假期作业21 空间直线、平面的平行-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三-0022 假期作业21 空间直线 《思维整合室 1.(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条 直线互相 (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角 2.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线 与 的 判 因为l∥a,a 一条直线平行，则 Ca,l中a,所 蜜 该直线与此平面 a 以l∥a 平行（线线平行→ 线面平行) 条直线与一个 平面平行，则过这 条直线的任一平 因为l∥a,l 必 面与此平面的 CB,a∩B 理 与该直 =b, 线平行（简记为 所以1∥b “线面平行→线线 平行”) 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面内的两 条 因为a∥B,b 与另一个平面平 a U8. 定定 行，则这两个平面 a∩b=P, 平行（简记为“线 B aCa,bCa, 面平行→面面平 所以a∥B 行”) 如果两个平行平 因为a∥B,a 面同时和第三个 ∩y=a, 定 平面 ,那 80Y=6, 么它们的 所以a∥b 平行 高一教学恐 平面的平行 青，取之于蓝而青于蓝 完成日期： 月 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]直线与平面平行的判定与性质 1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三条 线段，则经过它们的中点的平面和直线AC 的位置关系是 A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.AC在此平面内 2.在五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1中，F,G分 别是AA,和B照卡的点，且部-路则 FG与平面ABCDE的位置关系是() A.平行 B.相交 C.FGC平面ABCDE D.无法判断 3.设a,3为两个平面，m,n为两条直线，且a∩ B=m.下述四个命题： ①若m∥n,则n∥a或n∥β；②若m⊥n,则 n⊥a或n⊥B;③若n∥a且n∥B,则m∥n; ④若n与a,3所成的角相等，则m⊥n.其中 所有真命题的编号是 A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 4.如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是平行 四边形，M,N分别为线 段PC,PB上一点，若 PM:MC=4:1,且 AN∥平面BDM,则PN:NB= ◆[考点二]平面与平面平行的判定与性质 5.平面a内有不共线的三点到平面3的距离相 等且不为零，则α与的位置关系为 ( A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合 41 曼快乐假期 6.(多选)已知a,b表示两条直线，a,β，y表示 三个不重合的平面，给出下列命题，正确 的是 () A.若a∩y=a,Bny=b,且a∥b,则a∥B B.若a,b相交，且都在a,3外，a∥a,b∥a, a∥B,b∥B,则a∥B C.若a∥a,b∥p,且a∥b,则a∥g D.若aCa,a∥B,a∩B=b,则a∥b 7.下列四个正方体中，A,B,C分别为其所在 棱的中点，D,E,F为正方体的三个顶点，则 能得出平面ABC∥平面DEF的是() 8.如图，在正方体ABCD- D A1B1CD1中，与平面 AA1DD平行的平面是 D ;与平面 A1B1C1D1平行的平面是 ,与平 面BDD,B1平行的棱有 ◆[考点三]平行的综合问题 9.如图，在棱长均为1的正三 C 棱柱ABCA1B1C1中，M, N分别为线段AB,BC上 的动点，且MN∥平面 ACC1A1,则这样的MN有 () A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 .-S0M-= 10.(答案不唯一型)如图所示， D 在正四棱柱ABCD 、A G B A1BCD中，E,F,G,H分 别是棱CC1,C1D1,D1D, DC的中点，N是BC的中 A 点，点M在四边形EFGH及其内部运动， 则M只需满足条件 时，就有 MN∥平面B,BDD.(注：请填上你认为正确 的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 11.如图，在平行六面体AB CD-A1B1C1D1中，E,M, N,G,H分别是AA1,E CD,CB,CC1,BB1的中 M 点，求证： (1)MN∥B1D1; (2)AC1∥平面EB1D1; (3)平面EBD1∥平面BDG 2 三0022 12.由四棱柱ABCD A A,B1C1D1截去三棱 B. 锥C1-B1CD1后得到 的几何体如图所示，四 边形ABCD为平行四B 边形，O为AC与BD的交点， (1)求证：A1O∥平面B1CD1; (2)求证：平面A1BD∥平面B1CD1; (3)设平面B,CD1与底面ABCD的交线 为l,求证：BD∥1. 新题快递 1.给出下列命题： (1)若平面α内有两条直线分别平行于平面 3,则a∥B; (2)若平面a内任意一条直线与平面B平 行，则a∥B; (3)过已知平面外一条直线，必能作出一个 平面与已知平面平行； (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥y,B∥y,则 有a∥B. 其中正确的命题是 .(填写序号) 高一数类 2.在正方体ABCD A1BCD1中，面对角线 AD,CD1上各有一个动 点M,N(不包含端点)， 使得直线MN∥平 面A1ACC· (1)当M,N为对角线A1D,CD1的中点，T 为CD的中点时，证明：平面MNT∥平 面A1ACC1; (2)当正方体的棱长为2时，求线段MN 长度的最小值. 【《益智欢乐谷 1.不要向这个世界认 输，因为你还有牛逼的 梦想！ 2.即使梦想不能实 DREAM 现，我们也不会放弃努力！ 3.所有的伤害只会让 我变强，用更强大的自己守护我的梦想！ 4.我若不努力，那谁来替我完成梦想！ 43三0022.-.-- 2.D[连接AD1,则AD1∥EF,连接 FD1,则平面AEF截正方体所得截 面多边形为梯形AD,FE, ,正方体棱长为2，故AD1=2√2， EF=√2， D 又AE=D1F=/2+1=√5， .等腰梯形ADFE的高为 √/⑤2-7 3 2 √2 六梯形ADEE的面积为=2十22×号=号，门 2 假期作业21空间直线、 平面的平行 思维整合室 1.(1)平行(2)相等或互补 2.这个平面内交线3.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.A[五棱台中，AB∥A1B1,∴.四边形AA1B1B是梯形， AF BG A,GB,FG∥AB.而FGt平面ABCDE,ABC平 面ABCDE..FG∥平面ABCDE.] 3.A[对于①，若m∥n,则n∥a或n∥B,正确；对于②，若m ⊥n,当nCa或nC3时，结论不一定成立，错误；对于③，若n ∥a且n∥B,根据线面平行的性质知，m∥n,正确，对于④， 若n与a,3所成的角相等，m与n不一定垂直，错误.] 4.解析：如图，连接AC交BD于点 O,连接CN交BM于点G,连 接OG. 由AN∥平面BDM,平面ANC∩ 平面BDM=OG,ANC平面ANC, 可得AN∥OG,,OA=OC,.CG =NG,.G为CN的中点. 作HN∥BM交PC于点H,.∴.CM =HM. .PM:MC=4:1,.'.PH:HM=3:1, .'PN:NB-PH:HM=3:1. 答案：3：1 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,B∩y=b,且a∥b,则a,B可能相交、平 行，错误；B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a∥B,b B,由面面平行的判定可得a∥B,正确；C:若a∥a,b∥B,且a ∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aCa,a∥B,a∩B=b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.B[对于A选项，若平面ABC∥平面 DEF,BCC平面ABC,则BC∥平面 DEF,由题图可知BC与平面DEF相 交，故平面ABC与平面DEF不平行， A不满足题意； 对于B选项，如图①所示，连接NG, 因为A,C分别为PN,PG的中，点，所H 以AC∥NG, 图① 在正方体EHDG-MFNP中，FN∥EG 且FN=EG,故四边形EFNG为平行四边形，所以NG∥ EF,所以AC∥EF,因为AC寸平面DEF,EFC平面DEF, 所以AC∥平面DEF, 同理可证BC∥平面DEF,因为AC, M BCC平面ABC,AC∩BC=C,所以平 面ABC∥平面DEF,B满足题意； N B/ 对于C选项，如图②所示， 在正方体PHDG-MNFE中，若平面 ABC∥平面DEF,且平面DEF∥平面 MNHP, H D 则平面ABC∥平面MNHP,但这与平 面ABC与平面MNHP相交矛盾， 图② 9 含一数类 因此平面ABC与平面DEF不平行，C不满足题意； 对于D选项，在正方体PDHG-FNEM M 中，连接PH,PM,MH,如图③所示， 因为DH∥FM且DH=FM,所以四边 形DHMF为平行四边形，所以DF ∥MH, 因为DF丈平面PHM,MHC平面 PHM,所以DF∥平面PHM, 同理可证EF∥平面PHM,因为DF∩ EF=F,DF,EFC平面DEF,所以平面 图③ DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC与平面PHM相交矛盾，故平面ABC与平面 DEF不平行，D不满足题意.门 8.解析：由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱柱 知：平面AA1DD∥平面BB1C1C,平面ABCD∥平面 ABCD;:正方体的侧棱相互平行，∴AA1∥BB1∥CC, .CC1∥平面BDDB1,AA1∥平面BDDB1. 答案：平面BB1C1C;平面ABCD;AA1,CC 9.D[如图，任取线段AB上一，点M,过M A 作MH∥AA,交AB于H,过H作HG∥ AC交BC于G,过G作CC1的平行线，与 CB,一定有交点N,连接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC1A1 所以MN∥平面ACC1A,,则这样的MN 有无数条.门 10.解析：连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MNC 平面FHN,'.MN∥平面B1BDD 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB的 中点， 所以MN∥BD.又因为BB4DD,,所以 四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD ∥B1D1, 从而MN∥B,D. (2)连接A1C1,交BD1于点O,连接OE. 因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的 中点.因为E是AA1的中，点，所以EO是△AAC1的中位 线，所以EO∥AC. 又AC1寸平面EB,D1,EOC平面EBD1, 所以AC1∥平面EB1D1. (3)连接GH,因为EALB,H,则四边形EAHB,是平行四 边形，所以EB1∥AH.因为AD LHG,则四边形ADGH是 平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BB1LDD1,所以四边形BB1DD是平行四边形， 所以BD∥BD1.因为BD∩DG=D, 所以平面EB1D1∥平面BDG 12.证明：(1)取B1D1的中点O,连接 CO,AO, ABCD-A1BC1D1是四棱柱， ..AO LOC, .四边形A1OCO1为平行四边形， -20 .AO∥O1C. 又OCC平面B,CD1,A,O￠平面BCD1,.AO∥平 面B1CD1, (2)BB1LAA1LDD1,.四边形BB,D,D是平行四边 形，.BD∥BD1 又BD寸平面B1CD1,BD1C平面B1CD1,.BD∥平 面B1CD1, 由(1)得AO∥平面B,CD1且BD∩A1O=O,BD,A1OC 平面ABD, .平面A,BD∥平面B,CD,. (3)由(2)得平面A1BD∥平面BCD1, 又平面A1BD∩平面ABCD=BD,平面B,CD,∩平面 ABCD=l,..BD∥1. 新题快递 1.解析：(1)由平面与平面平行的判定可知，若平面α内有两条 相交直线分别平行于平面B,则a∥B,故(1)错误； 化曼快乐限期 （2)由平面与平面平行的定义可知，若平面α内任意一条直 线与平面B平行，则a∥B,故(2)正确； (3)当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条 直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故(3)错误； (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥Y,B∥Y,由平面与平面平行 的传递性可得α∥B,故(4)正确. 答案：(2)(4) 2.(1)证明：如图，连接NT,MT,AD1,因为 侧面ADD1A1为正方形，M为A1D的中 点，所以M为AD1的中，点.因为N,T分 A 别是线段CD1,CD的中点，所以MN∥ AC,NT∥DD1. 因为ACC平面AACC1,MN中平面 A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC,. 因为DD1∥AA1,所以NT∥AA1. 因为NT∥AA1,AA1C平面A1ACC1,NT寸平面A1ACC1, 所以NT∥平面A,ACC. 因为NT∩MN=N,NT,MNC平面MNT,所以平面MNT ∥平面A1ACC. (2)解：如图，过点M作AD的垂线，垂足 D C 为P,过点N作DC的垂线，垂足为Q,连 接PQ,由正方体的性质可知MP∥AA1, NQ∥DD1,AA1∥DD1,则MP∥NQ,则 MP,NQ可确定平面MNQP. D 因为MP∥AA1,AA1C平面A1ACC1, MP￠平面A1ACC,所以MP∥平 面A,ACC, 又MN∥平面AACC,,MP∩MN=M,MP,MNC平面 MNQP,所以平面MNQP∥平面A1ACC1, 因为平面MNQP∩平面ABCD=PQ,平面A1ACC1∩平面 ABCD=AC,所以PQ∥AC. 设PD=x,0<x<2,则QD=x,MP=x,又正方体的棱长为 2,则NQ=QC=2-x. 在四边形MNQP中，MP∥NQ,MP⊥PQ,PQ=√2x,则 MN-(NQ-MP)+PG-6x-8x+4-6(- +, 则当x=号时，线段MN长度的最小值为2 假期作业22空河直线、 平面的垂直 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.(1)锐角∠PAO 技能提升台素养提升 1.D 2.C[对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异 面，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两条直线平行，故 ②正确；对于③，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正 确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④ 错误.] 3.C[对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交或 异面，故A,B错误；对于C,D,若m∥a,n⊥a,则m⊥n,且m 与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.] 4.D 5.A[过，点A作AH⊥BD于点H(图略)，由平面ABD⊥平 面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面 ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.] 6.A[PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC.又 正方形ABCD中，BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面 PAB,∴.BC⊥平面PAB,BCC平面PBC,.平面PAB⊥平 面PBC,②正确； 同理AD⊥平面PAB,ADC平面PAD,.平面PAD⊥平面 PAB,①正确； 设平面PAB∩平面PCD=l,AB∥CD,ABC平面PAB, CD￠平面PAB,.CD∥平面PAB,.CD∥U.,CD⊥平面 PAD,∴.L⊥平面PAD,P为垂足，∴.∠APD为二面角A--D 的平面角，若平面PAB⊥平面PCD,则AP⊥PD,在 9 00M= Rt△PAD中不可能存在AP⊥PD,③错误.；，AB⊥PA,AC ⊥PA,∴.∠BAC为二面角B一PA一C的平面角，若平面 PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在Rt△ABC中不可能存在 AB⊥AC,④错误.] 7.BD[对于A,显然混淆了平面与半平面的概念，故A错误； 对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面，所以也垂直 于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所 以与这个二面角相等或互补，故B正确；对于C,因为所作射 线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确.] 8.B[设棱台高为h,且三条侧棱延长后交于一，点O,则由已 知得AB=3A1B1, 则0到上底的距离为，0到下底的距离为号h,又Sc 9V3,SA49=5, 所以号·9·五-5·2-号→=有上底中 √3 1 项点A,的距离为之，所以所求正切值边2 3 2 4 3 =1.] 9.C[取AB的中点E,连接CE,DE D 因为△ABC是等腰直角三角形，且 AB为斜边，则有CE⊥AB, 又△ABD是等边三角形，则DE⊥ AB,从而∠CED为二面角C一AB一D 的平面角，即∠CED=150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEC平面 CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC 平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为 直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2, 则CE=1,DE=√3，在△CDE中，由余弦定理得： CD=√CE2+DE2-2CE·DEcos∠CED =√/1+3-2×1××-9=7， 2 DE CD 由正弦定理 sin∠DCE sin∠CED' 得sin∠DCE=3sin150°=3 7 2W71 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√1-sin∠DCE= 1- 3)2 5 2√72√7 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切值为.] 10.D[四棱锥的底面是边长为4的 D 正方形，且PA=PB=4,PC=PD A =2√2，如图，设AB,CD的中点分 E 别为E,F,则PE⊥AB,PF⊥CD, 0 B 连接EF,EF⊥CD,PF⊥CD,EF ∩PF=F,EFC平面PEF,PFC平面PEF,∴.CD⊥平面 PEF,又CDC平面ABCD,,.平面PEF⊥平面ABCD,且 平面PEF∩平面ABCD=EF.过点P作PO⊥EF于点O, 则POC平面PEF,则PO⊥平面ABCD.在△PEF中，由 题可求得PE=2W3,PF=2,EF=4,PE2+PF2=EF2, ∴.∠EPF=90°，根据面积相等可得PO·EF=PE·PF, 即4PO=2√3×2，得PO=√3.] 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三棱 锥ABC-A1B1C,不妨设AC=2a, 因为BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC1的中点，则 AF2=BF2+AB2, →4a2+1=5+4→a2=2→a=√2，