专题03 复数（10大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学下学期人教A版必修第二册

专题03 复数（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【知识清单2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【知识清单3 复数的模及模的几何意义】 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【知识清单4 复数的加、减运算及其几何意义】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【知识清单5 复数的乘、除运算】 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 4．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 6．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【知识清单6 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【知识清单7 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 题型1 复数的相等 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由复数相等的条件即可求解. 【解答过程】因为， 所以，. 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】根据复数相等的定义，即可求解. 【解答过程】由得，所以，，所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【解答过程】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则_________． 【答案】 【解题思路】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【解答过程】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 5．（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足. (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； （3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【解答过程】（1）复数z为实数，所以. （2）复数z为纯虚数， 所以，解得. （3）， ， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 题型2 已知复数的类型求参数 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【解答过程】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A. 7．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据实数的定义即可得出结论. 【解答过程】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B. 8．（24-25高一下·湖北·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【解答过程】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，则，解得. 故选：A. 9．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数___________. 【答案】3 【解题思路】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【解答过程】因是纯虚数， 可得，解得. 故答案为：3. 10．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)5 【解题思路】（1）由是实数，则解出即可； （2）由是纯虚数，则，解出即可. 【解答过程】（1）若是实数，则有， 解得或； （2）若是纯虚数，则有， . 题型3 复数的几何意义 11．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【解答过程】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 12．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【解答过程】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 13．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【解答过程】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 14．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为___________． 【答案】 【解题思路】设复数，由复平面内对应点的坐标求出复数，再计算模长可得. 【解答过程】设复数，则， 因为复数所对应的点的坐标为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 15．（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意结合复数的几何意义，建立方程，求解参数即可. （2）根据题意，结合对应点所在的位置，建立不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在虚轴上，则满足，所以解得. （2）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在第三象限，则满足，所以解得. 题型4 复数的模的计算 16．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】利用复数模的公式计算得解. 【解答过程】复数，所以. 故选：C. 17．（24-25高一下·河北·阶段检测）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【解答过程】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 18．（24-25高一下·四川成都·期末）已知i是虚数单位，若，则复数的模（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解题思路】利用复数的四则运算化简复数，再由模长公式计算即得. 【解答过程】由可得， 则. 故选：A. 19．（24-25高一下·四川凉山·期末）若复数满足，则的最大值为__________． 【答案】2 【解题思路】设复数，由已知得，进而可得，最后由即可求解. 【解答过程】设复数， 因为， 所以，即， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以时，最大为. 故答案为：2. 20．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数定义求参数，进而求复数的模长； （2）由第一象限得，即可求范围. 【解答过程】（1）复数是纯虚数， ，解得，则，故. （2）若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 题型5 21．（2025高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离的最小值即可. 【解答过程】设， ， 则复数对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 如图， 的几何意义是点到点的距离， 的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1， 即. 故选：B. 22．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由复数的几何意义求解即可. 【解答过程】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 23．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【解答过程】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为：. 24．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是__________. 【答案】 【解题思路】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【解答过程】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为：. 25．（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 题型6 复数的四则运算 26．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过已知等式，将表示为分数形式，利用复数的除法运算法则，将分母实数化，求出. 【解答过程】 故选：C. 27．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用复数除法求出复数，根据共轭复数的定义求，即可得. 【解答过程】由题设， 则，故虚部为. 故选：B. 28．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）设为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据纯虚数求得，代入，利用复数的乘法运算即可求出. 【解答过程】因为为纯虚数， 可得，解得， 则，，故. 故选：A. 29．（24-25高一下·吉林长春·期末）若，其中是虚数单位，则___________. 【答案】 【解题思路】由共轭复数的概念及复数的乘除运算即可求解. 【解答过程】由，则， 所以. 故答案为：. 30．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的分类，即可求； （3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，． （2）因为为纯虚数，所以，所以． （3）， 该复数在复平面内对应的点在第二象限， 则，解得， 故实数的取值范围是． 题型7 复数范围内方程的根的问题 31．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【解题思路】由韦达定理即可求解. 【解答过程】已知是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理有. 故选：A. 32．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 33．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可. 【解答过程】将代入方程得， 即，则，解得，故， 故选：B. 34．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【解题思路】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【解答过程】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1. 35．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【解答过程】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 题型8 复数的三角表示 36．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【解答过程】， 所以辐角的主值为. 故选：A. 37．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【解题思路】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【解答过程】， 故选：C. 38．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【解答过程】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D. 39．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ___________. 【答案】 【解题思路】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【解答过程】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 40．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 【答案】(1)复数根分别为，，主值分别为， (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得方程的根，，结合辐角主值的计算方法，即可求解； （2）根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合辐角主值的概念，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，方程，即，解得，即， 故方程的所有复数根为，， 对于复数，可得，所以，又由，则； 对于，可得，所以，又由，则， 故，的辐角的主值分别为和. （2）由题意，可得 ， 所以，解得，所以. 题型9 复数综合 41．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【解题思路】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【解答过程】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C. 42．（24-25高一下·广东茂名·期末）任意复数可以写成，其中r是复数z的模，是复数z的辐角（以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角），我们称为复数的三角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即，.已知复数，则中不同的数的个数为（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【解题思路】由复数的标准式写出对应点坐标，从而得到向量并结合图象求得夹角，根据三角函数的诱导公式，一一列举复数，可得答案. 【解答过程】由复数，则其在复平面上的对应点为，即， 取轴非负半轴上的单位向量，如下图： 所以，解得， 由，可得， 所以令，则 ， ， ， ， ， ， ， . 故选：B. 43．（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 44．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为__________. 【答案】 【解题思路】设从而可得即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解即可. 【解答过程】设， 因为,所以， 即， 化为 故、对应平面内距离为的点，如下图中， 因为， 所以与、对应点的距离为或， 即构成了点共个点， 故的最大值为 故答案为：. 45．（24-25高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与 ，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【解答过程】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 题型10 复数中的新定义问题 46．（2025高三·全国·专题练习）已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出，再结合运算“”的定义直接计算即可. 【解答过程】因为，， 所以，从而. 故选：A. 47．（2026·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】由已知运算和复数的运算化简即可. 【解答过程】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 48．（2025高三·全国·专题练习）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设所给定义结合复数定义和运算法则分析、计算判断即可. 【解答过程】设复数，若，则，则无解， 所以，将代入，可得， ，即， 所以，解得，所以， 又因为， 设，所以， 所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，从而最大，故B错误； 若，，则， 所以当，或，时，则，C正确； 若，此时，则，A正确； 若，此时，则，D正确； 故选：B. 49．（2025高一·全国·专题练习）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为___________.（填序号） 【答案】②③ 【解题思路】对于①举出反例即可；对于②利用已知的定义进行判断即可；对于③同样利用定义进行判断. 【解答过程】对于①，复数，，满足， 但，，不满足，故①不正确； 对于②，设，，， 由，可得“”或“且”，所以，故②正确； 对于③，设，，， 由可得“”或“且”， 显然有“”或“且”， 从而，故③正确. 故答案为：②③. 50．（24-25高一下·重庆·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 【答案】(1)10；； (2)①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析； (3) 【解题思路】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模； （2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明； ②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明； （3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以的模为10； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，，所以， 由复数的三角不等式， ，由， 得，所以， 所以， 综上所知，． （3）②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 又，则，解得， 所以，所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【知识清单2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【知识清单3 复数的模及模的几何意义】 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【知识清单4 复数的加、减运算及其几何意义】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【知识清单5 复数的乘、除运算】 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 4．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 6．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【知识清单6 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【知识清单7 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 题型1 复数的相等 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则_________． 5．（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足. (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 题型2 已知复数的类型求参数 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 7．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．（24-25高一下·湖北·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 9．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数___________. 10．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 题型3 复数的几何意义 11．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 14．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为___________． 15．（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 题型4 复数的模的计算 16．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 17．（24-25高一下·河北·阶段检测）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·四川成都·期末）已知i是虚数单位，若，则复数的模（    ） A． B．2 C．1 D． 19．（24-25高一下·四川凉山·期末）若复数满足，则的最大值为__________． 20．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 题型5 21．（2025高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 24．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是__________. 25．（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 题型6 复数的四则运算 26．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）设为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·吉林长春·期末）若，其中是虚数单位，则___________. 30．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 题型7 复数范围内方程的根的问题 31．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 32．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 34．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 35．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 题型8 复数的三角表示 36．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 38．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 39．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ___________. 40．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 题型9 复数综合 41．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 42．（24-25高一下·广东茂名·期末）任意复数可以写成，其中r是复数z的模，是复数z的辐角（以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角），我们称为复数的三角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即，.已知复数，则中不同的数的个数为（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 43．（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 44．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为__________. 45．（24-25高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与 ，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 题型10 复数中的新定义问题 46．（2025高三·全国·专题练习）已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 47．（2026·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 48．（2025高三·全国·专题练习）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 49．（2025高一·全国·专题练习）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为___________.（填序号） 50．（24-25高一下·重庆·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $