新知预览4 空间向量及其运算的坐标表示-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

快乐期 0M-= --ec-----e-- 新知预览4空间向量及其运算的坐标表示 行成于思，而毁于随。 完成日期： 夕 日 ★[学习目标]：1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其 坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.4.能利用空间两点间的距离公式解决有关 问题. 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.空间直角坐标系 (2)向量的坐标：在空间直角坐标系O一xy之 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 中，给定向量a,作OA=a.由空间向量基 个 基底{i,j,k}.以点O为原点，分 本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,之)， 别以i,j,k的方向为 、以它们的长为 使a=i+yj十冰，有序实数组 建立三条数轴：x轴、y轴、之轴，它 叫做a在空间直角坐标系O一xyz中的坐 标，上式可简记作 们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直 4.空间向量的坐标运算 角坐标系Oxyz,O叫做 ,i,j,k都 (1)空间向量的坐标 叫做 个空间向量的坐标等于表示此向量的有 (2)通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 向线段的 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面， (2)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有 它们把空间分成八个部分， 向量运算 坐标表示 点睛：坐标向量i,j,k满足：①|i=j= 加法 a+b= k|=1,②i·j=i·k=j·k=0 减法 a-b= 2.空间直角坐标系的画法 数乘 Aa= (1)空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标 系Oxyz时，一般使∠xOy= 数量积 a·b= ∠yOx= 5.空间向量的平行、垂直及模和夹角 (2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 满足条件 名称 右手拇指指向 的正方向，食指 向量表示形式 坐标表示形式 指向 的正方向，如果中指指向 a1=b1a2=λb2, a∥b a=λb(b≠0) 的正方向，则称这个坐标系为右 a3=Ab3(a∈R) 手直角坐标系。 a⊥b a·b=0 模 3.空间向量的坐标 |al=a·a la=√a+a+a (1)点的坐标：在单位正交基底{i,j,k}下与向 c0s(a,b〉= 夹角 量OA=i十y十水对应的有序实数组 cos(a,b)=a.b lab a1b1+a2b2+a3b3 √a好+a+a/b所+b品+ (x,y,之)，叫做点A在空间直角坐标系中 6.空间两点间距离公式 的坐标，记作 ,其中x叫做点A 设P1(x1,y1,之1)，P2(x2y2,之2)，则P1P2= 的横坐标，y叫做点A的纵坐标，之叫做点 1PP21= A的竖坐标. 三-0022 高一数学) 典例探究—搽究学习，素养形成 ◆[题型一]求点的坐标 [变式训练] 例1(1)点P(一2,1,3)关于x轴的对称点 2.已知PA垂直于正方形 的坐标是 ,关于坐标平面xOy的 ABCD所在的平面，M,N 对称点的坐标是 分别是AB,PC的中点， 规律方法求点关于坐标轴或坐标平面 并且PA=AD=1.在如x⑧ 对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称， 图所示的空间直角坐标系中，求向量MN的 谁不变”，如点(x,y,)关于y轴的对称 点为（一x,y,一z),关于平面yOz的对称 坐标. 点是（-x,y,2) [变式训练] 1.已知点A(3,2,一3)，则点A关于y轴的对 称点的坐标是 ( A.（-3,-2,3) B.（-3,2,-3) C.(-3,2,3) D.（-3,-2,-3) ◆[题型二]求向量的坐标 例2 已知ABCD 2 A1BC1D1是棱长为2的 正方体，E,F分别为BB B 和DC的中点，建立如图 ◆[题型三]空间向量的坐标运算 所示的空间直角坐标系， x 例3(1)已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则 试写出DB,,DE,DF的坐标 (2a+3b)·(a-b)= (2)若2a-b=(2,-4,3),a+2b=(1,3,-1), 则cos(a,b》= 规律方法 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然 后准确运用空间向量坐标运算公式 规律方法 计算. 用坐标表示空间向量的步骤 (2)由条件求向量或点的坐标 观图形 充分观察图形特征 首先把向量坐标形式设出来，然后通 过建立方程组，解方程组求出其坐标。 建坐标系 根据图形特征建立空间直角坐标系 [变式训练] 3.已知向量a=(3,一2,1)，b=(一2,4,0)，则 用运算 综合利用向量的加减及数乘运算 4a+2b等于 () 将所求向量用已知的基向量表示出 A.(16,0,4) B.(8,-16,4) 定结果 来，确定坐标 C.(8,16,4) D.(8,0,4) 75 k曼快乐慨期 0M-= ◆[题型四]空间向量平行、垂直的坐标表示 ◆[题型五]夹角和距离的计算 及应用 例5 如图，在直三棱柱 例4 已知空间三点A(一2,0,2)，B(一1,1， ABC-A1B1C1中，CA= B 2),C(-3,0,4),设AB=a,AC=b CB=1,∠BCA=90°，棱 1)设向量e=(-多，-1,1小试判断2a-b AA1=2,M,N分别为 A1B1,A1A的中点. 与c是否平行？ (1)求BN的长； (2)若a十b与ka一2b互相垂直，求k. (2)求A,B与B,C所成角的余弦值. 规律方法判断两向量是否平行或垂直 规律方法通过分析几何体的结构特 可直接利用向量平行或垂直的充要条件； 征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点 已知两向量平行或垂直求参数值，则利用 在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷，建 平行、垂直的充要条件，将位置关系转化 立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再 为坐标关系，列方程（组）求解. 写出相应向量的坐标表示，把向量坐标 [变式训练] 化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角 4.(1)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 和距离问题。 且ka十b与2a一b互相垂直，则k的值是 [变式训练] ( 5.在四棱锥P一ABCD中， A.1 B号cgD. PD⊥平面ABCD,PA与 平面ABCD所成的角为 (2)若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n), 60°，在四边形ABCD中， C(m+3,n一3,9)三点共线，则m+n的 ∠ADC=∠DAB=90°， 值为 () AB=4,CD=1,AD=2. A.0 B.-1C.1D.-2 76 三0022 含一效类的) (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余 弦值. 检测评价一诊断落实，素养达标 一、选择题 6.(多选)已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,一1)，c 1.点A(一2,3，一4)关于坐标平面xOz对称 =(一1,5，一3)，下列等式中正确的是() 点A'的坐标为 A.(a·b)c=b·c A.（-2,-3,-4) B.(2,-3,4) B.(a十b)·c=a·(b+c) C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4) 2.如图，在长方体OABC C.(a+b+c)2=a2+b2+c2 0 O1A1B1C1中，OA=3,OC P D.a+b+c=a-b-cl A =5,OO1=4,点P是 B 7.(多选)如图所示，正方体 /CY B,C1的中点，则点P的坐 A ABCD一A1B1C,D1的棱长 标为 为a,对角线AC1和BD A.(3,5,4) 相交于点O,则有( c(35,4 D(5,2 A.A1B·BC=a2 B.AB·AC=2a 3.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=（3, C.AB·A0=20 D.BC.DA=a' 1,0),则a-b+2c等于 () 二、填空题 A.3/10 B.2√10 C.√10 D.5 8.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), 4.已知向量a=(1,0,一1)，则下列向量中与a 且满足条件(c-a)·2b=-2,则 成60°夹角的是 () x- A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) 9.若a=(x,2,-4),b=（-1,y,3),c=(1,-2,2),， C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 且a,b,c两两垂直，则x= ,y= 5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1, 4),则△ABC的形状是 ,之= A.等腰三角形 B.等边三角形 10.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1), C.直角三角形 D.等腰直角三角形 则向量AB与AC的夹角为 77 k壁快乐跃期 --S0MA□ 三、解答题 12.棱长为1的正方体ABCD-AB1C,D1中， 11.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2) E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. (1)若DB∥AC,DC∥AB,求点D的坐标； (1)求证：EF⊥CF; (2)问是否存在实数a,B,使得AC=aAB+ (2)求异面直线EF与CG所成角的余 BBC成立？若存在，求出a,B的值；若不存 弦值； 在，说明理由. (3)求CE的长. 78三-0022 成-BC+C成=-a+2C-a+2cò+o) =-a-b+3c, Ai-A市+P庐-A0+O+号(P0+0心)=-a+e+ 2(-c+b0=-a+7+2e, 成=成=oi=a 12.解：(1)证明：设AB=p,AC=q,AD=r. 由题意可知，lp=|q=|r=a, 且P,q,r三个向量两两夹角均为60°， M成=A成-Ai=2AC+AD)-2A店=名(g十r一p, “M,A店=号(g+-p)·p =gp+r…p-p) =2(a2cs60+acs60°-a2)=0. ∴，MN⊥AB,即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. (2)设向量AN与MC的夹角为6. ∴A=号Ac+A市)=2(g+ MC-AC-AM-9-2p. ∴A.M-2g+(g-2p =2(g-9p叶g2p） co0 os 60co60 -(-+号) 又：1A=MC= 24， ..AN.MC-IANIIMCI cos 0 -5 axaXcos0=icos0=号 “向量A与M心的夹角的余孩值为号，从西异面直线AN 与CM所成角的余孩值为号。 新知预览4 知识梳理 1.(1)单位正交正方向单位长度原点坐标向量 2.(1)135°（或45）90°(2)x轴y轴x轴 3.(1)A(x,y,)(2)(x,y,z)a=(x,y,) 4.(1)终点坐标减去起点坐标(2)(a1+b1,a2十b2,a,+b,) (a1-b1,a2-b2,a3-b)(aa1,λa2,a3),A∈R a1b+a2b2十a3b3 5.a1b1+a2b2+a3b3=0 6(x2-x)+(y2-y)+(2-之1) 典例探究 [例1][解析]在空间直角坐标系中，点P(-2,1,3)关于x 轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的 相反数，即（一2，一1，一3）；点P(一2,1,3)关于坐标平面 xOy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反 数，即（一2,1，一3）. [答案](-2，-1，-3)(-2,1，-3) 变式训练 1.C[由对称定义知选项C正确.] [例2][解]DB=DA十DC+DD,=2i+2j+2k=(2,2,2). D成=DA+DC+号DD,=2i+2j+2×2k=2i+21+k= (2,2,1). D亦=号D心=号×2j=j=(0,1.0. 高一数类为) 变式训练 2.解：因为PA=AD=AB=1,所以可设AB=i,AD=j,AP =k. 因为M-Mi+AP+P-Mi+AP+2PC =Mi+AP+(Pi+Aò+DC)=-是A店+A+ 名(-A+A市+A)=名AP+A市=j+名k,所以 M=(0,2)片 [例3][解析](1)易得2a十3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0), 则(2a十3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5X0=-4. (2)设a=(x1,y1,21),b=(x2,y2,x1), 由题设可得2x1一=2， x1+2x2=1, 解得1=1， (x2=0, 同理可得y1=-1,y2=2,21=1,2=-1, 即a=(1,-1,1),b=(0,2,-1), 则a·b=0-2-1=-3,la=3,1bl=5, 所以asab-i治- 5 [答案](1)-4(2)-E 5 变式训练 3.D[4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+ (-4,8,0)=(8,0,4).] [例4][解](1)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0, 2》,所以2a-b=（32,-2,又c=（-是，-1,1）所以20 -b=-2c,所以(2a-b)∥c. (2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), 所以ka十b=(k-1,k,2), ka-2b=(k十2，k,-4). 又因为(ka十b)⊥(ka-2b), 所以(ka十b)·(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0. 解得及=2或一号 变式训练 4.(1)D[ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),(ka+b)· (2a-b)=3-1D+2张-4=0，解得k=子.] (2)A[因为AB=(m-1,1,m-2n-3),AC=(2,-2,6), 由题意得弦/A亡，所以”2=2=”一=3，所以m= 2 6 0,n=0,所以m十n=0.] [例5][解]如图所示，建立空间直角坐 标系C一xyz (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ∴.1BN|=√1-0)2+(0-1D2+(1-0) =√3， 线段BN的长为√3 (2)由(1)中建立的坐标系得A1(1,0,2),元 C(0,0,0),B1(0,1,2), .BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2), .BA,·CB,=1×0+(-1)×1+2X2=3. 又|BA1I=√6，|CBI=√5， Cos(BA,CB)=BA·CB 3 √/30 |BA11ICB1√6XW510 故AB与B,C所成角的余弦值为30 10 09 经快乐假朗 变式训练 5.解：(1)如图，建立空间直角坐 42 标系. :∠ADC=∠DAB=909 AB=4,CD=1,AD=2, .A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0) 由PD⊥平面ABCD,得 ∠PAD为PA与平面ABCD所 成的角，.∠PAD=60°. 在Rt△PAD中，由AD=2,得 A PD=2√3. P(0,0,23) .BP=|BP1=√(0-2)2+(0-4)2+(23-0)2=4√2. (2)由(1)得，PA=(2,0,-2√3)，BC=(-2,-3,0), ∴os(PA,BC)=2X(-2)+0X(-3)+(-2③)X0 4×/13 =-13 13 ·异面直线PA与BC所成角的余弦值为 131 检测评价 1.A[点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反 数即得A'的坐标为（一2，一3，一4）.] 2.C[由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1, P,几，它们在坐标轴上的坐标分别是，5,4，故点P的坐 标是（受5,4门 3.A[:a-b+2c=(9,3,0),∴.|a-b+2c|=√92+32+0 =3√/10.] 4.B[设b=(x,y,z)与a成60°夹角， 则c0s60°=- x一之 1 2,V2+y+元=2， 代入检验得b=(1,一1,0)满足.] 5.C[因为AB=(3,4,-8),BC=(2,-3,1),AC=(5,1, -7),于是BC·AC=10-3-7=0,而|BC1=14,|AC= BC·AC 5V3,cos(BC,AC)=BCAC=0,所以△ABC是直角三 角形.] 6.BCD[对于A,(a·b)·c为向量，b·c为实数，显然不相 等，A不正确. 对于B,(a+b)·c=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0, a·(b+c)=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0, .(a十b)·c=a·(b十c),因此B正确. 对于C,a+b十c=(3,7,-1), (a+b+c)2=32+72+(-1)2=59, a2+b2+c2=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+ (-3)2=59, .(a十b十c)2=a2+b十c2,因此C正确. 对于D,|a+b+c|=√59， a-b-c=(-1,-3,7), .a-b-cl=/59, ∴a十b+c=|a-b-cl,因此D正确.] 7.AC[连接AD,则A1B·B,C=A,B·AD=|A1B|· IA,DIcos(A1B,A1D)=√2aX√2 a X cos60°=a2.A正确， AB·AC=AB·(AB+BC+CC,)=AB+AB·BC+AB ·0C=a,放B错误A店，A0=A店·号AC-A店· A店+Ai+AA)=合(Ai+A店，Ai+A店.AA)=日 A弦=合A2=a2.C正确，B心.DA=B心.(AA AD)=BC.AA,-BC·AD=-a2.D错误.] .-S0M-= 8.解析：据题意，有c一a=(0,0,1一x),2b=(2,4,2), 故(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,解得x=2. 答案：2 9.解析：a⊥b,aLc,b⊥c, 1a·b=0,1-x+2y-12=0, ac=0,即 x-4-4之=0， b·c=0,-1-2y+3x=0, 1x=-64, 解得{y=-26, x=-17. 答案：-64-26-17 10.解析：AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0), ∴lAB=3√2，|AC=√2， AB·AC=0×(-1)+3×1+3×0=3. 器- cos(店，AC)=AB·AC 又：AB,AC∈[0]，(Ai,AC=号 答案：号 11.解：(1)设D(x,y,z),则DB=（-x,1-y,-x),AC=(-1, 0,2),DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0). 因为DB∥AC,DC∥AB,所以存在实数m,n有 1x=-1, (-x,1-y,-)=m（-1,0,2解得y=1, {(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0), (2=2. 即D(-1,1,2). (2)依题意AB=(-1,1,0),AC-(-1,0,2),BC=(0,-1,2). 假设存在实数a,B,使得AC=&AB十BBC成立， 则有(-1,0,2)=a(-1,1,0)+8(0,-1,2)=(-a,a-B,28, a=1, 所以a-B=0,故存在a=B=1,使得AC=aAB十BBC (2B=2, 成立 12.解：建立如图所示的空间直角坐 标系D-xyz, D 则D00,0,E(00,)} B E c010,F(合0） G c1,) 所以成=（合合）本 =(220)-(10,2)-(0-1,2) 1)证明：周为成.市-名×2+合×（)十 ()X0=0,所以E成1C本，即EF1CF (2)因为成.花-之×1+号×0+()×号-子， √()+()+()-， √++（合-， 所以os(E京，C=京.C安 4 √/15 EFIICGI ×9 15 所以异面直线EF与CG所成角的余孩值为酒 (3)cE=1气8+(-1+（合）- 0