假期作业18 平面向量的数量积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

快乐假期 0M= 吾生也有涯，而知也无涯。 假期作业18平面向量的数量积 完成日期： 月 思维整合室 《技能提升台 1.平面向量的数量积 素养提升 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹 ◆[考点一]平面向量数量积的运算 角为0，则数量 叫做a与b的数量 1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足a= 积（或内积）.规定：零向量与任一向量的数 1,b=3,a-2b=3,则a·b=() 量积为 A.-2 B.-1C.1 D.2 2.平面向量数量积的运算律 2.(2023·全国乙卷（文）)正方形ABCD的边长 (1)交换律：a·b= 是2，E是AB的中点，则EC·ED=() (2)数乘结合律：(a)·b=入(a·b)=a· A.5 B.3 C.25D.5 (b); 3.已知非零向量a,b满足|a=2b1,且(a (3)分配律：a·(b十c)= b)⊥b,则a与b的夹角为 () 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 A. B. C. D. 设非零向量a=(x1y1),b=(x2y2),〈a,b》 =0. 4.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦 结论 几何表示 坐标表示 值为号，且a=1,b=3,则(2a+b)·b 模 a= a= ◆[考点二]平面向量数量积的坐标运算 5.(多选)已知a,b为非零向量，且a=(x1, a·b= y1),b=(x2,y2),则下列命题中与a⊥b等 数量积 a·b= 价的选项为 ) A.a·b=0 B.x1x2+y1y2=0 cos 0= 夹角 cos 0= C.la+bl=la-bl D.a2+62=(a+b)2 6.(2023·北京卷)已知向量a、b满足a+b= (2,3),a-b=(-2,1),则a2-1b2= a⊥b a·b=0 () A.-2 B.-1C.0 D.1 4.向量在几何中的应用 7.(2023·新课标I卷)已知向量a=(1,1),b (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向 =(1,-1),若(a+b)⊥(a+b),则() 量定理：a∥b台a=b台1y2-x2y1=0(b A.λ+u=1 B.λ十4=-1 ≠0) C.λu=1 D.λ4=-1 (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： 8.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a十b.若 a⊥b=a·b=0台x1x2+y1y2=0. a⊥c,则k= 44 三0022 高一数学型) ◆[考点三]平面向量数量积的综合应用 12.在△ABC中，AB·AC=0,1AB1=12, 9.(2023·全国甲卷（理）)向量|a=|b=1, 1BC=15,l为线段BC的垂直平分线，l c|=√2，且a十b+c=0,则cos(a-c,b一c》 与BC交于点D,E为L上异于D的任 意一点. () (1)求AD·CB的值； A.、1 B.- 5 c D. (2)判断AE·CB的值是否为一个常数， 并说明理由 10.已知向量a,b的夹角为，(a-b)1b,则 a a+b b a-b 11.如图所示，ABCD是正方 D 形，M是BC的中点，将 正方形折起使点A与M 重合，设折痕为EF,若正 方形面积为64，求 新题快递 △AEM的面积. 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a bl=3,a十b=|2a-bl,则|b= 2.（多选)如图，以AB为直径 D 在正方形内部作半圆O,P 为半圆上与A,B不重合的 一动点，下面关于|PA十PB +PC+PD的说法正确的 是 A.无最大值，但有最小值 B.既有最大值，又有最小值 C.有最大值，但无最小值 D.既无最大值，又无最小值 〈《《益智欢乐谷 诺贝尔奖不设数学奖，但国际数学界有一 个代表数学界最高成就的大奖一菲尔兹奖。 菲尔兹奖于1932年在第九届国际数学家 大会上设立，1936年首次颁奖.该奖以加拿大 数学家约翰·菲尔兹的名字命名，授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在40岁以下 的数学家.该奖由国际数学联盟（简称IMU) 主持评定，每4年颁发一次，每次获奖者不超 过4人，每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金.奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像，还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限，做宇 宙主人”的格言. 1982年，美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖，成为获此殊荣的第一位华人. 45k是快乐假明 4,解析：由条件可知+红=2 (A一μ=31 解得 5 答案：2 5.A[建立平面直角坐标系. 用三角形法则画出向量2a十b, 如图，由图可知2a十b在平面直 角坐标系中的坐标为(3,4)，故 选A.] 6.B[由题意可知6=名[(2a+ 224 0 3b)-2a]=3[6,-3)-（-4 3)]=(3,-2).故选B.] 7.B[设P(x,y),则由AP=AB+入AC, 得(x-2,y-3)=(2,2)十A(5,7)=(2+5入，2+7). 所以x=5入+4，y=71+5. 又点P在直线x-2y=0上， 故5x+4-2(7以+5)=0，解得入=-子.] 8.解析：设O为坐标原点， :c=合C0-0i=号0d-0. .OC=2OA-OB=(3,-6). 点C的坐标为(3，一6)， 又：C它=二ED1,且E在DC的延长线上， 4 C=-十Em 方法一：向量相等法 设Bw0.则-3y+60》=-子4-，-8-. -3=-4-0. .8 解得=3 y+6=1(3-y) (y=-7, “成E的多标为（学，一7小 方法二：定比分点公式法 设E(x,y), C=-i.C3,-6.D4,-3. 则x=3-18 -6+3 1安w 一7， 1- a成E的坐标为（受一 答案：（停-） 9.B[因为向量a=(一3,1)，b=(1,3),所以c=2a (-6+k,2+3k). 因为a∥c,所以一6十k=(2十3k)×(一3)，解得k 选B.] 10.解析：由a=(3,2),b=(2,一1)，得ma十nb=(3m十 一n),a十2b=(7,0).因为na十nb与a十2b共线，所 -7m=0,解得=2 答案：日 11.解：AB=(-4,0),AC=(1,-1), :-4×(-1)-0×1≠0， AB,AC不共线. A,B,C三点不共线， 00-= 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(一1,2)十n(4,1), 所以{m十。3·得 9 127m+n=2, 8 n=9 (2)a十kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0. .k= 16 13 新题快递 1.ACD[设D(x,y),若AB=CD,则(1，-1)=(x-3,y-2) 即-3=1， 气21.解得气1：即Dc41若店=D元时1. -1）=(3-2-即二31解得{8：即D(2. {y-2=1, 1y=3, 3);若AD=CB,则(x,y-1)=(-2,-2),即 {122.解得{-：即D-2,-1D.故选ACD, x=-2, 1y=-1, 2.解析：建立如下图的平面直角坐 标系， D 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3, 4),EB=(3,-4), 由成=3成得成=是成 O(A) =(-3小 设F(x0,则x-3y-)=(号-3） 21 可得23二4，解得 -4=-3 {,所以F(萨 =( 又因为AF=AAB+uAD=入(6,0)十u(0,4)=(6入，4)， 4=1 所以 21,解得入= 8=车，则入+4=8 答案：号 假期作业18 思维整合室 1.(1)lallblcos002.(1)b·a(3)a·b+a·c 3.√a·a√x+yi|allblcos0x12+yy a·b lalbl z1z:+yiy2 √+听·√+ x1十y1y2=0 技能提升台素养提升 1.C[由题设可知，|a-2b|=3,两边平方得a2-4a·b+ 4b12=9,代入|a=1,b=√3，有1-4a·b+12=9,故4a ·b=4,解得a:b=1.故选C.] kb= 2.B[以{AB,AD}为基底向量，可知AB=|AD1=2,AB· AD=0 0.故 则EC-EB+BC=A店+AD.ED-EA+D=-AB 2n,2m +AD, 以14m 所以c·办=（合AB+AD)·(-专A店+A)=- AB+AD=-1+4=3.] 4解析：因为cosa6=子a=1,b1=3,所以a·b=ab cos (a,b)=1X3X- =1，所以(2a+b)·b=2ab+b=2 3 ×1+32=11. 答案：11 96 三0022------ 5.ABC[|a+b=|a-b台|a+b|2=|a-b|2台a2+2a·b +b=a2-2a·b+b台a·b=0,a2+b=(a-b)2台→a2+b =a-2a·b+b台a·b=0.] 6.B[向量a,b满足a+b=(2,3), a-b=(一2,1)， 所以|a2-|b|2=(a+b)·(a一b)=2×(-2)+3×1= -1.] 7.D[(a+b)·(a+b)=a+(+z)(a·b)+λb =2(1+)=0,所以=-1.] 8.解析：c=a+b=(3,1)+k(1,0)=(k+3,1),由a⊥c得a· c=0,所以3k+3)+1=0,解得k=-9. 3 答案：-号 9.D[由a十b+c=0得a十b=-c,所以(a十b)2=(一c)2, 即a2+2a·b+b2=c2,又|al=b1=1,c=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示：a一c=CA,b一c=CB,由 余弦定理得|CA|=|CB|=√5，所以 cOs∠ACB=5+5-2=4 25×55 a 即cosa-c6c0=吾] 10.解析：由向量a,b的夹角为子，且(a-b)Lb, 得(a-b)·b=a…b-B=之1ab1-b1=0, 所以a=26,合=2. 因为a+b1=√(a+b)F=√a+2a·b+b =√4b+2bP+b下=√71b1, |a-b=√(a-b)=√a-2a·b+b =√4b-2b+b平=31b1, 所以日名- 答案：22虹 3 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 D N,则N是AM的中点，又正方形边长为 8,所以M(8,4),V(4,2). 设点E(e,0),则AM=(8,4).A=(4,0B 2),AE=(e,0),EN=(4-e,2), 由AMLEN,得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解 得e=5,即AE=5. 所以S6am=子AB=2×5X4=10, 12.解：(1)：AB·AC=0,.ABLAC. 又1AB=12,|BC1=15,.|AC1=9. 由已知可得AD=号(A店+AC.C=A店-AC, A市.=i+心访-A心 =合A店-Ac产)=314-81)-9 (2)A正.CB的值为一个常数. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 为1上异于D的任意一点，DE·CB=0. 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+DE.CB= 市.C店=2（常数） 91 高一数类 新题快递 1.解析：由a十b=|2a-b1,得a2=2a·b: 由a-b=√3，得a-2a·b+b=3,即b=3, 1b=√3. 答案：W3 2.A[设正方形的边长为2，如图 建立平面直角坐标系. 则A(一1,0)，B(1,0),C(1,2), D(-1,2),P(cos0,sin)(其中0 <0<x), PA+PB+P元+PD=(-1 cos 0,-sin 0)++(1-cos 0,-sin +(1-cos6,2-sin6)+(-1 cos0,2-sin0)=(-4cos0,4- 4sin 0) 所以1PA+PB+PC+PD1=√-4cos)+(4-4sin)2 =√/32-32sin0, 因为∈(0，π)，所以sin9∈(0,1]，所以1PA+PB+PC+ PD1∈[0,4√2)， 故PA+PB+PC+PD1有最小值为0，无最大值.] 假期作业19 思维整合室 1.a+-2accos B a+b-2abcos C 2.a 2ca a2+6-c2 3.直角钝角锐角 2ab 技能提升台素养提升 1.B 2.A[如图，由余弦定理可知： cosC=号=BC+AC-AB 3 2BC·AC =3+4-AB 2×3X4 可得AB=3,又由余弦定理可知： c0sAB2十BC2—AC兰3十34=.故选A.☐ 2AB·BC 2×3×3 3.B 4.D[依题意，5-3<c<5十3，即2<c<8, 由于B为纯角，所以c0sB=。+c-6<0,d十c2-6=9 2ac +c2-25=c2-16<0 解得2<c<4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4).] 5.D 6.D[设三角形的三边分别为a,b,c,依题意，得a=5,b=6, c=7. .AB.BC-|ABl·IBCl·cos(x-B)=-ac·cosB. 由余弦定理得b=a十2-2ac·cosB, -ac·osB=26-d2-)=26-s-7)=-19, AB·BC=-19.] 7.D[边长为7的边所对的角。满足c0sa=5+8-? 2×5×8 合：0<a<18056=60,边长为57,8的三角形的最 大角与最小角的和是180°一60°=120°.故选D.] 8.解析：cosA=6+c-a2=25十36-16_3 2bc 2×5×6 4 smA=-eoA-只 答案9