。 25．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 26．如图，，垂足为，直线经过点，，则__________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 27．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ________． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 28．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 易错必刷题型10.垂线段最短 典题特征：从点向直线修路、架线，选最短路径；选择题选最短线段。 易错点：把普通线段当成垂线段；分不清垂线和垂线段；不懂最短的只有垂线段。 29．如图，村庄A与村庄B在河流的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，解题的关键是识别出点到直线的垂线段并理解其性质． 观察图形可知，，，根据垂线段最短的性质，村庄到河流的最短路径为垂线段，因此村民选择垂足处取水． 【详解】解：A、两点确定一条直线，与题意无关，此选项不符合题意； B、两点之间，线段最短，描述的是两点间距离，与点到直线的距离无关，此选项不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，与题意无关，此选项不符合题意； D、垂线段最短，与题意相符，此选项符合题意． 故选：． 30．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为． 31．如图，，．填空： （1）___________度； （2）直线与的位置关系是___________； （3）点B到直线的距离是线段___________的长度，点D到直线的距离是线段___________的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段___________；在线段，，中，最短的是线段___________，理由是___________． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 易错必刷题型11.点到直线的距离 典题特征：求点到直线距离；选出表示距离的线段；填空写距离定义。 易错点：把斜线段长度当成距离；不知道距离是垂线段的长度，不是线段本身。 32．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可求解. 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是. 33．如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确． 综上，正确的是②④， 故答案为：②④． 34．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成为解题的关键． （1）如图取格点D,连接交于点，直线即为所求； （2）直接根据方格作图即可； （2）根据点到直线距离解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：线段即为所求． （3）解：点到直线的距离为，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：，． 易错必刷题型12.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：三线八角图形，找指定角的同位角、内错角、同旁内角；个数统计。 易错点：找错截线和被截线；形状记混，三类角互相认错；复杂图形不会拆线。 35．如图，下列结论不正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角位于两直线的中间，截线的两侧；同旁内角位于两直线的中间，截线的同旁． 【详解】解：与没有公共边，不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故与不是同位角，选项A说法错误，符合题意； 与是直线、被所截形成的同位角，与是直线、被所截形成的同旁内角，与是直线、被所截形成的内错角，故选项B、C、D说法正确，不符合题意． 36．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 37．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 易错必刷题型13.同位角相等两直线平行 典题特征：给角度证平行；填空填判定依据；图形找同位角证平行。 易错点：同位角不相等也硬说平行；搞反因果，分不清判定和性质。 38．羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 39．如图，填空： （1）若，则______________，理由：______________． （2）若，则______________，理由：______________． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可． 【详解】解：如图， （1）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． （2）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行． 40．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 易错必刷题型14.平行公理的应用 典题特征：过直线外一点画平行线；判断说法对错；唯一性考题。 易错点：过直线上一点还说能画一条平行线；忽略必须是直线外一点。 41．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 42．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【详解】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）相等的角是对顶角：该说法错误，因为相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角； 错误的有（1）、（2）、（4），共3个， 故选C 43．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 易错必刷题型15.平行公理推论的应用 典题特征：多条直线互相平行传递；判断平行传递是否成立。 易错点：立体图形里乱套用传递性；三条直线关系搞混乱 44．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 45．在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 46．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 易错必刷题型16.内错角相等两直线平行 典题特征：图形找内错角，用角度相等证明两直线平行。 易错点：认错内错角；角度不等还强行判定平行；复杂图形找不到内错角位置。 47．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 48．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 49．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 易错必刷题型17.同旁内角互补两直线平行 典题特征：给出同旁内角度数，求和是否180°，判定平行。 易错点：记成同旁内角相等就平行；不会算两角和，看不出互补关系。 50．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 51．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 52．如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 易错必刷题型18.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：两条直线都垂直第三条，直接判平行；正误判断题。 易错点：丢掉同一平面内四个字；立体图形里乱用这个结论。 53．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 54．下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，领补角的定义，垂直的定义分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. 同旁内角互补，两直线平行；命题正确，是真命题，故不符合题意； B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；命题正确，是真命题，故不符合题意； C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；命题错误，例如这两个角都是，故是假命题，符合题意； D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c；命题正确，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握平行的判定，领补角定义，垂直的定义． 55．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 易错必刷题型19.由平行线性质求角的度数 典题特征：已知两直线平行，给一个角，求图中其他内错角、同位角、同旁内角。 易错点：两直线不平行，乱用性质求角；找错对应角；同位角内错角同旁内角性质记混。 56．如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和求出，再利用平行线的性质即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 57．将直角三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，已知，，那么_________． 【答案】35 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴． 58．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，，，设，根据平行线的性质推出，则，根据，可得，通过列方程求出的值即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 59．已知，，直线分别交于点E、F，点H为上一点，点M在直线右侧，且在直线和之间，连接，平分． (1)如图1，，连接并延长交于点G，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线所在直线交于点N，探究与之间的数量关系为______． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，判断是否平分？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）作，，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可； （3）根据已知条件，求出，进而得到，结合，推出，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：平分，理由如下： 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 易错必刷题型20.由平行线判定与性质求角度 典题特征：先证平行，再用平行性质求角度；一步判定、一步计算。 易错点：顺序搞反，不会先证平行再求角；判定和性质混用，逻辑颠倒。 60．如图，点D、E、F分别在三角形的边、、上，连接、，延长至点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 61．如图，在一次无人机航拍任务中，无人机沿一条直线飞行至湖泊区域时，为避开湖面障碍，需在B，C，D三个观测点依次调整航向．经过三次航向调整后，无人机的最终飞行方向与第一次调整前的方向平行（）．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】过点作，根据平行线的判定和性质求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 62．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ． 63．已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当点在点的左侧，时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作的角平分线， ①若，直接写出的大小； ②若射线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①当直线时，的大小为或； ②当时，的大小为或． 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； （2）①直线时，分两种情况讨论：当在的左侧时，由平行的判定方法得，由平行线的性质即可求解；当在的右侧时，同理可求解； ②当时，分两种情况讨论：当在的左侧时，过作，同理可求解；当在的右侧时，同理可求解． 【详解】（1）解：如图，过作，   ， ， ， ， ， ； （2）解：①直线时， 如图，当在的左侧时，   直线平分， ， ，， ， ； 如图，当在的右侧时，    同理可得：， ， ， ； 故的大小为或； ②当时， 如图，当在的左侧时，    过作， 同理可得：， ， ， ， ； 如图，当在的右侧时，    同理可求：， ， ， ； 故的大小为或． 易错必刷题型21.平行线性质与判定证明 典题特征：几何解答题，写推理过程，证角相等、线平行。 易错点：推理步骤跳步不写理由；因果关系写反；不会规范写几何证明格式。 64．如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确根据已知条件分析判定平行线是重要解题步骤；根据，得到，可得到，再根据，得到，即可得到． 【详解】，， （垂直于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又从图中可得到和不是同位角， 但不是同位角． 故答案选． 65．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）由（1）、（2）的结论即可得到结果． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）． 理由如下：∵， ∴． ， ∴， ∴． （3）由（1）（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 66．操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． (1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长，天花板足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②当时，；当时， 【分析】（1）根据等角的余角相等即可判断； （2）由（1）的结论可知，，，结合，内错角相等，可推出，即可根据同位角相等，两直线平行得到结论； （3）①过点作，则，先根据两直线平行内错角相等求得，结合（1）的结论和平角的定义可求得，进而求得，最后根据两直线平行同旁内角互补即可解答； ②先求得当与重合时，此时，然后分当和两种情况，同①中方法解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）的结论可知，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①如图3，过点作，则， ∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵ ∴； ②如图3，过点作，则， ∴，， 当与重合时，则， 此时， ∴当时， 由①可知，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴，即； 当时，如图，过点作，则， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，当时，；当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平面内两直线的位置关系 题型02.立体图形中平行的棱 题型03.对顶角的定义 题型04.对顶角相等 题型05.求一个角的余角 题型06.求一个角的补角 题型07.余角补角的有关计算 题型08.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型09.垂线的定义理解 题型10.垂线段最短 题型11.点到直线的距离 题型12.同位角.内错角.同旁内角 题型13.同位角相等两直线平行 题型14.平行公理的应用 题型15.平行公理推论的应用 题型16.内错角相等两直线平行 题型17.同旁内角互补两直线平行 题型18.垂直于同一直线的两直线平行 题型19.由平行线性质求角的度数 题型20.由平行线判定与性质求角度 题型21.平行线性质与判定证明 易错必刷题型01.平面内两直线的位置关系 典题特征：选择题判断同一平面内两直线关系、判断说法正误；常考重合、垂直、平行分类。 易错点：容易漏掉同一平面内前提；把重合当成相交；把立体异面直线当成平行或相交。 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 2．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：①________；②________． 3．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 易错必刷题型02.立体图形中平行的棱 典题特征：长方体、正方体数互相平行的棱，判断哪两条棱平行。 易错点：分不清平行棱和异面棱；数棱的时候多数、漏数；凭肉眼乱判不看棱的延伸方向。 4．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 5．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 6．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 易错必刷题型03.对顶角的定义 典题特征：给多个角的图形，选出哪组是对顶角；判断对顶角说法对错。 易错点：只看有公共顶点就当成对顶角；不知道两边必须是反向延长线。 7．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 8．已知与是对顶角，且与互余，那么______． 9．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 易错必刷题型04.对顶角相等 典题特征：两直线相交，给一个角度，求对顶角大小；填空求角度。 易错点：不是相交线形成的角，乱套用对顶角相等；看图不仔细找错对顶角。 10．如图，直线、交于点O，在内部作射线．若平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 12．如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 易错必刷题型05.求一个角的余角 典题特征：已知一个锐角，直接求它的余角；判断某角有没有余角。 易错点：记错公式，用180°去减；钝角、直角还硬求余角；不懂只有锐角才有余角。 13．如图，直线，相交于点，，垂足为．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系：______； （2）设，用含的代数式表示：______． 15．直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，的余角有_______．（填写所有符合情况的角） (2)若，求的度数． 易错必刷题型06.求一个角的补角 典题特征：给任意角度，求补角；比较余角和补角大小。 易错点：记混成90°去减；分不清余角补角公式；忽略任何角都有补角。 16．已知与互为补角，，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，条形彩带的边上有一点，边上有两点、．将彩带沿、同时向中间翻折，点落在处，点落在处，设，，则、满足的关系式为_____． 18．新定义：若，则称是的“3倍互余角”．例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． (1)如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； (2)如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； (3)如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 易错必刷题型07.余角补角的有关计算 典题特征：列方程题型，一个角的余角比补角少多少度，求这个角；度分秒换算计算。 易错点：列方程等量关系找错；度分秒进制当成10进制；余角补角概念用反。 19．如果一个角的补角是， 那么这个角的余角的度数是 （    ） A． B． C． D． 20．如图，与互补，是的平分线，，则的度数为________． 21．O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 易错必刷题型08.同(等)角的余(补)角相等的应用 典题特征：图形中有多个角同余、同补，不用计算直接判两角相等。 易错点：没有公共余角/补角，乱套用相等；看不出隐藏的同余同补关系。 22．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，，则图中三个角的数量关系是_______． 24．如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 易错必刷题型09.垂线的定义理解 典题特征：判断两直线是否垂直；看图形找垂直直线；正误说法判断。 易错点：夹角不是90°也说垂直；忽略同一平面前提；凭视觉判断不用角度判定。 25．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，，垂足为，直线经过点，，则__________． 27．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ________． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ________． 28．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 易错必刷题型10.垂线段最短 典题特征：从点向直线修路、架线，选最短路径；选择题选最短线段。 易错点：把普通线段当成垂线段；分不清垂线和垂线段；不懂最短的只有垂线段。 29．如图，村庄A与村庄B在河流的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．垂线段最短 30．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 31．如图，，．填空： （1）___________度； （2）直线与的位置关系是___________； （3）点B到直线的距离是线段___________的长度，点D到直线的距离是线段___________的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段___________；在线段，，中，最短的是线段___________，理由是___________． 易错必刷题型11.点到直线的距离 典题特征：求点到直线距离；选出表示距离的线段；填空写距离定义。 易错点：把斜线段长度当成距离；不知道距离是垂线段的长度，不是线段本身。 32．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 33．如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) 34．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 易错必刷题型12.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：三线八角图形，找指定角的同位角、内错角、同旁内角；个数统计。 易错点：找错截线和被截线；形状记混，三类角互相认错；复杂图形不会拆线。 35．如图，下列结论不正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 36．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 37．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 易错必刷题型13.同位角相等两直线平行 典题特征：给角度证平行；填空填判定依据；图形找同位角证平行。 易错点：同位角不相等也硬说平行；搞反因果，分不清判定和性质。 38．羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 39．如图，填空： （1）若，则______________，理由：______________． （2）若，则______________，理由：______________． 40．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 易错必刷题型14.平行公理的应用 典题特征：过直线外一点画平行线；判断说法对错；唯一性考题。 易错点：过直线上一点还说能画一条平行线；忽略必须是直线外一点。 41．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 42．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 易错必刷题型15.平行公理推论的应用 典题特征：多条直线互相平行传递；判断平行传递是否成立。 易错点：立体图形里乱套用传递性；三条直线关系搞混乱 44．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 45．在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 46．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 易错必刷题型16.内错角相等两直线平行 典题特征：图形找内错角，用角度相等证明两直线平行。 易错点：认错内错角；角度不等还强行判定平行；复杂图形找不到内错角位置。 47．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 48．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 49．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 易错必刷题型17.同旁内角互补两直线平行 典题特征：给出同旁内角度数，求和是否180°，判定平行。 易错点：记成同旁内角相等就平行；不会算两角和，看不出互补关系。 50．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 51．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 52．如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 易错必刷题型18.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：两条直线都垂直第三条，直接判平行；正误判断题。 易错点：丢掉同一平面内四个字；立体图形里乱用这个结论。 53．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 54．下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 55．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 易错必刷题型19.由平行线性质求角的度数 典题特征：已知两直线平行，给一个角，求图中其他内错角、同位角、同旁内角。 易错点：两直线不平行，乱用性质求角；找错对应角；同位角内错角同旁内角性质记混。 56．如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 57．将直角三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，已知，，那么_________． 58．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 59．已知，，直线分别交于点E、F，点H为上一点，点M在直线右侧，且在直线和之间，连接，平分． (1)如图1，，连接并延长交于点G，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线所在直线交于点N，探究与之间的数量关系为______． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，判断是否平分？请说明理由． 易错必刷题型20.由平行线判定与性质求角度 典题特征：先证平行，再用平行性质求角度；一步判定、一步计算。 易错点：顺序搞反，不会先证平行再求角；判定和性质混用，逻辑颠倒。 60．如图，点D、E、F分别在三角形的边、、上，连接、，延长至点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 61．如图，在一次无人机航拍任务中，无人机沿一条直线飞行至湖泊区域时，为避开湖面障碍，需在B，C，D三个观测点依次调整航向．经过三次航向调整后，无人机的最终飞行方向与第一次调整前的方向平行（）．若，则的度数是______． 62．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 63．已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当点在点的左侧，时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作的角平分线， ①若，直接写出的大小； ②若射线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 易错必刷题型21.平行线性质与判定证明 典题特征：几何解答题，写推理过程，证角相等、线平行。 易错点：推理步骤跳步不写理由；因果关系写反；不会规范写几何证明格式。 64．如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 65．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 66．操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． (1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长，天花板足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $