假期作业28 事件的相互独立性、频率与概率-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三0022....-- 5.BD[对于A,甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同 学被抽到的概率都是了，故A错误；对于B,由概率的性质 可知，0≤P(A)≤1，故B正确；对于C,如果事件A与事件B 对立，那么一定有P(A)十P(B)=1,但互斥事件不一定对 立，故C错误；对于D,因为事件A发生的概率为P(A)= 0.3,所以它的对立事件A发生的概率P(A)=1一0.3=0. 7,故D正确.] 6.C[设事件“抽检一件是甲级”为事件A,“抽检一件是乙 级”为事件B,“抽检一件是丙级”为事件C,由题意可得事件 A,B,C为互斥事件，且P(A)+P(B)+P(C)=1,因为乙级 品和丙级品均属次品，且P(B)=0.05,P(C)=0.03,所以P (A)=1-P(B)-P(C)=0.92.] 7.BCD[“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获 胜”的概率是1一2一3=6，故A正确；设甲不输为事件 A,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事 件，所以P(A)=日十号=号，故B错误：“乙输”的概率即 “甲获胜”的概率，为日，故C错误：设乙不输为事件B,则事 件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P(B)=号十日=吾，故D赣误.] .1 8.解析：由题意，将一颗骰子连掷两次，共有6×6=36个基本 事件，设事件A=“第一次点数小于3且第二次点数大于3 的事件”，则事件A包含：{(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)， (2,5),(2,6)},共有6种情况，所以第一次点数小于3且第 二次点数大于3的概率为P=希日 1 答案：6 9.CD[由题图知参加兴趣小组的共有6十7十8+8十10十10 十11=60（人），只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为 10,68,故只属于音乐小组的概率为高-品，只属于笑语小 组的薇率为品-品“重少2个小组”包含2个小组“和3 个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为 1+10+7+8=3.“不超过2个小组”包含1个小组”和“2 60 5 个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小 组的概率是P=1-品-号] 10.解析：设齐王有上、中、下三等的三匹马A,B,C,田忌有上、 中、下三等的三匹马a,b,c,所有比赛的方式有Aa,Bb,Cc; Aa,Bc,Cb;Ab,Ba;Cc;Ab,Bc;Ca;Ac,Ba,Cb;Ac,Bb,Ca, 共6种. 若齐王第一场比赛派出上等马，则第一场比赛田忌必输，此 时他应先派下等马c参加. 就会出现两种比赛方式：Ac,Ba,Cb和Ac,Bb,Ca,其中田 忌能获胜的为Ac,Ba,Cb,故此时田忌获胜的概率最大 为 答案：之 11.解析：函数f(x)=ax2一4bx+1的图象的对称轴为x= ,要使画数f(x)=ax2-4bx十1在区间[1，十∞)上单调 a 递增，当且仅当>0且2≤1，即a≥2b且a>0. a 若a=1,则b=一2，一1； 若a=2,则b=-2,-1,1； 若a=3,则b=-2,一1,1； 若a=4,则b=-2,一1,1,2； 若a=5,则b=一2，一1,1,2. 高一数 ,∴.事件包含的基本事件的个数是2+3十3十4十4=16， 又所有基本事件的个数是6X6=36, “所求事件的概率为36=9 164 答案：号 12.解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号 为4,5. （1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），样本 空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2， 5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5, 1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20个样本点，这20个样本点发生 的可能性是相等的. 设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的 样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)， (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个，所以P(A)= 贵-o6 (2)从5道題中任选2道题解答，每一次选1题（有放回）， 样本空间={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)， (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点，这25个样本点发生 的可能性是相等的. 设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的 样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)， (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个，所以P(B)= 2号=048. 新题快递 1.D[要使a,b,4能够构成钝角三角形，则a,b,4需要满足 a2+b<4或a2+42<b或42十b<a,且能够满足三角形 中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 样本，点的总数是36，结合上述条件可知，当a=1时，均不符 合要求，有0种情况； 当a=2时，b=3,5符合要求，有2种情况； 当a=3时，b=2,6符合要求，有2种情况； 当a=4时，b=6符合要求，有1种情况； 当a=5时，b=2符合要求，有1种情况； 当a=6时，b=3,4符合要求，有2种情况. 所以能构成钝角三角形的共有8种情况，故所求的概率为 2.B[因为事件A,B,C两两互斥，所以P(B)=P(AUB)一 PA=是-专-专所以PBUC=P(B)+PO=号+ 3- 假期作业28事件的相互独立性、 频率与概率 思维整合室 1.(1)P(A)P(B)2.缩小概率P(A)频率fn(A) 技能提升台素养提升 1.D[事件A与事件B能同时发生，互不影响，A与B既不 互斥，也不对立，但相互独立.] 2.B[因为事件E与F相互独立，由相互独立事件的概率计 算公式，可得： P(E)=P(E·PRD=号X3=g] 3.D[根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得一等奖而乙 设有获得或甲设有获得一等关而乙茂得，则所求概率是号 ×(-)+圣×(-号)品] 4,解析：员工甲答对两题的概率为×号×十×号×号 +×号×名是 幻 化堡快乐暇期 员工甲答对三题的桃率为×号×日-子 所以美工甲成关的概率P贸十号是 答案品 5.D[抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面朝上和反面朝上两 种可能，概率均为？，与抛掷次数无关.] 6.AD[A掷一枚骰子，出现奇数，点和出现偶数点的概率都是 2,故A正确；B“出现1点”是随机事件，故B错误；C概率 是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；D连续掷 3次，每次都出现最大，点数6，则三次之和为18，故D正确.] 7.B[设该校有a名同学，则约有0.4a的学生近视，约有 0.3a的学生每天玩手机超过2h,且每天玩手机超过2h的 学生中的近视的学生人数为：0.3a×0.5=0.15a,所以有 0.7a的学生每天玩手机不超过2h,且其中有0.4a-0.15a =0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h的学生 中任老满壶一名学生，则他远视的搬单为P=品沿-是] 8.解析：设袋中的红球有x个，根据题意，得写千2=0,8，解得x一 24,经检验x=24是分式方程的解，所以袋中红球约有24个. 答案：24 9.AD[设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”，这两 个事件相互独立，A选项：都投中的概率为P(AB)=P(A)P (B)=0.8·0.9=0.72,故A项对；B选项：至少一人投中， 其对立事件为：两人都未投中，故至少一人投中的概率为1 -P(AB)=1-P(A)P(B)=1-0.2·0.1=0.98,故B项 不对；C选项：至多一人投中的对立事件为：两人都投中，至 多一人投中的概率为1一P(AB)=0.28,故C错；D选项：恰 好有一人投中的概率为P(A)P(B)十P(A)P(B)=0.8·0. 1十0.2·0.9=0.26，故D对.] 10,解析：由题可得一次活功中，甲获胜的概率为号×兽-号： 则在3次活动中，甲至少黄胜2次的概率为C×(号)广× 号+()-器 答案号9 27 11.解：1)由已知，得25十十10=55，解得x=5, x+30=45, 1y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收 集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个样 本量为100的样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本的平均值估计， 其估计值为 1×15+1,5×30+2×25+2.5×20+3X10=1.9(分钟). 100 (2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的 共有15+30十25=70（人），根据频率与概率的关系，估计一位 顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为)=0.7， 12.解：(1)设“甲答对每一道题”为事件A,“乙答对每一道题” 为事件B,由已知得P(A)=号，P(B)=p, 则己连续2次答错的概率为(1一p)2, 由题意得1-p)=6解得p=成员（会去）， 所以乙答对一道题的概率为是 (2)若甲、乙两人各回答2道题，两人共答对3道题，则甲只 答对一道题、乙2道题全部答对或乙只答对一道题、甲2道 题全部答对」 甲只答对一道题、乙2道题全部答对的概率为2X号× (1-)×()=品： 0M-= 乙只答对一道题，甲2道题会部答对的桃率为2××日 ×()广-品 3 故两人共答对3道随的瓶率为品十最一音所以甲、乙两 人各回答2道题，两人头答对3道题的概率为吕 新题快递 1.D[由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如下 表所示 筹数2 4 5 6 10 0 1 1 1 1 P 5 369123618 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹」 分以下四种情况：①甲得“四筹”，己得“零筹”，此种情况发生 的批率P,=g×=18: 5 5 ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率 ×(+）： ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率 =品×（品+号）品： 11 ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或 “六筹”，此情况发生的薇率卫.=6×(1-6)弱6 35 故甲发整的概奉P-R+P:十B+R一品8+品十品十 6器] 2.ABD[对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次全部 译为1，或者有两次译为1，则概率为CB(1一B)2十(1一B)3, 故C错误；对于D,可以采用特值法或者作差法计算.三次传 输方案译为0的概率为Ca(1一a)2十(1一a)3,单次传输译 为0的概率为1-a,而C8a(1-a)2+(1-a)3-(1-a)=(1 -a)a(1一2a)>0,所以D正确.] 第二部分 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)ABa|AB (4)01相等相反相同相等2.OA+ABOA-OC 3.(1)互相平行或重合共线向量同一个平面a=bp= xa+b(2)方向向量 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的直线 平行或重合；B中，|a|=b|只能说明a,b的长度相等而方 向不确定；C中，向量不能比较大小；相等相量是指方向相同 且模相等，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅 模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不 一定相同；B为真命题，AC与A1C,的方向相同，模也相等，故 AC=A1C1;C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命 题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相 同，故不一定相等，所以选BC. [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有AB1, DC及D1C1共3个. (2)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C,C,D1D. (3)AC1|=3.经快乐假期 假期作业28事件的相互独立 《思维整合室 1.相互独立事件的定义和性质 (1)定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB) 成立，则称事件A与事件B相互 独立，简称独立， (2)性质：如果A与B相互独立，那么A与B, A与B,A与B也都相互独立. 2.频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离 概率的幅度会 ,即事件A发生的 频率fm（A)会逐渐稳定于事件A发生的 .我们称频率的这个性质为频率的 稳定性.因此，我们可以用 估计概 率P(A). 3.产生随机数的方法：教材中给出了两种产生 随机数的方法：①利用带有PRB功能的计 算器产生随机数；②用计算机软件产生随机 数，比如用Excel软件产生随机数.我们只 要按照它的程序一步一步执行即可. 4.用随机模拟估计概率的步骤 (1)建立概率模型； (2)进行模拟试验，可用计算器或计算机进行 模拟试验； (3)统计试验结果. 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]事件的相互独立性 1.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第 一枚出现偶数点”，B=“第二枚出现奇数 点”，则下列说法正确的是 () A.A与B互斥 B.A与B互为对立 C.A与B相等 D.A与B相互独立 2.若事件E与F相互独立，且P(E)=P(F) =}则P(EF)的值等于 A.0 c号 5 S0M-= 学然后知不足，教然后知困。 生、频率与概率 完成日期： 月 日 3.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞 赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 号和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独 立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概 率为 ( A是 R号 c D是 4.为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有 奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个 问题，不管答对或者答错，三题答完活动结 束.规定每位员工只能参加一次活动，且至 少答对两道题才能获奖.已知员工甲第一题 答对的概率为子，第二题答对的概率为号， 第三题答对的概率为？，假设员工甲是否答 对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为 ◆[考点二]频率与概率的关系 5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，若前 4次出现正面朝上，则第5次出现正面朝上 的概率是 ( A.8 B c.号 D 6.(多选)投掷一枚普通的正方体骰子，四位同 学各自发表了以下见解，其中正确的见解有 ( A.出现“点数为奇数”的概率等于出现“点 数为偶数”的概率 B.只要连掷6次，一定会“出现1点” C.投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果 “出现6点”的可能性就会加大 D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能 等于19 7.在6月6日第28个全国“爱眼日”即将到来 之际，教育部印发《关于做好教育系统2025 年全国“爱眼日”宣传教育工作通知》，呼吁 青年学生爱护眼睛，保护视力.众所周知，长 三0022 时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学 生大约40%的人近视，而该校大约有30% 的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视 率约为50%.现从每天玩手机不超过2h的 学生中任意调查一名学生，则该名学生近视 的概率为 ) A清 B号 c D.9 8.在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若 干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从 袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回 袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频 率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个 ◆[考点三]相互独立事件的综合应用 9.（多选)甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中 的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两 人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下 列结论中正确的是 ( ) A.两人都投中的概率为0.72 B.至少一人投中的概率为0.88 C.至多一人投中的概率为0.26 D.恰好有一人投中的概率为0.26 10.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜 语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一 方获胜，否则本次平局，已知每次活动中， 甲，乙猜对的概率分别为骨和号，且每次活 动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也 互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ,3次活动中，甲至少获胜2次的 概率为 11.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等 信息，安排一名员工随机收集了在该超市 购物的100位顾客的相关数据，如下表 所示. 17件及 ·次购物量 1~4件 5~8件 9~12件13~16件 以上 顾客数（人） 30 25 2 10 结算时间 1.5 2 2.5 (分钟/人) 59 高一数学垫) 已知这100位顾客中一次购物量超过8件 的顾客占55%. (1)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的 结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超 过2分钟的概率（将频率视为概率）. 12.MATLAB是一种数学软件，用于数据分 析、无线通信、深度学习、图象处理与计算 机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、 人工智能机器人和控制系统等领域，推动 了人类基础教育和基础科学的发展，某中 学举行了MATLAB科普讲座后进行了问 答比赛，已知甲、乙两位同学互不影响地参 加比赛，且每一道题答对与否互不影响， 甲，乙答对每一道题的概率分别为)与力， 乙连续2题答错的概率为6 人壑快乐假期 (1)求乙答对一道题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2道题，求两人共 答对3道题的概率， 新题快递 1.甲和乙两人进行投壶比赛，一场比赛投中得 分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依 竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算 “四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”， “依竿”算“十筹”，比赛三场得筹数最多者获 胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯 耳的概率为号，投中“散射”的概率为)，投 中“双耳”的概率为2投中“依竿”的概率为 6,乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷 相互独立.若比赛第一场，两人平局；第二 场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三 场比赛结束时，甲获胜的概率为() 46 A.213 8品 C资n 2.（多选)在信道内传输0,1信号，信号的传输 相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0< a<1),收到0的概率为1一a;发送1时，收 -S0M= 到0的概率为β(0<3<1)，收到1的概率为 1一B.考虑两种传输方案：单次传输和三次 传输.单次传输是指每个信号只发送1次； 三次传输是指每个信号重复发送3次.收到 的信号需要译码，译码规则如下：单次传输 时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到 的信号中出现次数多的即为译码（例如，若 依次收到1,0,1，则译码为1). () A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则 依次收到1,0,1的概率为(1一a)(1一2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收 到1,0,1的概率为(1-)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为(1一)2+(1一)3 D.当0<a<0.5时，若发送0，则采用三次 传输方案译码为0的概率大于采用单次 传输方案译码为0的概率 《益智欢乐谷 陈景润是一个家喻户晓的数学家，在攻克哥 德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了著名的 “陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他为“数学 王子”。但有谁会想到，他的成就源于一个故事。 一天，清华大学教授沈元老师在数学课上给大家 讲了一故事：“200年前有个法国人发现了一个有 趣的现象：6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5十 7,28=5+23,100=11+89。每个大于4的偶数 都可以表示为两个奇数之和。因为这个结论没 有得到证明，所以还是一个猜想。大数学家欧拉 说过：虽然我不能证明它，但是我确信这个结论 是正确的。它像一个美丽的光环，在我们不远的 前方闪耀着炫目的光辉。…”陈景润瞪着眼 睛，听得入神。 因此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚 的兴趣。课余时间他最爱到图书馆，不仅读了 中学辅导书，这些大学的数理化课程教材他也 如饥似渴地阅读。因此获得了“书呆子”的雅 号。兴趣是最好的老师。正是这样的数学故 事，引发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从 而引发了一位伟大的数学家。