假期作业6 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

快乐假期 驽马十驾，功在不舍。 假期作业6平面向量的基本定理及坐标表 完成日期： 月」 日 《思维整合室 〈《技能提升台 1.平面向量基本定理 素养提升 如果e,e2是同一平面内的两个 ◆[考点一]平面向量基本定理的应用 向量，那么对于这一平面内的任意向量a, 1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基，则 有且只有一对实数入1，λ2，使a= 下列四组向量中，不能作为基的是 不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组 A.e1+e2和e1一e2 2.两向量的夹角与垂直 B.3e1-4e2和6e1-8e2 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1十e2 =b,则∠AOB=0叫做向量a与b的夹 2.(多选)已知D,E,F分别为△ABC的边 角（如图所示）. BC,CA,AB的中点，且BC=a,CA=b, 则下列命题正确的是 () 0 B A.A币-a-b (1)范围：向量a与b的夹角的范围是 BB配-=a十b (2)当0=0时，a与b ;当0= C.CF--a+jb 时，a与b反向. D.AD+BE+CF=0 (3)垂直：如果a与b的夹角是 ,则 3.(2022·新高考I卷，3)在△ABC中，点 称a与b垂直，记作 D在边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD 3.平面向量的坐标运算 =n,则CB= ( (1)若a=(x1y1),b=(x2y2),则a十b= A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a一b= 4.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a= ( 2e1十3e2,若a在基底{e1十e2,e1-e2}下 (3)若a=(x,y),λ∈R,则a=( 可以表示为a=λ(e1十e2)十(e1-e2),则 4.共线向量的坐标表示 λ= A= (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b ◆[考点二]平面向量的坐标运算 ≠0，a、b共线，当且仅当存在实数入， 5.如图所示，若向量e1,e2是 使 互相垂直的单位向量，则 (2)如果用坐标表示可写为(x1y1)=入(x2, 向量2a十b在平面直角坐 标系中的坐标为( y2),当且仅当 时，向 A.(3,4) B.(2,4) 量a、b(b≠0)共线. C.(3,4)或(4,3) D.(4,2)或(2,4) 12 三0P2 一学 6.已知向量a 3 ,2a+3b=(5,-3) 12.平面内给定三个向量a=(3,2),b= (-1,2),c=(4,1). 则b= ( (1)求满足a=mb+c的实数m,n; A.(-3,2) B.(3,-2) (2)若(a十kc)∥(2b-a),求实数k. C.(3,0) D.(9,6) 7.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP =AB+入AC(a∈R),且点P在直线x-2y =0上，则入的值为 () A号 B-月 c 8.平面上有A(2,一1)，B(1,4),D(4,-3) 三点，点C在直线AB上，且AC-BC, 连接DC并延长至点E,使CE=ED1, 则点E的坐标为 ◆[考点三]平面向量共线的坐标表示 9.已知向量a=(一3,1)，b=（1,3),c=2a 十kb.若a∥c,则k= () A.-1 B.0 C.1 D.2 新题快递 10.已知向量a=(3,2),b=(2,一1)，若非 1.(多选)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个 零向量ma十nb与a十2b共线，其中m, 点为顶点作平行四边形，则第四个顶点 n∈R,则m的值为 D的坐标是 A.(2,3) B.(2,-1) 11.已知A(3,2),B(-1,2),C(4,1),判断 C.(4,1) D.(-2,-1) A,B,C三点能否共线. 2.在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为 CD的中点，若EF=3FB,AF=λAB十 AD,则入十= 《益智欢乐谷 大妈早上去广场散步，看到有个老头 拿着海绵笔在地上写大字，忍不住凑上 去看. 老头看了大妈一眼，提笔写了个“滚” 字.大妈心想：看一下至于吗？…老头又 看大妈一眼，又写个“滚”.大妈再也忍不住 了，上去一脚将老头踢倒在地… 警察来了问咋回事，老头委屈地说： “我就想写句‘滚滚长江东逝水’，刚写头两 个字，就被这个神经病瑞倒了”. 13快乐假期 0-= 又周为市-子店+A心、 .点C的坐标为(3，一6)， 所以号C+1-n店=受店+Ad. 又：C它=子E,且E在DC的延长线上. -受 1 正=-0， m= 解得： ,即 方法一：向量相等法。 1-= n= 3 4 设Ex,y),则(x-3,y十6)= 4(4-x,-3-y), 代入BF=nBE=n(AE-AB)= 子（仔花-） x-3=- 子4- =花-. 解得x= 8 3 +=-子-3- (y=-7, 解得：A=-3, 4=本， 六点E的坐标为（停，一7）小 (1)A十=- e AD2 方法二：定比分点公式法 设E(x,y), 假期作业6 思维整合室 :G店=-或.c3.-6.04,-9. 1.不共线入1e1十入2e2基2.(1)0°≤0≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1十x2y1+y 则x=3-18 (2)x1-x2y1-y(3)入x,y4.(1)a=b (2)x1y2-x2y1=0 1- 3y= 1- 技能提升台素养提升 1.B ∴点E的坐标为（停-7） 2.BCD [BC-a.CA-6.AD-CB+AC--a-. 答案：（得-】 故A错：B成-BC+C=a+b,故B正确：C市 9.B[因为向量a=(一3,1)，b=(1,3),所以c=2a+b= (一6+k,2+3k). =2Ci+Ci=(-a+b)=-7a+26,故c正 因为a∥c,所以一6十k=(2+3k)×(-3),解得k=0.故 选B.」 确，所以A市+B正+C亦-b-之a+a+号b+号b-号a 10.解析：由a=(3,2),b=(2,一1)，得0十b=(3m十2n, 2m-n),a+2b=(7,0).因为ma十b与a十2b共线，所 =0.故D正确.] 3.B[如图，因为CB=C+AB, 以14m-7n=0,解得m=1 BD=2DA,所以AD=AC+CD 答案：日 =n-m.AB=3AD,CB=CA+ 11.解：AB=(-4,0),AC=(1,-1), 3AD=m+3(n-m)=3n-2m, B4 -4×(-1)-0×1≠0， 故选B.门 ∴.AB,AC不共线. 5 λ= A,B,C三点不共线 解柄：由条件可如公十一子新路 2 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(一1,2)十n(4,1), 1· = 2 5 m=9' 所以{。m十n。3得 {2m十n=2, 8 n=9 5.A[建立平面直角坐标系. (2)a+c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 用三角形法则画出向量2a 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2十k)=0. 十b,如图，由图可知2a+b 在平面直角坐标系中的坐标 =-骨 为(3,4).故选A. 新题快递 6.B[由题意可知b=3[(2a 1 10 1.ACD[设D(x,y),若AB=CD,则(1，-1)=(x-3, +36)-2a1=3[6,-3) y2,即1.解得中.1若店 y=1,1 (-4,3)]=(3,-2).故选B.] D元，则(1，-1D=(3-,2-,即8二1解得 7.B[设P(x,y),则由AP=AB+AAC, 1y-2=1, 得(x-2,y-3)=(2,2)+入(5,7)=(2+5A,2+7). 所以x=5入+4，y=7m+5. {印20-成.时y1）=（-2-2,中 又点P在直线x一2y=0上， 故5x+4-2(7以+5)=0，解得X=-号] {仁122解得即D-2,-1.长选ACD] 2解析：建立如下图的平面直角坐标系， 8.解析：设O为坐标原点， 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3,4),EB=(3,-4), ACC.0C-0A-(0C-0B), 尚E正-3F成得E=早成=（骨-3小 ∴OC=2OA-OB=(3,-6). 设FP,则z-3y-4)-(号-3 56 三-0022 9 可得 -3=，解得 如图所示：a一c=CA,b一c=CB, (y-4=-3 由余弦定理得|CA=|CB|=√5， 5+5-2 21 所以cos∠ACB= 25×√5 a 0(4) 号即eosa-c6-c=合] (保小 10.解析：由向量a,b的夫角为号 又因为AF=入AB+红AD=x(6,0)+(0,4)=(6A,4), 且(a-b)⊥b, /4=1 所以 9 6入= 型解得A=名以=子，则+g= 得(a-b·b=a·b-0=a川b-b=0, 4 答案： 所以1a=211,日=2 因为|a+b=√/(a+b)=√a+2a·b+b 假期作业7 =√4b+2b+b产=√71b, 思维整合室 1a-b=/(a-b)2=a2-2a·b+b 1.(1)al blcos002.(1)b·a(3)a·b+a·c =√4bP-2b+1b平=√31b1, 3.√a·a√+lallblcos61x+yy a·b ab 所以8台 zz:+yy: √i+y听·√+y x1x2十y1y2=0 管案2四 技能提升台素养提升 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 1.C[由题设可知，a-2b=3,两边平方得|a2-4a·b EF是AM的中垂线，设AM与EF交 +4b1=9,代入|a=1,b1=√3，有1-4a·b+12= 于，点N,则N是AM的中，点，又正方形 9,故4a·b=4,解得a·b=1.故选C.] 边长为8，所以M(8:4),V(4,2). 2.B[以{AB,AD}为基底向量，可知|AB1=|AD1=2, 设点E(e,0),则AM=(8,4),AN= (4,2),AE=(e,0),EV=(4-e,2), 0). AB·AD=0 由AMLEN,得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0, 则FC-E+BC=Ai+AD,Ed-成+A 解得e=5,即AEl=5. +A. =- 所以Saew=子1Bi=子×5X4=10, 所以EC.E品=（合AB+AD)·(2A店+AD) 12.解：(1)AB·AC=0,AB LAC. 又AB1=12,BC1=15,∴.|AC1=9. =-A店+市=-1+4=3.] 由巴知可得A方=之B+C).C房=店-A心 3.BC:(a-b)⊥b,∴.(a-b)·b=0.即a·b=|b2, ∴AD.C=之(AB+AC.(AB-AC) coxe.)=a:。-0而-合 a·b」 1612 =Ag-Ac心)=14-8I)=号 故a,b)=子，故选B.] (2)A正.CB的值为一个常数. 4解折：因为osa,b=子a=1.b=3 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D, E为1上异于D的任意一点，DE·CB=O. 所以a·b=a61cos(a,b》=1X3×号=1， 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+D正.CB 所以(2a+b)·b=2a·b+b=2×1+3=11. -市.成=2（常教） 答案：11 新题快递 5.ABC[1a+b=|a-bl台|a+b12=1a-b1台a2+2a 1.解析：由a+b=|2a一bl,得a2=2a·b: ·b+b=a2-2a·b+b台a·b=0,a+b=(a-b)2曰 由a-bl=3,得a-2a·b+b=3,即b=3, a2+b=a-2a·b+b台a·b=0.] |b1=√3. 6.B[向量a,b满足a+b=(2,3), a-b=(-2,1),所以a2-|b1=(a+b)·(a-b)=2 答案√3 2.A「设正方形的边长为2，如 ×(-2)+3×1=-1.] 图建立平面直角坐标系， 7.D[(a+b)·(a+b)=a2+(入+z)(a·b)+入b 则A(-1,0),B(1,0),C(1,2), =2(1十)=0，所以λ=一1.] D(-1,2),P(cos 0,sin 0)( 8.解析：c=a+b=(3,1)+(1,0)=(k+3,1),由a⊥c, 中0<θπ)， 得ac=0,所以3k+3)+1=0,解得k=-号 PA+PB+PC+PD=(-1- cos 0,-sin 0)+(1-cos 0,- 答案：-9 sin )+(1-cos 0,2-sin 0) +(-1-cos0,2-sin0)= 9.D[由a+b+c=0得a+b=-c,所以(a+b)=(-c), (-4cos 0,4-4sin 0) 即a+2a·b+b=c2,又|a=b|=1,lc=√2， 所以PA+PB+PC+PD1=√(-4cos)2+(4-4sim) 所以a·b=0,所以a⊥b.