专题01 期末复习计算专练5大题型80题（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 期末复习计算专练5大题型80题 【新教材沪教版五四制】 【题型1 解一元一次不等式（组）】 1 【题型2 一元一次不等式（组）的整数解】 3 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 3 【题型4 根据一元一次不等式（组）解的情况求参数】 5 【题型5 方程（组）与一元一次不等式（组）的综合】 7 【题型1 解一元一次不等式（组）】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）解下列不等式或不等式组． (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）解不等式（组） (1)解不等式： (2)解不等式组： 5．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 6．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 7．解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组： 8．（24-25七年级下·江苏南通·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1)； (2) 9．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）解不等式或不等式组 (1) (2) 10．（24-25七年级下·吉林四平·期末）解一元一次不等式． 11．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）解不等式组： 12．（24-25八年级下·河南郑州·期末）解不等式组 13．解下列不等式： (1)． (2)． 14．（24-25七年级下·福建厦门·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组： 15．解下列不等式（组）． (1) (2) 【题型2 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）求不等式的正整数解． 2．解不等式，并写出它的自然数解． 3．（24-25七年级下·山东淄博·期末）解不等式：，并写出它的正整数解． 4．求不等式组的自然数解． 5．解不等式组，并求出不等式组的所有整数解． 6．（2025·重庆·三模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 7．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）解不等式组，并求它的所有整数解的和． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解不等式组，并求出它的负整数解． 9．（24-25七年级下·山东济南·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 10．求不等式：的最大整数解． 11．解不等式组，并求出最小整数解． 12．已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 13．解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）解不等式组，并写出这个不等式组的整数解． 15．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）已知不等式组：． (1)解该不等式组． (2)求出该不等式组的所有整数解的和． 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 1．解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 3．解不等式组，并在数轴上表示出来． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解下列不等式（组），并把第（2）题的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 6．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 7．（24-25七年级下·四川广元·期末）解下列不等式（组），并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 8．（24-25七年级下·云南丽江·期末）解不等式组，并把它的解集在下列数轴上表示出来． 9．（24-25七年级下·山东临沂·期末）（1）解不等式：，把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组：，并求所有整数解的和． 10．（24-25七年级下·山东淄博·期末）（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 11．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 12．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组并将解集表示在数轴上： 13．（24-25七年级下·河南许昌·期末）解不等式组，并把该不等式组的解集在数轴上表示出来． 14．（24-25七年级下·四川眉山·期末）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得    第一步 去括号，得   第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得        第四步 系数化为1，得        第五步 (1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______； (2)第______步开始出现错误； (3)任务二：解不等式①得______；解不等式②得______； (4)把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集：______． 【题型4 根据一元一次不等式（组）解的情况求参数】 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 2．已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 3．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 4．已知关于x的一元一次不等式组的解集是，求a的值． 5．嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 6．已知关于的不等式组 (1)若，求这个不等式组的解集； (2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围． 7．已知关于x的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)若不等式组只有2个整数解，求的取值范围． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解，求实数a的取值范围． 10．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 11．已知关于的不等式组 (1)如果该不等式组有解，求的取值范围； (2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围． 12．在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解． (1)当时，求出此时不等式组的解集和整数解； (2)要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围． 13．已知关于x的不等式组 （1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围； （2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 14．已知不等式组 (1)如果此不等式组无解，求a的取值范围，并利用数轴说明； (2)如果此不等式组有解，求a的取值范围，并利用数轴说明． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的不等式组 (1)若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由． (2)若该不等式组有解，求的取值范围． (3)若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围． 16．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于的不等式组 (1)若，求上述不等式组的解集； (2)已知题干中的不等式组有解． ①求的取值范围； ②若不等式组的解集中只含有4个整数解，求的最小值． 17．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 18．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的正整数解． (2)当a取何值时，该不等式有解？并求出其解集． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 20．（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【题型5 方程（组）与一元一次不等式（组）的综合】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．并在数轴上表示出a的取值范围． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）若是方程的解． (1)试确定的值； (2)求不等式的解集． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求代数式的平方根． 7．已知整数满足不等式和不等式，且满足方程，试求代数式的值． 8．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，例如：方程和为“活力方程”． (1)若关于的方程和方程是“活力方程”，求的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为，且分别是关于的不等式组的最大整数解和最小整数解，求的取值范围． 9．定义新概念：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式（组的解，则称该一元一次方程为该不等式（组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以，方程为不等式组的关联方程． (1)若不等式的一个关联方程的解是非零偶数，求此关联方程（求出一个即可）； (2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 10．若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 12．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 13．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 14．（24-25七年级上·重庆潼南·期末）若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？并说明理由； (2)若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求n的最大整数值． 15．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）定义：若一个方程的解使某不等式（组）成立，则称这个方程为该不等式（组）的一个“子系方程”．例：是方程的解，且使不等式成立，则方程为不等式的一个“子系方程”． (1)方程_____不等式的一个“子系方程”（填“是”或“不是”）； (2)下列方程是不等式组的“子系方程”的有_____（填序号）； ①；②；③ (3)关于的不等式组恰有7个整数解，关于的方程的解为整数，若该方程是不等式组的“子系方程”，求有理数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习计算专练5大题型80题 【新教材沪教版五四制】 【题型1 解一元一次不等式（组）】 1 【题型2 一元一次不等式（组）的整数解】 10 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 16 【题型4 根据一元一次不等式（组）解的情况求参数】 26 【题型5 方程（组）与一元一次不等式（组）的综合】 40 【题型1 解一元一次不等式（组）】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组． （1）解一元一次不等式，按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为”的步骤进行，注意系数化为时，若系数为负数不等号方向改变， （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解： 由①得：， 整理得：， 系数化为，得； 由②得：， 整理得：， 系数化为，得， 则不等式组的解集为：． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式、解不等式组． （1）先去括号，再移项合并同类项，系数化为1即可； （2）分别解两不等式，即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）解下列不等式或不等式组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，求不等式组的解集，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解； （2）分别求出两个不等式的解，再写出不等式组的解集． 【详解】（1）解∶， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）解不等式（组） (1)解不等式： (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：去括号得：， 解得：； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 5．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：移项可得：， 合并同类项可得：， ∴原一元一次不等式的解为； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为． 6．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式及解不等式组． （1）不等式两边同时乘以12，再去括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先分别求出两不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】（1） 不等式两边同时乘以12得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： （2）解不等式得 解不等式得 ∴ 7．解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 8．（24-25七年级下·江苏南通·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、不等式的性质求解即可； （2）先分别求得各不等式的解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 9．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）解不等式或不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式组， （1）根据“去括号、移项、合并同类项、系数化为”的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集确定的原则即可得出结论； 解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． （2） 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 10．（24-25七年级下·吉林四平·期末）解一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法和步骤是解题关键．依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 11．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了不等式组解法的相关知识，求解不等式是解题的关键．分别求解不等式组中的两个不等式，然后取它们的交集得到不等式组的解集． 【详解】解： 由不等式得， 由不等式得， 不等式组的解集为． 12．（24-25八年级下·河南郑州·期末）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．根据一元一次不等式组的解法分别解出每个一元一次不等式，再结合数轴求不等式组解集即可． 【详解】解：， 由①去括号得， 解得， 由②去分母得， 整理得：， 解得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图 因此，原不等式组的解集为. 13．解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． （1）按照移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 14．（24-25七年级下·福建厦门·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 则； （2）解：由，解得：， 由，解得：， 则不等式组的解集为． 15．解下列不等式（组）． (1) (2) 【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式和不等式组的解集是解题的关键． （1）先按照去分母、去括号、移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1即可； （2）先求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 【题型2 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3， 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解；正确求解不等式的解是解题的关键． 先求出不等式的解集，再根据x的取值范围求出其正整数解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 不等式的正整数解为：1，2，3，4． 2．解不等式，并写出它的自然数解． 【答案】，或1 【分析】本题考查解一元一次不等式及自然数解，掌握知识点是解题的关键． 根据一元一次不等式的解题步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，逐步计算即可． 【详解】解： 去分母，得． 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 则该不等式的自然数解为或1． 3．（24-25七年级下·山东淄博·期末）解不等式：，并写出它的正整数解． 【答案】不等式的解集为，不等式的正整数解为：1，2 【分析】本题考查了求不等式的解集，先根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后找出其中的正整数解即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 ∴不等式的解集为 ∴不等式的正整数解为：1，2． 4．求不等式组的自然数解． 【答案】不等式组的自然数解为1，2，3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及自然数的概念，解题的关键是分别求出不等式组中两个不等式的解集，再确定它们的公共解集，进而找出自然数解． 先对不等式去分母、去括号、移项、合并同类项求其解集；再对不等式去括号、移项、合并同类项求其解集；然后找出两个解集的公共部分，最后从公共解集中筛选出自然数解． 【详解】解：先解不等式， 去分母得； 去括号得； 移项得； 合并同类项得； 系数化为1得； 再解不等式， 去括号得； 移项得； 合并同类项得； ∴ 不等式组的解集为； ∵ 自然数是指非负整数， ∴ 不等式组的自然数解为1，2，3． ∴该不等式组的自然数解为1，2，3． 5．解不等式组，并求出不等式组的所有整数解． 【答案】，不等式组的所有整数解为，，， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出所有整数解即可． 【详解】解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有整数解为，，，． 6．（2025·重庆·三模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，不等式的所有整数解为0，1，2，3 【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再求出它们公共部分的解集，最后写出它的所有整数解，即可作答． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 则不等式的所有整数解为0，1，2，3． 7．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）解不等式组，并求它的所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集是，所有整数解的和为 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可． 【详解】解：， 由得， 由得， 所以不等式组的解集是， 所以它的整数解为：，，，，，， 所以所有整数解的和为：． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解不等式组，并求出它的负整数解． 【答案】．负整数解为，． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解每一个不等式，再取不等式组的解集，最后确定负整数解． 【详解】解：解不等式①得． 解不等式②得． 所以不等式组的解集为． 所以不等式组的负整数解为，． 9．（24-25七年级下·山东济南·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；2、3、4、5 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先解每个不等式，把解集在数轴上表示出来即可得到不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在此范围内的整数解有：2、3、4、5． 10．求不等式：的最大整数解． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式和求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故原不等式的最大整数解为0． 11．解不等式组，并求出最小整数解． 【答案】； 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意解一元一次不等式的方法．先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其最小整数解即可． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为， 该不等式组的最小整数解为． 12．已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程，从而可以得到a的值． 【详解】解：由不等式可得：， ∴不等式的最小整数是， 根据题意得， 解得， 13．解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0和1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0和1． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）解不等式组，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】；，0，1，2． 【分析】此题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．首先解两个一元一次不等式，然后求两个不等式解集的公共部分，最后写出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解①式得：， 解②式得：， 则不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解：，0，1，2． 15．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）已知不等式组：． (1)解该不等式组． (2)求出该不等式组的所有整数解的和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解．解题的关键是得出不等式组的解集及其整数解的情况． （1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集， （2）根据不等式组的解集，从而知道不等式组的整数解情况，再求和即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 所以不等式组的解集为． （2）由（1）可知不等式组的整数解为，，，0，1，2， 所以所有整数解的和为． 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 1．解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 数轴上表示如图所示： 因此，原不等式组的解集为． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得，     解不等式②，得， 不等式组的解集为， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 3．解不等式组，并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式在数轴上的表示，熟练掌握解不等式的基本方法及数轴的表示方法是解此题的关键．首先解第一个不等式得，其次解第二个不等式得，两个不等式的解集得出后取交集得原不等式组的解集为；在数轴上表示时，在处画实心点（表示包含该点），并向左延伸一条线表示所有小于等于的数，在5处画空心圆（表示不包含该点），并向左延伸一条线表示所有小于5的数，在交集部分画阴影区域表示不等式组的最终解集为． 【详解】解：设， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 将不等式组解集表示在数轴上如下： 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解下列不等式（组），并把第（2）题的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式、不等式组，及不等式组解集在数轴上的表示方法． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上正确表示出来． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 6．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 7．（24-25七年级下·四川广元·期末）解下列不等式（组），并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，画数轴见解析 (2)，画数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）、由数轴表示不等式组解集等知识，熟记一元一次不等式（组）的解法步骤是解决问题的关键． （1）由一元一次不等式的解法步骤：去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1求出表达式解集，再由数轴上表示不等式解集的方法求解即可得到答案； （2）先解出不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求不等式组的解集，再由数轴上表示不等式解集的方法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 在数轴上表示解集为： ； （2）解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示解集为： 8．（24-25七年级下·云南丽江·期末）解不等式组，并把它的解集在下列数轴上表示出来． 【答案】，图见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，先求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 9．（24-25七年级下·山东临沂·期末）（1）解不等式：，把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组：，并求所有整数解的和． 【答案】（1）；见解析；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及求一元一次不等式组的整数解． （1）根据去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，再在数轴上表示不等式的解集； （2）解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：（1）. 去分母，得. 去括号，得. 移项，得. 合并同类项，得. 系数化为1，得. 其解集在数轴上表示如下： . （2）， 解不等式①，得. 解不等式②，得. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找出两个不等式解集的公共部分，如图. ∴原不等式组的解集. ∴不等式组所有整数解的和为. 10．（24-25七年级下·山东淄博·期末）（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2），不等式组的整数解为，0，1， 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可． 根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并写出整数解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 数轴表示如下： . （2）， 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：， 不等式组的整数解为，0，1， 11．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，正确求得不等式组的解集成为解题的关键． 先分别解出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 把解集在数轴上表示如下： ． 12．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组并将解集表示在数轴上： 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： 13．（24-25七年级下·河南许昌·期末）解不等式组，并把该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出它们的公共部分． 分别求解不等式组中的两个不等式，再根据两个不等式的解集确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 14．（24-25七年级下·四川眉山·期末）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】；数轴见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 它在数轴上的表示如图所示． 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得    第一步 去括号，得   第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得        第四步 系数化为1，得        第五步 (1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______； (2)第______步开始出现错误； (3)任务二：解不等式①得______；解不等式②得______； (4)把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集：______． 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)三 (3)； (4)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集． （1）根据不等式的基本性质，进行作答； （2）根据移项需要变号可知第三步出错； （3）按照解一元一次不等式的步骤求解即可； （4）确定不等式组的解集，把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的基本性质2； 故答案为：不等式的基本性质2； （2）解：第三步移项出错，移项没有改变符号； 故答案为：三； （3）解：， ， ， ， ； ， ， ； 故答案为：；； （4）解：不等式组的解集为：； 如图： 【题型4 根据一元一次不等式（组）解的情况求参数】 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． 2．已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解以及一元一次不等式组的求解，解题的关键是先求出方程组的解，再根据的取值范围列出不等式组求解． 先通过解二元一次方程组求出和关于的表达式，进而得到关于的表达式，再根据的取值范围列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：解方程组， 得， ， 又∵， ， 解得． 3．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 4．已知关于x的一元一次不等式组的解集是，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，由不等式组解得情况求参数．由①式得，由不等式组的解集是，可分和两种情况分解求解即可． 【详解】解： 解①式得：， ②， ∵不等式组的解集是， ∴当，即时， 此时，解得：， 当， 即， 此时，与不符，故舍去， 综上：． 5．嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，确定解集的方法，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． （1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为，再确定范围即可； 【详解】（1）解： 解不等式得， ∴， ∴ 解不等式得， ∴， ∴ ∴不等式组的解集为． （2）解：， 设常数“□”为m， ∵， ∴， ∴ ∴不等式的解集为 又∵不等式的解集为， 而不等式组的解集为 ∴， ∴． ∴． 6．已知关于的不等式组 (1)若，求这个不等式组的解集； (2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据解集的情况求参数的范围： （1）先求解不等式组得到解集，然后将代入即可； （2）根据（1）求得的解集结合有3个整数解的条件即可解答． 【详解】（1）解：． 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴当时，， ∴不等式组的解集是． （2）∵不等式组的整数解共有3个， ∴由（1）可知： ∴整数解是，0，1， ∴， ∴的取值范围是． 7．已知关于x的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)若不等式组只有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)，作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能求出关于a的不等式或不等式组的解集是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解得出，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 当时，由②可得，解得：， 所以不等式组的解集是； 在数轴上表示如下： ． （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组只有2个整数解， ∴，即． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后根据不等式组有解得到，进而求解即可． 本题主要考查了解不等式组、根据不等式解得情况求参数等知识点，正确求出不等式的解集是解答本题的关键． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 不等式组有解， ． 10．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 11．已知关于的不等式组 (1)如果该不等式组有解，求的取值范围； (2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组有解得出，解关于a的不等式即可； （2）不等式组有个整数解得出，解关于a的不等式组即可． 【详解】（1）解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． （2）解：关于的不等式组的解集为：， ∵该不等式组有个整数解， ∴四个整数解为，4，5，6， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键是根据不等式组解的情况列出关于a的不等式或不等式组． 12．在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解． (1)当时，求出此时不等式组的解集和整数解； (2)要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)不等式组的解集为，整数解为 (2) 【分析】（1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集和整数解； （2）求出每个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为，整数解为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵使不等式组只有2个整数解， ∴， 解得， 即m的取值范围是． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法及整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 13．已知关于x的不等式组 （1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围； （2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a的不等式组，从而求解； （2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，得出关于a的不等式组，从而求解． 【详解】解：（1）解不等式，得． 解不等式，得， ∵该不等式组有且只有三个整数解， ∴这三个整数解为3，4，5． ∴． ∴． （2）∵该不等式组有解，由（1）知． ∴该不等式组的解集为． 又它的解集中的任何一个值均不在的范围内， ∴． 解不等式组得符合题意的a的取值范围为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14．已知不等式组 (1)如果此不等式组无解，求a的取值范围，并利用数轴说明； (2)如果此不等式组有解，求a的取值范围，并利用数轴说明． 【答案】(1)，画数轴见解析 (2)，画数轴见解析 【分析】（1）根据题目给定的条件，利用求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），结合数轴求a的范围即可； （2）根据题目给定的条件，利用求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），结合数轴求a的范围即可． 【详解】（1）解：若不等式组无解，说明属于“大大小小无处找”或的情形， 因此a的取值范围为， 数轴如下： （2）解：若有解，则与（1）的情形相反，a应取以外的数， 所以a的取值范围为， 数轴如下： 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的不等式组 (1)若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由． (2)若该不等式组有解，求的取值范围． (3)若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围． 【答案】(1)不是该不等式组的解，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）求得不等式组的解集即可判断； （2）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可； （3）求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解和为，探讨得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：若，则 解不等式组得， 不是该不等式组的解； （2）解不等式得，， 该不等式组有解， ， ； （3）若该不等式组所有整数解的和为，则整数解为、或、、、、， 或， 解得或． 16．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于的不等式组 (1)若，求上述不等式组的解集； (2)已知题干中的不等式组有解． ①求的取值范围； ②若不等式组的解集中只含有4个整数解，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】（1）若，分别求出两个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得不等式组的解集； （2）①分别求出两个不等式的解集为，，根据不等式组有解，可得 ，即可求出的范围．②由①得不等式组的解集为，由不等式组的解集中只含有4个整数解，可得，进而可求得的范围． 【详解】（1）解：当时，解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为； （2）解：①解不等式①得， 解不等式②得． 不等式组有解， ， ． ②由题意得不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中只含有4个整数解， 这4个整数解为，，，， ， 解得， ∴的最小值为1． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法与不等式的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 17．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式解集的定义，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”是解题的关键． （1）分别解出两个不等式，再根据解相同列方程求解即可； （2）根据题意列出关于m的不等式，即可得解． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 两个不等式的解集完全相同， ， ． （2）解：不等式的所有解都能使不等式成立， ， 解得． 18．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的正整数解． (2)当a取何值时，该不等式有解？并求出其解集． 【答案】(1)不等式的正整数解为1，2，3 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． （1）把代入不等式，求出解集即可； （2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出a的范围，进而求出解集即可． 【详解】（1）解：将代入不等式，得， 去分母，得， 解得， 所以此不等式的正整数解为1，2，3． （2）解：由得， 整理得，即， 所以当，即时，该不等式有解． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 20．（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 【题型5 方程（组）与一元一次不等式（组）的综合】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为负数， ， 解得， 的取值范围为； （2）解：， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为． 整数． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．并在数轴上表示出a的取值范围． 【答案】，数轴见解析． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解题的关键． 先用a表示出x和y的值，再由得出关于a的不等式，求a的取值范围．并在数轴上表示出a的取值范围即可． 【详解】解：， ①+②得，， 解得； ①②得，， 解得， ， ， 解得 在数轴上表示为： 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）若是方程的解． (1)试确定的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程和解一元一次不等式，解题关键是掌握相关知识． （1）把代入方程即可求解； （2）当时，原不等式为，然后解不等式即可求解． 【详解】（1）解： 是方程的解， ， 解得； （2）解： ， 原不等式为， 解得． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】先解不等式组得，进而得最小整数解为，将代入方程 求出m的值为2，再将代入求得结果为1，由1的平方根是即可得解． 本题考查了解不等式组，解一元一次方程，以及求一个数的平方根．熟练掌握以上知识，求出x和m的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为：，它的最小整数解为． 由题意得是关于的方程的解， ∴， 解得， ∴， ∵1的平方根是， ∴的平方根是． 7．已知整数满足不等式和不等式，且满足方程，试求代数式的值． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，一元一次方程的解，解此题的关键是能求出不等式组的解集．求得两个不等式的公共部分，从而求得整数的值，代入方程，即可求得的值，代入代数式求得值即可． 【详解】解：两不等式组成不等式组：， ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集， ∴整数， ∴， 解得． ∴． 8．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，例如：方程和为“活力方程”． (1)若关于的方程和方程是“活力方程”，求的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为，且分别是关于的不等式组的最大整数解和最小整数解，求的取值范围． 【答案】(1)6或 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，求不等式组的解集． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“活力方程”得出，再求出的值即可； （2）先求得不等式组的解集，再判断出，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：解关于的方程，得， 解方程，得． 关于的方程和方程是“活力方程”， ， 解得或； （2）解：解关于的不等式组， 得， ∴， 分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且为“活力方程”的两个解． ∴， ∴， ∴． 9．定义新概念：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式（组的解，则称该一元一次方程为该不等式（组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以，方程为不等式组的关联方程． (1)若不等式的一个关联方程的解是非零偶数，求此关联方程（求出一个即可）； (2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解答此题的关键． （1）解不等式组得出其零偶数解，再写出以此解为解得一元一次方程即可得； （2）解不等式组得出，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】（1）解：解不等式组得：， 因此不等式组的非零偶数解为，， 则该不等式的关联方程为（答案不唯一）． （2）解：解不等式组，得：． 方程的解为，方程的解为， ， 的取值范围为． 10．若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题主要考查了解不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集为，得出整数解为，代入，求出a的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 所以整数解为， 把代入已知方程得：， 解得； 所以的值为． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，解各方程求得对应的解，然后根据定义进行判断即可； （2）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后求得其整数解，将其代入中解得m的值即可． 【详解】（1）解：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ①， 解得：， ∵，故①不符合题意； ②， 解得：， ∵，故②不符合题意； ③， 解得：， ∵，故③符合题意； 综上所述，不等式组的关联方程是③， 故答案为：③； （2） 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其整数解为， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是， ∴， 解得：， ∴常数的值为． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，正确理解关联方程的定义是解题的关键． 12．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解新定义得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． （1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程①得：， 解方程②得：， 解方程③得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 13．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，代入即可求解． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴， 解得； （2）解：解不等式，得， ∴该不等式的最大整数解是， ∵该方程的解是不等式的最大整数解， ∴，解得． 14．（24-25七年级上·重庆潼南·期末）若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？并说明理由； (2)若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求n的最大整数值． 【答案】(1)方程的解不是不等式的“友好解”，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）先解方程和不等式，可知不是不等式的解，即可判断； （2）先解求出，再代入计算即可； （3）由，得：，由得：，根据方程的解是不等式的“友好解”，列不等式计算即可． 【详解】（1）解：解得：， 解得：， ∵不是不等式的解， ∴方程的解不是不等式的“友好解”． （2）解：解，得：， ∵关于、的方程组的解是不等式的“友好解”， ∴，解得． （3）解：由，得： ，解得：， 由得：， ∵方程的解是不等式的“友好解”， ∴， 解得：． ∴n的最大整数值为． 15．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）定义：若一个方程的解使某不等式（组）成立，则称这个方程为该不等式（组）的一个“子系方程”．例：是方程的解，且使不等式成立，则方程为不等式的一个“子系方程”． (1)方程_____不等式的一个“子系方程”（填“是”或“不是”）； (2)下列方程是不等式组的“子系方程”的有_____（填序号）； ①；②；③ (3)关于的不等式组恰有7个整数解，关于的方程的解为整数，若该方程是不等式组的“子系方程”，求有理数． 【答案】(1)是； (2)②③； (3)或或4 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和解一元一次不等式组的方法是解答此题的关键． （1）分别解方程和不等式，再根据“子系方程”的定义判断即可； （2）分别解方程和不等式组，根据“子系方程”的定义判断即可； （3）依据题意，由“子系方程”的定义以及该不等式组有7个整数得出，由关于x的方程的解为整数得出或或4． 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 所以方程是不等式的一个“子系方程”， 故答案为：是； （2）解不等式组得，， 解①，得， 解②，得， 解③，得， 所以是不等式组的“子系方程”的有②③； 故答案为：②③； （3）解方程，得， 解不等式组，得， ∵不等式组恰有7个整数解， ∴， ∴， ∵方程是不等式组的“子系方程”， ∴， 解得：， ∴， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或或4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $