专题02 三角恒等变换（8大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学下学期苏教版必修第二册

专题02 三角恒等变换（8大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 两角和与差的余弦】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单2 两角和与差的正弦】 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单3 两角和与差的正切】 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【知识清单4 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【知识清单5 几个三角恒等式】 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识清单6 三角恒等变换思想】 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 题型1 两角和与差的三角函数 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一下·江西吉安·期末）__________． 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型2 二倍角公式 6．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知角的终边过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知，则___________． 10．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型3 利用三角恒等变换化简、求值 11．（24-25高一下·青海海南·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D．2或 12．（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·甘肃甘南·期末）已知，则的值为_________. 15．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，． (1)求； (2)求； (3)求． 题型4 辅助角公式的应用 16．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 18．（24-25高一下·四川宜宾·期末）已知函数，则（   ） A．若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B．当，时，的值域为 C．当时，是的对称中心 D．若在内有且仅有两个零点，则 19．（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是__________. 20．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 题型5 给值求值型问题 21．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知，则_________. 25．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 题型6 给值求角型问题 26．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为_________. 30．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 题型7 三角恒等变换的化简问题 31．（24-25高一下·山东德州·期末）已知函数，是偶函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·河南开封·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最大值为2 B．函数的单调递增区间是 C．函数的图象关于点中心对称 D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 34．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________. 35．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 题型8 三角恒等式的证明 36．（24-25高一下·江西萍乡·期末）（1）求证：； （2）已知，，求的值． 37．（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 38．（24-25高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 39．（2025高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 40．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换（8大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 两角和与差的余弦】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单2 两角和与差的正弦】 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单3 两角和与差的正切】 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【知识清单4 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【知识清单5 几个三角恒等式】 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识清单6 三角恒等变换思想】 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 题型1 两角和与差的三角函数 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据同角三角函数关系结合角的象限计算得出，最后应用两角和正弦公式计算求解. 【解答过程】因为为第二象限角，且， 所以， 则. 故选：B. 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和角的正切公式可得，结合角的范围即得答案. 【解答过程】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 3．（24-25高一下·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】应用两角和余弦公式计算求解. 【解答过程】， 故选：A. 4．（24-25高一下·江西吉安·期末）__________． 【答案】 【解题思路】利用诱导公式与和差公式计算即可. 【解答过程】原式 . 故答案为：． 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【解答过程】（1）因，则. 从而； （2）因，则. 从而. 题型2 二倍角公式 6．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【解答过程】由二倍角公式得. 故选：D. 7．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以，又， 所以. 故选：C. 8．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知角的终边过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角函数的定义求出，然后利用诱导公式及二倍角公式求解． 【解答过程】角的终边过点，则，所以， 从而． 故选：A． 9．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知，则___________． 【答案】 【解题思路】利用诱导公式得到，由余弦二倍角公式求出答案. 【解答过程】由可得， 故. 故答案为：. 10．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题可得，然后由二倍角的正切公式可得答案； （2）由两角差的正弦公式可得答案. 【解答过程】（1）因，是锐角，则. 从而，则； （2）因为，是锐角， 则. 则. 题型3 利用三角恒等变换化简、求值 11．（24-25高一下·青海海南·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D．2或 【答案】B 【解题思路】由两角差正切公式可得，再由同角三角函数基本关系及二倍角公式化简求解. 【解答过程】由，得，解得， 而. 故选：B. 12．（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【解答过程】， ． 故选：A. 13．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解. 【解答过程】由得， 即，所以 ∵是第四象限角，∴. 所以. 故选：D. 14．（24-25高一下·甘肃甘南·期末）已知，则的值为_________. 【答案】 【解题思路】由条件根据两角和正弦公式可得，再由诱导公式可得，结合二倍角公式求结论. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由题设及和角正弦公式可得，两侧平方并应用平方关系、二倍角正弦公式即可得； （2）应用平方关系求得，再由差角余弦公式即可得； （3）由已知及二倍角余弦公式得，结合角的范围即可求值. 【解答过程】（1）由题意知，则， ，则． （2）由题意，则． ， ． （3）， 由题意知，则． 题型4 辅助角公式的应用 16．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简；再利用正弦型函数的性质可求解. 【解答过程】因为函数的最小正周期， 所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：B. 17．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 【答案】D 【解题思路】根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的周期公式、单调性、对称性逐一判断即可. 【解答过程】. A：因为，所以由，因此本选项说法不正确； B：由上可知：， 当时，， 因此函数在上为增函数，所以本选项说法不正确； C：因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确； D：因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，因此本选项说法正确， 故选：D. 18．（24-25高一下·四川宜宾·期末）已知函数，则（   ） A．若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B．当，时，的值域为 C．当时，是的对称中心 D．若在内有且仅有两个零点，则 【答案】B 【解题思路】利用辅助角公式可得，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图象性质可得B正确，将代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个数限定出不等式，解得，可得D错误. 【解答过程】易知， 对于A，若函数相邻两条对称轴的距离为，即可得，因此可得，即A错误； 对于B，当，可得， 当时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又 所以的值域为，即B正确； 对于C，当时，，将代入检验可得， 显然不是的对称中心，即C错误； 对于D，若，可得， 若在内有且仅有两个零点，可得，解得， 因此D错误. 故选：B. 19．（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是__________. 【答案】 【解题思路】利用辅助角公式，得到，再利用正弦型函数单调区间的求法可得到答案. 【解答过程】， ， 令， 解得：， 故答案为： . 20．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 【答案】(1)，函数的单调递增区间为， (2) 【解题思路】（1）利用辅助角公式可得，则可求其最小正周期，利用整体代换法可求其单调递增区间； （2）利用整体代换法求出，由的取值范围为，从而可求解. 【解答过程】（1）由， 则最小正周期为， 令，因为的单调递增区间是，， 所以，，即，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）当时，， 令，则，所以的取值范围为， 由的性质可知，，解得， 所以的最大值为． 题型5 给值求值型问题 21．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可. 【解答过程】因为，所以 . 故选：B. 22．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【解答过程】，故，故， 所以. 故选：D. 23．（24-25高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【解答过程】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 24．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知，则_________. 【答案】 【解题思路】利用两角和差公式以及辅助角公式整理可得，再利用倍角公式运算求解. 【解答过程】因为， 即， 所以. 故答案为：. 25．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用二倍角公式求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值； （2）求出，分、两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式即可求出的值. 【解答过程】（1）因为，则， 因为，则， 所以， ， 因此，. （2）因为，，所以， 若，则， 此时 ，合乎题意； 若，则， 此时 ，合乎题意. 综上所述，或. 题型6 给值求角型问题 26．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【解答过程】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C. 27．（24-25高一下·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【解答过程】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D. 28．（24-25高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【解答过程】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 29．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为_________. 【答案】 【解题思路】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【解答过程】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为：. 30．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【解答过程】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以 . （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 题型7 三角恒等变换的化简问题 31．（24-25高一下·山东德州·期末）已知函数，是偶函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用偶函数定义化简解出的值，将的值代入，通过三角恒等变换化简，利用正弦函数的有界性求出最大值. 【解答过程】由是偶函数，得， 展开整理得，所以， 又，，得，解得， 所以 ， 当时，取得最大值. 故选：C. 32．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先根据三角恒等变换，求得，再统一角，将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质，即可列式求解. 【解答过程】因为，得，， 所以，即， 得，所以，得， 则， , 由，则，所以, 所以若存在最小值，则， 解得：. 故选：D. 33．（24-25高一下·河南开封·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最大值为2 B．函数的单调递增区间是 C．函数的图象关于点中心对称 D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 【答案】D 【解题思路】应用三角恒等变换化简，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误. 【解答过程】， 由，则， 当，即时，取最大值为3，A错； 由正弦函数的单调性，知和， 即和时，单调递增，B错； ，但不关于对称，C错； 令，则，又， 所以或或，即或或， 故所有公共点的横坐标之和为，D对. 故选：D. 34．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简，由即可得出的范围，根据在上只有一个最大值点和零点即可得出关于的不等式，解出的范围即可. 【解答过程】 ， 由，且，则， 且在区间上只有一个最大值点和一个零点， ，解得， 的取值范围为：. 故答案为：. 35．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的对称轴求解即得； （2）利用正弦函数的单调递增区间列不等式，求解即得； （3）先由给定区间求出整体角的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域. 【解答过程】（1）因 ， 由，可得， 即函数的图象的对称轴方程为； （2）由，可得， 即函数的单调递增区间为； （3）因，当时，取， 因函数在上单调递增， 故的值域为. 题型8 三角恒等式的证明 36．（24-25高一下·江西萍乡·期末）（1）求证：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）利用两角和的正切公式以及二倍角的正弦、余弦公式可证得结论成立； （2）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【解答过程】（1）等式左边， 等式右边，即左边右边，故等式成立． （2）由，可得：， 解得，， 即． 37．（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 38．（24-25高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析； （2） 【解题思路】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【解答过程】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 39．（2025高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【解答过程】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式 ． 40．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $