假期作业15 正弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三-0022 (2)由(I)可得A=元一B-C=是，设△ABC外接圆的半 径为R, 由正孩定理可得：in Asin Bsin C2R,所以6=，3R, c=√2R,sinA=sin(B+C) -sin Bcos C+cos Bsin C 4 所以Sae=名esinA=合R·R.5十2=3计 1 4 √3，解得R=2, 所以c=2√2 新题快递 1.D[AB=3,AC=4,BC=5,满足32+4=52，.∠BAC =90°，故cos∠ABC=3 · :AD是∠BAC的扇半分线，肥-是=是BD=号 ×5=9, 在△ABD中，由余弦定理AD=AB2十BD2-2AB·BD· Cos∠ABD, 得A0=+(停)-x××号 49 解得AD=12,2或者AD= 7 12区（舍去）.门 7 2.解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,即64=b2+49 -2×6×7×号=8-2b+49, 故b-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, 因为cosC=a2+8-c 2ab ,所以c0sC=64t25-49=1」 2×8×5 2,又 C∈(0，x),故C=子 答案5号 假期作业15正孩定理 思维整合室 a b 1,sin A sin B sin C2.元素解三角形 技能提升台素养提升 1.D2.B 3.C 4.C[在△ABC中，已知A=号，BC=3,AB=6, 则由正孩文理可得品即三 πsinc, sin 3 来得smC-号， Ce(0,C=或C-还 4 再由BC>AB,以及大边对大角可得C=晋<A.] 5.C[因为B=吾，=是ac,所以5mB=号inAsin C, 如Asin C=-号×是-日由余孩定理可得，8=d+e-ac 9 是ac,即。2+e=9ac,sA+sC=只m Asin C-8, 4 所以(mA计G=盒A+C+2mAmC=是+号 ，sinA+sinC-g只 2 2 6.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的半 径)代入已知条件，得sin'Atan B=-sin'Btan A,则sin'Asin B cos B =sin Asin'B cos A 9 一数学) 因为sin Asin B≠0，所以sinA=sinB】 cos B cos A' 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=元-2B, 所以A=B或A十B=交，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.] 7.解析：如图所示：记AB=c,AC=b, BC=a, 22+b-2X2Xb×cos60°=6， 因为b>0,解得：b=1+√3， 由SAABC=S△ABD十S△ACD可得， 号×2X6Xsm60=7×2 xADXsin30+ XADX6Xsin 30", 解得：AD=36=23(1+③=2. 1+ 3+√3 答案：2 由A品B得mB=名nA=,， 8.解析：由a，= b 又a2=b+c2-2 bccos A,∴.c2-2c-3=0,解得c=3. 答案：四3 9.C[设AB=x,根据余弦定理BC=A AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC, 已知BC=8,AC=10,cos∠BAC 吾代入可得： 8=10+-2X10Xx×号， C 即x2-12x十36=0，解得x=6, 由于BC+AB=64+36=100=AC,则△ABC为直角三角形， 则S=2×6X8=24.] l0.BD[因为A+B=π-C,所以sinC=sin(π-C)=sin(A +B)=sin Acos B+cos Asin B. sin C+sin(A-B)=3sin 2B, 所以2 sin Acos B=6 sin Bcos B, 即2cosB(sinA-3sinB)=0,解得cosB=0或sinA= 3sin B. 当cosB=0时，因为B∈(0，)，所以B=2,又C=号，所 以A=吾，则sinA=号nB=1,所以由正孩定理得8 如合分当nA-36nB时，由正纹定双得a-3动 所以号=3，综上所述，号=3减7] 1.解：1)2（合snA+9csA=2, sm(A+晋）=1， :A为三角形ABC的内角， A+骨=登A=百 (2).√2 bsin C=csin2B, .'sin Bsin C≠0， ..2sin Bsin C=sin Csin 2B=2sin Csin Bcos B, VE=2cosB,∴cosB=2 2, B=至C=受， 12 a b sin A sin B sin C' 2b 126+√2 ∴.b=2√2，c=√6+√2， 22 4 △ABC的周长为2+√6+3√2. k曼快乐假期 12.解：1）由题意得2 2sin Bcos B=cosB,因为A为绕角， 7 则cosB≠0，则2sinB=5 2= sin A sinA,解得sinA=图. 7 21 因为A为纯角，则A=经。 (2选择①6=1，又a=1,期mB=得8-得×7=9因为 14 A-行，则B为锐角，则B=受 此时A十B=π，不合题意，舍弃； 选择②c0sB=是，周为B为三角形内角，则simB= -(-, 则代入2a如B=96得2X晋-6，解得6=3， 147 s血C-snA+B)=n(行+B）=sm答csB叶cws经nB 为5w-7咖mC-言x7xx5-155 14 41 选择③csin A= 吕3，则有c×夏-3，解得=5， 2 则由正弦定理得sAnC,即7C解得snC 3 2 =53 14 因为C为三角形内角，则osC-(-提 则sinB=sin(A+G)=sin(+C=-sino C+cosF sin C 1 则SaAc=2 acsin B=-2 号×7X5×3v5-15,5 14 4 新题快递 1.D[在△ABC中，由已知可得，sinA= V1-osA=号 A- 又c0sA=合>0，所以A为锐角】 BC=AB」 由正孩定理可得，inA一sinC' 3 所以，sinC=ABsin A_5x3 BC =2=10x. 要使命题力是真命题，则C有唯一满足条件的解. 若0<x<2,则sinC<号，显然C有唯一满足条件的解； 若x=2,则C=A,满足； 若>2，且sinC<1,即高<1， 即2<<号，此时C有两解满足条件，此时命题力是假命题； 当x一号时，此时有mC=1,C=受有唯-解，满足： 当>碧时，此时有mC>1,显然C无解，不满足. 综上所选，当0<≤2成一9时，伞题p是真命题] 9 90M-= 2.ABD[在△ABC中，若a>b,则根据正弦定理可得sinA> sinB,选项A正确；由sinA>sinB及正弦定理得a>b,则 A>B,选项B正确；若snA>cosB,即co(受-A）>cosB, 当c0sB<0,c0s(受-A)>0时，△ABC为钝角三角形，选 项C错误；若△ABC为钱角三角形，则A十B>否， 则有受>A>-B>0, 2 又正孩画教在(0，受)上单词递增， 所以sinA>sin(答-B即sinA>cosB,选项D正确.] 假期作业16余孩定理、 正孩定理的应用 思维整合室 1.解三角形3.(2)26 besin A 2casin B 技能提升台素养提升 1.C2.B 3.A[如图所示，线段AC表示塔身，线段AB为 C 塔在地面上的投影，CB⊥AB,所以在Rt△ABC 中，@sA=能-名，因为0P<A<90,所以A =60°.] 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BACA =120°， 由余弦定理得BC=AB2+AC-2AB·AC·cOs120°= 2800→BC=20√7. 由正张定理，得n2CB28nc BC →sin∠ACB BC·sin∠BAC=V2I AB 7 由∠BAC-120,知∠ACB为锐角，则cDs∠ACB=2y7 7· 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) =cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=Y2T 141 答案：阳 5.D[在△ABC中，BC=60×号=30(km),∠ABC=70 40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180°-(30°+ 105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km).] 6.C[在Rt△ACD中，AD= AC 1 sin 83 cos 7 在△ABD中，由正弦定理，得 BD AD sinZBAD=sinZABD,即 BD AD sin(83°-23)sin23' 3 则BD=2sin23°cos7: 因为sin30°=sin(23°+7)=sin23°·cos7°+cos23°sin7°， 且sin16°=sin(23°-7)=sin23°cos7°-cos23°sin7°， 所以2sin23°cos7°=sin30°+sin16°≈0.776， 所以BD1≈72≈2.232.] 0.776 7.B[连接AC,由题意，∠ABC=45°， ∠ACD=75°-15°=60°，∠BCD= 75°+45°=120°， ∠ACB=60°，AB=10N3,CD=4N2, AB AC 在△ABC中，由正弦定理得，sin2ACB=sinABC,即 103_AC,则AC=105, 2 2三0022 工欲善其事，必先利其器。 假期作业15正弦定理 完成日期： 月 日 《思维整合室 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, 1.正弦定理 c,a=15,b=18,A=30°，则此三角形解的个 数为 ( 在△ABC中，若角A,B,C对应的三边分别 A.0 B.1 是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相 C.2 D.不能确定 等，即 正弦定理对任意三角形 都成立. 4.在△ABC中，已知A=行，BC=3,AB=5, 2.解三角形 则C等于 ( 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们 A.3 B c D.8 的对边a,b,c叫做三角形的 ◆[考点二]正弦定理的应用之边角互化 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 叫做 3.正弦定理的常见变形 已知B=60,5=是ac则snA十mC (1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,其中 ( R为△ABC外接圆的半径. A.239 B.39 (2)sin Asinsin C 13 13 △ABC外接圆的半径). c号 D.3I3 13 (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比， 6.（多选)在△ABC中，已知a2tanB=btan A,则 a:b:c=sin A:sin B:sin C. △ABC的形状可能是 ( ) (4) a+b+c A.锐角三角形 B.直角三角形 a 6 sin AFsin Bisin C sin A-sin B C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=2,BC=√6， sin C ∠BAC的角平分线交BC于点D,则AD= (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C- csin B. 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, 《技能提升台 c.若a=√7，b=2,A=60°，则sinB= 素养提升 c= ◆[考点一]已知两边及一边的对角解三角形 ◆[考点三]正弦定理的综合应用 9.在△ABC中，BC=8,AC=10,cos∠BAC= 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,a=83,b=6,A=60°，则sinB=( ) 多，则△ABC的而积为 () A号 B号 c号 A.6 B.8 C.24 D.48 D.8 10.(多选)在△ABC中，内角A,B,C的对边分 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, 别为a,b,c.sinC+sin(A-B)=3sin2B,C= c,若a=√2，B=45°，b=2则A= 3则号 A.30°或150° B.30° C.150 D.45° A号 C.2 D.3 29 飞受快乐假朗 S0M-= 11.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a, b,c,已知sinA十√3cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC 的周长 新题快递 1.命题p:“若△ABC与△DEF满足：AB= DE=x,BC=EF=2,c0sA=c0sD=号，则 △ABC≌△DEF”.已知命题力是真命题， 12.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 则x的值不可以是 a,b,c,∠A为钝角，a=7,sin2B= A.1 B.2 c n cos B. 2.(多选)在△ABC中，内角A,B,C所对的边 (1)求∠A: 分别为a,b,c,下列判断正确的是() (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条 A.若a>b,则sinA>sinB 件中选择一个作为已知，使得△ABC存 B.若sinA>sinB,则A>B 在，求△ABC的面积 C.若sinA>cosB,则△ABC为锐角三 条件①6=7：条件@：osB-导条件@： 角形 D.若△ABC为锐角三角形，则sinA> csin A-号3. cos B 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别 《益智欢乐谷 解答，按第一个解答计分。 数学魔术家1981年，印度的一位名叫 沙贡塔娜的37岁妇女，凭借心算与一台先进 的电子计算机展开竞赛.题目是求一个201位 数的23次方根.但令人惊奇的是，沙贡塔娜只 用了50秒钟就报出了正确的答案.而计算机 得出同样的结果，花费的时间要多得多.这一 奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡塔娜被称为 “数学魔术家”. 30