新知预览2 直线方程的点斜式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三-022 高一教学恐 新知预览2直线方程的点斜式 非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 完成日期： 月 日 ★[学习目标]1.掌握直线的点斜式方程，并会用它求直线方程.2.掌握直线的斜截式方程，并 会用它求直线方程，了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 知识梳理—自学教材，素养奠基 1.直线l的方程的概念 一般地，如果一条直线1上的 名称 点斜式 斜截式 的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程 的解为坐标的点都在直线1上，那么这个方 方程 程称为直线1的方程。 2.直线的点斜式和斜截式方程 适用 斜率存在 名称 点斜式 斜截式 范围 已知 点P(xo,yo)和 斜率k和直线在y 注意：1.当直线1的斜率为0，即k=0时，直线 条件 斜率 轴上的截距b 1与x轴平行（或重合），直线方程为y=yo y 2.若直线1经过点P(x0,y)且与x轴垂直， P(xo-Yo) 图示 则直线1的斜率不存在，此时直线1上任意 一点的横坐标都是x。,所以直线1的方程为x =x0 典例探究—探究学习，素养形成 ◆[题型一]直线的点斜式方程 [变式训练] 例1根据条件写出下列直线的点斜式方程： 1.(1)直线1经过点P(2,一3)，且倾斜角= (1)经过点A(一1,4)，倾斜角为45°； 45°，则直线的点斜式方程是 () (2)经过原点，倾斜角为60°； A.y+3=x-2 B.y-3=x+2 (3)经过点D(一1,1)，倾斜角为0° C.y+2=x-3 D.y-2=x+3 [解](1)直线斜率为tan45°=1， (2)已知直线的方程是y+2=-x-1,则 ∴.直线的点斜式方程为y一4=x十1. () (2)直线斜率为tan60°=√3， A.直线经过点(-1,2)，斜率为一1 .所求直线的点斜式方程为y一0 B.直线经过点(2，一1)，斜率为-1 =√3(x-0). C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1 D.直线经过点(-2，一1)，斜率为1 (3)直线斜率为0，.直线的，点斜式方程为y ◆[题型二]直线的斜截式方程 -1=0×(x+1). 例2根据条件写出下列直线的斜截式方程： 规律方法利用点斜式求直线方程的方法 (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的 (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是一2； 斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在 (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点 的条件下，才能用点斜式表示直线的方程. 的距离为3. (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜 [解](1)由直线方程的斜截式可知，所求 率，再用点斜式求直线的方程 直线方程为y=2x十5. 73 化曼快乐暖明 00-= (2)由于倾斜角α=150°，所以斜率 [解]当直线1的斜率不存在时，1的方程 为x=2,经检验符合题目的要求 tan150°=- ,由斜截式可得方程为y目 当直线1的斜率存在时，设直线L的方程为 3x2. y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2. (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k 令y=0,得x=2k-2 tan60°=√5.由于直线与y轴的交，点到坐标 由三角形的面积为2，得号× 12k-2 ×2 原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距 =2. b=3或b=一3，故所求直线方程为y=√3x +3或y=√3x-3. 得一宁 规律方法 可得直线1的方程为y一2= 2x-20, (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存 综上可知，直线1的方程为x=2或y一2 在.当k=b时，y=x表示过原点的直 线；当=0时，y=b表示与x轴平行（或 2x-2. 重合)的直线， 规律方法已知一点的坐标，求过该点的直 (2)截距不同于日常生活中的距离，截距是 线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定 个点的横（纵）坐标，是一个实数，可以是 斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其 正数，也可以是负数或零，而距离是一个 他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采 非负数。 用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求 [变式训练] 解该类问题的常用方法. 2.(1)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截 [变式训练] 距为一2，则此直线的方程为 3.已知直线1经过点P(一2,3)，且在两坐标 A.y=3x+2 B.y=-√3x+2 轴上的截距相等，求直线1的方程. C.y=-√3x-2 D.y=√3.x-2 (2)直线y=3x-2的斜率为 ,在y 轴上的截距为 ◆[题型三]点斜式、斜截式方程的应用 例3直线1过点(2,2)，且与x轴和直线y= x围成的三角形的面积为2，求直线1的 方程. 检测评价—一诊断落实，素养达标 一、选择题 2.倾斜角为120°且在y轴上的截距为2的直 1.方程y-y=b(x一xo) 线方程为 A.可以表示任何直线 A.y=-√3x+2 B.不能表示过原点的直线 B.y=-√3x-2 C.不能表示与y轴垂直的直线 C.y=√3x+2 D.不能表示与x轴垂直的直线 D.y=√3x-2 74 三0022 高一教学 3.直线y=x一3k+2(k∈R)必过定点( 三、解答题 A.(3,2) B.(-3,2) 11.若直线1过点(2,1)，分别求1满足下列条 C.(-3,-2) D.(3,-2) 件时的直线方程： 4.直线y一b=2(x一a)在y轴上的截距为 (1)倾斜角为150°； ( (2)平行于x轴； (3)平行于y轴； A.a+b B.2a-b (4)过原点. C.b-2a D.2a-6 5.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=b.x+a(ab ≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象 只可能是 6.（多选)关于直线l:√3x一y一1=0，下列说 法正确的有 A.过点（√3，一2）B.斜率为√3 C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1 7.（多选)下列四个结论，其中正确的为( A,方程k=y二2与方程y-2=k(x十1)可 x+1 表示同一条直线 B直线1过点P(),倾斜角为受，则其 12.已知直线1经过点P(一2,3)，且与两坐标 方程为x=x1 轴围成的三角形的面积为4，求直线1的 C.直线1过点P(x1,y1),斜率为0，则其方 方程. 程为y=y1 D.所有直线都有点斜式和斜截式方程 二、填空题 8.斜率为4，且经过点(2，一3)的直线方程是 9.直线y=专一4在y轴上的截距是 10.直线y=(x一2)十3必过定点，该定点为 75飞学快乐限阴 检测评价—诊断落实，素养达标 1.C[根据题意，作出图象，可知C选项正确.] y x=1 2.C[am45=ke=浩中法8-1，所以y=-1.] 3.C[直线倾斜角的取值范围是0°≤a<180°，又直线1经过 第二、四象限，所以直线l的倾斜角的范围是90°<α <180°.] 4.A[因为直线的斜率k和倾斜角a的关系是k=tana(a≠ 90°)，所以当倾斜角为60°时，对应的斜率k=tan60°=√3.] 5.c0km=826w=9是 因为直线l过点P(1,1)与线段AB有公共点，则直线（的斜 率的取值范围是k≤或k≥2.故选C.] 6.CD[根据题意，依次分析选项：对于A,直线的倾斜角为a, 当a=90°时，斜率不存在，A错误；对于B,直线的倾斜角的 范围为[0，π)，B错误；对于C,直线的倾斜角a的范围为 [0,π)，则有sina≥0，C正确；对于D,任意直线都有倾斜角 a,且a≠90°时，斜率为tana,D正确.] 7.ABC[(1)当a=0°时，l2的倾斜角为90°，（如图1） (2)当0°<a90时，l,的倾斜角为90°十a.(如图2) (3)当a=90°时，l2的倾斜角为0°.（如图3） (4)当90°<a<180°时，l2的倾斜角为a-90°.（如图4） 1 y L 0 0 0 图1 图2 图3 图4 8.解析：因为A(2,0),B(0,一1)， 所以店=（一2，-1），所以6=号 答案：2 9.解析：因为A,B,C三点在同一条直线上， 所以ka=,所以2（一1）-4-2】 0-(-3)m-01 所以m=2. 答案：2 10.解析：如图，设直线AB与x轴的交 点为C, 则∠AC0=180°-∠A-∠AOC= 159 180°-45°-105°=30°. 所以如=an30=受 答 2-5 1.解：1)k=0-（3)=-1<0,倾斜角为纯角： (2)k不存在，倾斜角为直角； （3)k=35m(23m+B=Bm=5=5>0,领斜角 (2m-1)-m m-1 为锐角. 12.解：由题意可知直线AC的斜率存在，即≠一1. 所以e=《二本4x-P m+1 00M= 所以43·g巴 m+1 整理得-m-1=(m-5)(m十1)，即(m十1)(m-4)=0,所 以n=4或m=-1(舍去)，所以m=4. 新知预览2 知识梳理—自学教材，素养奠基 1.每一点2.y-y=k(x-x)y=kx十b 典例探究一探究学习，素养形成 变式训练 1.(1)A[,直线l的斜率k=tan45°=1， .直线1的方程为y十3=x一2.] (2)C[直线方程y十2=一x一1可化为y一(-2)=一[x (一1)]，故直线经过点（一1，一2），斜率为一1.] 2.(1)D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为√3，利用斜截式得 y=W3x-2.] (2)解析：直线y=3x-2的斜率为3，在y轴上的裁距为-2. 答案：3-2 3.解：依题意直线的斜率存在，设为k, 直线方程为y-3=k(x十2)， 令x=0得纵截距为y=2k十3. 令y=0将横裁短为x=一是-2 依题意得，2k+3=-名-2， 解得=一多我6=-1， 所以直线方程为y=一x成y=-x十1. 检测评价—诊断落实，素养达标 1.D[因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线， 所以y一y=k(x一工0)不能表示与x轴垂直的直线，故 选D.] 2.A[直线的斜率为k=tan120°=一√3. .直线的斜截式方程为y=一√3x十2.] 3.A[已知直线的点斜式方程为y一2=k(x一3)，所以直线 过定点(3,2).] 4.C[由y-b=2(x-a),得y=2x-2a十b,故在y轴上的裁 距为b-2a.] 5.D[对于A,由1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛 盾：对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾： 对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾：对于 D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0.故选D.] 6.BC[对于A,将(W3,-2)代入1：V3x-y一1=0，可知不满 足方程，故A不正确；对于B,由√3x一y一1=0，可得y=√3x 一1，所以k=√3，故B正确：对于C,由k=√3，即tan=√3， 可得直线倾斜角为60°，故C正确：对于D,由3x-y一1= 0,可得y=√3x一1，直线在y轴上的截距为一1，故D不正 确.故选BC.门 7.C[对于A,方程=号表示不过(-一1,2)的直线，故与 方程y一2=k(x十1)表示不同直线，错误；对于B,直线（过 点P(y),倾斜角为受，则其斜率不存在，直线垂直于x 轴，正确：对于C,因为斜率为0，故方程为y=y,显然正确；对 于D,所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率 不存在的直线就没有点斜式方程，故D不正确.故选C.] 8.解析：由直线的点斜式方程可得y十3=4(x一2)， 即y=4x-11. 答案：y=4x-11 8 三0022 富一数学 9解析：由y=青-4令=0，得y=-4 又点D(3,2)在直线BC上，所以+元=1 答案：一4 所以6b+3a=2ab, ② 10.解析：将直线方程化为点斜式得y-3=(x一2)， 由①②联立得2a2-21a+54=0,即(2a一9)(a-6)=0, .过定点(2,3) 解得a=号或u=6. 答案：(2,3) 2 9 11.解：1)直线的斜率为k=an150°=-5 31 所以 a=2 .9 或/a=6, 1b=3. 所以由点斛式方程得y一1=-5（一2》. 6= 2， 3 即所求直线方程为y-1=-(x-2). 故直线BC的方程为号+-1或青+音=1 3 即2x+2y-9=0或x+2y-6=0. (2)平行于x轴的直线的斜率k=0,故所求的直线方程 检测评价—诊断落实，素养达标 为y=1. 1.B[若一条直线不与坐标轴平行或重合，则直线必存在斜 (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x=2. 率且不为0，所以可以写成两点式或斜裁式或点斜式：但是 (④)过点(2,1与点0,0)的直线的斜率=号故所求的直 此直线有可能过原点，此时不可以写成裁距式.] 2.C[因为由点坐标知直线在x轴，y轴上的截距分别为4， 1 线方程为y=之工. 一3，所以直线方程为音十3=1.门 12.解：显然，直线【与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设 3.D[因为k,b≠0，由四个选项中的l可知k>0,可排除A, 其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y一3=b(x十2)，令x C;当b<0时，可排除B;当b>0时，选项D符合题意.] =0,得y=2k十3， 令y=0,得x=-2 4.C[直线后十名=1在x轴上的我距为a,在y轴上的我距 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 为，若此直线过一、二、三象限，则-b>0,b>0,所以a< +(-2）=4 0,b>0.] 即(2+3（爱+2）士8. 反A[由两点式方权。-专（二》知直线1过点（一5 若(2+3)（是+2）=8 0.3,-3.所以1的韩率为-是] 6.CD[若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y=k.x 则整理得4k2+4k十9=0，无解。 若(2+3)（爱+2）-8 (≠0，又直线过点P(-2.3),所以3=-2，即及=-号， 3 则整理得4k2+20k+9=0, 所以直线方程为y=-21,即3x+2y=0: 解之得k= 2 若直线在坐标轴上的裁距不为0，设直线方程为工十义=1 -a 所以直线1的方程为y-3=-号（红+2） (a≠0)，又直线过点P(-2,3),所以二2+3=1，解得a -a 或y-3= 号(x+2 -5,所以直线方程为气5十号=1，即x-y十5=0， 即y=-2x+2或y= 9 2x-6. 综上可知，所求直线方程为3x十2y=0或x-y十5=0.] 新知预览3 7,AC[由题意授直线方程为后十立-1成后+之。=1，把 典例探究—探究学习，素养形成 点2,1代入直线方程释吕+日-1或吕十。1，解得a 变式训练 1A[由方程的两点式可得直线方程为号-二（二》即 =3或a=1,所求直线的方程为号+号=1或千+当 1,即x十y-3=0或x-y-1=0.] 2] 2 8,解析：后一音=1可化为后十兰=1，所以此直钱在y轴上 2.ABC[当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意。 的截距为一3. 当直线不经过原点时，设直线方程为后十方=1， 答案：-3 由超充符日+合=1解得公=。3支区5… .解折：代人直镜的两点文方程得号一整理得一1 答案：y=x十1 |a=|b, (b=3, 1b=5. 综上可知选项A、B,C符合题意.] 10.解析：设直线方程为+名=1， 3.解：由已知得直线BC的斜率存在且不为0. 设直线BC在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b. 别公5果=28 则直线BC的藏距式方程为号十齐=1， 则直线方程为受十台=1，即3x十2y-6=0: 由题意得a十b=9. ① 答案：3x+2y-6=0 109