假期作业28 空间直线，平面的垂直-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三0022 假期作业28 空间直线 《思维整合室 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与 a,bCa】 个平面内的 定定理 a∩b=O 都垂 ab六 l⊥a 直，则该直线与 1⊥b 此平面垂直 性质定 垂直于同一个 平面的两条直 aLa>a∥b 线 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另 是 一个平面的 ,则这 C31→a⊥3 理 l⊥aj 两个平面互相 la 垂直 两个平面互相 垂直，则一个平 &⊥3 性 质 面内垂直于 ICB 的直线 →la a∩3=a 垂直于另一个 la l⊥a 平面 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它 在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和 这个平面所成的角，如图， 就是斜 线AP与平面α所成的角， (2)线面角0的范围：0e[0,引 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]直线与平面垂直的判定与性质 1.直线n⊥平面a,n∥l,直线mCa,则l、m的 位置关系是 ( A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 67 高一数类) 贸即刻扫码 平面的垂直 AI伴学助手 婆率谏香王 了同步学习微课 了新知预习宝典 2.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面 BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面， 那么MA与BD的位置关系是 () A.平行 B.不垂直 C.垂直 D.相交 4.如图，在长方体ABCD-A,BC,D1中，AB =BC=2,AA1=1,则AC1与平面 A,B,C,D1所成角的正弦值为 D C A D-22- --C B ◆[考点二]平面与平面垂直的判定与性质 5.若平面a⊥平面B,平面B⊥平面Y,则() A.a∥Y B.a⊥Y C.a与y相交但不垂直D.以上都有可能 6.(多选)a,3是两个平面，m,n是两条直线， 有下列四个命题，其中正确的命题是( A.如果m⊥n,m⊥a,n∥B,那么a⊥3 B.如果m⊥a,n∥a,那么m⊥n C.如果a∥3，mCa,那么m∥3 D.如果m∥n,a∥3，那么m与a所成的角 和n与3所成的角相等 7.（2022·全国乙卷)在正方体ABCD AB,CD,中，E,F分别为AB,BC的中点，则 () A.平面B,EF⊥平面BDD B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面BEF∥平面AAC D.平面B,EF∥平面ACD 8.如图，A,B,C,D为空间四 点，在△ABC中，AB=2,AC =BC=√2，等边三角形 ADB以AB为轴运动，当平 面ADB⊥平面ABC时，则 CD- 飞婴快乐蹊期 ◆[考点三]垂直的综合应用 9.（2023·北京卷)坡屋 顶是我国传统建筑造 型之一，蕴含着丰富的 数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓， 展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个 五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两 个面是全等的等腰三角形.若AB=25m, BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、 等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹 角的正切值均为，则该五面体的所有棱 长之和为 () A.102mB.112mC.117mD.125m 10.已知a,3是两个不同的平面，m,n是平面& 及3之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n;②a⊥3；③n⊥β；④m⊥a. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断 作为结论，写出你认为正确的一个命题 .(用序号表示) 11.已知直三棱柱ABC一 A1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，AB=BC=2, E,F分别为AC和CC1的 中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F一EBC的 体积； (2)已知D为棱A,B1上的点，证明： BF⊥DE. 12.如图，在平行四 D 边形ABCM中， AB-AC=3, ∠ACM=90°. M------c0 以AC为折痕将 A △ACM折起，使点M到达点D的位置， 且AB⊥DA. 6 S0M-= (1)证明：平面ACD⊥平面ABC; (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上 一点，且BP=DQ= DA,求三校锥Q ABP的体积. 新题快递 1.(2023·全国乙卷（理）)已知△ABC为等腰 直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三 角形，若二面角C-AB一D为150°，则直线 CD与平面ABC所成角的正切值为() 8号 c. n号 2.《九章算术》是我国古代数学名著，书中 将四个面均为直角三角形的棱锥称为 “鳖臑”.如图，四面体P一ABC为鳖臑， PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB =1,BC=√2，则二面角A一PC-B的正 弦值为 【《益智欢乐谷 青春里，我们都 在摸索着成长，会被 无合斗，不清着 绊倒，会流泪，会茫 然，会想要放弃，但 是我们都能坚持到 最后.尽管我们一路走来跌跌撞撞，但是我 们写下了属于我们的青春励志文章，鼓励 着正在走向未来的自己，也鼓励那些在黑 暗中挣扎的青少年不要轻言放弃，辜负 青春.人坐快乐假期 (2)连接AC1,交BD于点O,连接OE 因为四边形A1BC1D1为平行四边形，则O,点是AC的 中点.因为E是AA,的中点，所以EO是△AAC,的中位 线，所以EO∥AC1. 又AC,车平面EB,D,EO平面EB,D, 所以AC1∥平面EB,D. (3)连接GH,因为EALB1H,则四边形EAHB1是平行四 边形，所以EB1∥AH.因为AD业HG,则四边形ADGH是 平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BB1业DD,所以四边形BB1DD是平行四边形， 所以BD∥BD. 因为BD∩DG=D, 所以平面EBD,∥平面BDG. 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与GN 的交点O,连接MO,则MO为△ABE的 中位线，所以BE∥MO. 又BE中平面DMF,MOC平面DMF, 所以BE∥平面DMF (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中 点，所以DE∥GN, 又DE在平面MNG,GNC平面MVG, 所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MNC平面MNG,BD庄平面MNG, 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D 所以平面BDE∥平面MNG. 新题快递 1.D[A中，a∩B=a,b二a,a,b可能平行也可能相交；B中，a ∩B=a,a∥b,则可能b∥a,b∥B,也可能b在平面a或3内：C 中，a∥B,b∥B,a二a,b二a,根据平面平行的判定定理，若加上 条件a∩b=A,则a∥B.故选D.] 2.D[如图所示，A',B分别是A, B两点在Q,B上运动后的两点， 此时AB中点C变成A'B′中点 C'.连接A'B,取A'B的中点E, 连接CE,CE',CC,AA',BB'. 则CE∥AA',又AA'Ca,CE中a ∴.CE∥a,同理CE∥B B B 又a∥B,∴CE∥a. :C'E∩CE=E,.平面CCE∥平面a..CC'∥a.故不论 A,B如何移动，所有的动点C都在过点C且与a,B平行的 平面上.] 假期作业28 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.（1)锐角 ∠PAO 技能提升台素养提升 1.D 2.A[过，点A作AH⊥BD于，点H(图略)，由平面ABD⊥平 面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.文DA⊥平面 ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.故选A.」] 3.C[连接AC,因为ABCD是菱形， 所以AC⊥BD, 又MC⊥菱形ABCD所在的平面， BDC平面ABCD,所以MC⊥BD, 又MC∩AC=C,MC,ACC平面A MAC,所以BD⊥平面MAC,MAC 平面MAC, S0M-= 所以MA⊥BD.] 4.解析：连接AC1,则∠AC1A1为AC1与 平面AB,CD1所成的角. 因为AB=BC=2,所以A,C=AC= 22,又AA,=1,所以AC1=3, 所以sn∠ACA-治-子 答案：弓 5.D 6.BCD[A中当m⊥n,m⊥a,n∥B时，两个平面的位置关系 不确定，A不正确，B中，过直线n作平面Y与B交于c, 则n∥c, 由m⊥a,所以m⊥c,所以m⊥n,B正确.C中由面面平行的 性质，易得m∥B,C正确.D中，由线面角的定义与等角定理 可知D正确.] 7.A[对于A选项，在正方体 D ABCD-AB,C,D1中，因为E,F 分别为AB,BC的中点，易知EF ⊥BD,EF⊥DD1,又BD∩DD =D,从而EF⊥平面B,BDD1, 又因为EF二平面B1EF,所以平 面B,EF⊥平面BDD1,所以A选 项正确：对于B选项，因为平面 E A1BD∩平面BDD1=BD,由上 述过程易知平面B1EF⊥平面ABD不成立；对于C选项， 由题意知直线AA1与直线B,E必相交，故平面B1EF与平 面A1AC有公共，点，从而C选项错误：对于D选项，连接 AC,AB,,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又因为平面 AB,C与平面B,EF有公共点B,,故平面AB,C与平面 B1EF不平行，所以D选项错误.] 8.解析：如图，取AB的中点E,连接 DE,CE, 因为△ADB是等边三角形， 所以DE⊥AB. E 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB,DEC 平面ABD, 所以DE⊥平面ABC.又CEC平面ABC, 可知DE⊥CE.由已知可得DE=√3，EC=1, 在Rt△DEC中，CD=√DE+CE=2. 答案：2 9.C[如图，过E做EOL平面ABCD,垂足为O,过E分别做 EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM, D G M 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹 角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=tan∠EGO=√厘 51 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO⊥BC, 因为EG⊥BC,EO,EGC平面EOG,EO∩EG=E, 所以BC⊥平面EOG,因为OGC平面EOG,所以BC⊥OG 同理：OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG是矩形， 所以由BC=10得OM=5,所以EO=√14，所以OG=5, 所以在直角三角形EOG中，EG=√EO十OG= √/（√14）+5=39， 6 三0022 在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=√EG+BG= √（√39）2+5=8， 又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15, 所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8=117m.] 10.解析：当m⊥a,m⊥n时，有n∥a或nCa,∴.当n⊥3时，a⊥3，即 ①③④→②.或当aLB,mLa时，有m∥B或mCB,.当n⊥B 时m⊥n,即②③④→①. 答案：①③④→②（或②③④→①） 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三棱 柱ABC-AB1C1,不妨设AC=2a, 因为BF⊥A1B,, 所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC,的中点，则 AF=BE+AB2. →4a2+1=5+4→a2=2→a=V2, 所以BE=√BC-EC=√2， 所以Vm=Saa·C=子× 】×2×2×1= (2)连接AE,取BC中点为H,A D 连接EH,BH, 因为E,H分别为AC,BC的中 点，所以EH∥AB, 又因为A1B:∥AB,所以AB:∥ EH,所以AEHB1共面， 易知DEC平面A1EHB, 易知△FCB≌△HBB,,所以BF ⊥HB1, 又因为BF⊥AB,且AB,∩HB,=B, 所以BF⊥平面A,EHB,,所以BF⊥DE 12.(1)解：证明由已知可得，∠BAC=90°， 即BA⊥AC.又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD, ACC平面ACD, 所以AB⊥平面ACD. 又ABC平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC (2)由已知可得，DC= D CM=AB=3, DA=3√2. 又BP=DQ=号DA, p 所以BP=2√2. 如图，过点Q作QE⊥ AC,垂足为E,则QE∥DC且QE=子DC 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC, 所以QEL平面ABC,QE=1. 因为，三棱锥Q一ABP的体积为 V,Am=子xSo4rXQE =×号×8x2sm46×1=1. 新题快递 1.C[取AB的中点E,连接CE, DA DE,因为△ABC是等腰直角三 角形，且AB为斜边，则有CE ⊥AB, 又△ABD是等边三角形，则DE ⊥AB,从而∠CED为二面角C A 一AB一D的平面角，即∠CED =150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEC平 10 高一数学) 面CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为 直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2, 则CE=1,DE=√3，在△CDE中，由余弦定理得： CD=√CE+DE-2CE·DEcos.∠CED /1+3-2×1××-}=. -2 DE CD 由正孩定理sn∠DCE-sin/CED' 得sin∠DCE=5sin150°=5 分 27 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√1-sin∠DCE= 、5 (272√7 所以直线CD与平西ABC所成的角的正切为怎] 2.解析：因为PA⊥平面ABC,PAC平面PAC,所以平面PAC ⊥平面ABC. 过，点B作BD⊥AC于点D,过点D作DE⊥PC于点E,连 接BE. 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC BDC平面ABC, 所以BD⊥平面PAC.因为PCC平面PAC,所以BD⊥PC. 因为DE⊥PC,BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE,所以PC ⊥平面BDE.因为BEC平面BDE,所以PC⊥BE, 所以二面角A一PC一B的平面角为∠BED 因为AB⊥BC,且PA=AB=1,BCP =√2，PA⊥平面ABC,所以PB= √2，AC=V3,PC=2,PB⊥BC.又因 为BE⊥PC,所以E为PC的中点， 所以BE=1. 由等面积法得BD=E, 3 因为BDL手面PAC片以s∠BED器=9 所以二面角A-PC-B的正孩值为 3 答案9 [第二部分]新知预览1 知识梳理一自学教材，素养奠基 2.(1)一个点方向(2)①x轴（正方向）逆时针②[0，π) 典例探究—探究学习，素养形成 变式训练 1.A[结合直线1的倾斜角的定义可知A可以.] 2解析：说免直线的候外扇力e,期me==二-反 因为0°≤a<180°，所以a=60°. 答案：W360 1-0=1, 3.解：如图所示.因为k加=21 所以k∈（一o,一3]U[1,+o), 所以45°≤a120°