专题 平行线与相交线中动角问题的3大题型2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题 平行线与相交线中动角问题的3大题型 目录 题型一 点动导致的动角问题 题型二 线动导致的动角问题 题型三 三角板动导致的动角问题 题型一 点动导致的动角问题 如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且． （1）求证：平分； 【拓展迁移】 （2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设． （1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； （2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 2．如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 3．如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，． (1)判断是否平分，并说明理由． (2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于， ①当点在线段上时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 4．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 5．【综合与实践】 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点分别在直线上，． (1)如图1，直接写出________． (2)如图1，若，求的大小； (3)如图2所示，李明将一个含角的直角三角形的顶点与点重合，点落在直线上，顶点固定不动，将点在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即保持不变，直角三角尺固定不动且，当点运动到点重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请求出的大小（用含的代数式表示）． 题型二 线动导致的动角问题 6．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． (1)如图1，为直线上一点，，直接写出图中所有互为垂角的角； (2)如果一个角的垂角等于其补角的，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上一点，，将整个图形绕点逆时针旋转，直线旋转到，旋转到，作射线，使，求：当为何值时，与互为垂角． 7．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 8．如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当首次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 9．如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点О沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为（，单位s）. (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到60°时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线OB与射线OA垂直?如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由. 题型三 三角板动导致的动角问题 10．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 11．【发现问题】 数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起（其中，，，）．当且点E在直线AC的上方时，将固定不动，改变的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】 在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【分析问题】 “勤奋小组”展开了激烈地讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段”，他画出了图2，当时，你能求出的度数吗？ 【解决问题】 （1）如图2，的度数是______度． （2）当时，画图并求出的度数． （3）这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况，若存在，请画图求出的度数，并说明理由． 12．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角的一半互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半余角．如图（1）所示，若，则是的内半余角．（本题中的角均为大于且小于的角） (1)如图（1），已知，，是的内半余角，则________； (2)如图（2），已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度得到，同时将绕点O按顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内半余角时，求的值； (3)已知，把一块含有角的三角板按图（3）位置放置，使边与重合．将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，射线能否构成内半余角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 13．一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形． (1)当点P到达点B时，△ADE转动了 　 　°． (2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=　 　． (3)在运动过程中，当t＝　 　时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线． (4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 　 　． 14．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 15．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且 ，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则___________； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合（ ），如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转的时间内（即），当射线构成内余角时，请求出的值． 16．已知三条直线和一副直角三角板． (1)如图1把三角尺的边放在上，三角尺的顶点与顶点重合，边经过，顶点恰好落在上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，求的度数； (2)如图2，两个三角尺的两个直角顶点，分别落在和上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，边与相交所成的一个角记为，请你说明； (3)如图2，若点是直线上一点，恰好平分时，求与的度数． 17．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 18．张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒． (1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）． (2)在旋转过程中，当为何值时，． (3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 19．如图1，已知直线，现有直角三角板ABC（角A为30°）和直角三角板DEF（角E为45°），点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上． (1)如图2，绕点D旋转三角板DEF，再延长EF交MN于P，求证：∠MPE＝∠E＋∠MDE． (2)如图3，绕点A旋转三角板ABC，再延长BC交MN于Q，若∠GAC的平分线交MN于S，∠BQM的平分线交AS于T，求∠ATQ的度数． (3)如图4，若三角板ABC从图1的位置开始绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF也从图1的位置开始绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤150），请直接写出当旋转到边BC与边DF平行时t的值． 20．在几何问题中，当求几个角之间的等量关系时，可以设未知数，通过“设而不解”的方法，以它们为中间量，结合三角形的性质和已知条件，构建所求角之间的等量关系：当需要求出某个角的具体度数时，我们可以通过设未知数的方式，根据问题中的等量关系列方程，并将方程进行求解，最后得到所求角的度数． 已知点在射线上，点、为射线上的两个动点，满足，，平分． (1)如图1，当点在点左侧时，我们可以设，，作交于，请你运用含有和的代数式表示； (2)如图2，当点G在点F右侧时，请你运用“设而不解”的方法来证明问题的结论是否、和之间的等量关系并说明理由； (3)如图3，当点在点左侧时，点为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，请你运用所学的方法，直接写出的度数． 21．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：    (1)如图1，请直接写出、的数量关系； (2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由； (3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 平行线与相交线中动角问题的3大题型 目录 题型一 点动导致的动角问题 题型二 线动导致的动角问题 题型三 三角板动导致的动角问题 题型一 点动导致的动角问题 1．【问题背景】 如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且． （1）求证：平分； 【拓展迁移】 （2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设． （1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； （2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及动态几何中角的数量关系探究，解题的关键是熟练运用平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）和角平分线的定义，结合动点位置进行分类讨论． （1）利用得到，结合，通过等量代换证明平分； （2）①根据角平分线定义表示出，结合平行线得到，代入的值求出； ②分点在左侧和右侧两种情况，分别和平行线性质和角平分线定义推导和的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， 又， ， 平分； （2）①如图2，平分， ， 又平分， ， 又， 又∵， ， ， 又， ， 又， 即， ， 当时，； ②或， 当点在点的左侧时，由①知：； 当点在点的右侧时，如图3， ， 又， ， 平分， ， 又平分， ， 又 ． 综上所述，和之间的数量关系或． 2．如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②50 (3)或；证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键． （1）根据平分和，可证明，即可解答． （2）①根据题意画图即可；②依据平行线的性质可得，再根据平分，，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答； （3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图1， ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ 解得； 故答案为：50； （3）α和β之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）得， 当点G在点F的左侧时，如图2， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 综上所述，α和β之间的数量关系为或． 3．如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，． (1)判断是否平分，并说明理由． (2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于， ①当点在线段上时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①，②或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，等量代换得到，即可解答； （2）①易得，设，则，推出，，最后根据，即可求解；②用和①一样的方法，进行分类讨论：当点在线段上时；当点在延长线上时；即可解答． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即平分； （2）解：①∵，， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵，， 由（1）可得：， ∴； ∵， ∴； ②情况一：当点在线段上时， ∵，， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵，， 由（1）可得：， ∴； ∵，， ∴，即； 情况二：当点在延长线上时， ∵，， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵，， 由（1）可得：， ∴； ∵，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角行动，同旁内角互补；以及根据图形，得出角度之间的数量关系． 4．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据是角平分线，可得得到，由根据，得到，则为等腰三角形，又因为为垂线，可得为角平分线，从而证得结论； （2）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，令，分别用表示出与，然后再代换即可找到它们之间的关系；当点在线段上时，在四边形中根据四边形内角和以及外角定理可以得到，然后再结合与之间的关系，通过代换可找到与的数量关系． 【详解】（1）证明：    ∵， ∴， 又∵为角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （2）解：如下图，当在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 由：， ∴， 当点在线段上时，    由图一可知，①， 即：②， ， 即：③， 由①②③可知： ④， 又∵， ∴， 有， ， 由④⑤可知 ， ， 即， 综上：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的性质是求解的关键． 5．【综合与实践】 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点分别在直线上，． (1)如图1，直接写出________． (2)如图1，若，求的大小； (3)如图2所示，李明将一个含角的直角三角形的顶点与点重合，点落在直线上，顶点固定不动，将点在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即保持不变，直角三角尺固定不动且，当点运动到点重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请求出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； （2）根据（1）可得：，根据，列出方程，解方程即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）根据（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴； 综上分析可知：或或． 题型二 线动导致的动角问题 6．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． (1)如图1，为直线上一点，，直接写出图中所有互为垂角的角； (2)如果一个角的垂角等于其补角的，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上一点，，将整个图形绕点逆时针旋转，直线旋转到，旋转到，作射线，使，求：当为何值时，与互为垂角． 【答案】(1)与，与，与，与 (2)这个角的度数为或度 (3)时，与互为垂角 【分析】本题考查了角的相关定义（垂角，补角）以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角和补角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程或等式来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设这个角为度，其补角为度．因为不确定这个角与其垂角的大小关系，所以分两种情况讨论．当这个角小于它的垂角时，垂角为度，根据＂一个角的垂角等于其补角的＂，可列方程，求解得出．当这个角大于它的垂角时，垂角为度，列方程，求解得出； （3）因为旋转情况不同，所以分两种情况．当时，用含的式子分别表示出和，再根据垂角定义列出方程求解．当时，同样表示出和，根据垂角定义列方程求解． 【详解】（1）互为垂角的角有4对：与，与，与，与； （2）设这个角的度数为度，则其补角是度， ①当时，它的垂角是度，依题意有， ， 解得； ②当时，它的垂角是度，依题意有， ， 解得； 故这个角的度数为或度． （3）当时和重合，不符合题意．故分两种情况： ①当时，，， ， ， ， ， 解得：或195 ， ； ②当时，， ，，， ， 解得或115， ， 或115舍去． 综上所述，时，与互为垂角． 7．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3)α的值为 (4)当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据内余角定义计算即可； （2）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； （3）根据旋转的性质分别用含a的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； （4）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时：当在内部时，根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角， ∵射线，在的内部，是的内余角， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：已知，绕点O顺时针方向旋转一个角度（）得到，绕点O顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得：， ∴α的值为； （4）解：根据题意可得，，三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒， 当在内部时，如图所示， ， ∴，， ∴，， 若是的内余角时， 得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 当在射线下方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在上方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在内部时，如图所示， ， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 8．如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当首次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为15秒或45秒． 【分析】（1）利用旋转角等于速度乘以时间得出时间与角度关系，再进行共顶点角度计算即可； （2）用时间结合速度求出时间与角度的关系，再利用列方程求出的值； （3）根据时间范围，大致推算的可能位置情况，再进行计算和验证即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：首次到达故得 ， （秒）； （3）解：首次到达时，， （秒）； 第二次到达时，如图： ， （秒）； 秒，故不再有其他垂直的情况， 综上所述的值为15秒或45秒． 【点睛】本题考查共顶点角度的计算，结合旋转速度，明确位置关系和用时间表示角度是解题的关键． 9．如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点О沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为（，单位s）. (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到60°时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线OB与射线OA垂直?如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)140° (2)24秒 (3)存在．9秒或27秒 【分析】（1）根据∠AOB＝180°−∠AOM−∠BON计算即可． （2）根据题意，第二次达到60°时， ，由此列出方程求解即可． （3）分两种情形，当0≤t≤18时和当18≤t≤30时，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，∠AOB＝180°−4°×4−6°×4＝140°． （2）解：根据题意，第二次达到60°时， ， 4t+6t＝180+60， 解得 t＝24． 答：当∠AOB第二次达到60°时，t的值为24秒． （3）解：当重合时，， 解得：， 当0≤t≤18时， ， ， 180−4t−6t＝90， 解得t＝9， 当18≤t≤30时， 同理可得：， 4t+6t＝180+90， 解得t＝27． ， 大于30的答案不予讨论． 答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9秒或27秒． 【点睛】本题考查的是平角的定义，角的和差关系，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练的利用一元一次方程解决几何角度问题，清晰的分类讨论是解本题的关键. 题型三 三角板动导致的动角问题 10．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义、互余、解一元一次方程及角的和差倍分关系等你知识，采用数形结合的思想和分类讨论的思想，准确表示出各个相关角度的和差倍分关系是解题的关键． 11．【发现问题】 数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起（其中，，，）．当且点E在直线AC的上方时，将固定不动，改变的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】 在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【分析问题】 “勤奋小组”展开了激烈地讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段”，他画出了图2，当时，你能求出的度数吗？ 【解决问题】 （1）如图2，的度数是______度． （2）当时，画图并求出的度数． （3）这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况，若存在，请画图求出的度数，并说明理由． 【答案】（1）（2）图见解析，（3）存在，图见解析，的度数可能是、、 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算： （1）根据两直线平行，内错角相等，即可得解； （2）根据要求画图，根据平行线的性质求角的度数即可； （3）分，，分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）当时，如图，则， ∴， ∴； （3）存在； ①当时，如图， 过点作， ， ，， ， ． ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上分析可知，的度数可能是、、． 12．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角的一半互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半余角．如图（1）所示，若，则是的内半余角．（本题中的角均为大于且小于的角） (1)如图（1），已知，，是的内半余角，则________； (2)如图（2），已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度得到，同时将绕点O按顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内半余角时，求的值； (3)已知，把一块含有角的三角板按图（3）位置放置，使边与重合．将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，射线能否构成内半余角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)射线能构成内半余角，旋转的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，理解定义，并能分类讨论是解题的关键． （1）根据“内半余角”的定义，可求出的度数，再根据，可得出结论； （2）由旋转可分别求出和的度数，再根据“内半余角”的定义，可列出等式，即可求出的值； （3）由旋转可知，分五种情况，分别进行讨论，根据“内半余角”的定义，可求出对应的时间． 【详解】（1）解：，是的内半余角， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：由题意得， ∵， ∴，， ∵是的内半余角， ∴， ∴， ∴； （3）解：能， 由题意得，， ①当射线在内部，射线在外部时，如图， 此时，， ∴， 此时，， 解得； 则是的内半余角； ②当射线在外部，且在下方，时，如图， 则，， 此时，， 解得， 则是的内半余角； ③当射线在外部，且在上方，时，如图， 则， ∴，， 此时，， 解得， 则是的内半余角； ④当射线在外部，射线在内部时，如图， 则， ∴，， 此时，， 解得， 则是的内半余角； 当射线在内部时，，不符合题意； 综上，射线能构成内半余角，旋转的时间为秒或秒或秒或秒． 13．一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形． (1)当点P到达点B时，△ADE转动了 　 　°． (2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=　 　． (3)在运动过程中，当t＝　 　时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线． (4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 　 　． 【答案】(1)240 (2)10 (3)20或42.5或65 (4)195 【分析】（1）根据点P的运动可求出运动时间，再根据路程=速度×时间可求解； （2）若∠FAE与∠B互余，则∠FAE=30°，由此可直接得出时间； （3）分三种情况分类讨论，画出图形列出方程求解即可； （4）由于三角形有三条边，分三种情况讨论，分别求出t的值，再求和即可． 【详解】（1）解：当点P到达点B时，所用时间t=160÷2=80（s）， 此时∠FAE=3°×80=240°， 故答案为：240； （2）解：当0＜t＜60时，点P在AB上， 由题意可知∠BAC=30°，∠B=60°， 若∠FAE与∠B互为余角，则∠FAE=30°， ∴t=30°÷3°=10（s）， 故答案为：10； （3）解：根据题意可知，∠EAD=45°， 若AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线，需要分三种情况： ①当射线AD是∠BAE的平分线时，如图1， 此时∠EAD=∠BAD=45°， ∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°， 此时t=60°÷3°=20（s）； ②当射线AB是∠DAE的平分线时，如图2， 此时∠EAB=∠DAB=22.5°， ∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°， ∴t=137.5°÷3°=42.5（s）； ③当射线AE是∠BAD的平分线时，如图3， 此时∠DAE=∠BAE=45°， ∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°， ∴t=（180°+15°）÷3°=65（s）， 故答案为：20或42.5或65． （4）解：当△ACP的面积大于△ABC面积的一半时，点P在与AC平行的△ABC的中位线上方即可，此时t的取值范围为：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2， 即40＜t＜100， ∴120°＜∠FAE＜300°， 根据题意可知，若△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度，需要分以下三种情况： ①边DE⊥AB时，如图4， 此时∠EAF=150°， ∴t=150°÷3°=50（s）； ②边AD⊥AB时，如图5， 此时，射线AE旋转的角度为：150°+90°-45°=195°， ∴t=195°÷3°=65（s）； ③边AE⊥AB时，如图6， 此时，旋转角度为：150°+90°=240°， ∴t=240°÷3°=80（s）， ∴50+65+80=195（s）， 故答案为：195． 【点睛】本题角度的计算，包括垂直的定义，角平分线的定义等，涉及考查几何直观能力，分类讨论的数学思想，进行正确的分类及对t的限制是解题关键． 14．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 15．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且 ，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则___________； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合（ ），如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转的时间内（即），当射线构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，一元一次方程的几何应用，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ∵ ∴（秒）舍去； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒． 16．已知三条直线和一副直角三角板． (1)如图1把三角尺的边放在上，三角尺的顶点与顶点重合，边经过，顶点恰好落在上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，求的度数； (2)如图2，两个三角尺的两个直角顶点，分别落在和上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，边与相交所成的一个角记为，请你说明； (3)如图2，若点是直线上一点，恰好平分时，求与的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)， 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平移变换，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）先由三角板度数组合，求出度数，进而由平行的性质可知，然后用，则求出度数． （2）如图2所示，过点作，利用平行线的性质可得，，可得，又因为，代入即可证明题目所求． （3）因为平分，则，根据平行线的性质可得，利用（2）中结论，即可求． 【详解】（1）解：（1）如图1中， ， ， 又， ， ； （2）如图2所示，过点作， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． （3）在（2）的条件下，， 又平分， ， 又 ， ， ． 17．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【答案】（1）不能；（2）①秒或秒；②；（3）秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）由三角板的特征可得，一副三角板中，两块三角板的角度分别为和，由均为的倍数，得到用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数，即可解答； （2）①根据时，，再分在上方和下方两种情况讨论即可；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：当三角板在三角板左侧时，当三角板在三角板右侧时，再结合平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）一副三角板中，两块三角板的角度分别为和， ∵均为的倍数， ∴用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数， ∵不是整数倍， ∴用一副三角板不能拼出的角， 故答案为：不能； （2）①∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 当在上方时，如图（2）， 则，即， 解得； 当在下方时，如图（3）， 则，即， 解得； 综上，当秒或秒时，； 故答案为：秒或秒； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）如图（4），当三角板在三角板左侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 如图（5），当三角板在三角板右侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 综上，当时，的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 18．张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒． (1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）． (2)在旋转过程中，当为何值时，． (3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 【答案】(1)或度或 (2)当秒时， (3)当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分 【分析】（1）根据题意，可得，据此列出代数式即可求解； （2）当时，，根据题意列出方程，解方程即可求解． （3）分3种情况：①如图3，当平分时，．②如图4，当平分时，．③如图5，当平分时，，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵，． ∴ ． ； （2）如图2，∵当时，， ∴， 解得：（秒）． ∴当秒时， ； （3）分3种情况： ①如图3，当平分时，． ∴， 解得：（秒）． ②如图4，当平分时，． ∴，即 解得：（秒）． ③如图5，当平分时，． ∴． 解得：（秒） ∴综上所述，当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次不等式的应用，列代数式，分类讨论，数形结合是解题的关键． 19．如图1，已知直线，现有直角三角板ABC（角A为30°）和直角三角板DEF（角E为45°），点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上． (1)如图2，绕点D旋转三角板DEF，再延长EF交MN于P，求证：∠MPE＝∠E＋∠MDE． (2)如图3，绕点A旋转三角板ABC，再延长BC交MN于Q，若∠GAC的平分线交MN于S，∠BQM的平分线交AS于T，求∠ATQ的度数． (3)如图4，若三角板ABC从图1的位置开始绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF也从图1的位置开始绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤150），请直接写出当旋转到边BC与边DF平行时t的值． 【答案】(1)见解析 (2)135° (3)120 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得∠MPE＝∠PEQ，∠MDE＝∠DEQ，根据∠PEQ＝∠PED＋∠DEQ 即可得； （2）过点T作，可得，，根据角平分线的定义得∠ATR＝∠CAT，∠BQT＝RTQ，由四边形的内角和为360°，即可得； （3）过点C作，用含t的代数式分别表示出，，再列方程即可得． 【详解】（1）证明：过点E作， ∵， ∴∠MPE＝∠PEQ，∠MDE＝∠DEQ， ∵∠PEQ＝∠PED＋∠DEQ ， ∴∠MPE＝∠E＋∠MDE． （2）解：如图所示，过点T作， ∵， ∴，， ∵AT、TQ分别平分∠GAC，∠BQM， ∴∠GAT＝∠CAT，∠BQT＝∠MQT， ∴∠ATR＝∠CAT，∠BQT＝RTQ， ∵， ∴， 在四边形ACQT中，， ∴， ， ∴． （3），理由如下： 解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ 解得． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，旋转的 性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点． 20．在几何问题中，当求几个角之间的等量关系时，可以设未知数，通过“设而不解”的方法，以它们为中间量，结合三角形的性质和已知条件，构建所求角之间的等量关系：当需要求出某个角的具体度数时，我们可以通过设未知数的方式，根据问题中的等量关系列方程，并将方程进行求解，最后得到所求角的度数． 已知点在射线上，点、为射线上的两个动点，满足，，平分． (1)如图1，当点在点左侧时，我们可以设，，作交于，请你运用含有和的代数式表示； (2)如图2，当点G在点F右侧时，请你运用“设而不解”的方法来证明问题的结论是否、和之间的等量关系并说明理由； (3)如图3，当点在点左侧时，点为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，请你运用所学的方法，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）过点作交于，则，可得，，即可得到； （2）过点作 交于点，根据平行线的性质求解即可； （3）设，则 ，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于， 设，， ∵， ∴， ，， ， ； （2）证明：过点作 交于点， 由①得， ， ，， ， ； （3）解：设，则，则，，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键是能够熟知平行线的性质与判定条件． 21．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：    (1)如图1，请直接写出、的数量关系； (2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由； (3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）由平角的定义可得、和的和为，可求得与的关系， （2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论， （3）由平行线的性质可得，再利用（1）中的关系可求出的大小即可， 【详解】（1），理由如下： 点在直线上， ，， ， 故答案为：． （2），，理由如下： 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． （3），理由如下： 如图，   平分，， ， ， ， 由（1）可知，． 故答案为： 【点睛】本题考查了平角的定义及直角三角形的两锐角互余，以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $