假期作业18 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

飞壁饶乐假明 11.解：设x=a十bi(a,b∈R),由z|=1+3i-z, 得√a+b-1-3i+a+bi=0, 则√a+B+a-1=0,所以=。-4，所以之=-4十31 b-3=0, 1b=3, 则1+)(3+4D2-2i(3+4D2 2(-4+3i) =2(-4+3D(3+4D=3+4, 2(-4+3i) 12.解：(1)设x=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得：a2十b=2,22=a2一b2十2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=一1，即z=1+i或z=一1一i. (2)当之=1十i时，z2=(1十i)2=2i,之-x2=1-i,所以点 A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 所以5m=号ACX1=合X2X1=1: 当x=-1-i时，22=（-1-i)2=2i,之-z2=-1-3i. 所以点A(-1,-10,B0,2,C(-1,-3,所以5Ac=号1AC ×1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. 新题快递 1.AC [z=r(cos 0+isin )(cos 20+isin 20), =r2(cos 20+isin 20)=2,=r(cos 0+isin 0)2=, 以A正确；当r=1,0=受时，2=(os受+isin晋）广=cos x十isin元=-1，所以B错误；当r=1,0=3时，z=c0s3+ 血号=名+受则=号-号所以C正动：当=10 时，2=os要+isin, 当n为偶数时，设n=2k,k∈Z, 则=cos经+isin经，k长Z, 所以当k为奇数时，z”为纯虚数，当k为偶数时，”为实数， 所以D错误.门 2.AC[对于A,当64ac=0时，x=x2=一，6ER,故正 确；对于B,当-4ac<0时，则=-b-i二B+4ac, 2a --b叶i+4c,则5华R,任R,且五≠红，故错误；对 于C,由一元二次方程根与系数的关系可得工十西=一。， 西=名，故正确；对于D,(一石)_二如，故错误] a 假期作业18基本立体图形及 立体图的直观图 思维整合室 1.互相平行公共顶点平行于 2.(2)45°（或135）变为原来的一半 技能提升台素养提升 1.B2.C 3.BCD[当任意两，点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故A 错；B正确；C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 4.A[由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所D 示，AC即为葛藤的最短长度，一条直角边长（即圆 木的高)为3×10十5=35（尺），另一条直角边长为 3×4=12(尺)，故葛藤长为√352+122=37 (尺).] 5.ABD[由直观图的画法规则，可知A,B,D正确， C中∠x'0'y'可以是45°或135°，故C错误.] 6.D[根据斜二测画法的原则可知OC= 2,OA=1, 所以对应直现图的面积为S=2X名×04 0/入 ×00xm45=2x号×1x2x'号-2.] x 2 9 000= 7.C[由题知∠D/OA'=45°，0C'= CD'=1,所以0D'=√2， D 故在原图形中，OD=2√2，CD=C D'=1,OC=√OD+CD=√8+1 =3,OA=OA'=3,所以四边形 OABC为菱形（如图所示），则原图 0 形面积S=OA·OD=6√2.] 8.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C菱形且边长为2cm, .由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是 矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm, ,∴.四边形ABCO的周长为：2×(2+4)=12(cm), 面积为S=2X4=8(cm2). y 答案：128 9.A[可以将该半正多面体分为三层，A 上层8个面，中层8个面，下层8个面， 上下底各1个面，所以共有8十8+8十 1+1=26个面. 设半正多面体的棱长为a,作出该几何 体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得CD-22,CE=a, 因为△CDE为等腰直角三角形，所以CE=√2CD,即a=√2 XI-a 2 1=2-1,所以该半正多面体的棱长为2 解得a=2十1 -1.] 10.解析：圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则它的侧面展 开图扇形的圆心角所对的孤长为2πX1=2π(cm); 所以扇形的圆心角为日=受=元 答案：π 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、 下底面半径分别为xcm,3xcm,延长 A AA1交OO1的延长线于S,在Rt 01 △SOA中，∠ASO=45°，则∠SAO A 0 =45°， 所以S0=AO=3x,S01=A1O,=x,所以O01=2x. 又S#6=2(6x+2x）·2x=392,所以x=7. 所以圆台的高OO=14(cm),母线长l=√20O=14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm, 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示， 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC,的长分别 为√90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫 可以先在长方形ABB,A1内由A到E,再在长方形 BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AAD1D内由A 到F,再在长方形DCCD1内由F到C1,其最短路程 为√74. 4 三a022-.------ 新题快递 L.CD[如知图①，作BELCD交CD于E,易得CE=CDAB =2(cm),则BE=OO2=√/42-2=2√3(cm),则该圆台的 高为2,3cm,A错误；圆台的轴裁面面积为？X(4十8)×2 √3=12√3(cm2),B错误，C正确；将圆台的一半侧面展开， 如图②，设P为AD的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的 圆锥的一半侧面展开为扇形COD,可得大圆锥的母线长为8 cm,底面半径为4cm,圆锥侧面展开图的圆心角为0= 2X4-x,连接CP,可得∠C0P=乏，0C=8cm,0P=4+2 =6(cm),则CP=√62+82=10(cm),所以沿着该圆台侧面 从点C到AD的中点的最短路程为10cm,故D正确.] 03 B .0 B -D D 图① 图② 2.解析：不妨设原棱锥为四棱锥， 设棱台的高为h,截得棱台的原棱锥的 高为h1, 如图所示，即MN=h,PN=h E-M 因为四边形ABCD与四边形EFGH 相似， 且上下底面面积分别为4和9，故E4 AN A 由△PEM∽△PAN, 敬器号祭-片-1-号-音 -3=3, 这个棱台的高和裁得棱台的原棱锥的高的比为了： 答案：3 假期作业19简单几何体的 表面积与体积 思维整合室 1.2xrlπrlx(n1+r2)l 1 2.S底·h3S底·h4πR2 技能提升台素养提升 1.C2.C 3.A[依题意，圆柱的母线长l=2πr,故S侧=(2πr)2=4πr2 =4π2.] 4.B[由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高的2 倍，即23，故其底面半径为3，所以圆维的体积为号×元× 32X√3=3√3π.故选择：B.] 5.A[由题意得，该饰品的表面积为6个边长为√2cm的正方 形与8个边长为√2cm的正三角形的面积之和，则该饰品的 表面积S=6×(W2)2+8×5×(W2)2=(12+4V3)(cm2).] 6.AC[如图，由∠APB=120°， AP=2可知，底面直径AB=2 √3，高PO=1,故该圆锥的体积为 π，故A对；该圆锥的侧面积为2 √3π，故B错；连接CB,取AC中 A)B 点为Q,连接QO,PQ,易证二面 角P-AC-O的平面角为∠PQ0=45°，所以QO=PO=1, PQ=√2，所以BC=2,所以AC=2V2,故C对；S△Pac=2 AC·PQ=2,故D错.] 9 高一数学) 7.A[由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h= √-R2=√22-1严=√3， 圆维的体积为V=子元Rh- 3元.] 8.B[如图，分别过M,C作MM' ⊥PA,CC⊥PA,垂足分别为 M M M,C.过B作BB'⊥平面PAC, 垂足为B',连接PB,过N作 NN'⊥PB',垂足为N' B 因为BB⊥平面PAC,BBC平 面PBB', A② B 所以平面PBB'⊥平面PAC. 又因为平面PBB∩平面PAC=PB,NN'⊥PB',NN'C平 面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB'∥NN' 在△PCC中，因为MM⊥PA,CC⊥PA, 所以Mr/0C,所以器-警=专 PC CC' 在△PB中，因为B昭∥NN,所以器-器=号， 所以V-MMN=VN-Pw=3 SAPAM·NW VP-ABC VB-PAC 号SAc·BB -音x位Aar)- 号×（合PACC)·BB 9.B[在△AOB中，∠AOB= 120°，而OA=OB=√3，取AB 中，点C,连接OC,PC,有OC AB,PC⊥AB,如图， ∠AB0=30,0C= 2,AB= 2BC=3,由△PAB的面积为 9￥9，得2×3×C-9, 4 4 解得PC=3)5,于是P0=√PC-OC 2 - 所以国维的体积V-3X0AXP0=号xX(3)'X6= √6π.] 0限折：由效意如纪哥器-纪 3(m-)-5 22(m1-r2)4 答案，6 4 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交AD延E中S 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 D 由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DEAb 旋转一周所得的圆锥的体积.所以所求几何体的体积V V台一V属#=子 X5+5X2+2)X4-日r×2X2= 148 3元. 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与 边BC,AC相切于点D,E.连接AD,OE, 因为△ABC是正三角形，所以CD=名AC 因为Rt△AOE Rt△ACD,所以 OE AO CD AC三0022 假期作业18基本立体图形及了 《思维整合室 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 有两个面 ,其余各面都是 棱柱 四边形且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是 有一个 的三角形 棱台 棱锥被 底面的平面所截，截 面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 矩形一边所在的直线或 圆柱 矩形 对边中点连线所在直线 直角三角形或 直角边所在的直线或 圆锥 等腰三角形 等腰三角形底边上的高 所在直线 直角腰所在的直线或等 直角梯形或 圆台 等腰梯形 腰梯形上下底中点连线 所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法 (2)规则：①原图形中x轴、y轴、之轴两两垂直， 直观图中，x轴，y轴的夹角为 轴与x'轴和y'轴所在平面垂直 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 仍平行于坐标轴.平行于x轴和之轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的 线段长度在直观图中 〈《技能提升台 素养提升 ◆[考点一] 空间几何体的结构特征 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正 确的是 ⊙ A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 高一数学的 吾生也有涯，而知也无涯。 工体图的直观图 完成日期： 月 日 2.下列说法中，正确的是 A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的 其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 3.(多选)下列命题正确的是 A.过球面上任意两点只能作一个经过球心 的圆 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连 线是球的直径 C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆 心的连线垂直于截面 D.球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 4.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有 木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三 周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为圆木长3 丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始 向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐， 问葛藤最少长（注：1丈约等于10尺）() A.37尺B.39尺C.41尺D.43尺 ◆[考点二]空间几何体的直观图 5.(多选)下列关于直观图的斜二测画法的说 法，正确的是 A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线 段平行于x轴，长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线 段平行于y轴，长度变为原来的 C.画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时， ∠xO'y'必须是45° D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直 观图可能不同 6.用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则 其直观图的面积为 ( A.要 B.2 C.4 D.√2 7.如图所示，矩形OA'B'C是 y1 水平放置的一个平面图形 D C' 的直观图，其中OA′=3， OC'=1,则原图形是 A.面积为6√2的矩形 &面积为3y的矩形 C.面积为6√2的菱形 D面积为3的菱形 受快朵限期 8.在直观图（如图）中，四边 形为OA'B'C'菱形且边 长为2cm,则在xOy坐标 系中，四边形ABCO周长 为 cm,面积为 cm ◆[考点三]几何体的有关计算 9.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的 代表之一.印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印 信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多 面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 ②是一个棱数为48的半正多面体，它的所 有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正 方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的 个数及棱长分别为 图① 图② A.26,√2-1 B.24,2-√2 C.26,2-√2 D.24,W2-1 10.圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则 其侧面展开图扇形的圆心角= 11.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，轴截面的面积等于392cm,母线与 轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长 和两底面半径. 3 -S0M-□ 12.长方体ABCD-A1B1C1D (如图所示)中，AB=3,BC A B, =4,A1A=5,现有一甲壳虫 F 从A出发沿长方体表面爬 行到C,来获取食物，试画出 D 它的最短爬行路线，并求其 路程的最小值. 新题快递 1.(多选)某工厂生产出一种 0 机械零件，如图所示，零件 的几何结构为圆台OO2, 在轴截面ABCD中，AB 01 =AD=BC=4cm,CD=2AB,则下列说法 正确的有 () A.该圆台的高为√3cm B.该圆台轴截面面积为24cm2 C.该圆台轴截面面积为12√3cm2 D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行 到AD的中点，所经过的最短路程为10cm 2.棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个 棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 【《益智欢乐谷 某学生本科读的重大，硕 士读的浙大，博士读的北大， 毕业证上校长栏统统盖的林 建华的章. 找工作的时候，面试官： “同学，造假也要专业一点，你 就不能多刻几个章？”（林建 华先后任重大、浙大、北大的校长) 6