假期作业28 空间中的垂直关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

快乐假期 0M= 假期作业28空间中的垂直关系 吾生也有涯，而知也无涯。 完成日期： 月 《思维整合室 3.直线与直线所成角 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 (1)定义：如果a,b是空间中的两条异面直线，过空 间中任意一点，分别作与a,b平行或重合的直 文字语言 图形语言 符号语言 线a',b,则a'与b所成的 称为异 面直线a与b所成角的大小 如果一条直线与 a,bCa 个平面内的 定 a∩b=O ②范，引 都垂 a b0 →l⊥a l⊥a 4.直线与平面所成的角 直，则这条直线 1⊥b 与这个平面垂直 (I)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所 如果两条直线垂 成的 ,叫做这条直线和这个平面所成 直于同一个平 b 的角，如图， 就是斜线AP与平面a所 性 面，那么这两条 成的角 a 理 bla 直线 (2线面角0的范围，c[0,引 5.二面角 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 (1)定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形称为 文字语言 图形语言 符号语言 二面角，这条直线称为二面角的 ,这两 如果一个平面经 个半平面称为二面角的面. 判 过另一个平面的 (2)二面角的平面角的取值范围： 1C3 ,则这 →aL3 平面角是直角的二面角称为直二面角， 理 ila 两个平面互相 (3)平面与平面所成的角范围为 垂直 《技能提升台 如果两个平面互 素养提升 相垂直，那么在 alB ◆[考点一]直线与平面垂直的判定与性质 性 个平面内垂直 1C3 童 →l⊥a 1.直线n⊥平面a,n∥l,直线mCa,则1、m的 的直线 aNB-a 位置关系是 ( 垂直于另一个 ILa A.相交 B.异面 平面 C.平行 D.垂直 68 三0022 2.给出下列4个命题，其中正确的命题是( ) ◆[考点三]空间的角 ①垂直于同一直线的两条直线平行：②垂直 7.（多选)下列说法中正确的是 于同一平面的两条直线平行；③垂直于同 A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 直线的两平面平行；④垂直于同一平面的两 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个 个平面平行. 面垂直，则a,b所成的角与这个二面角 A.①②B.③④C.②③D.①④ 相等或互补 3.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面， C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分 那么MA与BD的位置关系是 () 别在两个面内作射线所成角的最小角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上 的位置没有关系 A.平行 B.不垂直 8.（2023·北京卷)坡屋 C.垂直 D.相交 顶是我国传统建筑造 ◆[考点二]平面与平面垂直的判定与性质 型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带 4.若平面a⊥平面3，平面B⊥平面Y,则() 可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图， A.a∥y B.a⊥Y 某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是 C.a与y相交但不垂直D.以上都有可能 全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角 5.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面 形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰 BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( 梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 平面ABCD的夹角的正切值均为，则该 6.PA垂直于正方形ABCD所 五面体的所有棱长之和为 ( 在平面，连接PB,PC,PD A.102mB.112mC.117mD.125m AC,BD,则下列垂直关系正 确的是 9.(2023·全国乙卷（理）)已知△ABC为等腰 ①平面PAB⊥平面PAD; 直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三 ②平面PAB⊥平面PBC; 角形，若二面角C一AB一D为150°，则直线 ③平面PAB⊥平面PCD; CD与平面ABC所成角的正切值为( ④平面PAB⊥平面PAC. A.①②B.①③C.②③D.②④ A.方 B.② c. 69 堡快系假期 90M= ◆[考点四]垂直的综合问题 12. 如图，四棱锥P-ABCD的底 面是矩形，PD⊥底面ABCD, 10.已知点P是正四棱锥V-ABCD的侧棱 M为BC的中点，且PB VA上异于点V的一动点，则点P在面 ⊥AM. VBC上的射影落在 () (1)证明：平面PAM⊥平 A.△VBC的外部 B.△VBC的内部 面PBD; C.△VBC的一边上D.以上皆有可能 (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD 11.已知直三棱柱ABCA 的体积. D AB,C1中，侧面AA1B1B 为正方形，AB=BC=2, E,F分别为AC和CC1的 中点，BF⊥AB (1)求三棱锥FEBC的体积； (2)已知D为棱AB,上的点， 证明：BF⊥DE. 新题快递 1.已知平面a与平面3所成二面角的平面角 为110°，球O与平面，3相切于点A,B,则 过球心O与平面a,B均成30°角的直线有 () A.2条 B.3条C.4条 D.5条 2.已知正方体ABCD-A B,CD1的棱长为1， E,F,G分别是AB,BC,BC1的中点.下列 命题正确的是 (写出所有正确命 题的编号). ①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个 面最多只有三个面是直角三角形； ②P在直线FG上运动时，AP⊥DE: ③Q在直线BC1上运动时，三棱锥AD,QC 的体积不变； ④M是正方体的平面A,B,CD1内到点D 和C,距离相等的点，则M点的轨迹是一条 线段 《益智欢乐谷 青春里，我们都在摸索着成长，会被绊倒， 会流泪，会茫然，会想要放弃，但是我们都能坚 持到最后.尽管我们一路走来跌跌撞撞，但是 我们写下了属于我们的青春励志文章，鼓励着 正在走向未来的自己，也鼓励那些在黑暗中挣 扎的青少年不要轻言放弃，辜负青春. 70三a0022-.- 2.D[连接AD,则AD∥EF, 0 连接FD1,则平面AEF截正方 体所得截面多边形为梯 形AD1FE, B 正方体棱长为2，故AD1= 2√2，EF=√2， D 又AE=D,F=√22+1=√5， .等腰梯形AD1FE的高为 41 、梯形ADEE的面积为=2十22X=之.门■ 2 假期作业27 思维整合室 1.这个平面内交线2.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.A[五棱台中，AB∥A1B1,.四边形AA1B1B是梯形， ~-8器PG∥AB,而FGE丰西ABCDE,.ABC平 面ABCDE.∴.FG∥平面ABCDE.] 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B,C 可由线面平行的判定定理判定正确性.D错在D1B1∥l,l与 B1C1所成角是45°.] 4.解析：由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,故EF∥ 平面PAD,因为EF∥AD,所以E,F,A,D四点共面，所以 AD为平面AEF与平面ABCD的交线. 答案：平行AD 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,∩y=b,且a∥b,则a,B可能相交、平 行，错误；B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a∥B,b∥ B,由面面平行的判定可得a∥B,正确；C:若a∥a,b∥B,且a ∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aCa,a∥B,a∩B=b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.C[由E,F分别是AB,AC的中点可知EF∥BC,既=合 在三棱柱ABC一A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC,由两 个平面平行的性质可得GH∥BC,而GH经过△AB,C的 重心，所以是-号所以望-号里EF/GH,GHt争面 A1EF,EFC平面A1EF,所以GH∥平面A1EF.因为A1B ∥BE且BE<A1B1,所以直线A1E与BB1有交点，所以平 面AEF与平面BCC1B1相交.故①②③正确，④错误.故 选C.] 8.解析：由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱柱 知：平面AA1D1D∥平面BB1C1C,平面ABCD∥平面 ABC1D1;:正方体的侧棱相互平行，.AA1∥BB1∥CC1, .CC1∥平面BDDB,AA∥平面BDDB 答案：平面BB1C1C;平面ABCD;AA1,CC1 9.D[如图，任取线段A1B上一点M,A 过M作MH∥AA1,交AB于H,过H 作HG∥AC交BC于G,过G作CC1 B 的平行线，与CB,一定有交点N,连 M 接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC,A, 所以MN∥平面ACC1A1,则这样的 H MN有无数条.] 10.解析：连接HN,FH,FN(图略)，则FH∥DD1,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B,BDD,,只需M∈FH,则MNC 平面FHN,∴.MN∥平面BBDD. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 一数半恐) 11.证明：（1)因为M,N分别是CD,CB的 中点， 所以MN∥BD.又因为BB1LDD1, 所以四边形BB,DD是平行四边形， 所以BD∥BD1,从而MN∥BD. (2)连接A1C1,交B1D1于点O,连接OE. 因为四边形A1B,C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的 中点.因为E是AA1的中点，所以EO是△AAC的中位 线，所以EO∥AC1. 又AC1中平面EB1D1,EOC平面EB1D1, 所以AC1∥平面EBD. (3)连接GH,因为EALB,H,则四边形EAHB,是平行四 边形，所以EB,∥AH.因为AD LHG,则四边形ADGH是 平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BB1LDD,所以四边形BB,D,D是平行四边形， 所以BD∥BD.因为BD∩DG=D, 所以平面EBD,∥平面BDG. 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与GN 的交点O,连接MO,则MO为△ABE的 中位线，所以BE∥MO. 又BE￠平面DMF,MOC平面DMF, 所以BE∥平面DMF, (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中 点，所以DE∥GN, 又DE￠平面MNG,GNC平面MNG, 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MNC平面MNG,BD丈平面MNG 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D, 所以平面BDE∥平面MNG 新题快递 1.解析：(1)由平面与平面平行的判定可知，若平面α内有两条 相交直线分别平行于平面B,则a∥B,故(1)错误； (2)由平面与平面平行的定义可知，若平面。内任意一条直 线与平面B平行，则a∥B,故(2)正确； (3)当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条 直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故(3)错误； (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥Y,B∥Y,由平面与平面平行 的传递性可得α∥B,故(4)正确. 答案：(2)(4) 2.解：(1)证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点， 底面ABCD为平行四边形，所以MN∥PD,NQ∥AD, 又MN￠平面PAD,PDC平面PAD, 则MN∥平面PAD, 同理可得NQ∥平面PAD, 又MN∩NQ=N,MN,NQC平面MNQ 所以平面MNQ∥平面PAD. (2)证明：因为BC∥AD,BC￠平面PAD,ADC平面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l, 所以BC∥L. 假期作业28 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.(1)锐角（或直角） 4.(1)锐角 PAO 5.(1)半平面棱(2)0°≤0≤180°(3)0°<0≤90° 技能提升台素养提升 1.D 05 人是快乐假明 2.C[对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异 面，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两条直线平行，故 ②正确；对于③，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正 确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错 误.故选C.] 3.C[连接AC,因为ABCD是菱形， 所以AC⊥BD, 又MC⊥菱形ABCD所在的平面， BDC平面ABCD,所以MC⊥BD, 又MC∩AC=C,MC,ACC平面 MAC,所以BD⊥平面MAC,MAC平面MAC, 所以MA⊥BD.] 4.D 5.A[过点A作AH⊥BD于，点H(图略)，由平面ABD⊥平 面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面 ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.故选A.] 6.A[,PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC.又 正方形ABCD中，BC⊥AB,PA∩AB=A,.BC⊥平面 PAB,BCC平面PBC,∴.平面PAB⊥平面PBC,②正确； 同理AD⊥平面PAB,ADC平面PAD,.平面PAD⊥平面 PAB,①正确； 设平面PAB∩平面PCD=l,'AB∥CD,ABC平面PAB, CD丈平面PAB,.CD∥平面PAB,.CD∥U.CD⊥平面 PAD,∴.l⊥平面PAD,P为垂足，.∠APD为二面角A一l一D 的平面角，若平面PAB⊥平面PCD,则AP⊥PD,在 Rt△PAD中不可能存在AP⊥PD,③错误；，AB⊥PA,AC ⊥PA,.∠BAC为二面角B一PA一C的平面角，若平面 PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在Rt△ABC中不可能存在 AB⊥AC,④错误.故选A.] 7.BD[对于A,显然混淆了平面与半平面的概念，故A错误； 对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面，所以也垂直 于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所 以与这个二面角相等或互补，故B正确；对于C,因为所作射 线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确.故选BD.] 8.C[如图，过E做EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分别做 EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM, 4 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹 角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=tan∠EGO=延 5 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO⊥BC, 因为EG⊥BC,EO,EGC平面EOG,EO∩EG=E, 所以BC⊥平面EOG,因为OGC平面EOG,所以BC⊥OG 同理：OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG是矩形， 所以由BC=10得OM=5,所以EO=√/14，所以OG=5, 所以在直角三角形EOG中，EG=√EO十OG2= √/（√14）2+52=√39， 在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=/EG+BG2= √（√39）2+52=8， 又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15, 所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8=117m.] 00-= 9.C[取AB的中点E,连接CE, 0 DE,因为△ABC是等腰直角三 角形，且AB为斜边，则有CE ⊥AB, 又△ABD是等边三角形，则DE ⊥AB,从而∠CED为二面角C A 一AB一D的平面角，即∠CED =150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEC平 面CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为 直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2, 则CE=1,DE=√5，在△CDE中，由余弦定理得： CD=√/CE2+DE2-2CE·DEcos∠CED /+3-2x1x5×-9=7 2 DE CD 由正弦定理 sin∠DCE sin∠CED' 得sin∠DCE=3sin150°=V3 271 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√1-sin∠DCE= h 5 27 2√7 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为3.] 5· 10.A[把正四棱锥放在正四棱柱中，V 是上底面的中心， 如图，连接AB,与C1D1的中 点EF, 由图可知，过A作AA'⊥EB,连接 A'V, 因为平面EFCB⊥平面A1ABB1, 所以AA'⊥平面EFCB, 因为AA'C平面VAA', 所以平面VAA'⊥平面EFCB 所以点P在平面VBC上的射影落在A'V上， 即在△VBC外部，] 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三棱 锥ABC-A1B1C1,不妨设AC=2a, 因为BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC1的中点，则 AF=BF2+AB2, →4a2+1=5+4→a2=2→a=√2， 所以BE=√BC-EC=√2， 所以V,e=号sa·PC-吉x号xlixfx1= 3 (2)连接A1E,取BC中点为H, D B 连接EH,B,H, 因为E,H分别为AC,BC的中 点，所以EH∥AB, 又因为A1B1∥AB,所以AB1∥ EH,所以AEHB1共面， 易知DEC平面AEHB1, 06 三022 易知△FCB≌△HBB1, 所以BF⊥HB, 又因为BF⊥A1B1,且A1B1∩HB1=B1, 所以BF⊥平面AEHB1,所以BF⊥DE 12.解：(1)证明：，'PD⊥平面ABCD,AMC平面ABCD .PD⊥AM. PD⊥AM,PB⊥AM,PB∩PD=D,PBC平面PBD,PD C平面PBD,.AM⊥平面PBD. 又.AMC平面PAM. .平面PAM⊥平面PBD (2)M为BC的中点， BM=2AD,且AB=DC=10, ,AM⊥平面PBD,BDC平面PBD,∴AM⊥BD 则有∠BAM+∠MAD=90°，∠MAD+∠ADB=90°，即 ∠BAM=∠ADB, 则有△BAM△ADB,则有识@， 将①式代入②，解得AD=√2. 所以SGABCD=AD·DC=√2X1=√2. 新题快递 1.C[如图， 因为球O与平面a,B相切于点A,B,所以OA⊥a,OB⊥B. 所以球心O与平面a,B均成30°的直线有几条转化为 “过空间一，点O与OA,OB(OA,OB成角70)所成角均为 60°的直线有几条” 0 图1 图2 如图（图1中∠BOP=∠AOP=60°，图2中∠BOP=∠AOP =120°)可知， 当点P在平面OAB上方时，有2条； 根据对称性可知当点P在平面OAB下方时，也有2条， 所以过空间一点O与OA,OB所成角均为60°的直线有 4条， 即过球心O与平面a,3均成30°的直线有4条.] 2.解析：以三棱锥A1-ABC为例（如图(1）)，则此三棱锥的4 个面均为直角三角形，故①错误； D A D E 富一数类 FG∥D1D,.过点F、D1、G的截面为矩形FGD1D, FG⊥DE,DE⊥AF,∴DE⊥平面AFG,当P在直线FG 上运动时，APC平面AFG, DE⊥AP,故②正确； 当Q在直线BC:上运动时，△ADQ的面积为定值（如图 (2)),C到平面AD,Q的距离为定值，∴.AD,QC的体积是 定值，故③正确； 连接DC,则DC1⊥平面ABCD,∴.M的轨迹是线段 A1D1,故④正确. 答案：②③④ [第二部分] 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)AB|aAB1 (4)01相等相反相同相等 2.OA+AB OA-OC 3.(1)互相平行或重合共线向量同一个平面a=沾 p=xa十b(2)方向向量 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的直线 平行或重合；B中，a=b|只能说明a,b的长度相等而方 向不确定；C中，向量不能比较大小，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅 模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不 一定相同；B为真命题，AC与A1C的方向相同，模也相等，故 AC-AC1;C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命 题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相 同故不一定相等，所以选BC. [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有A1B1, DC及DC共3个. (2)向量AA1的相反向量为A1A,BB,CC,D,D. (3)|AC1=3. [例2][解](1)CB+BA=CA. (2)因为M是BB1的中点， 所以BM=之BB C 又AA=B丽，所以AC+C店+合Ad =AB+BM=AM. (3)AA-AC-CB-CA-CB-BAT. 向量CA1,AM,BA如图所示. 变式训练 2.解析：D[A中，AD,-A1A-AB=AD,-AB=BD,;B 中，BC+BB,-D,C-BC+CD,=BD;C中，DD-A店 +AD=AD+DD1-AB=AD1-AB=BD1:D中，B1D1- A1A+DD,=BD+AA1+DD,=BD,+AA1≠BD,故 选D.] [例3][解]法一：M,N分别是AC, BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ..MN=MA+AF+FN =CA+A+成. ①