假期作业20 正弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三0022 4.B[因为sin(a-段=sin月-=子， cos sin月=合，则sin ecos月=合 1 故sn(a十段=sin叶osein=合十日=号 即cos(2a+20=1-2sima+0=1-2×(号)广-号] 5.D[由半角公式可知sim号=0s巴，解得s如名 2 -5 6解折：sm0=2g0E(0,受）→os0=个-n0=5> am0=0g-2, ."tan20=-2tan 0 "an4-合， 4 an(20-号）广1+n2a tan20-tan车=tan20-)月 1十tan204 π =7. 答案：7 7.B[由题意如f✉)=名snx十4X1中严=号。 2 2sinx十 2osz+2=号im(x十p+2(共中1amg=专)又因为x长 R,所以f)的最大值为号.】 8.D[由题意得： y-sin (sin cos )sin sin 2 名sn2=号sn红一)十分选项A:通数的展小三网 期为Tm=2五==不，故A错误；选项B:由于一1≤ w 2 sm(2红晋)1，函盘的最大值为号+号，故B错选项C: 函条的对称轴瑞足2一子-标十受=合十，当x一开 时，k=一子正乙，故C错误；选项D:令x=否，代入函数的f 的一个对称中心，故D正确.] 9.AD[:画鼓f)=sim(2x+至)十cos(2x+至)=厄 sm[(2x+)+]-Ein(2z+登)-Eos2x,z∈R, f(-x)=√2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),∴.f(x)为偶函 数，故A正确. 令2kx十r≤2x≤2x十2kr,k∈Z,解得kx+吾≤x≤+kx,k ∈Z,当k=0时，≤x≤，则画数f(x)在（受，x)上单调 递增，故B不正确.f(x)的最大值为√2，故C不正确.由2x 一kx十受，k∈Z,解得x-经+冬，k∈乙，可得当及=0时，共 图像关于点（子，0对称，故D正确，故选AD.] 10.解析：连接BP,设∠CBP=a,其中0≤a<受，则PM=1- sina,PN=2-cosa,四边形OMPN的周长C=6-2(sina +cosa),因为(sina十cosa)2=1+2 sin acos a=1+sin2a, 所以要让周长最小，即让(sina+cosa)最大，即sin2a最 大，因为sin2a在。=下时取到最大值1，所以当a=平时， 周长有最小值6-2√2. 答案：6-2√2 9 高一数学) l1.解：(1)f(x)=OA·OB=sinx+sin xcos x+sin2x-sinx= 号m(-）十2x--2+受e,即 工=x+否∈团时，)取得最大值，)的最小 正周期为元 8:-号(2：子）十合 1 即一吾<<x十誓∈Z时，画数了)为增西数。 小f)的单调递增区间为[k红一青，m+餐]∈D, 12解，由角a的终边过点P(号，音)广 得如=一 4 所以sin(a十π)=一sina= · 份南有&的终边过这P(号，一)，浮m。= 3 51 由sna+0=,得cosa+角=士号 12 由B=(a十)-a,得cosB=cos(a+B)cosa十sin(a+B)sina, 所以asg产需或cmsf。 新题快递 1A[f(x)-号血(+)+m(+看)-号 合m(2+)是=m(2++)+ sm(2x++6）十2-os2x+2 1 1 所以g）=cos2(x-9）+2=cos(2x-2p)+2, 国为画教g)的图象关于2=晋对称，所以2×晋-29一x ∈Z), =及-经(k∈D,因为p>0,所以=0时9=晋最小.] 所以96一2 2解析：如(2a+)=号如2a+os2动 -22sin acos a+cos a-sin'a sin'a+cos'a 4 22uam+1-iame2×3+1-广972 2 tan'a+1 2 台+1 26 省案：7号 假期作业20 思维整合室 L品A品B益C2元素解三角形 b C 技能提升台素养提升 1.D2.B3.C 4C[在△ABC中，已知A=号，BC=3,AB=6, 尉向正袋定理可得中3三。 sin 3 sin C 求得simC=2 2 Ce0,mC-或C= 4 再由BC>AB,以及大边对大角可得C-T<A.] 化曼快乐假期 5.C[acos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B, 即号m2A=2m2B,故m2A=如2B, 1 因为A,B∈(0，π)，且属于三角形内角，所以A十B<π， 所以2A=-2B或2A+2B=元，解得A=B或A+B=否， 所以△ABC为等腰或直角三角形.] 6.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代 入已知条件，得sin'Atan B=sin'BanA,则sin'Asin B cos B =sin Asin'B cos A 因为sin Asin B≠0，所以sinA-sinB cos B cos A' 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.] 7.解析：如图所示：记AB=c,AC=b, BC=a, 22+b2-2×2Xb×c0s60°=6， 因为b>0,解得：b=1十3， 由S△ABc=S△ABD+S△AcD可得， 2×2X6Xsn60=号×2×ADXsin30+ 名×ADX5Xsm30, 解得：AD=36-251+③=2. b 1+2 3+3 答案：2 3 sin A sin B得sinB=白sinA=V2 8.解析：由a b a 又a2=b+c2-2 bccos A,.c2-2c-3=0,解得c=3. 答案：阿 3 9.D[在△ABC中，由正弦定理得，a C sin A sin B sin C sih60=2, -b -c sin A-sin B-sin c=2 a-b-c 六snA2 in B sin C2.故选D.] 10.BD[因为A十B=x-C,所以sinC=sin(π-C) =sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. sin C+sin(A-B)=3sin 2B, 所以2 sin Acos B=6 sin Bcos B, 即2cosB(sinA-3sinB)=0,解得cosB=0或 sin A=3sin B. 当cosB=0时，因为B∈(0，)，所以B=交.又C=号，所 以A=吾，则snA=名，sinB=1,所以由正孩定理得 合-盟合分：当mA-3nB时，由正孩定理得a =3b, 所以合-3.综上所述，号=3或子故选BD.] 11.解：(1)因为A十B=3C,所以A十B=3(π-A-B),所以A +B=酒，所以C=至， 另外，由题意得：2sin(A-C)=sin(A十C), Ep2sin Acos C-2cos Asin C =sin Acos C+cos Asin C, 9 S0M-= 所以sinA=3cosA,变形得sinA=9(1一sin2A).故sinA -310 10 (2)由sinA=3cosA, 得cosA= 3sin A=10 1 10” 所以mB=mA+0-3×号+晋x号-25， 10 2 5’ AC AB 由in B sin C,解得AC=2√0， 所以5=合×5X2V1×3沿-15， 10 设AB边上的高为h,则号AB·h=15,解得A=6,故AB 边上的高为6. 12.解：(1)周为5a=2Sae=2X合×号×1Xsin60- 9。-5,解得u=4, 在△ADC中由余弦定理得b2=12+22-2×1X2Xcos3 =3, 2r=7, 在△ABD中，C2=1+2-2X1X2Xcos 在△ABC中，cosB=2+a-B=7+16-3-5 2ca 27X42sin B -V1-e西-及周光m8部是9 2√7 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)2+BC2= 2(AB2+AC2),即22+a2=2(b+c2)=16,所以a2=12,又 Sc=合esin A=原，因而b6cinA=25,又由余孩定理 得a2=b+c2-2 bccos A,即12=8-2 bccos A,所以bccos A= -2,故anA=-B>cosA=-合，所以bc=4,又8+ +2bc=8+8=16=(b+c)2,b2+c2-2bc=8-8=0=(b- c)2,故可得b=c=2. 新题快递 1.D[在△ABC中，由已知可得，sinA= V1-csA=是 又0sA=号>0，所以A为能角， 由正孩定理可得，nA一smC' BC AB 3 所以，sinC=ABsin A_523 BC 2=102. 要使命题力是真命题，则C有唯一满足条件的解 若0K<2,则sinC号，里然C有唯一满足条件的解； 若x=2,则C=A,满足； 若>2，且simC<1,即品<1， 即2<z<9此时C有两解谪足条件，此时命题力是假 命题； 当x=9时，此时有s山C=1,C=吾有唯一解，满足： 当>号时，此时有snC>1,显然C无解，不满足. 综上所选，当0K≤2成-号时，命题p是真命题.] 三0022.-.. 2.AD[对于A,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b: c,所以sinA,sinB,sinC作为三条线段的长一定能构成三 角形，A正确，对于B,由正孩定理得A'B'C 1 是：石2例知a=5,6=12c=18,则日=日日-b 1 ab c c 合<日，故不能构成三角形的三条边长，故B错误， 对于C,由正弦定理得sin2A:sinB:sin2C=a2:b:c2, 例如：a=3、b=4、c=5,则a2=9、b2=16、c2=25, 则a2+b2=25=c2,sinA,sin2B,sin2C作为三条线段的长不 能构成三角形，C不正确； 对于D,由正弦定理可得√sinA:√sinB：sin C=√a: √石：√c,不妨设a<b<c,则a十b>c,故a<√b<c,且(Wa+ √b)2-(W0)2=a十b-c+2√ab>2√ab>0,所以(Wa+Vb) >√c,故D正确.门 假期作业21 思维整合室 1.a2+c2-2accos B a+b-2abcos C 2.tab 2ca a2+b2-c2 2ab 3.直角钝角锐角 技能提升台素养提升 1.B2.D 3.A[如图，由余弦定理可知： Cos C=2-BC+AC-AB 3 2BC·AC =32+42-AB2 2X3×4, 可得AB=3,又由余弦定理可知： cos BCAC-支k-日故选A] 2AB·BC 2×3×3 4.D[依题意，5-3<c<5十3，即2c<8, 由于B为绕角，所以c0sB=Q+C-B<0,d2十2-=9 2ac +c2-25=c2-16<0 解得2<c<4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4).] 5.A[由正弦边角关系知：a:b:c=4:5：6,令a=4x,b=5x, C=6,所以osC=d+5_16女2562-日】 2ab 2X4xX5x 6.A[因为Q-(b+c2 =-1,所以a2一(b+c)2=-bc bc 即a2-6-c2-2bc=-bc,所以a2=b+c2+bc,由余弦定理 得A-8+灰-2周为0A<1则所以A= 2bc 120°，故选A.] 7.解析：0sA=+口2-25十36-16-3」 2bc 2×5×6 4 ∴mA=-wA- 答案 8解折：因为c-26,所以snC-2血B-子，所以mB=是因 为c=2b,所以6+c=36=2a,所以a=6 所以cosB=a2+c2-b2b+46-6-36 2ac 2√66 8 答案：号86 8 9 高一数类) 9.D[如号-sB=1-号-1-2 () 号由会孩定理得8=d2十-2 2accos B=6+-2×6×4 ×写-36，解得6=6，故选D.] 10.解析：由已知及余弦定理可得cosA=AB十AC-BC 2AB·AC 2x=号设中线长为，由余张定取得=(S) 92+82-722 十AB-2.49.AB·cosA=+9-2X4X9×号=49， 即x=7.所以AC边上的中线长为7. 答案：7 1.解：1)因为+Cd-2cc0A=27c=2,所以c=1: cos A cos A (2)acos BbcosAsin Acos B-sin Bcos A sin B acos B+bcos A c sin Acos B+sin Bcos A sin C =1, 所以inCA-Bm-sinB-sin(A-B》一sinB-1, sin(A+B)sin C sin C 所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B), 所以sin Acos B-sin Bcos A-sinB =sin Acos B+sin Bcos A, 即c0sA=一，由A为三角形内角得A=2 △ABc面叔S=2xsnA=}×1x9- 24 12.解：方案一：选条件①. 由C-吾和余孩定理得4十5上-吗 2ab 2 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b. 、于是36十b—一3，由此可得b一c 由①ac=√3，解得a=√3，b=c=1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1. 方案二：选条件②. 由C=晋和金孩定理得十心-5 2ab 2 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b 于是36+B-c=8 2V36 2 由此可得b=6,B=C=吾A=资 由②csin A=3,解得c=b=2√3，a=6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2√3. 方案三：选条件③. 由C=吾和余孩定理得口十-5 2ab 2 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√36. 手是沙-受由比可得6=6 2√362 由③c=√3b,与b=c矛盾. 因此，选条件③时问题中的三角形不存在 新题快递 1.D[AB=3,AC=4,BC=5,满足32+4=52，.∠BAC= 90°，故cos∠ABC=3, 5 AD是∠BAC的角华分线8肥-是-BD=号XG 7’三0022 一数学 有志者，事竟成。 假期作业20 正弦定理 完成日期： 月 日 〈《思维整合室 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, 1.正弦定理 c,若a=√2，B=45°，b=2则A=（ A.30°或150° B.30° 在△ABC中，若角A,B,C对应的三边分别 C.150° D.45° 是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, 等，即 正弦定理对任意三角形 c,a=15,b=18,A=30°，则此三角形解的个 都成立. 数为 () 2.解三角形 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们 的对边a,b,c叫做三角形的 4.在△ABC中，已知A=号，BC-3,AB=5, 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 则C等于 () 叫做 A晋 B c D. 3.正弦定理的常见变形 ◆[考点二]正弦定理的应用之边角互化 (1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,其中 5.在△ABC中，若acos A=bcos B,则△ABC为 R为△ABC外接圆的半径. A.等腰三角形 (2)sinA=录sinB-2 inC=2东(R为 B.直角三角形 △ABC外接圆的半径). C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比， 6.(多选)在△ABC中，已知a'tan B=6tan A,则 a:b:c=sin A:sin B:sin C. △ABC的形状可能是 () a+b+c b (4)sin Asin Bsin C-sin A a A.锐角三角形 B.直角三角形 sin B C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.(2023·全国甲卷（理）)已知△ABC中， sin C ∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的角平 (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C= 分线交BC于点D,则AD= csin B. 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, 《技能提升台 c.若a=√7，b=2,A=60°，则sinB= 素养提升 ◆[考点三]正弦定理的综合应用 ◆[考点一]已知两边及一边的对角解三角形 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b, 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c.若A=60°，a=3,则nA-sinB-sinC a-b-c c,a=83,b=6,A=60°，则sinB=( ( A号 3 A. C.3 D.2 49 飞是快乐假期 0M-= 10.(多选)在△ABC中，内角A,B,C的对边分 (2)若b+c2=8,求b,c. 别为a,b,c.sinC+sin(A-B)=3sin2B,C= 3则分 ( 1 A.3 C.2 D.3 11.(2023·新课标I卷)已知在△ABC中，A +B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sinA; (2)设AB=5,求AB边上的高. 新题快递 1.命题p:“若△ABC与△DEF满足：AB= DE=x,BC=EF=2,c0sA=cosD=手，则 △ABC≌△DEF”.已知命题p是真命题， 则x的值不可以是 () A.1 B.2 c. 2.(多选)若△ABC的三个内角A,B,C的正 弦值为sinA,sinB,sinC,则 () A.sinA,sinB,sinC一定能构成三角形的 三条边 11 1 12.(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A, B.sinA'simB'sinC一定能构成三角形的 B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的 三条边 面积为√3，D为BC的中点，且AD=1. Csin2A,sin2B,sinC.一定能构成三角形的 三条边 (I)若∠ADC-,求tanB; D.√sinA,sin B,W√sinC一定能构成三角形 的三条边 《益智欢乐谷 数学魔术家 1981年，印度的一位名叫沙贡塔娜的37 岁妇女，凭借心算与一台先进的电子计算机展 开竞赛.题目是求一个201位数的23次方根. 但令人惊奇的是，沙贡塔娜只用了50秒钟就 报出了正确的答案.而计算机得出同样的结 果，花费的时间要多得多.这一奇闻，在国际上 引起了轰动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家” 50