假期作业12 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

k受快乐限期 7.C[AD=DB,AE=EC,.F是△ABC的重心，则DF= 子D心A=d+D萨=市+号D心=d+号(AC- )=号A+号AC=号A店+号AC=号a+号，∴x= 号y=3] 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的中 点，点E为CD的中点，A店=a,AC=b,则A正=号(Ai十 Aò=A应+2AC-子a+2b, 答案：}a+2b 9.D[由c∥d,得c=d,∴ka+b=(a-b) 中俊印e=-a+6里6=-4] 10.B[因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB, 又AB,AD有公共点A,所以A,B,D三点共线.] 11.解：BA=-A店=-BC=-(BA+AC, 4 4 Bi=-号AC=mAC, 12.解：(1)画出向量如图所示 北 (2)D地在A地北偏东30°方向 30° 上，B地在C地南偏西30°方向上， .AD∥BC. 30 30 又AD=BC=2千米，.四边形AB CD是平行四边形， 西A 东 .AB=DC=6千米. 'C地在D地北偏东60°方向上， .B地在A地北偏东60°方向6千米处. .AB的方向为北偏东60°，大小为6千米. 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为xy轴上的单位向量， 满足“|a=|b|”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 成立.故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 |a=0或|b|=0时，a∥b.故B正确；对于C:因为a=一2b, 所以a∥b.故C正确.] 2,D[因为黄形对角线平分对商，所以日+合与∠A0B平 分线所在向量共线， 所以O=A(日+台)A由0i确定.] 假期作业12平面向量的基本 定理及坐标表示 思维整合室 1,不共线入1e十入2e2基底2.(1)0≤≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1十x2y1+2 (2)x1-x2y1-y2(3)ax,y4.(1)a=b (2)x1y2-x2y1=0 技能提升台素养提升 1.B2.D 3.B[以D为坐标原点，建立如图所示 的平面直角坐标系.不妨设AD=2, 则A(-1,W3),B(5,5W3),D(0,0),E (9W3),C(0,4W3),故AB=(6,43), CE=(9,-3V3),DE=(9,W3). 设AB=xCE+yDE, 则/6=9x+9y {4V3=-3Vx+5y' 5 解得 6所以成=成+硫.] 3 y=2 8 S0M-= 4,解析：由条件可知十=2， 一=3解得 λ2 5 答案：2 1 5.D[2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).] 6.A[设c=m十0，则(0，号）=(2x-yz+2, 12x-y=0, 1 所以 05解得r=立'则e=2a+6.] x+2y=2’ y=1, 7.C[若a⊥b,则x(x+1)十2x=0, 即x2十3x=0,解得x=0或x=-3, A错，C对；若a∥b,则2(x十1)-x2=0,即x2-2x-2=0, 解得x=1士√3，故B、D错.] 8.解析：由题意可知，2k=5X6,则k=15, 答案：15 9.A[如图，以A为原，点，AB所在直线为x轴，AC 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的 坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB= 60°，所以设D,点的坐标为(mw3m)(m≠0). AD=(m,W3m)=AAB+uAC=(1,0)+u(0,2)=(λ，2)， 则入=m,且=乞n, √3 所以2-2】 10.解析：设向量b=(x,),由a/b,可得受=兰， 又a·b=-√/10，则2x十y=-√10， 解得x=-210 5 y=、0 5 则=（2，- 5， 以+-2 答案：√2 11.解：(1)若a,b共线，则存在λ∈R,使a=沾，则e-2e2=(e十 %以由6不失线得，2， =1, }以=-号所以1不 存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. (2)设c=ma十nb(m,n∈R),得 3e1-e2=m(e1-2ez)+n(e1+3e)=(m+n)e1+(-2m+3n) e.所以{m十n=3, 了一2m十3m=一1，解之得{n=1,”所以c=2a+6, (3)由4e,-3e2=a+b,得 4e1-3e2=λ(e-2e2)+μ(e1+3e2)=(a+r)e1+(-2a+ 3)e2.所以十u=4, →1=3， {-2λ+3μ=-3，{μ=1. 故所求入，以的值分别为3和1. 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(-8,6)=(1+ 8,2-6)=(9,-4). (2)由已知两点M(3,-2)和N(-5,-1),可得号M- 2(-5-3,-1+2)=(-4,2) 设点P的坐标是(x,y),则MP=(x-3,y十2) 由已知M应-合M,可得x-3y叶2)=(-4，）》 x-3=-4, /x=-1, +2=安，郎 3 y=-21 点P的坐标是(1，一是)广 三022 新题快递 1.B[因为B配=3E求，所以B配=B求，C市=-Ai 一花， 所以B萨=a十C亦=a-是A正0， 弦=晾=b+A@, 由①+×②得酝=a+, 即亦-a+号6.] 2.解析：建立如图的平面直角坐标系， y 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3,4), EB=(3,-4), 由成=3成得成-是成 0) -(-3 设Fx,则-3y)=(-3 可程-3=号，解得 21 (y-4=-3 ,所以F(保，A应 (y=1 =( 又因为AF=λAB+uAD=A(6,0)十u(0,4)=(6入，4)， 4=1 6-型，解得=名以=子则A+= 7 所以》 9 4 答案：日 假期作业13平面向量的数量积 思维整合室 1.(1)lallblcos002.(1)b·a(3)a·b+a·c a·b 3.a.a lallblcos o yy Talbl x1x2十y1y2 √/x+y·√+y x1x2十y1y2=0 技能提升台素养提升 1.B[a=(0,1),b=(1,0), .a-b=(-1,1), ∴.a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.] 2.B[以{AB,AD)为基底向量，可知AB1=|AD1=2,AB, AD-0 则EC-E成+BC=号A店+Aò，ED=EA+A方=-合A成 +AD, 所以成.筋=（合A菇+）·（专A菇+A) -4A店+A=-1+4=3.] 3.解析：因为BC=AC-AB=(-3,2),所以(aAB+AC)⊥BC →(aAB+AC)·BC=0→XAB·BC+AC·BC=0,即-6x 十7=0，解得X=日 答案：日 4.B[将条件|a+2b|=2平方得1+4a·b+4b2=4,由(b一 20Lb得5-2a6=0,片以6=是61=盟] 5.B[由a十b=√7，即(a+b)2=7,即a+2a·b+b=7,则 |al2+2la·|blcos<a,b>+|b2=7,又|a=2|bl=2,所以 cosa,b)=合，又0≤a,b》≤180，所以a与b的夹角 为60°.] 8 一数类 6.解析：由a十b=|2a-bl,得a2=2a·b; 由a-bl=√3，得a2-2a·b+b=3,即b=3,|b=√3. 答案：√3 7.ABCD[la+bl=|a-bl台|a+bl2=|a-b|2台a2+2a·b +b=a2-2a·b+b2台→a·b=0,a2+b2=(a-b)2台a2+b2 =a2-2a·b+b2台a·b=0.] 8.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2-4z =0,解得x=2.] 9.解析：由向量a,b的夹角为号，且(a-b)Lb, 得(a-b)·b=a·b-8=合1ab1-b12=0, 所以1a=2b1,8=2 因为|a+bl=√(a+b)=√a2+2a·b+b =√41b2+2b2+1b平=√7b1, |a-bl=√/(a-b)2=√a2-2a·b+b =√4b2-21b2+b平=√31b, 所以a+b!=2红 ×1a-b3 答案：2 3 10.AC[设a=h(>0),所以n=3,解得=3， 3k=3, (n=1 即a=√3b,故A正确」 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有√3x十3y=0,x2十y =1,所以()成-（停》）战B错灵 因为b在a上的投影向量为36，所以。=3，所以 3n十33=3，解得n=3,故C正确. 23 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共线，所 以3n十33<0解得{n,3,即n<-3,所以n∈(-o, 13-3n≠0， 1n≠1， 一3)，故D错误.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于，点 N,则N是AM的中点，又正方形边长为 8,所以M(8,4),N(4,2). 设点E(e,0),则AM=(8,4),AN=(4, O(A) 2),AE=(e,0),EN=(4-e,2), 由AM⊥EN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解得 e=5,即|AE1=5. 所以Sax=号ABd=合×5×4=10. 12.解：(1)：AB·AC=0,.AB⊥AC. 又|AB1=12,|BC1=15,.1AC1=9. 由巴知可得d=2店+A心)，C=店-A心， “A访.C店=名(A店+A心)，(A店-AC=号(A店 A心)=合14-81)2 2 (2)A正.CB的值为一个常数. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 为l上异于D的任意一点，∴DE·CB=0. 故AE·CB=(AD+DE)·CB=AD·CB+DE.CB= ò.成=（常教）. 新题快递 1.C[关于x的方程a2x2十2a·bx+b=0有实数根，则△= 4(a·b)2-4a2b≥0，三0022 假期作业12平面向量的基本定 《思维整合室 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向 量，那么对于这一平面内的任意向量a,有 且只有一对实数入1，入2，使a= .不 共线的向量e,,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 2.两向量的夹角与垂直 a 0 0 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b, 则∠AOB=0叫做向量a与b的夹角（如图 所示). (1)范围：向量a与b的夹角的范围是 (2)当0=0°时，a与b ;当0= 时，a与b反向. (3)垂直：如果a与b的夹角是 ,则称 a与b垂直，记作 3.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a十b ( (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b (3)若a=(x,y),λ∈R,则a=( 4.共线向量的坐标表示 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，a、 b共线，当且仅当存在实数入，使 (2)如果用坐标表示可写为(x1,y1)=入(x2, y2),当且仅当 时，向量 a、b(b≠0)共线. 23 高一教学的 学而不思则罔，思而不学则殆。 理及坐标表示 完成日期： 夕 日 【《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面向量基本定理 1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则 下列四组向量中，不能作为基底的是() A.e1+e2和e1一e2 B.3e1-4e2和6e1一8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1十e2 2.如图，AB是⊙O的直径，点 C,D是半圆弧AB的两个三 等分点，AB=a,AC=b,则 AD- A.a-0 月a-6 Catgo 1 D.2a+b 3.古希腊数学家帕波斯 在其著作《数学汇编》 的第五卷序言中，提到 了蜂巢，称蜜蜂将它们 的蜂巢结构设计为相 同并且拼接在一起的 正六棱柱结构，从而储 存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动 物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的 平面图形如图所示，则AB= () A.-3CE+5DE B.-5CE+3DE 2 6 6 2 C.-号c成+D成D.-ci+号DE 4.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e 十3e2,若a在基底{e1十e2,e1-e2}下可以表 示为a=入(e1十e2)十u(e1一e2),则入= 以= ◆[考点二]平面向量的坐标运算 5.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a十b 等于 A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 化曼快乐假期 6.若向量a=(2,1),b=（-1,2),c=0,2 5) 则c可用向量a,b表示为 ( Aa+b 1 B.-2a-b C.atib D.ga-b 7.设向量a=(x十1，x),b=（x,2),则（() A.x=一3是a⊥b的必要条件 B.x=一3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+√3是a∥b的充分条件 8.已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为 ◆[考点三]平面向量基本定理的综合应用 9.已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1, AC=2,D是△ABC内一点，且∠DAB= 60°，设AD=入AB+μAC(入，∈R),则入= () A2B号 C.3 D.23 10.平面向量a,b满足a=(2,1),a∥b,a·b= 一√10，则|b|= 11.设e1,e2是不共线的非零向量，且a=e1一 2e2,b=e1+3e2. (1)证明：a,b可以作为一组基底； (2)以a,b为基底，求向量c=3e1一e2的分 解式； (3)若4e1一3e2=a+b,求入，4的值. 90M-= 12.解答下列各题： (1)设向量a=(1,2),b=(一4,3)， 求a-2b; (2)已知两点M(3,-2)和N(-5,-1), 点P满足MP-号M,求点P的坐标. 新题快递 1.“赵爽弦图”是由四个全等 的直角三角形与一个小正 方形拼成的一个大正方 B 形.如图，在“赵爽弦图” 中，若BC=a,BA=b,BE =3EF,则BF= ( A总- B.16 12b 5a+251 C.gatgn D.是a+b 2.在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为CD 的中点，若EF=3FB,AF=入AB+uAD, 则入十= 《益智欢乐谷 大妈早上去广场散步，看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字，忍不住凑上去看. 老头看了大妈一眼，提笔写了个“滚”字」 大妈心想：看一下至于吗？…老头又看大妈 一眼，又写个“滚”.大妈再也忍不住了，上去一 脚将老头踢倒在地… 警察来了问咋回事，老头委屈地说：“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’，刚写头两个字，就 被这个神经病瑞倒了”. 4