假期作业2 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

三0022 富一数学 学而不思则罔，思而不学则殆。 假期作业2平面向量的基本定理及坐标表示 完成日期： 月 日 【《思维整合室 2.如图，AB是⊙O的直 1.平面向量基本定理 径，点C,D是半圆弧AB 如果e1,e2是同一平面内的两个 的两个三等分点，AB= 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a,AC=b,则AD= a,有且只有一对实数入1，入2，使a= ( .不共线的向量e1,e2叫做表示 这一平面内所有向量的一组 A.a- 8.6 2.两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b, A C.a+ib 1 D.2a+b 作OA=a,OB=b,则 3.（2025·广东高一预 ∠AOB=0叫做向量a与 人0 b的夹角（如图所示）. 0 测)古希腊数学家帕波 b 斯在其著作《数学汇编》 (1)范围：向量a与b的夹角的范围是 的第五卷序言中，提到 了蜂巢，称蜜蜂将它们 (2)当0=0°时，a与b ;当0= 时，a与b反向. 的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的 (3)垂直：如果a与b的夹角是 ,则 正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升 称a与b垂直，记作 了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世 3.平面向量的坐标运算 人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图 (1)若a=（x1y1),b=(x2,y2),则a十b= 所示，则AB= ( ) ( (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a一b= A.- C正+ B-SCE+DE (3)若a=(x,y),λ∈R,则a=( C.-号+DE D.-c龙+DE 4.共线向量的坐标表示 4.向量a在基底{e,e2}下可以表示为a= (1)设a=(c1y),b=(x22),其中b≠0，a、b 2e1十3e2,若a在基底{e1十e2,e1-e2}下 共线，当且仅当存在实数入，使 可以表示为a=λ(e1十e2)十(e1-e2),则 (2)如果用坐标表示可写为(x1,y1)=入(x2, 入= ,A= y2),当且仅当 时，向量 ◆[考点二]平面向量的坐标运算 a、b(b≠0)共线. 5.已知向量a=(2,4),b=(一1,1)，则2a+ 《技能提升台 b等于 ( 素养提升 A.(5,7) B.(5,9) ◆[考点一]平面向量基本定理 C.(3,7) D.(3,9) 1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底， 6.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c= 则下列四组向量中，不能作为基底的是 〔0，}则c可用向量a,b表示为( A.e1十e2和e1一e2 B.3e1-4e2和6e1一8e2 Aat地 B.-24-b C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1十e2 c.知+b D.ga- 3 蜜快慨期 900= 7.（2024·全国甲卷（理）)设向量a=(x+ 12.解答下列各题： 1,x),b=(x,2),则 (1)设向量a=(1,2),b=(-4,3), A.x=-3是a⊥b的必要条件 求a-2b; B.x=一3是a∥b的必要条件 (2)已知两点M(3,-2)和V(-5,-1),点 C.x=0是a⊥b的充分条件 P满足MP=M不，求点P的坐标 D.x=一1十√3是a∥b的充分条件 8.(2024·上海卷)已知a=(2,5),b=(6, k),a∥b,则k的值为 ◆[考点三]平面向量基本定理的综合应用 9.已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB= 1,AC=2,D是△ABC内一点，且∠DAB =60°，设AD=入AB+AC(λ，μ∈R), 则入 ) A项 B号 新题快递 C.3 D.2√3 1.(2025·河南漯河高中 10.(2025·山东高一调研)平面向量a,b满 高一月考)“赵爽弦图” 足a=(2,1),a∥b,a·b=-√10，则b 是由四个全等的直角三 H 角形与一个小正方形拼 11.设e1,e2是不共线的非零向量，且a=e1 成的一个大正方形.如 -2e2,b=e1+3e2. 图，在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b, (1)证明：a,b可以作为一组基底： BE=3EF,则BF= ( (2)以a,b为基底，求向量c=3e1一e2的 分解式； A是+是动 (3)若4e1一3e2=a+b,求入，的值 C. 2.在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为 CD的中点，若EF=3FB,AF=入AB+H AD,则入十= 《益智欢乐谷 大妈早上去广场散步，看到有个老头 拿着海绵笔在地上写大字，忍不住凑上 去看. 老头看了大妈一眼，提笔写了个“滚” 字，大妈心想：看一下至于吗？…老头又 看大妈一眼，又写个“滚”.大妈再也忍不住 了，上去一脚将老头踢倒在地… 警察来了问咋回事，老头委屈地说： “我就想写句‘滚滚长江东逝水’，刚写头两 个字，就被这个神经病踹倒了”三0022. 参考 第一部分 假期作业1平面向量的概 念与线性运算 思维整合室 1.(1)方向模(20(31个单位(4)相反(5)方向(6)方向 技能提升台素养提升 1.C 2.B[对于A,根据题中图形，可得向量BO,OC,OA不是 有相同起点的向量，A错误；对于B,:O是圆心，那么 向量BO,OC,OA的模是一样的，.B正确；对于C,共线 向量是方向相同或者相反的向量，.C错误；对于D,相 等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误.] 3.解析：如图所示，设AB=a,BC=b,则AC=a十 b,且△ABC为等腰直角三角形，则AC= + 8√2，∠BAC=45°， 445 答案：8√2北偏东45 4.解析：此题中，马在A处有两条路 可走，在B处有三条路可走，在C 处有八条路可走，如图，以B为起 点作有向线段表示马走了“一步” 的向量，符合题意的共3个；以C 为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的 共8个.所以共有11个. 答案：11 5.D 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确： C中，若m=0,则不能推出a=b,错误：D中，若a=0,则 m,n没有关系，错误.] 7.C[:AD=DB,AE=EC,∴F是△ABC的重心，则DF =号D元萨=A市+D-市+号D心-市+号心 -A)=号Ai+子=号A店+号=子a+子0， =y=] 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的 中点，点E为CD的中点，AB=a,AC=b,则AE= 2i+A0)=十+2A花-十a+合0， 答案：a+2b 9.D[由c∥d,得c=ad,.ka+b=a(a-b) 即行六-即6=a+b显c=4 10.B[因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b) =3AB,又AB,AD有公共点A,所以A,B,D三点共线.] 1山，解：B成=-A店=-C=-十(B时+心. 4 i=g衣-m花 .m=一5 答案 12.解：(1)画出向量如图所示. 北 (2):D地在A地北偏东30°方 309 向上，B地在C地南偏西30°方 30 B 向上，∴.AD∥BC 又AD=BC=2千米，.四边形西 ABCD是平行四边形， .AB=DC=6千米. C地在D地北偏东60°方向上， .B地在A地北偏东60°方向6千米处。 ∴AB的方向为北偏东60°，大小为6千米. 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向 量，满足“|a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a ∥b不成立，故A、D错误：对于B:由零向量与任何向量 平行，可知a=0或|b=0时，a∥b.故B正确；对于C: 因为a=一2b,所以a∥b.故C正确.门 2.D[因为菱形对角线辛分对角，所以日+合与∠A0B 平分线所在向量共线， 所以0成=（合+合）以由0成殊定门 假期作业2平面向量的基本 定理及坐标表示 思维整合室 1.不共线入1e1+入e2基底2.(1)0°≤0≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1+x2y+y2 (2)x1-x2y1-y(3)入x,ay4.(1)a=b (2)x1y2-x2y1=0 技能提升台素养提升 1.B2.D 3.B[以D为坐标原点，建立如图所 示的平面直角坐标系.不妨设AD =2, 则A(-1,√5)，B(5,53),D(0, 0),E(9,W3),C(0,43),故AB= (6,43), CE=(9,-3√3)，DE=(9,W3). 设AB=xCE+yDE, 则6=9z+9y 143=-33x+√3y 5 x=一 解得 所以A=-吾花+D成.] 3 5 4解析：由条件可知公十以=2， 3解得 =-2 答案：号-日 5.D[2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).] 5 6.A[设c=aa+b,则(0,2)=(2x-yx+2), 2x-y=0, 1 所以 x+2=2, (y=1, 蜜快慨期 S00-= 7.C[若aLb,则x(x+1)+2x=0, 新题快递 即x2+3x=0,解得x=0或x=-3, A错，C对；若a∥b,则2(x+1)-x2=0,即x2-2x-2 1B[因为配=3成，所以庞=成，市=-A =0, =-成 解得x=1士√3，故B、D错.] 8.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 所以B亦=a+C市=Q-A龙0， 答案：15 9.A[如图，以A为原点，AB所在直线为x轴， B成-是萨=b+A@, AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则 B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为 由①+子×巴得号亦=a+子0， 4 ∠DAB=60°，所以设D点的坐标为(m,W3m) 中B成-+是] (m≠0). AD=(m,5m)=AAB+4AC=A(1,0)+4(0,2)=(a, 2.解析：建立如图的平面直角坐 标系， 2),则入=m,且号2， 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3, 4),EB=(3,-4), 所以-2 由亦=3F店得E=是店 10.解析：设向量6=(，)，由a/6,可得受=兰 =(是-3 又a·b=-√0，则2x+y=-√10， 解得x=-2√0 设F,则-3y4=(-3） 21 则b= _2W10 -0) -4=-3' (y=1 5 5 所以b= 2@}+ =√2 學 5 又因为AF=入AB+μAD=(6,0)+u(0,4)=(6入，4)， 答案：√2 4=1 11.解：(1)若a,b共线，则存在入∈R,使a=,则e1一2e 所以 入(e1+3ee).由e1,e2不共线得， =1, 以=解得=之 4 {3λ=-2， 即 答案： =一号.所以入不寿在，就日与6不共线，可以作为 A=1, 假期作业3平面向量的数量积 思维整合室 组基底. 1.(1)川a1 blcos902.(1)b·a(3)a·b+a·c (2)设c=ma十nb(m,n∈R),得 3.√a·a√i+y|allblcos6x1x2+y1y2 a·b 3e1-e=m(e1-2e)+n(e1+3e)=(m+n)e1+(-2m+ lab 3me.所以m十n=3, {-2m+3m=-1·解之得物=2， x1xg十y1yg n=1. 所以c=2a x+y·√x+y x1x2+y1y2=0 +b. 技能提升台素养提升 (3)由4e1-3e,=a十b,得 1.B[a=(0,1),b=(1,0), 4e1-3e2=(e1-2e,)+u(e1+3e)=(a+u)e1+(-2x .a-b=(-1,1), +3)e.所以十a=4, =3, .a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.] {-2λ+3μ=-3，{u=1. 2.B[以{AB,AD为基底向量，可知AB1=AD1=2, 故所求入，的值分别为3和1. AB.AD=0 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-（-8,6)= (1+8,2-6)=(9,-4). 剥EC=房+BC=子A店+Ad,FD=E+Aò (2)由已知两点M3,-2)和N(-5,-1),可得2M示 -2AB+AD. =2（-5-8.-1+2)=（4,号）片 所以元.元=（合店+A市）·(2+) 设点P的坐标是(x,y),则MP=(x-3,y+2). 花+花=-1+4=3] 由已知M市-号M.可得-3y+2)=(（4,号） 3.解析：因为BC=AC-AB=(-3,2),所以（入A店+AC) 一3=一4， x=-1, ⊥BC→(AAB+AC)·BC=0→AAB·BC+AC·BC- y+2=1.解得 2 0,即-6以+7=0，解得X=名 点P的坐标是(1.-是) 答案日 50