专题01整式的乘除易错必刷题型专项训练(28大题型共计99道题)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题01整式的乘除易错必刷题型专项训练 本专题汇总整式的乘除全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.幂的乘方的逆用 题型02.积的乘方运算 题型03.负整数指数幂 题型04.科学记数法表示绝对值小于1的数 题型05.同底数幂乘法的逆用 题型06.积的乘方的逆用 题型07.同底数幂除法的逆用 题型08.幂的混合运算 题型09.计算单项式乘多项式求值 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型12.单项式乘法求字母或代数式值 题型13.单项式乘多项式求字母的值 题型14.多项式乘积不含某项求字母的值 题型15.多项式乘法中的规律性问题 题型16.运用平方差公式进行运算 题型17.平方差公式与几何图形 题型18.运用完全平方公式进行运算 题型19.完全平方公式与几何图形 题型20.整式乘法混合运算 题型21.多项式乘多项式--化简求值 题型22.完全平方公式变形求值 题型23.求完全平方式中的字母系数 题型24.多项式除以单项式 题型25.用科学记数法表示数的除法 题型26.整式四则混合运算 题型27.整式的混合运算 题型28.新定义运算 易错必刷题型01.幂的乘方的逆用 典题特征：给一个高次幂，拆成两个幂相乘/乘方的形式，用来简便计算、比大小、求字母值 易错点：分不清指数该拆分相乘还是相加，随便乱拆指数；逆用公式时和普通幂的乘方搞混，越算越错 1．若，则的值为______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数转化为指数相同的形式，再比较底数大小即可得到结果，用到知识点为，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大． 【详解】解： 逆用幂的乘方法则可得，，． ∵ ，且指数相同，正整数幂的值随底数增大而增大， ∴， 即． 3．已知正整数满足，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 4．对于任意有理数，定义一种幂的新运算：．例如：．请根据上述运算规则解答下列问题： (1)求的值； (2)已知 ，求的值． 【答案】(1)5 (2)73 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：由题意知：； （2）解：∵， ∴． 易错必刷题型02.积的乘方运算 典题特征：括号里是多个数、字母相乘，整体带乘方，进行整体化简计算 易错点：只给前面数字乘方，漏掉后面字母也要一起乘方；负数乘方分不清奇偶次，正负号写反 5．计算：_______． 【答案】 【分析】本题利用积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的概念，根据同类项合并规则、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法的运算法则逐一判断选项的正误． 【详解】A．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据积的乘方运算法则即可求解； （）根据积的乘方运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型03.负整数指数幂 典题特征：出现带负号的指数，求式子化简、直接计算数值 易错点：直接把负指数当成负数去算；不会倒数变形，化简后还带着负指数；底数是分数时颠倒分子分母出错 9．如果，那么的值为______． 【答案】1 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，然后根据负整数指数幂的定义代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴． 10．若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负指数幂、零次幂和乘方的运算法则算出每个数的具体值，再从小到大排序，选出对应的选项． 【详解】解：，，，， ， 故． 11．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) 7 (2) 1 【分析】（1）先分别计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，及根据积的乘方逆运算计算高指数幂乘法，再计算乘法及加法即可； （2）根据完全平方公式分解因式进行计算 【详解】（1）解： （2） 易错必刷题型04.科学记数法表示绝对值小于1的数 典题特征：极小的小数，要求写成a×10的负几次方的形式 易错点：10右上角负指数的个数数错；前面a的数字大于10或者小于1，不符合标准格式 13．某种球形病毒的直径大约为，则数用科学记数法表示为_____ ． 【答案】 【详解】解： 14．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先将100纳米换算为以米为单位的数，再根据科学记数法的要求整理得到结果，科学记数法形式为，要求满足，n为整数． 【详解】解：∵1纳米米米， ∴100纳米米， 整理得：米． 15．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 易错必刷题型05.同底数幂乘法的逆用 典题特征：已知两个幂相加、给出指数和，反过来拆分幂去计算求值 易错点：不会逆向拆分指数；和幂的除法逆用记混，该加指数反而去减指数 16．，，则的值为______． 【答案】 6 【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 17．若，，则________． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的除法运算法则，把变形为：，再根据幂的乘方运算法则变形为：，最后把，代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 18．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件中的底数4和8转化为底数为2的幂，再利用幂的运算法则对所求式子变形，代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 19．已知，． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 易错必刷题型06.积的乘方的逆用 典题特征：两个底数不同、指数相同的幂相乘，反过来合并成一个积的乘方简便运算 易错点：指数不一样也硬套公式合并；正负号合并的时候判断错误，结果符号写错 20．计算（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】可利用积的乘方的逆运算简化计算，将高次幂拆分为同指数幂与低次幂的乘积，再合并计算即可． 【详解】解： ． 21．已知，，n为正整数，则________． 【答案】25 【分析】根据幂的乘方、积的乘方逆运用将所求代数式化为，再代入求值即可； 【详解】解：∵，，是偶数， ∴ ． 22．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0.2 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算幂的乘除法． （2）利用积的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 易错必刷题型07.同底数幂除法的逆用 典题特征：已知大数幂，拆成两个同底数幂相除的形式做题 易错点：逆用的时候指数该相减，偏偏做成相加；和乘法逆用完全混淆，公式乱用 24．若，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】逆用同底数幂的除法法则即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 25．已知，，则____________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可. 【详解】解：根据同底数幂的除法法则，可得， 将， 代入得： 原式． 26．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么________； （2）如果，，那么________． 【答案】 1 【分析】（1）根据底数相同的两个数相等，只需指数也相等，列出关于待求字母的方程求解； （2）运用逆用同底数幂相除，逆用幂的乘方，整体代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， 故答案为：． （2）当，时， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解． 27．按要求解答下列各小题： (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （2）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可； （3）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘除法法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 易错必刷题型08.幂的混合运算 典题特征：一道题里同时有乘方、乘法、除法多种幂的运算混合在一起 易错点：不按先乘方、后乘除的顺序算；几种幂的公式来回用混；一步符号错，整道题全错 28．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 29．若，则满足条件的x值为_______． 【答案】或2 【分析】本题考查了整式的幂运算，任意非零数的零次幂等于1；1的任意次幂均等于1；的偶次幂等于1，据此分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当，则； 当时，则； 当时，则，此时（舍去）， 故答案为：或2． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型09.计算单项式乘多项式求值 典题特征：单项式乘括号里好几项多项式，算完再代入数字求最终结果 易错点：单项式漏乘括号里其中某一项；括号里是负数的时候，正负号相乘变号出错；先代入数字再化简，计算麻烦还容易算错 31．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项即可． 【详解】解：原式 32．已知代数式的值是6，则代数式的值是______． 【答案】 6 【分析】由已知条件可得， 即，将所求三次多项式降次整理，再整体代入计算即可． 【详解】解：代数式的值为， ， 整理得，即， 对变形得：， 将代入得：， 将代入所求代数式得：． 33．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 34．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式法则展开，再去括号合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 易错必刷题型10.多项式乘多项式与图形面积 典题特征：给几何图形边长带字母，列式子算面积，再化简多项式乘积 易错点：列面积式子列错；多项式相乘漏项、少算一组乘积；图形边长关系理解错，式子从开头就列错 35．如图，有A，B，C三种长方形或正方形卡片若干张，小辰用这些卡片拼出一个长，宽的长方形（不重叠、无缝隙），则需要的C类卡片的张数为（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 【答案】D 【分析】求出的展开结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴拼成的长方形的面积为， ∴需要的C类卡片的张数为11． 36．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为． 37．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 38．如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个篮球场的总占地面积． (2)若篮球场每平方米的造价为300元，其余场地每平方米的造价100元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)这两个篮球场的总占地面积是平方米 (2)整个长方形场地的造价为元 【分析】（1）把篮球场平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）根据篮球场每平方米的造价为300元，其余场地每平方米的造价100元，列出代数式即可． 【详解】（1）解： 平方米． 答：这两个篮球场的总占地面积是平方米． （2）解：平方米， 平方米， 元． 答：整个长方形场地的造价为元． 易错必刷题型11.(x+p)(x+q)型多项式乘法 典题特征：两个一次二项式相乘，展开化简成二次三项式 易错点：展开的时候漏乘交叉项；中间一次项的正负号写错；合并同类项合并不干净 39．若，则m的值为（    ） A．7 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 40．若，则________． 【答案】17 【分析】先利用多项式乘多项式法则将展开，然后合并同类项，即可确定、的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴，， ∴． 41．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 易错必刷题型12.单项式乘法求字母或代数式值 典题特征：单项式相乘，结果已知，反过来求式子里面字母是多少 易错点：对应指数不会对等列等式；指数加减算错，求出的字母数值直接出错 42．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 43．若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 44．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 易错必刷题型13.单项式乘多项式求字母的值 典题特征：单项式乘多项式化简后，对比结果，求里面未知字母 易错点：化简过程去括号变号错误；同类项合并错；不会对应相同次数项的系数相等求字母 45．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 46．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 47．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 48．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 易错必刷题型14.多项式乘积不含某项求字母的值 典题特征：多项式相乘展开后，说明不含一次项、二次项，求字母参数 易错点：不知道不含某项就是这项系数等于0；展开化简不彻底，找不准对应项的系数 49．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： ． ∵的展开式中不含项， ∴， ∴． 50．若多项式与多项式的乘积的展开式中不含项与x项，则______． 【答案】5 【分析】先计算，得出，再根据展开式中不含项与x项，求出，，然后求出结果即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项与x项， ∴，， 解得：，， ∴． 51．如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义，求出的值，判断①，根据新定义得到，判断②，将转化为，计算后，根据不含一次项，得到，判断③，根据新定义得到，判断④． 【详解】解：若， 则：， ∴， ∴；故①正确； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为常数， ∴；故②正确； ∵， ∴ ∵代数式（k为正整数）不含一次项， ∴， ∵均为非0常数， ∴， ∴， ∵k为正整数， ∴当时，最大为；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选C． 52．关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 易错必刷题型15.多项式乘法中的规律性问题 典题特征：给一串多项式相乘的式子，找规律、直接写答案、求第n个式子 易错点：看不出式子之间的变化规律；找对规律，代入数字计算又算错；不会用通项式子直接推导 53．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________．                                     1                                1  1                       1  2  1               1  3  3  1      1  4  6  4  1               …                               … 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． 观察可知把看成常数，从左往右数，的第三项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，把b看成常数， ∴从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第三项的系数为， 而中， 第三项的系数是10， 故答案为：10． 54．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律有如下几个结论：展开式有项，系数和为的结果是展开式中，系数最大为． 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据规律分析即可． 【详解】解：当时，项数为一项，系数和为；当时，项数为两项，系数和为；当时，项数为三项，系数和为；当时，项数为四项，系数和为；当时，项数为五项，系数和为；当时，项数为六项，系数和为；当时，项数为七项，系数和为；……， 由此规律得：展开式的项数为项，系数和为，故①错误； 由，则， 所以，故②正确； 当时，展开式中，系数最大为，故③正确， 综上，正确的有②③． 55．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； …… [归纳] (1)由此可得：______； [应用] (2)______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）认真分析题干过程，进行总结归纳，即可作答． （2）充分理解题意，运用进行分析，即可作答． （3）先把整理得出，再结合前面的结论进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：由（1）得 ； 故答案为：； （3）解： ． 易错必刷题型16.运用平方差公式进行运算 典题特征：两个式子一项完全相同、一项互为相反，用平方差公式简便计算 易错点：分不清谁是相同项、谁是相反项；乱用公式，不是平方差的形式也硬套；最后忘记两个数都要平方 56．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的结构为，使用条件为两个相乘的多项式中，一项相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】A 选项：，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； B 选项：，两个多项式中两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意； C 选项：，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； D 选项： ，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意． 57．阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． 【答案】 【分析】仿照题目示例，构造平方差公式即可求解． 【详解】解：原式=   = 58．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 易错必刷题型17.平方差公式与几何图形 典题特征：用大小正方形割补拼接图形，结合面积推导、运用平方差公式 易错点：看不懂图形割补前后的面积关系；不会把图形面积转化成平方差式子；公式套用错误 59．如图（1），在边长为的正方形纸片中，剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图（2）），通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算图（1）和图（2）中阴影部分的面积，根据剪拼前后面积相等建立等式即可得出结果． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积， 即， 图（2）中阴影部分拼成了一个长方形，其长为，宽为， 即， ∵ 剪拼前后阴影部分的面积不变， ∴． 60．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【答案】①②③ 【分析】通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：（，可以验证平方差公式． 61．如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 【探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为_____， 图2中阴影部分的面积为_____； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是：_____． [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则_____； ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①4；② 【分析】本题考查了图形面积与乘法公式，平方差公式的应用及变形应用，掌握公式结构特点是解题的关键． （1）图1中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积即可求得；图2中阴影部分的面积利用长方形面积计算即可；根据两图中阴影部分面积相等即可得到乘法公式； （2）①由，得，把数值代入即可求解； ②根据算式特点，式子乘，然后从左到右依次利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即；图2中阴影部分的面积即长方形面积为：； 两部分面积相等，故有； 故答案为：，，； （2）①∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 易错必刷题型18.运用完全平方公式进行运算 典题特征：一个二项式整体平方，展开化简计算 易错点：最容易漏写中间2ab这一项；完全平方和、完全平方差两个公式记混；平方后正负号判断错误 62．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 63．若有理数n满足，则代数式______． 【答案】/ 【分析】观察代数式特点，考虑用完全平方公式变形解决问题，令，，可得，，求出即可． 【详解】解：令，， 则，， ∴， ∴， ∴， 即． 64．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）原式先根据幂的运算法则进行化简，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； （2）原式根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型19.完全平方公式与几何图形 典题特征：正方形分割成好几块小图形，用面积套用完全平方公式计算 易错点：不会把图形面积对应成完全平方公式；图形边长对应关系找错；公式正负号带错 65．下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别用两种方式表示各选项的阴影面积，进而判断即可． 【详解】解：A．阴影面积可表示为或，即，符合题意； B．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； C．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； D．阴影面积可表示为或，即，不符合题意． 66．已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 【答案】7 【分析】用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以， 即， ， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ． 67．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：，将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 易错必刷题型20.整式乘法混合运算 典题特征：一道题里同时有多项式相乘、平方差、完全平方、加减合并一起运算 易错点：运算顺序混乱，乱算一通；乘法公式随便乱用；去括号、移项的时候正负号全部变错 68．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．通过平方差公式进行化简，再合并即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 69．若表示一种新的运算，其运算法则为，的值为___． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据新定义列出式子，然后根据单项式乘多项式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 70．已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据整式乘法运算法则进行计算即可； （2）的值与x的取值无关，得出，最后将代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：的值与x的取值无关， ， ， 当时，． 易错必刷题型21.多项式乘多项式--化简求值 典题特征：先多项式相乘展开化简，再给字母数值，代入算最终结果 易错点：不先化简，直接带数字硬算，计算量大容易算错；展开过程漏项、合并同类项出错 71．已知，则代数式的值为_____________． 【答案】 【分析】先根据整式混合运算法则化简所求代数式，再利用已知等式得到，整体代入化简后的结果计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 72．若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 73．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 易错必刷题型22.完全平方公式变形求值 典题特征：已知a+b、ab的值，不用解方程，套完全平方变形公式求平方和、差的平方 易错点：记不住公式变形形式；该加2ab写成减2ab，符号完全弄反；代入数值时代错数字 74．已知，，则（    ） A．84 B．74 C．64 D．54 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为含和的形式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：由完全平方公式可得， 变形得 ， ， ． 75．已知，，则______． 【答案】 9 【分析】将已知条件通过完全平方公式变形，整体代入计算即可求解 【详解】解：由完全平方公式得 将，代入上式得 移项得 计算得 两边同除以得 76．已知，，满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对原式进行变形，得到，根据完全平方式的非负性即可确定的取值范围，即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ， 当时，，则有，， ，， 由于、、都是实数，则等号可取到， 的最小值为． 77．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 由图2，可得出三个代数式：之间的等量关系； (1)根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片2张，种纸片2张，种纸片___________张． (2)根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】（1）通过计算，然后问题可求解； （2）①根据完全平方公式的变形可进行求解； ②根据完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴需要C种纸片5张； （2）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． .易错必刷题型23.求完全平方式中的字母系数 典题特征：给一个不完整的完全平方式，求中间未知的字母系数 易错点：不知道系数有正负两种情况，只写出一个答案；找不准首尾平方数，中间系数算错 78．已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， 解得或． 79．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【答案】10或 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，掌握完全平方公式的形式是解题关键，根据完全平方公式的结构，对比多项式系数即可求解m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴中间项系数满足，即或， 解得或． 80．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【详解】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 81．对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得，再根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）先根据新运算的定义可得，则，再利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 易错必刷题型24.多项式除以单项式 典题特征：多项式好几项，分别除以一个单项式，再化简 易错点：多项式其中某一项漏除；负数相除正负号写错；同底数幂相除指数减法算错 82．一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用多项式除以单项式的法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 83．已知，则____________． 【答案】54 【分析】本题考查了多项式除以单项式，化简求值，正确的计算，利用整体思想进行求值是解题的关键． 将多项式除以后，得到，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：原式 由 ，得 ，， ∴原式 ． 故答案为：． 84．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)，54 【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法以及积的乘方进行计算即可； （2）根据积的乘方以及单项式的乘除运算进行计算即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可； （5）根据完全平方公式以及多项式除以单项式进行化简，再代数求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； 将，代入， 原式． 易错必刷题型25.用科学记数法表示数的除法 典题特征：两个科学记数法的数相除，计算后还得化成标准科学记数法 易错点：前面系数除法算错；10的指数减法算错；算完结果不化成标准a×10ⁿ格式 85．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 86．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 87．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： （2）解： 易错必刷题型26.整式四则混合运算 典题特征：同时包含乘方、乘除、加减、括号的整式综合计算题 易错点：有括号不先算括号里面；先算加减再算乘除，顺序完全颠倒；一步符号错误，整道题全错 88．灵宝市是河南省最大的苹果种植基地，以出产苹果而闻名．某农户租两块土地种植苹果，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算第二块长方形面积与第一块正方形面积的差，通过多项式展开和简化得到结果即可；本题主要考查了整式混合运算的应用，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵第一块地面积为，第二块地面积为， ∴第二块比第一块多的面积为： ； 故选：B． 89．已知，则的值为______． 【答案】48或 【分析】先利用等式的性质求出m的值，再利用整式的四则混合运算法则化简，最后代入求值． 【详解】解：，， ∴ 当时，原式； 当时，原式， 综上，的值为48或． 90．化简： 【答案】 【分析】运用完全平方公式、平方差公式展开原式括号部分，再合并同类项，最后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 易错必刷题型27.整式的混合运算 典题特征：综合所有整式乘、除、乘法公式、化简合并的大题 易错点：公式来回混用、记串；步骤多中间随便跳步；化简到最后同类项不合并，答题不完整 91．如果，那么代数式的值为________． 【答案】 9 【分析】先将所求代数式展开化简，整理为用已知条件表示的形式，再整体代入计算即可． 【详解】解： 原式． 92．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 93．计算： (1)； (2)化简：； (3)简便计算： 【答案】(1)5 (2) (3)1 【分析】（1）先运用零次幂、负整数次幂、积的乘方的逆用化简，然后再计算即可； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （3）先把原式化成完全平方公式的形式，然后运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 易错必刷题型28.新定义运算 典题特征：题目重新定义一个新运算符号，套用整式乘除规则列式计算. 易错点：看不懂题目新定义的规则，直接按普通运算做题；套公式时代错字母、代错式子；化简过程粗心算错 94．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 【答案】 【分析】根据题目中规定的运算方式列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 95．对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据题意得出，从而得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 96．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 97．规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按新定义规则依次验证四个说法，最后利用整式恒成立条件求解参数即可． 【详解】解： ①将进行第1次X变换后得到的结果为，进行第2次X变换后得到的结果为；故①正确； ②将进行第1次Y变换得，进行第2次Y变换得，故②错误； ③两次X得； 先X后Y得：； 先Y后X得； 两次Y得，共4种不同结果，故③错误； ④有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得：， ∵有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，， ∴， ， ∴ ， ∵对任意实数x，恒成立， ∴对任意实数x，恒成立， ∴， 解得：，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 98．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题： (1)填空：________； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义展开并合并同类项得到化简结果，再根据代数式中不含的一次项列方程并解方程即可； （3）根据新定义展开并合并同类项得到化简结果，再把已知条件变形并整体代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ， 的代数式中不含的一次项， ， ． （3）解： ， ， ， 原式 99．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”、如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)判断下列各组多项式是否互为“对消多项式”，如果是求出它们的“对消值”． ①与；②与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求a和b为_____，它们的“对消值”为_____； (3)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)①组多项式不是互为“对消多项式”，②组多项式是互为“对消多项式”，“对消值”是 (2)，1；2 (3)28 【分析】（1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得的值，再代入求解； （3）先求得，再将原式进行配方变形进行求解； 【详解】（1）解：， ， ∴①组多项式不是互为“对消多项式”，②组多项式是互为“对消多项式”，“对消值”是； （2）解：， ， ∵A与互为“对消多项式”， ， ， ∴它们的“对消值”为； （3）解：， ， ∵C与互为“对消多项式”且“对消值”为， ，， ， ， ， ∴代数式的最小值是28． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01整式的乘除易错必刷题型专项训练 本专题汇总整式的乘除全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.幂的乘方的逆用 题型02.积的乘方运算 题型03.负整数指数幂 题型04.科学记数法表示绝对值小于1的数 题型05.同底数幂乘法的逆用 题型06.积的乘方的逆用 题型07.同底数幂除法的逆用 题型08.幂的混合运算 题型09.计算单项式乘多项式求值 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型12.单项式乘法求字母或代数式值 题型13.单项式乘多项式求字母的值 题型14.多项式乘积不含某项求字母的值 题型15.多项式乘法中的规律性问题 题型16.运用平方差公式进行运算 题型17.平方差公式与几何图形 题型18.运用完全平方公式进行运算 题型19.完全平方公式与几何图形 题型20.整式乘法混合运算 题型21.多项式乘多项式--化简求值 题型22.完全平方公式变形求值 题型23.求完全平方式中的字母系数 题型24.多项式除以单项式 题型25.用科学记数法表示数的除法 题型26.整式四则混合运算 题型27.整式的混合运算 题型28.新定义运算 易错必刷题型01.幂的乘方的逆用 典题特征：给一个高次幂，拆成两个幂相乘/乘方的形式，用来简便计算、比大小、求字母值 易错点：分不清指数该拆分相乘还是相加，随便乱拆指数；逆用公式时和普通幂的乘方搞混，越算越错 1．若，则的值为______． 2．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知正整数满足，则___________． 4．对于任意有理数，定义一种幂的新运算：．例如：．请根据上述运算规则解答下列问题： (1)求的值； (2)已知 ，求的值． 易错必刷题型02.积的乘方运算 典题特征：括号里是多个数、字母相乘，整体带乘方，进行整体化简计算 易错点：只给前面数字乘方，漏掉后面字母也要一起乘方；负数乘方分不清奇偶次，正负号写反 5．计算：_______． 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 8．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型03.负整数指数幂 典题特征：出现带负号的指数，求式子化简、直接计算数值 易错点：直接把负指数当成负数去算；不会倒数变形，化简后还带着负指数；底数是分数时颠倒分子分母出错 9．如果，那么的值为______． 10．若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 11．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 12．计算： (1) (2) 易错必刷题型04.科学记数法表示绝对值小于1的数 典题特征：极小的小数，要求写成a×10的负几次方的形式 易错点：10右上角负指数的个数数错；前面a的数字大于10或者小于1，不符合标准格式 13．某种球形病毒的直径大约为，则数用科学记数法表示为_____ ． 14．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 15．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 易错必刷题型05.同底数幂乘法的逆用 典题特征：已知两个幂相加、给出指数和，反过来拆分幂去计算求值 易错点：不会逆向拆分指数；和幂的除法逆用记混，该加指数反而去减指数 16．，，则的值为______． 17．若，，则________． 18．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 19．已知，． (1)求的值： (2)求的值． 易错必刷题型06.积的乘方的逆用 典题特征：两个底数不同、指数相同的幂相乘，反过来合并成一个积的乘方简便运算 易错点：指数不一样也硬套公式合并；正负号合并的时候判断错误，结果符号写错 20．计算（ ） A．1 B． C． D． 21．已知，，n为正整数，则________． 22．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 23．计算： (1) (2) 易错必刷题型07.同底数幂除法的逆用 典题特征：已知大数幂，拆成两个同底数幂相除的形式做题 易错点：逆用的时候指数该相减，偏偏做成相加；和乘法逆用完全混淆，公式乱用 24．若，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 25．已知，，则____________． 26．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么________； （2）如果，，那么________． 27．按要求解答下列各小题： (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求的值． 易错必刷题型08.幂的混合运算 典题特征：一道题里同时有乘方、乘法、除法多种幂的运算混合在一起 易错点：不按先乘方、后乘除的顺序算；几种幂的公式来回用混；一步符号错，整道题全错 28．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 29．若，则满足条件的x值为_______． 30．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型09.计算单项式乘多项式求值 典题特征：单项式乘括号里好几项多项式，算完再代入数字求最终结果 易错点：单项式漏乘括号里其中某一项；括号里是负数的时候，正负号相乘变号出错；先代入数字再化简，计算麻烦还容易算错 31．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 32．已知代数式的值是6，则代数式的值是______． 33．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 34．先化简，再求值：，其中，． 易错必刷题型10.多项式乘多项式与图形面积 典题特征：给几何图形边长带字母，列式子算面积，再化简多项式乘积 易错点：列面积式子列错；多项式相乘漏项、少算一组乘积；图形边长关系理解错，式子从开头就列错 35．如图，有A，B，C三种长方形或正方形卡片若干张，小辰用这些卡片拼出一个长，宽的长方形（不重叠、无缝隙），则需要的C类卡片的张数为（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 36．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 37．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 38．如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个篮球场的总占地面积． (2)若篮球场每平方米的造价为300元，其余场地每平方米的造价100元，求整个长方形场地的造价． 易错必刷题型11.(x+p)(x+q)型多项式乘法 典题特征：两个一次二项式相乘，展开化简成二次三项式 易错点：展开的时候漏乘交叉项；中间一次项的正负号写错；合并同类项合并不干净 39．若，则m的值为（    ） A．7 B． C． D．1 40．若，则________． 41．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 易错必刷题型12.单项式乘法求字母或代数式值 典题特征：单项式相乘，结果已知，反过来求式子里面字母是多少 易错点：对应指数不会对等列等式；指数加减算错，求出的字母数值直接出错 42．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 43．若，，则____________． 44．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 易错必刷题型13.单项式乘多项式求字母的值 典题特征：单项式乘多项式化简后，对比结果，求里面未知字母 易错点：化简过程去括号变号错误；同类项合并错；不会对应相同次数项的系数相等求字母 45．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 46．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 47．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 48．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 易错必刷题型14.多项式乘积不含某项求字母的值 典题特征：多项式相乘展开后，说明不含一次项、二次项，求字母参数 易错点：不知道不含某项就是这项系数等于0；展开化简不彻底，找不准对应项的系数 49．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 50．若多项式与多项式的乘积的展开式中不含项与x项，则______． 51．如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 52．关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 易错必刷题型15.多项式乘法中的规律性问题 典题特征：给一串多项式相乘的式子，找规律、直接写答案、求第n个式子 易错点：看不出式子之间的变化规律；找对规律，代入数字计算又算错；不会用通项式子直接推导 53．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________．                                     1                                1  1                       1  2  1               1  3  3  1      1  4  6  4  1               …                               … 54．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律有如下几个结论：展开式有项，系数和为的结果是展开式中，系数最大为． 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 55．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； …… [归纳] (1)由此可得：______； [应用] (2)______； (3)计算：． 易错必刷题型16.运用平方差公式进行运算 典题特征：两个式子一项完全相同、一项互为相反，用平方差公式简便计算 易错点：分不清谁是相同项、谁是相反项；乱用公式，不是平方差的形式也硬套；最后忘记两个数都要平方 56．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 57．阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． 58．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型17.平方差公式与几何图形 典题特征：用大小正方形割补拼接图形，结合面积推导、运用平方差公式 易错点：看不懂图形割补前后的面积关系；不会把图形面积转化成平方差式子；公式套用错误 59．如图（1），在边长为的正方形纸片中，剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图（2）），通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 60．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 61．如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 【探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为_____， 图2中阴影部分的面积为_____； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是：_____． [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则_____； ②计算：． 易错必刷题型18.运用完全平方公式进行运算 典题特征：一个二项式整体平方，展开化简计算 易错点：最容易漏写中间2ab这一项；完全平方和、完全平方差两个公式记混；平方后正负号判断错误 62．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 63．若有理数n满足，则代数式______． 64．计算 (1)； (2)． 易错必刷题型19.完全平方公式与几何图形 典题特征：正方形分割成好几块小图形，用面积套用完全平方公式计算 易错点：不会把图形面积对应成完全平方公式；图形边长对应关系找错；公式正负号带错 65．下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（    ） A． B． C． D． 66．已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 67．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 易错必刷题型20.整式乘法混合运算 典题特征：一道题里同时有多项式相乘、平方差、完全平方、加减合并一起运算 易错点：运算顺序混乱，乱算一通；乘法公式随便乱用；去括号、移项的时候正负号全部变错 68．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 69．若表示一种新的运算，其运算法则为，的值为___． 70．已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 易错必刷题型21.多项式乘多项式--化简求值 典题特征：先多项式相乘展开化简，再给字母数值，代入算最终结果 易错点：不先化简，直接带数字硬算，计算量大容易算错；展开过程漏项、合并同类项出错 71．已知，则代数式的值为_____________． 72．若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 73．先化简，再求值：，其中． 易错必刷题型22.完全平方公式变形求值 典题特征：已知a+b、ab的值，不用解方程，套完全平方变形公式求平方和、差的平方 易错点：记不住公式变形形式；该加2ab写成减2ab，符号完全弄反；代入数值时代错数字 74．已知，，则（    ） A．84 B．74 C．64 D．54 75．已知，，则______． 76．已知，，满足，则的最小值为________． 77．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 由图2，可得出三个代数式：之间的等量关系； (1)根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片2张，种纸片2张，种纸片___________张． (2)根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． .易错必刷题型23.求完全平方式中的字母系数 典题特征：给一个不完整的完全平方式，求中间未知的字母系数 易错点：不知道系数有正负两种情况，只写出一个答案；找不准首尾平方数，中间系数算错 78．已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 79．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 80．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 81．对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 易错必刷题型24.多项式除以单项式 典题特征：多项式好几项，分别除以一个单项式，再化简 易错点：多项式其中某一项漏除；负数相除正负号写错；同底数幂相除指数减法算错 82．一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 83．已知，则____________． 84．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)先化简，再求值：，其中，． 易错必刷题型25.用科学记数法表示数的除法 典题特征：两个科学记数法的数相除，计算后还得化成标准科学记数法 易错点：前面系数除法算错；10的指数减法算错；算完结果不化成标准a×10ⁿ格式 85．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 86．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 87．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 易错必刷题型26.整式四则混合运算 典题特征：同时包含乘方、乘除、加减、括号的整式综合计算题 易错点：有括号不先算括号里面；先算加减再算乘除，顺序完全颠倒；一步符号错误，整道题全错 88．灵宝市是河南省最大的苹果种植基地，以出产苹果而闻名．某农户租两块土地种植苹果，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多（   ） A． B． C． D． 89．已知，则的值为______． 90．化简： 易错必刷题型27.整式的混合运算 典题特征：综合所有整式乘、除、乘法公式、化简合并的大题 易错点：公式来回混用、记串；步骤多中间随便跳步；化简到最后同类项不合并，答题不完整 91．如果，那么代数式的值为________． 92．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 93．计算： (1)； (2)化简：； (3)简便计算： 易错必刷题型28.新定义运算 典题特征：题目重新定义一个新运算符号，套用整式乘除规则列式计算. 易错点：看不懂题目新定义的规则，直接按普通运算做题；套公式时代错字母、代错式子；化简过程粗心算错 94．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 95．对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 96．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 97．规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 98．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题： (1)填空：________； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 99．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”、如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)判断下列各组多项式是否互为“对消多项式”，如果是求出它们的“对消值”． ①与；②与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求a和b为_____，它们的“对消值”为_____； (3)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $