假期作业24 空间几何体的结构特征、直观图-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

北曼饶乐欧期 若(0Z,+022)⊥(0Z,-02,),则(a+c)(a-c)+(b+d)(b -d)=a2+b2-c2-d2=0, 所以a2十6=c2+d2,则x1|=|2|,D正确.] 2.AC[对于A,当b2-4ac=0时，x1=x2= 名∈R,放正 确；对于B,当-4ac<0时，则x=一b-i二6+4aC 2a ,=-b十i二牛@c,则飞，ER,西年R,且工，≠，故错 2a 误；对于C,由一元二次方程根与系数的关系可得x1十x =一日=后，故正确对于D(红-)=公。，故 a2 错误.故选AC.] 假期作业24 思维整合室 3.(2)45°（或135）变为原来的一半 技能提升台素养提升 1.B2.C 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故A 错；B正确；C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 4.C[选项A,四棱台的上下底面平行，其余各面也均为四边 形，但不是棱柱，即A错误；选项B,若这三，点共线，则可以确 定无数个平面，即B错误：选项C,棱锥的底面为多边形，其 余各面都是有一个公共顶点的三角形，即C正确；选项D,只 有用平行于底面的平面去裁棱锥，底面与截面之间的部分组 成的几何体叫棱台，即D错误.] 5.ABD[由直观图的画法规则，可知A,B,D正确，C中 ∠x'O'y'可以是45°或135°，故C错误.故选ABD.] 6.D[根据斜二测画法的原则可知OC=2,OA=1, y A∠-----×B 0 C 所以对应直观图的面积为S=2×2×0AX0 CXsin45=2 ×号×1×2×9=E.] 7.C[因为A'C'∥OB',A'C ⊥BC',A'C'=1,OB'=2, 所以由斜二测画法的直观图 可知OA'=√2，所以由斜二 测画法的规则还原原图形 AOBC,如图. 0 B 所以AC∥OB,OA⊥OB,AC =1,OB=2,AO=2A'O'=2XN2=2√2，所以梯形AOBC的 面积S=合×(1+2)X2E=3E.故选C.] 8.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C'菱形且边长为2cm, ,.由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是 矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm, ".四边形ABCO的周长为：2×(2+4)=12(cm), 面积为S=2×4=8(cm2). 答案：128 SE 9.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1,高h =4 E 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABCD, 其中AB=π，AD=4, D C 问题转化为在CD上找一，点Q,使AQ十PQ 最短， 作P关于CD的对称点E,连接AE,令AE 与CD交于点Q, A B 则得AQ十PQ的最小值就是为AE=√π+(4十2) =√元2+36.] 10.解析：圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则它的侧面展 开图扇形的圆心角所对的孤长为2πX1=2π(cm); 所以扇形的圆心角为目=红=元。 答案：π 11.解：圆台的轴裁面题图所示，设圆台上、下底面半径分别为 xcm,3xcm,延长AA1交OO1的延长线于S,在Rt△SOA 中，∠AS0=45°，则∠SAO=45°， 所以SO=AO=3x,SO1=A1O1=x,所以OO1=2x. 又5。=号(6z+2)·2x=392,所以x=7. 所以圆台的高O0=14(cm),母线长l=√200，=14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm. 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示. 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别 为√90、√/74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫 可以先在长方形ABBA1内由A到E,再在长方形 BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AAD1D内由A 到F,再在长方形DCCD1内由F到C1,其最短路程 为74. A 3 B 4 C 13B 新题快递 1.解析：正三棱柱ABCA'BC'如图① 所示. 当按照图②所示展开，过P作PP'⊥A' A C'于P',可知Pp=1,A'P'=3, 由勾股定理可得AP=√PP+A'Pz =√10； A B 图① A B' C 图② 当按照图③所示展开，连接A'P交B'C'于点O,可知OP= 1,A'0=√3， 所以A'P=√3十1. B A 0 图③ 因为√5+1<√10，点A'到点P的路程最小值为√3十1. 答案：W3+1 2 三0022.-.- 2.解析：不妨设原棱锥为四棱锥， 设棱台的高为h,截得棱台的原 棱锥的高为h1, 如图所示，即MN=h,PN=h, 因为四边形ABCD与四边形 EFGH相似， D 且上下底面面积分别为4和9， 器-号， A 由△PEMp△PAN, 别器-号祭会=1号号 这个棱台的高和裁得棱台的原棱锥的高的比为3 答案：号 假期作业25 思维整合室 1.2xrlπrl元(m+r2)l 2.Sah子Sah4R 技能提升台素养提升 1.C2.C 3.A[依题意，圆柱的母线长l=2πr,故S侧=2rl=4π2r2 =4r2.] 4.B[圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4， 设圆台的母线长为，扇环所在的小圆的半径为x, ×2r·(U+x)=2π×4 由题意可得： 1 ,解得∫x=8 X2m·x=2xX2 (1=8, 所以圆台的侧面积π×(2+4)×8=48元.] 5,A[由题意知⊙0的半径r为2，由正弦定理知=2r, 则OO1=AB=2rsin60°=2√3，所以球O的半径R= √/2+OO=4,所以球0的表面积为4πR2=64π，故选A.] 6.AC[如图，由∠APB= 120°，AP=2可知，底面 直径AB=2√3，高PO=1, 故该圆锥的体积为π，故 A对；该圆锥的侧面积为24 0 √3π，故B错；连接CB,取 AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P一AC一O的平面 角为∠PQO=45°，所以QO=PO=1,PQ=√2，所以BC=2, 所以AC=2亿，故C对；SaMc=2AC·PQ=2,放D储.] 7.B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该四 面体的体积为号×3×号×2×2=2.] 8.B[如图，分别过M,C作MM ⊥PA,CC⊥PA,垂足分别为 M,C.过B作BB'⊥平面PAC, 垂足为B,连接PB,过N作 NN'⊥PB,垂足为N 因为BB'⊥平面PAC,BBC平 A 面PBB, 所以平面PBB⊥平面PAC 又因为平面PBB'∩平面PAC=PB,NN'⊥PB',NNC平 面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB'∥NN'. 在△PCC中，因为MM⊥PA,CC⊥PA, 所以SIM /CC,所微-℃=专 高一数类 在△PBB'中，图为BB'∥NN,所以=NY=2 PBBB=3 所以Y= VN-PAM= 号5ew·NN VP-ABC VB-PAC 号Sae·BB 言×（合PA·0C）·B那 -号 9.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，取AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， PA 2---2 ∠AB0=30,0C-,AB=2BC=3,由△PAB的商积为 9￥，得号×8×PC=9￥ 4 解得PC= ￥，于是P0=VPc-0C= √-(-， 所以圆锥的体积V=子πX0A×P0=弓xX(3)2X6= √6π.] 10.解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V数台=V大四棱一 Vw=号×4X4X6-专×2x2x3 =28. 答案：28 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交AD延 Eh. 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆 台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所 得的圆锥的体积.所以所求几何体的体积V=V国台一V国维 =号xX(5+5×2+2)X4-号×2×2=148。 3 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与 边BC,AC相切于点D,E.连接AD,OE, 因为△ABC是正三角形， 所以CD=?AC. 因为R△AOER△ACD,所以5 =CD AC 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设OE=r,则A0=3-7,所以”=1 3-r2’ 所以，=3 3 cm, -4 27元(cm),即球的体积等 于m 03快乐假期 积土而为山，积水而为海。 假期作业24 空间几何体的结构特征、直观图 完成日期： 思维整合室 图形 结构特征 1.多面体的结构特征 上、下底面平行且不 图形 结构特征 相等，母线的延长线 上底面 轴 交于一点，平行于底 有两个面相互平行， 母线 圆台 ,侧面 面的截面是与两底面 且该多面体的顶点都 棱柱 侧面 大小都不相等的圆， 底面 侧棱 在这两个面上，其余 下底面 过轴的截面是全等的 顶点 各面都是平行四边形 等腰梯形 顶点 斜高 个面是多边形，且 侧棱 半径 过球心的截面是大小 棱锥 侧面 球 球心 高 其余各面都是有一个 相等的圆 公共顶点的三角形 B底面 3.空间几何体的斜二测画法 上、下底面平行且相 (1)画法：常用斜二测画法 棱台 A' B 上底面 似，侧棱的延长线交 -侧面 (2)规则：①原图形中x轴、y轴、之轴两两垂 侧棱 P'o C 下底面 顶 于一点 直，直观图中，x'轴，y轴的夹角为 ,之轴与x轴和y'轴所在平面垂直， 2.旋转体的结构特征 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 图形 结构特征 仍平行于坐标轴.平行于x轴和x轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的 两个底面互相平行， 线段长度在直观图中 有无数条母线，且长 B' 轴 〈《《技能提升台 圆柱 侧面 度相等，都与轴平行， 母线 素养提升 过轴的截面是全等的 底面 ◆[考点一]空间几何体的结构特征 矩形 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正 确的是 底面是圆面，有无数 条母线，长度相等且 轴 母线 交于一点，平行于底 圆锥 侧面 面的截面是与底面大 小不相等的圆，过轴 0 B 底面 的截面是全等的等腰 三角形 58 三0022 高一数半 A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时， C.③不是棱锥 D.④是棱台 ∠x'O'y'必须是45 2.下列说法中，正确的是 D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直 A.棱柱的侧面可以是三角形 观图可能不同 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的 6.用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则 其他侧面也是矩形 其直观图的面积为 ( C.正方体的所有棱长都相等 号 B.2 C.4 D.√2 D.棱柱的所有棱长都相等 7.若水平放置的四边形 3.(多选)下列命题正确的是 AOBC按“斜二测画法” A C A.过球面上任意两点只能作一个经过球心 得到如图所示的直观 的圆 图，其中A'C'∥OB', B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连 A'C'⊥B'C',A'C'=1,OB'=2,则原四边 线是球的直径 形AOBC的面积为 ( C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆 A.12 B.6 C.32 D.32 2 心的连线垂直于截面 8.在直观图（如图）中，四边 D.球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 形为OA'B'C'菱形且边 4.下列说法正确的是 ( ) 长为2cm,则在xOy坐标 A.有两个面平行，其余各面都是四边形的 0 系中，四边形ABCO周长 几何体叫棱柱 为 cm,面积为 cm B.过空间内不同的三点，有且只有一个平面 ◆[考点三]几何体的有关计算 C.棱锥的所有侧面都是三角形 9.如图，一个矩形边长为1和4， D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间 绕它的长为4的边旋转二周后 的部分组成的几何体叫棱台 所得如图的一开口容器（下表 ◆[考点二]空间几何体的直观图 面密封)，P是BC中点，现有一只妈蚁位于 5.（多选)下列关于直观图的斜二测画法的说 外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁 要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米 法，正确的是 粒，则它所需经过的最短路程为 A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线 A.√π2+36 B.√π2+16 段平行于x'轴，长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线 C.√4π2+36 D.√/4π2+1 10.圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则 段平行于y轴，长度变为原来的2 其侧面展开图扇形的圆心角= 59 飞婴味乐跃糊 00M= 11.圆台的一个底面周长是另 12.长方体ABCD-A,BC,D D 一个底面周长的3倍，轴截 0 (如图所示)中，AB=3,BCA 面的面积等于392cm,母 =4,A1A=5,现有一甲壳虫 D 线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母 从A出发沿长方体表面爬 线长和两底面半径. 行到C,来获取食物，试画出它的最短爬行 路线，并求其路程的最小值， 新题快递 1.已知正三棱柱ABCA'B'C'的各棱长均为 2,P是线段BC的中点，沿正三棱柱的表面从 点A'到点P的路程最小值为 2.棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个 棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 《益智欢乐爸 某学生本科读的重大，硕 士读的浙大，博士读的北大， 毕业证上校长栏统统盖的林 建华的章. 找工作的时候，面试官： “同学，造假也要专业一点，你就不能多刻几个 章？”（林建华先后任重大、浙大、北大的校长） 60