假期作业22 余弦定理与正弦定理的应用-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

飞壁快乐假期 在△ABD中，由余弦定理AD=AB十BD一2AB·BD· cos∠ABD, 得A0-9+(停）-2×x9×号器， 解得AD=12,2或者AD=-12,2(舍去.] 7 7 2.解析：由余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A,即64=b+49 -2X6X7×号=8-2b+49, 故b-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, 因为0sC-=心+兰，所以msC=645塑9=是，又C 2ab 2X8×5 ∈0，，故C=子 答案5哥 假期作业22 思维整合室 1.解三角形3.(2)分lesin A合csin B 技能提升台素养提升 1.C2.B 3.B[如图所示建立平面直角坐标系，假设|OE=|OG=441, OF⊥EG, 北 人热带风暴中心 东 西0基地 南 由题高号知0r1=竖×58=294g,剥1GF1- √10G-10F=√21609=147， 所以该基地受热带风暴中心影响的时长EG=14?X2 21 21 =14.] 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BAC=120°， 由余弦定理得BC=AB2+AC-2AB·AC·cOs120 =2800→BC=20W7. 由正孩定理，得n ACBnC BC n<ACGB-2 iBAC-红 7 由∠BAC-120°，知∠ACB为锐角，则c0s∠ACB=2y7 79 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) =cos∠ACBeos30°-sin∠ACBsin30°=Y2L 14 答案：日 5.D[在△ABC中，BC=60X合=30(km),∠ABC=70° 40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180°-(30°+ 105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km).故选D.] 6.A[如图所示，易知，在△ABC中， /北 AB=20,∠CAB=30°，∠ACB=45°， 东 45020P 根据正孩定理得S0=品解得BC =10√2（海里）.] c00-= 7.B[连接AC,由题意， ∠ABC=45°，∠ACD=75 -15°=60°，∠BCD=75°+ 45°=120°， ∠ACB=60°，AB=10√3， CD=4√2， AB AC 在△ABC中，由正孩定理得，sin/ACB=sin2ABC,即 103_AC,则AC=102, 2 2 在△ACD中，由余弦定理得，AD2=AC2十CD2-2AC· CDcos.∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 8.解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C=a,在Rt△P2BC中，∠P2 =.∠BPC=∠PBP+∠P∠PBP,=g, 即△P1BP2为等腰三角形，BP1=P1P2=, .∴.BC=lsin a. 在R△ACR中，部-S。=ameo-o AC-=2,周BA=aC-Bc--na sin a -l(cos'a-sin'a)lcos 2a sin a sin a 答案：lsin a1cos2e sin a 9.B[由三角形的面积公式得+c2=3+26 esinA,即+c2 tan A =3十2 bccos A.由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=3,所 以a=√3.故选B.] l0.ABC[√3(acos C+ccos A)=2 bsin B,∴.由正弦定理可 3(sin Acos C+sin Ccos A)=2sin2 B,..3sin(A++C)= 2sin2B,3sinB=2sin2B.又sin B≠0，sinB=5. 2· :∠CAB=吾B∈(0，)B=吾∠ACB=x ∠CAB-B=号，因此A,B正确，四边形ABCD面积等于 S度十SaD=9AC+合AD·DC·Sm∠ADC AD2+DC-2AD·DC·eos∠ADC+2AD·DC· sinADC=-9X(9+1-6cos∠ADC)+合×3X1· s血∠ADC-9+3in(∠ADC-晋)9+3，声且仅 当∠ADC-子=至，即∠ADC=吾时，等号成立，因此C 正确，D错误.故选ABC.] I1.解析：sin∠BAC=sin(2+∠BAD）-cos∠BAD, ms∠BAD-2,在△ABD中，由余弦定理得BD AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=(3√2)2+32-2X3√2 X3x2g2=3BD=5. 3 答案：√3 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(W3-1),OB=OC=4W2, 所以由余孩定理得cos∠BOC=OB+0C-BC=V区 2OB·OC 21 00 三-0022 所以∠BOC=g, 于是c的长为音4-2温 (2)设∠A0C=0.0e(0,）则∠B0C=经-0， Sm边形OACB=S△AC十S△C =合×4厄x4Esin0+号×4vE×42·sim(肾-0） =24sin0+83cos0=163sin(0+若），由于0e(0,）, 所以0+晋∈（后，晋）所以163in(+吾) (8√3,16√3]，所以四边形OACB面积的最大值为16√5. 新题快递 1.解析：设四门通天铜雕PQ的高度hm, 由∠PAQ=吾，∠PBQ=是，∠PCQ=吾，可 得AQ5a,BQ=,Q-, 在△ABC中，因为∠ABQ十∠QBC=元， 所以cos∠ABQ=-cos∠QBC, 可得AB+BQ-AQ=BC+BQ-CQ 2AB·BQ 2BC·BQ1 2 即400十h2-(3h)2 40o+-（得） ,解得h=10√6， 2×20×h 2×20×h 所以四门通天铜雕的高度为10√6m. 答案：10√6m 2.解：(1)在△DOE中，由余弦定理得： ED2=OD2+OE2-2OD·OE·cos∠EOD=4+1-2X2× cos 0=5-4cos 0, 在△COE中，由余弦定理得： EC2=OC+OE2-2·OC·OE·cos∠EOC=4+1-2X2 Xcos(π-)=5+4cos0, 所以EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f(0),0∈[0， π]， ,将管道总长（即线段EC十ED)表示为变量日的函数为： f(0)=√5+4cos0+√5-4cos0,0∈[0，π]， (2)由(1)可得： [f(0)]=(√5+4cos0+√5-4cos0)2 =10+2√5+4cos日·√5-4c0s0=10+2√25-16cos20, 因为，0∈[0，π]，所以0≤cos20≤1， [f(0)]2=10+2√/25-16cos20≤10+2√25=20（百米） 当且仅当c0s20=0,即0=艺时取等号， 因为f(0)=√/5+4c0s0+√5-4cos0>0,.f(0)=√20= 25(百米). .管道总长的最大值为2√5百米. 假期作业23 思维整合室 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d(4)a=c 且b=-d(5)川z||a+bil 3.(1)(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+ be)ia6十bd+c二a吗i(2)十1女1+(+) c2+d2c2+d2 技能提升台素养提升 1.C[(a+iD(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以2a=2,。解得a=1.] {1-a2=0, 高一数半的 2.D[之在复平面对应的，点是（一1，√3），根据复数的几何意 义，之=一1十√3i,由共轭复数的定义可知，之=-1一√31] 3,BD[=名=a29=1+i, 2(1+i) ∴.|z=√2,22=2i,之的共轭复数为1-i,x的虚部为1故 A,C错，B,D正确.] 4.A[由题知(1+3i)(3一i)=3一i+9i一32=6+8i,所以该 复数在复平面内对应的，点为(6,8)，位于第一象限.] 5.D[由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi=3+ 2yi,所以{部释1y=,所以十 =5.] 6.BCD[若1>之2，则名1，之2为实数，当之1=1,2=一2时，满 足1>x2,但|之<2，故C项不正确；因为两个虚数之间 只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；当两个复 数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一≠1+i,但1-i =|1十，所以B项不正确；因为当两个复数相等时，模一定 相等，所以A项正确.故选BCD.] 7.D[对原式两边同时乘以i得：z一1=i,即z=1十i,所以z =1一i,即x十z=2,故选D.] 2+i 2+i=i(2+i边_=2i-1 8.B[由题意可得x=1++亞=-1中 -1 1-2i,则z=1+2i.] 9.A[因为=十名-2i,所以运=君i,所以g一2=一i订 1-i 10解折：由题老可将-卉8部-528-4 13 ti. 答案：4十i 11.解：设x=a十bi(a,b∈R),由|z=1+3i-z, 得√a2+b-1-3i+a+bi=0, 则√a++a-1=0,所以二。4，所以z=-4+3. b3=0, 1b=3, 则1+)(3+4)2=2i(3+4D2 2x 2(-4+3i) =2(-4+3D(3+4D=3+4i. 2(-4+3) 12.解：(1)设z=a十bi(a,b∈R), 由已知条件得：a2十b=2,2=a2-+2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=一1，即x=1+i或x=一1一i. (2)当x=1+i时，z2=(1+i)2=2i,x-22=1-i, 所以点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 所以SAAe=2|ACX1=号X2X1=1; 当之=-1-i时，z2=(-1-i)2=2i,z-22=-1-3i. 所以点A(-1,-1D,B(0,2),C(-1,-3),所以Se=21AC X1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. 新题快递 1.CD[当-号+停时，满足10Z1=1,故A错误， Z1Z2=0Z2-021=(3,4)-(4,3)=(-1,1),B错误； 设1=a十bi,z2=c十di,a,b,c,d∈R 若|之1+z2|=1-22,则(a十c)2+(b十d)2=(a-c)2+(b -d)2, 化简得：ac十bc=0,故OZ,·OZ2=ac+bd=0,所以OZ,⊥ OZ2,C正确； 设x1=a十bi,z2=c十di,a,b,c,d∈R, 则0Z1+0Z2=(a+c,b+d),0Z1-OZ2=(a-c,b-d),三0022 假期作业22余弦定理 《(思维整合室 1.解三角形应用题的基本思想 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实 际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过 解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是 将实际问题转化为 问题， 2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基 本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示 意图（一个或几个三角形）； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量 与待求量尽可能地集中在有关三角形中， 建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形， 求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从 而得出实际问题的解。 3.三角形面积公式 (l)三角形的高的公式：ha=bsin C=csin B, hB=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A. (2)三角形的面积公式：S=2 absin C,S ,S= 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]利用正、余弦定理测量角度问题 1.若水平面上点B在点A南偏东30°方向上， 则在点A处测得点B的方位角是() A.60°B.120°C.150°D.210° 图即刻扫码 与正弦定理的应用 AI伴学助手 ✉答案速查手册 了同步学习微课 ☒新知预习宝典 2.如图，两座相距60m的建 筑物AB,CD的高度分别为 20m,50m,BD为水平面， 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张 角∠CAD等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.根据气象部门提醒，在距 北 热带风暴中心 离某基地正北方向588km 45 处的热带风暴中心正以 西 基地 21km/h的速度沿南偏 ,南 东45°方向移动，距离风暴中心441km以内 的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴 中心影响的时长为 ( A.7h B.14h C.(14√2-7)h D.（14√2+7)h 4.如图所示，位于A处的 北 ，东 信息中心获悉：在其正 40 东方向相距40海里的 20 B处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救，信息中心立即把消息告知 在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船， 现乙船朝北偏东O的方向沿直线CB前往B 处救援，则cos0的值为 ◆[考点二]利用正、余弦定理测量距离与高 度问题 5.如图，巡航艇在海上 北 以60km/h的速度 20 沿南偏东40°的方向 659 航行.为了确定巡航 艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A,其方 化壑快乐假期 向是南偏东70，航行号h到达C处，观测灯 塔A的方向是北偏东65°，则巡航艇到达C 处时，与灯塔A的距离是 A.10 km B.10√2km C.15 km D.15√2km 6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的 速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟 后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处 观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B,C 两点间的距离是 ( A.10√2海里 B.10√3海里 C.20√3海里 D.20√2海里 7.为运输方便，某工程 队将从A到D修建 一条湖底隧道，如 图，工程队从A出发向正东行10√3km到 达B,然后从B向南偏西45°方向行了一段 距离到达C,再从C向北偏西75°方向行了 4√2km到达D,已知C在A南偏东15°方 向上，则A到D的距离为 A.15√6km B.2√38km C.102 km D.15√3km 8.如图，一位同学从P处观 测塔顶B及旗杆顶A,得 仰角分别为a和90°一a. 后退lm至点P,处再观 5 .-S0M= 测塔顶B,仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA都垂直于地面，且C,P1,P2三 点在同一条水平线上，则塔BC的高为 m;旗杆BA的高为 m.(用含有l 和a的式子表示) ◆[考点三]正、余弦定理在平面几何中的应用 9.在面积为S的△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,若b十c=3十5则 a= A.1B.√3 C.2 D.3 10.(多选)如图，△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,3(acos C+ccos A) =26sinB,且∠CAB=F,若D是△ABC 外一点，DC=1,AD=3,则下列说法中正 确的是 A.△ABC的内角B=牙 B.∠ACB=S C四边形ABCD面积的最大值为：+3 D.四边形ABCD的面积无最大值 11.如图，在△ABC中，已知点 D在BC边上，AD⊥AC, sin∠BAC2,2,AB=32,AD=3,则 BD= 三-022 12.如图，已知扇形的圆心角 ∠A0B=,半径为4区， 若点C是AB上的一动点 (不与点A,B重合). (1)若弦BC=4(√3一1)，求BC的长； (2)求四边形OACB面积的最大值. 新题快递 1.某中学研究性学习小组为测量四门通天铜 雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共 线三点A,B,C处测得铜雕顶端P处仰角 分别为晋，至，5，且AB=BC=20m,则四 门通天铜雕的高度为 m. 5 高一数类品) 2.如图，现有一直径AB =2百米的半圆形广 场，AB所在直线上存 在两点C,D,满足OC=OD=2百米(O为 AB的中点)，市政规划要求，从广场的半圆 弧AB上选取一点E,各修建一条地下管道 EC和ED通往C、D两点. (1)设∠EOB=0,试将管道总长（即线段EC 十ED)表示为变量0的函数； (2)求管道总长的最大值， 《益智欢乐谷 中国女排打了8场，赢了5了一起狂 场，输了3场，冠军！ 新了一起 塞尔维亚打了8场，赢了6 场，输了2场，亚军！ 美国女排打了8场，赢了7 场，输了1场，季军！ [总结]人生呀，关键不在于你赢过多少次， 而在于你在什么时候，什么场次赢了什么对手！