假期作业26 空间点、直线、平面之间的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

快乐假期 0M-= 假期作业26空间点、直线、平面之间的位置关系 壁立千仞，无欲则刚。 完成日期： 月 日 《思维整合室 技能提升台 1.三个基本事实 素养提升 基本事实1：如果一条直线上的 在 ◆[考点一]平面的基本性质 一个平面内，那么这条直线在此平面内. 1.(多选)已知a,B为平面，A,B,M,N为点，a 基本事实2：过 的三点，有 为直线，下列推理正确的是 () 且只有一个平面， A.A∈a,A∈3，B∈a,B∈B→aC3 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个 B.M∈a,M∈B,N∈a,N∈BPa∩B=MN 公共点，那么它们 过该点的 C.A∈a,A∈B→a∩B=A 公共直线， D.A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M不共 基本事实3的三个推论 线→a,B重合 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有 2.下列两个相交平面的画法中正确的是( 且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面. 2.空间直线的位置关系 共面直线 异面直线：不同在 个平面内 3.下列命题中正确的个数为 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ①若△ABC在平面α外，它的三条边所在 图形语言 符号语言 公共点 的直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点 共线； ②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直 相交 a∩a=A 个 线1于A,B,C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个 与 平行 a∥a 平面. 在平 A.0 B.1 C.2 D.3 a☑ aCa 个 面内 4.若直线1与平面a相交于点O,A,B∈l,C, D∈a,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置 平 平行 a∥B 个 关系是 面 平 面 相交 &∩3=l 个 04 4.异面直线所成的角 (1)定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中 ◆[考点二]空间两直线的位置关系 任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所 5.设BD1是正方体ABCD一A1BC,D1的一 成的 叫做异面直线a与b所 条对角线，则这个正方体中，面对角线与 成的角 BD1异面的有 ) A.0条 B.4条 C.6条 D.12条 62 三0022 富一数类) 6.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面，则b与c 12.如图，在正方体ABCD一EFGH中，O为 侧面ADHE的中心，求： A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 0 D.不可能是相交直线 7.(2023·上海卷)如图所 示，在正方体ABCD (1)BE与CG所成的角； A,B1CD1中，点P为边 (2)FO与BD所成的角. AC1上的动点，则下列 直线中，始终与直线BP 异面的是 ( B A.DD B.AC C.AD D.BC 8.如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异 面直线的图形有 新题快递 ① ② ③ 1.如图所示，圆锥底面半径为1，母线AC=2, ◆[考点三]异面直线所成的角 D为弧AB的中点，E是BC中点，则异面直 9.(2021·全国乙卷文，10)在正方体ABCD 线AC与DE夹角的正弦值是 () A1B,CD1中，P为B1D1的中点，则直线 PB与AD1所成的角为 A B.3 c D若 10.(2023·全国甲卷（理）)在正方体ABCD =月 A1B,C1D1中，E,F分别为CD,A1B1的中 点，则以EF为直径的球面与正方体每条 A号 B.1 C② D② 4 棱的交点总数为 2.正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为2，E,F 11.如图所示，在长方体ABCD一EFGH中， 分别是BC,CC的中点，则平面AEF截该 AB=AD=2√3，AE=2. 正方体所得的截面面积为 H E R C.9 ·4 D D 《益智欢乐谷 (1)求直线BC和EG所成的角； 踏上幽径，追逐星光 (2)求直线AE和BG所成的角. 人有两条路要走，一条是必须走的，一 条是想走的，你必须把必须走的路走漂亮 才可以走想走的路，有些路，你不走下去， 就不会知道那边的风景有多美，所以内心 难过也不要把自己丢在黑暗中，按时睡觉， 好好吃饭，洗个热乎的澡，喝甜甜的奶茶 看看长河落日，花朵树木，驱逐丧气再努力 奔跑，生活到处是发光的星星. 63壁快乐假期 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交AD延 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积. 所以所求几何体的体积V=V台一V=3xX(5+5X2 +2)X4-子xx2×2=1 3. 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与 边BC,AC相切于点D,E.连接AD,OE, 因为△ABC是正三角形，所以CD= 号AC 因为Rt△AOE∽R1△ACD,所以OE AO =CD AC. 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设0E-,周A0=5-n所以后，合 所以r= 3 cm, V=3π3) 4 =43 27 x(cm),即球的体积等 9om 新题快递 1.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√5，取AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， 0以 5)A B ∠AB0=30°，OC三9，AB=2BC=3,由△PAB的面积为 9,得号×3×pC=9后 4 解得PC= 3y5.于是P0=√PC-0C 2 --6 所以国维的体积V=3x×0AXP0=3x×(W5)'XV6- √6元.] 2.解析：四面体的体积最大时即 面SAB⊥面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB,BC= W5,AC=3,所以∠ACB=90°， 取AB的中点H,连接 CH,SH, A B SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC=AB,SH在平面SAB 1 内，而SH=2E·SA=2 所以SHL平面ABC,所以VAe=3·S△c·SH=3 10 0M-= z·53=30 1 6 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= ·AB=子E,SA=E,因为sH=号E.SA=E 1 所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR=8元 答案@ 8x 假期作业26 思维整合室 1.两点不在一条直线上有且只有一条 2.平行相交任何3.10无数0无数 4.(1)锐角（或直角） 技能提升台素养提升 1.ABD[选项C中，a与B有公共点A,则它们有过点A的一 条交线，故C错.门 2.D 3.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在平面 a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即P,Q,R 三，点共线，故①正确；在②中，因为a∥b,所以a与b确定一 个平面a,而l上有A,B两点在该平面上，所以l二a,即a,b, l三线共面于a;同理a,c,l三线也共面，不妨设为B,而a,B 有两条公共的直线a,l,所以a与B重合，故这些直线共面， 故②正确：在③中，不妨设其中四，点共面，则它们最多只能确 定7个平面，故③错.] 4.解析：，AC∥BD, .AC与BD确定一个平面，记作平面B,则a∩B=CD ,l∩a=O,.O∈a. 又O∈ABCB,O∈直线CD,.O,C,D三点共线. 答案：共线 5.C 6.C[由于a∥b,a,c 异面，此时，b和c可 能相交，也即共面，如 图所示b与c相交；b a 和c也可能异面，如 图所示b与c异面.综上所述，b与c不可能是平行直线.] 7.B[对于A,当P是A,C,的中点时，BP与DD,是相交直 线；对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线； 对于C,当点P与C,重合时，BP与AD,是平行直线；对于 D,当点P与C1重合时，BP与B,C是相交直线.] 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所以直 线HG与MN必相交. 答案：②④ 9.D[由题意可知，连接BP,BC1,PC1(图略)，则BP,BC所 成角即为所求角0，设AB=2,则BP=√6，BC,=2√2，PC BP*+BC-C P2 =√2，由余弦定理可知c0s日= 2BP·BC =6+8二2-所以夫角为名] 2√6·2√22 10.解析：在正方体ABCD D C A1BCD1中，E,F分别 为CD,AB1的中点， 设正方体ABCD A1BC1D,中棱长为2， 0下 EF中点为O, 取AB,BB1中，点G,M,侧 面BB,C,C的中心为N, 连接FG,EG,OM,ON, A MN,如图， 三0022. 由题意得O为球心，在正方体ABCDA B C D,中，EF= √FG+EG=√4+4=2√2， ∴.R=√2， 则球心O到BB1的距离为OM=√ON2+MN产=√个+I =√2， .球O与棱BB1相切，球面与棱BB,只有一个交点， 同理，根据正方体ABCDA1B,C,D1的对称性可知，其余 各棱和球面也只有一个交点， ∴.以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 答案：12 11.解：(1)连接AC(图略)，EG∥AC, .∠ACB即是BC和EG所成的角」 ,在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2√3， .tan∠ACB=1,.∠ACB=45°， .直线BC和EG所成的角是45° (2):AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG=√3， .∠FBG=60°， .直线AE和BG所成的角是60°. 12.解：(1)CG∥FB, ∴.∠EBF是异面直线BE与CG所成 的角， 在Rt△EFB中，EF=FB, .∠EBF=45°， 'D .BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH, FB∥AE,FB=AE,AE∥HD,AE=HD, ∴.FB=HD,FB∥HD, ∴.四边形FBDH是平行四边形， .BD∥FH, ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA,AF, 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴.∠HFO=30°， ∴.FO与BD所成的角为30°. 新题快递 1.C[设底面圆心为O,连接EO,CO, OD,如图所示，可知EO∥AC,故∠OED 为异面直线AC与DE所成的角（或其 补角). ,CO⊥底面ABD, ∴COLOD.又：点D为半圆孤AB的 A--2 中点， D .AB⊥OD,又CO∩AB=O .OD⊥平面ABC, .OD⊥EO,在Rt△ODE中，OD=OE=1, ∠OED=牙sin∠OED=号，故异面直线AC与DB夫 角的正孩值是.故选C.] 2.D[连接AD1,则AD,∥EF, 连接FD,,则平面AEF截正方 体所得截面多边形为梯 形AD1FE, 正方体棱长为2，故AD1= 2√W2,EF=√2， D 又AE=D,F=√2+1=√5， ∴.等腰梯形ADFE的高为 A B “梯形AD,F,E的面积为=E+2区×3 2 .] 9 一数学， 假期作业27 思维整合室 1.(1)平行(2)相等或互补 2.这个平面内交线3.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.BCD[对于A,若直线1在平面a内，l上有两点到a的距离 为0，相等，此时1不与a平行，所以A错误；对于B,因为l∥ B,所以存在直线mCB使得l∥m,因为l⊥a,所以m⊥a,又 m二B,所以B⊥a,所以B正确：对于C,l∥a,故存在m二a使 得l∥m,因为a∥B,所以m∥B,因为l∥m,l中B,所以l∥B,C 正确.对于D由面面平行的判定定理知D正确.门 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B,C 可由线面平行的判定定理判定正确性.D错在DB1∥I,l与 B,C1所成角是45°.] 4.解析：连接HN,FH,FN(图略)，则FH∥DD,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B,BDD,只需M∈FH,则MNC平 面FHN,∴.MN∥平面BBDD1. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,B∩y=b,且a∥b,则a,B可能相交、平 行，错误：B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a∥B,b∥ B,由面面平行的判定可得a∥B,正确：C:若a∥a,b∥B,且a ∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aCa,a∥B,a∩B=b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确，] 7.AB[如图，：EG∥E,G1,EG寸平 面E1FG1, E,GC平面EFG1, .EG∥平面E1FG1· 又GF∥HE, 同理可证H,E∥平面EFG, 又H,E∩EG=E,∴.平面E,FG∥ EGH1,故A正确，同理可得B正确，故选AB.] 8.解析：平面MNE∥平面ACB, 由平面平行的性质定理可得EN∥B,C,EM∥B,A, 又E为BB的中点， .M,N分别为BA,BC的中点， 六MN=AC,即然N=2 答案：2 9.D[如图，任取线段AB上一点M, 过M作MH∥AA1,交AB于H,过H 作HG∥AC交BC于G,过G作CC 的平行线，与CB,一定有交点N,连 接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC,A1 所以MN∥平面ACC1A,,则这样的 H MN有无数条.] 10.解析：：EF∥DG,BE∥AD,BE∩EF=E,AD∩DG=D, BE,EFC平面BEF,AD,EGC平面ADGC,'.平面BEF∥ 平面ADGC. ,BFC平面BEF, .BF∥平面ACGD,故①正确； 由于DG=2EF, 则四边形EFGD是梯形， GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确； 选项②③不能推出. 答案：① 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB的 中点， 所以MN∥BD.又因为BB,LDD,所以 四边形BB1DD是平行四边形，所以BD ∥BD, 从而MN∥B1D. 05