新知预览1 空间向量及其线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三022 「第二部分]青春须早为一新知预览 新知预览1空间向量及其线性运算 学不可以已。 完成日期： 月 日 ★[学习目标]：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由 平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算法则 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.空间向量的有关概念 2.空间向量的线性运算 (1)定义：在空间中，把具有 和 名称 代数形式 几何形式 运算律 的量叫做空间向量 (2)长度：向量的 叫做向量的长度或 0成= 加法 交换律：a十b=b ①字母表示法：空间向量用字 =a+b a+6 十a; 母a,b,c,…表示 CA= 结合律：a十(b+c) ②有向线段表示法：向量a的 =(a+b)+c (3)表示法 减法 起点是A,终点是B,则向量a =a-b 也可以记作 ,其模记 为 或 当λ>0时， (4)几类特殊向量 a=入OA 结合律： 特殊向量 定义 表示法 =PQ; 0 /M a(a)=()a; 长度为 的 当入<0时， 数乘 a X a 分配律：（入十） 零向量 S 血=AOA a>0) (<0) 向量 lo p a=a十a,λ(a十b) |a=1或 =M; =λa+λb 单位向量 模为 的向量 当入=0时， |AB=1 a=0 与a长度 3.空间向量的共线与共面 而方向 的 相反向量 -a (1)共线、共面向量 向量，称为a的 相反向量 共线（平行）向量 共面向量 方向 且模 a=b或 如果表示若干空间 相等向量 的向量 AB=CD 向量的有向线段所 平行于 在的直线 表示若干空间向 定义 的向量，叫 共线向 ,那么这些向 量的有向线段所 a∥b或 做共面向量 量或平 量叫做 或 在的直线互相平 AB∥CD 行向量 平行向量 行或重合 61 快乐假期 0M-= 续表 (2)直线L的方向向量 若两个向量a,b不共 如图，O是直线1上一点，在直 对于空间任意两 线，则向量p与向量 线1上取非零向量a,则对于)“ 个向量a,b(b卡 充要 a,b共面的充要条件 直线上任意一点P,由数乘向量的定义 0),a∥b的充要 条件 是存在唯一的有序实 及向量共线的充要条件可知，存在实数入， 条件是存在实数 数对(，y),使 入，使 使得OP=a.我们把与向量a平行的非零 向量称为直线1的 典例探究 探究学习，素养形成 ◆[题型一] 空间向量的概念 (1)试写出与AB相等的所有向量； 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确 (2)试写出AA的相反向量； 的是 ( (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量AC A.若向量a,b平行，则a,b所在的直线 的模 平行 B.若|a=b,则a,b的长度相等而方向相 同或相反 C.若向量AB,CD满足|AB|>CD1,则AB CD D.相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是() A.若空间向量a,b满足|a=b,则a=b ◆[题型二]空间向量的线性运算 B.在正方体ABCD一AB1C1D1中，必有 例2 如图所示，在三棱柱 AC-A C ABC-A1B1C1中，M是BB C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则 的中点，化简下列各式，并在 A m=p 图中标出化简得到的向量： D.空间中任意两个单位向量必相等 (1)CB+BA1; 规律方法空间向量的概念与平面向量 (2)AC+C店+2AA; 的概念相类似，平面向量的其他相关概 (3)AA,-AC-CB. 念，如向量的模、相等向量、平行向量、相 反向量、单位向量等都可以拓展为空间向 量的相关概念 [变式训练] 1.如图所示，以长方体ABCD 一ABCD1的八个顶点的 两点为起点和终点的向 量中， 62 三0022 高一教学的) 规律方法空间向量加法、减法运算的 规律方法判定向量共线就是充分利用 两个技巧 已知条件找到实数入，使a=b成立，或充 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是 分利用空间向量的运算法则，结合具体图形 解决空间向量加、减法的关键，灵活运 通过化简，计算得出a=b,从而得到a∥b. 用相反向量可使向量首尾相接. [变式训练] (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四 3.如图所示，在正方体AB 边形法则进行向量加、减法运算时，务 CD-A1B1C1D1中，点E A, 必注意和向量、差向量的方向，必要时 在AD1上，且AE 可采用空间向量的自由平移获得运算 2ED1,点F在体对角线 结果 [注意](1)向量减法是加法的逆运算， A,CL,且A户-号FG求证：EFB三点 减去一个向量等于加上这个向量的相反 共线 向量. (2)首尾相连的若干向量构成封闭图形 时，它们的和向量为零向量 [变式训练] 2.如图，在长方体ABCD一 ABCD1中，下列各式 A 运算结果不为BD,的是 A.AD-AA-AB B.BC+BB-D C ◆「题型四]空间向量共面问题 例4已知A,B,C三点不共线，平面ABC外 C.DD,-AB+AD D.B D-AA+DD, 点M满足0i-OA+o+号0心 ◆[题型三]向量共线问题 (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面； 例3 如图，四边形AB (2)判断M是否在平面ABC内. CD和ABEF都是平行 四边形，且不共面，M, N分别是AC,BF的中 点，则CE与MN是否共线？ 63 化是快乐假期 S0M-= 规律方法解决向量共面的策略 [变式训练] (1)若已知点P在平面ABC内，则有AP 4.已知向量e1,e2,不共线，如果AB=e1十e2, =xAB+yAC或OP=xOA+yOB+之 AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证：A,B, OC(x十y十之=1).然后利用指定向量表 C,D四点共面. 示出已知向量，用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面（或四点共面），需 利用共面向量定理，证明过程中要灵活进 行向量的分解与合成，将其中一个向量用 另外两个向量来表示。 检测评价一诊断落实，素养达标 一、选择题 5.已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足任 1.在空间四边形OABC中，OA+AB-CB 意三点不共线，但四点共面，且OP=mOA 等于 +2OB+OC,则m的值为 () A.OA B.AB c.oc D.AC A.-1 B.-2 C.-3 D.1 2.如图所示，在四棱柱的上底面 6.(多选)给出下列命题，其中正确的命题为 ABCD中，AB=DC,则下列向 量相等的是 ( A.若AB=CD,则必有A与C重合，B与D A.AD与CB B.OA与OC 重合，AB与CD为同一线段 C.AC与DB D.DO与OB B若AD=号AC+子AB,则可知BC-3BD 3.下列命题中为真命题的是 A.向量AB与BA的长度相等 C.若Q为△ABC的重心，则PQ=专Pi+ B.将空间中所有的单位向量移到同一个起 点，则它们的终点构成一个圆 3PB+3PC C.空间非零向量就是空间中的一条有向 D.非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a 线段 都是共面向量，则a,b,c必共面 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 7.(多选)在以下命题中，不正确的命题是 4.如图在三棱锥ABCD中， ( E是棱CD的中点，且BE A.已知A,B,C,D是空间任意四点，则AB 号破则立 +BC+CD+DA-0 B.|a|一|b|=|a+b|是a,b共线的充要 A3A店+子AC-Aò 条件 C.若a与b共线，则表示a与b的有向线段 B.AB+SAC-SAD 所在直线平行 C.-5AB+3 AC+3 AD D.对空间任意一点O和不共线的三点A, D号A店+号AC+号AD B,C,若OP-xOA+yOB+zOC(其中 x,y,之∈R),则P,A,B,C四点共面 64 三022 -- 一数学的) 二、填空题 12.如图，在平行六面体 8.设M是△ABC的重心，记CA=b,AB=c, ABCD-A1B1C1D1中， 则AM= (用b,c表示). M是AD,的中点，N是N 9.化简：2a+2b-3c)+5(3a-2b+号c) BD的中点，试判断MN与D,C是否共线， 3(a-2b+c)= 10.设e1,e2是不共线的向量，已知AB=2e1+ ke2 CB=e +3e2 CD=2e-e2,A,B, D三点共线，则实数k为 三、解答题 11.如图，在空间四边形AB CD中，已知点G为 △BCD的重心，E,F,HB 分别为CD,AD,BC的中 点，化简下列各式，并在图中标出化简 结果 1)AG+号BE-AC, (2)2(AB+AC-AD); (3)A店+AC+3AD 65化堡快乐暇期 员工甲答对三题的桃率为×号×日-子 所以美工甲成关的概率P贸十号是 答案品 5.D[抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面朝上和反面朝上两 种可能，概率均为？，与抛掷次数无关.] 6.AD[A掷一枚骰子，出现奇数，点和出现偶数点的概率都是 2,故A正确；B“出现1点”是随机事件，故B错误；C概率 是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；D连续掷 3次，每次都出现最大，点数6，则三次之和为18，故D正确.] 7.B[设该校有a名同学，则约有0.4a的学生近视，约有 0.3a的学生每天玩手机超过2h,且每天玩手机超过2h的 学生中的近视的学生人数为：0.3a×0.5=0.15a,所以有 0.7a的学生每天玩手机不超过2h,且其中有0.4a-0.15a =0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h的学生 中任老满壶一名学生，则他远视的搬单为P=品沿-是] 8.解析：设袋中的红球有x个，根据题意，得写千2=0,8，解得x一 24,经检验x=24是分式方程的解，所以袋中红球约有24个. 答案：24 9.AD[设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”，这两 个事件相互独立，A选项：都投中的概率为P(AB)=P(A)P (B)=0.8·0.9=0.72,故A项对；B选项：至少一人投中， 其对立事件为：两人都未投中，故至少一人投中的概率为1 -P(AB)=1-P(A)P(B)=1-0.2·0.1=0.98,故B项 不对；C选项：至多一人投中的对立事件为：两人都投中，至 多一人投中的概率为1一P(AB)=0.28,故C错；D选项：恰 好有一人投中的概率为P(A)P(B)十P(A)P(B)=0.8·0. 1十0.2·0.9=0.26，故D对.] 10,解析：由题可得一次活功中，甲获胜的概率为号×兽-号： 则在3次活动中，甲至少黄胜2次的概率为C×(号)广× 号+()-器 答案号9 27 11.解：1)由已知，得25十十10=55，解得x=5, x+30=45, 1y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收 集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个样 本量为100的样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本的平均值估计， 其估计值为 1×15+1,5×30+2×25+2.5×20+3X10=1.9(分钟). 100 (2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的 共有15+30十25=70（人），根据频率与概率的关系，估计一位 顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为)=0.7， 12.解：(1)设“甲答对每一道题”为事件A,“乙答对每一道题” 为事件B,由已知得P(A)=号，P(B)=p, 则己连续2次答错的概率为(1一p)2, 由题意得1-p)=6解得p=成员（会去）， 所以乙答对一道题的概率为是 (2)若甲、乙两人各回答2道题，两人共答对3道题，则甲只 答对一道题、乙2道题全部答对或乙只答对一道题、甲2道 题全部答对」 甲只答对一道题、乙2道题全部答对的概率为2X号× (1-)×()=品： 0M-= 乙只答对一道题，甲2道题会部答对的桃率为2××日 ×()广-品 3 故两人共答对3道随的瓶率为品十最一音所以甲、乙两 人各回答2道题，两人头答对3道题的概率为吕 新题快递 1.D[由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如下 表所示 筹数2 4 5 6 10 0 1 1 1 1 P 5 369123618 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹」 分以下四种情况：①甲得“四筹”，己得“零筹”，此种情况发生 的批率P,=g×=18: 5 5 ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率 ×(+）： ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率 =品×（品+号）品： 11 ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或 “六筹”，此情况发生的薇率卫.=6×(1-6)弱6 35 故甲发整的概奉P-R+P:十B+R一品8+品十品十 6器] 2.ABD[对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次全部 译为1，或者有两次译为1，则概率为CB(1一B)2十(1一B)3, 故C错误；对于D,可以采用特值法或者作差法计算.三次传 输方案译为0的概率为Ca(1一a)2十(1一a)3,单次传输译 为0的概率为1-a,而C8a(1-a)2+(1-a)3-(1-a)=(1 -a)a(1一2a)>0,所以D正确.] 第二部分 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)ABa|AB (4)01相等相反相同相等2.OA+ABOA-OC 3.(1)互相平行或重合共线向量同一个平面a=bp= xa+b(2)方向向量 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的直线 平行或重合；B中，|a|=b|只能说明a,b的长度相等而方 向不确定；C中，向量不能比较大小；相等相量是指方向相同 且模相等，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅 模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不 一定相同；B为真命题，AC与A1C,的方向相同，模也相等，故 AC=A1C1;C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命 题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相 同，故不一定相等，所以选BC. [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有AB1, DC及D1C1共3个. (2)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C,C,D1D. (3)AC1|=3. 三022 [例2][解](1)CB+BA1=CA1 (2)因为M是BB1的中，点，所以BM= 弼， 又AA=BB,所以AC+C店+2AA AB+BM-AM. (3)AA-AC-CB=CA-CB=BA,. 向量CA1,AM,BA1如图所示， 变式训练 2.解析：D[A中，A1D,-A1A-AB=AD,-AB=BD,;B 中，BC+BB,-DC=BC+CD,=BD;C中，DD,-AB +AD=AD+DD,-AB=AD1-AB=BD1;D中，B,D1- A1A+DD1=BD+AA1+DD1=BD,十AA1≠BD1.] [例3][解]法一：M,N分别是AC, BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴.MN=MA+AF+FN =Ci+A+2成. ① 又：MN=MC+CE+EB+BN =-2ci+c花-A-成 ② ①+②得2MN=C克， ∴.CE∥MN,即CE与MN共线. 法二，M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD和 ABEF都是平行四边形， :-A衣-A成=名(AB+A前-号AC =合Ai+A)-Ai+A -2-A-合B成-B0=成 MN∥CE,即MN与CE共线. 变式训练 3.证明：设AB=a,AD=b,AA=c. 因为A1龙=2ED,A方=号F元， 所以A立=号AD,A京=号AC 所以A立-号市=号b, A萨=号C-Ad)=是(Ai+A市-AA)=号a+号6 所以序-A本-A店=号00号-号(g-号0小 又盛-EA+Ai+a店=-号b-e+a=a-号b-c 所以E萨=号E成， 又因为EF与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线。 [例4幻.[解](1)：OA+OB+OC=3OM, ..0A-OM=(OM-OB)+(OM-OC), ∴.MA=BM+CM=-MB-MC, ∴.向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,MC共面，而它们有共同的起点 M,且A,B,C三，点不共线，.M,A,B,C共面，即M在平面 ABC内. 变式训练 4.证明：易得AC,AD不共线.令AB=xAC+yAD(xy∈R), 则AB=e1+e2=x(2e1+8e2)+y(3e1-3e2)=(2x+3y)e1+ (8x-3y)e2. 高一数学恐 :e,和e,不共线，…2z十3=1解得 x=5 {8x-3y=1, y=5 A店=AC+A市，A,B,C,D四点共面. 检测评价 1.C [OA+AB-CB=OA+AB+BC=OC.] 2,D[根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，AD与CB,OA 与OC为相反向量，AC与DB方向不同，DO与OB是相等向量.] 3.A[对于选项B,其终点构成一个球面，对于选项C,空间非 零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是 有向线段；对于选项D,向量a与向量b不相等，有可能它们 的模相等，但方向不同.] 4.D[连接AE,因为E是棱CD的中点，B正=名B正，所以A -+萨-A店+号成-店+号（正-A=号A+ }A店=号A心+A+号A店=号A+3AC+号Ai.] 5.B[因为A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，所 以存在x,y∈R,使得AP=xAB十yAC, 因为AP=OP-OA,AB=OB-OA,AC=OC-OA,所以OP -OA=x(OB-OA)+(OC-OA),OP=(1-x-3)OA +xOB+yOC,因为OP=mOA+2OB+OC, 1-x-y=m, 所以x=2, 解得m=-2.] (y=1, 6.BC[在平行四边形ABDC中，满足AB=CD.但不满足A 与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，A不正确. 因为AD=子AC+号A,所以3AD=AC+2A店，所以2 AD-2AB=AC-AD,所以2BD=DC,所以3BD=BD+ DC,即3BD=BC,B正确.若Q为△ABC的重心，则QA十 QB+QC=0.所以3PQ+QA+QB+QC=3PQ,所以3PQ =pA+P店+P心，即P0=}pA+}P店+}P元，C正确.在 三棱柱ABC-A1B1C1中，令AB=a,AC=b,AA1=c,满足a 与b,b与c,c与a都是共面向量，但a,b,c不共面，D不 正确.」 7.BCD [AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+DA= 0,A正确；若a,b同向共线，则|a一|b|<a十b|,故B不正 确；由向量平行知C不正确；D中只有x十y十x=1时，才有 P,A,B,C四点共面，故D不正确.] 8,解析：如图，A成=号市=号×号（应 +Aà=}e-b. 答案：子(c-b) 9.解折：原式=（合+5x号-3）+（合×2-5x号+3x2)b +(-3x+5×号-3e=8a+号 5 7 答案：a+b-名c 10.解析：因为BD=CD-CB=e-4e2,AB=2e十e2,又A,B,D 三点共线，由向登共线的克要条件得号= ,所以k=一8. 答案：一8 11.解：(1)如图，连接EF,,G是△BCD的 重心∴G成=号B2 又。=京，由向量加法的三角形法则 可知， 05 飞受快乐暖明 AG+}B酝+2CA-AG+G成+E京=A正+E求=A求.在 图中标出AF,如图所示. (2)连接AH,如图，因为E,F,H分别为CD,AD,BC的 中点， 所以？(A+AC-Ad)=号(2Ai-A市)=Ai-子A市 =A产-A广-Fi.在图中标出Fi,如图所示， (3)号A范+号A花+号A市=A店+}a花-A)+}(A市 -A)=A店+}（元+Bò=A店+号酝=A店+成- AG.在图中标出AG,如图所示. 12.解：由题意可知M,N分别是AD1,BD的中点，四边形AB- CD为平行四边形，连接AC,则N为AC的中点， ∴M=A成-A成=2AC-君AD=号(AC-AD)= 号D衣M与DC头线 新知预览2 知识梳理 1.2.(1)a…lalcos(a,b》(2)a(a…b)baa ·b+a·c(3)a·b=0a|alcos(a,a〉 典例探究 [例1】[解](1)E成.BA=之BD·BA=之BD1·BA ·cos(D,Bi=号×1X1·os60=, 所以成，耐-子 (2成·B防=2B防.B防=合1Bò·BD·cos(B防， ò=号×1X1·cs0=2, 所以E市，BD=号； 2 (成.D心-i.D心-Bi1·D·cos(Bò， Dd=号×1X1·cos120=-￥ 所以萨.D心=-： (4)B萨.Ci=2(Bò+BA)·是CB+C) -[BD.(-BC)+BA.(-BC)+BD.CA+BA.CA] =[-BD.BC-B.BC+(C市-C弦.CA+席.Ad =×(-+-+)=-8 变式训练 1.解：如图所示，设AB=a,AD=b,AA =C 则|a=|cl=2,lb=4, a·b=b·c=c·a=0. (1)BC.ED,=BC.(EA +A D) =6:[2c-a)+b]-b12=4=16. (2)BF.AB,=(BA+AF).(AB+AA) =(c-a+2b）a+e) =cl2-1a2=22-22=0. [例2][证明]由底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°， AB=2AD,知DA⊥BD,则BD·DA=0, 由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD, 则BD·PD=0. S0M-= 又PA=PD+DA, 所以PA·BD=(PD+DA)·BD=PD·BD+DA·BD=O, 即PA⊥BD. 变式训练 2.证明：设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c, 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,la=|bl=lcl. A.0-AA+AO-AA+2 (AB+AD)-+2+. BD=AD-AB=b-a, OG-OC+CG-2(AB+AD)+CC-a+2-c A0.B时-(e+2a+)(b-a-cb-ca+号 a.b-za+z8-z6.a-z(-o)-t(lbP-lal) =0. 于是A1OLBD,即A,OLBD. 同理可证A1O⊥OG,即A1O⊥OG. 又OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC平面GBD, ∴.A1O⊥平面GBD. [例3][解]不妨设正方体的棱长为1，则BC·AC=(BC +CC1)·(AB+BC)=(AD+AA)·(AB+AD)=AD· AB+AD+AA,·AB+AA,·AD=0+AD+0+0=AD =1, 又：|BC1=√2,1AC=√2， cos(BC,AC=BC·AC 1 IBC IACI 2x22 :(BC,AC∈[0，]， (BCA=吾 即BC与AC夹角的大小为牙 变式训练 3.D [OA.BC=OA.(OC-OB)=0A.OC-OA.OB= IOA1O花cos∠A0C-1OAI1 OB1 cos∠A0B=21OA1· 1d-21OA10-0,所以0A1B元.所以s(A,BO=0.] [例4][解]设AB=a,AC=b,AA1=c. 由题意，知|a=|b=|c|=2, 且(a,b〉=60°，(a,c〉=(b,c〉=90°. 因为EF-EA+AA1+A1F -号A+ad+号d =-a+2叶e 所以EF2=E 子x2+×2+2+2x(←7)×2x2ms6o =1+1十4-1=5， 所以|EF|=√5，即EF=√5. 变式训练 4.解：，CA⊥AB,BD⊥AB, ∴.(CA,BD)=120°. CD-CA+AB+BD,CA.AB-0,BD.AB-0, ∴.|CD1P=CD·CD=(CA+AB+BD)·(CA+AB+BD) =|CAI2+|ABI2+|BDI2+2CA·BD+2CA·AB十 2 AB.BD=I CA2+ABI2+I BD+2CAII BDI osCA,BD=6++8+2X6×8×(-）=68, .|CD=217,故CD的长为2√17. 06