精品解析：甘肃兰州市第五十五中学2025－2026学年下学期九年级第二次模拟考试数学试卷

2026年九年级第二次模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列各数中，相反数为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 3. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 即 故选：D． 4. 下列方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，整理各方程为标准形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A、方程为，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； B、整理方程得，则，，，故，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、整理方程得，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； D、方程为，则，，，故，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 5. 如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①， ，符合题意； ②， ，不符合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤与是同旁内角，若才能判定，而不能判定，不符合题意； 综上所述，能判定的条件有①③④，共3个． 6. 如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（ ） A. △ABC三边的垂直平分线的交点 B. △ABC三个内角平分线的交点 C. △ABC三条中线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置． 【详解】解：∵点P到点A，B，C的距离相等， ∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心：外心到三个顶点的距离相等． 也考查了线段垂直平分线的性质．掌握三角形的外心及线段垂直平分线的性质是解题关键． 7. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放置一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，测得，则该古城墙的高度是（　　） A. 3m B. 4.5m C. 8m D. 5m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，结合镜面反射角度相等，证明，列出比例式，求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该古城墙的高度是4.5m， 故选：B． 8. 如图表示的是某公司一种产品天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A. 第天的销售量为件 B. 第天销售一件产品的利润是元 C. 第天和第天的日销售利润相等 D. 第天的日销售利润高于第天的日销售利润 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．Ａ选项观察第一个函数图像即可判断；判断选项时，求出日销售量y（件）与日期t（日）的函数关系式，再求出该产品单件的销售利润w（元）与日期t（日）的函数关系式，根据题意代入计算进行判断即可． 【详解】解：A、根据图①可得第天的销售量为件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系为， 把，代入得：， 解得：， ， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量（单位：件）与时间（单位；天）的函数关系为， 把，代入得：， 解得：， ， 当时，日销售利润（元； 当时，日销售利润（元， 第天和第天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润（元， 当时，日销售利润（元． 第天的日销售利润高于第天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 9. 体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A. 一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B. 二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的 C. 一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D. 二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图中各项目人数占总人数的百分比的意义求解即可． 【详解】解：A．因为两个班总人数不知道，所以一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数不一定相等，故不符合题意； B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的，故不符合题意； C．因为两个班的总人数不知道，所以一班参加羽毛球兴趣小组的人数与二班参加羽毛球兴趣小组的人数无法比较大小，故不符合题意； D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数占总人数的百分比均为，所以二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多，故符合题意 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 11. 如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】分别用含的代数式表示出、，作差即可得到与的函数关系． 【详解】解：正方形中，， ， ， ，， 由图可知，， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数关系式的判断，找出与的函数关系式是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：10． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可得到小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率． 【详解】由题意可得，树状图如下： 由上可得，共有种等可能性，其中小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的可能性有种． ∴小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为． 三、解答题（本大题共11小题，共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解：原式 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2）； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解； （3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， ∴根据图象可得，不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 20. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 【答案】（1）一 （2）23米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）方案一中延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E，设，则，得出，根据，得出，由于的值不知，故无法求解，即可得出结论； （2）利用方案二求公馆桥的高度，延长交于点C， 设米，则米，则，，列出方程求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 解：方案一： 延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E， 根据题意可得：，， ∴， 由题意可得四边形为矩形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由于的值不知，故无法求解， ∴方案一不能求公馆桥的高度， 故答案为：一； 【小问2详解】 解：利用方案二求公馆桥的高度 延长交于点C，如图 由题意得 设米，则米 在中 ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 解得： ∴米，米 答：公馆桥的高度为23米． 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： （1）材料中空缺的内容是______，依据1是______． （2）补全猜想2的证明过程． （3）如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行六边形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及尺规作图，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行六边形的性质得到，求出，根据四边形的内角和即可得到答案，再由平行线的性质得到依据； （2）根据平行四边形的性质得到，证明，证明，即可得到结论； （3）以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，连接线段即可． 【小问1详解】 解：连接， 六边形是平行六边形， ， ， ， 依据1是两直线平行，内错角相等， 故答案为：；两直线平行，内错角相等； 【小问2详解】 证明：分别连接， 六边形是平行六边形， ，，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解： 22. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.9 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 【答案】（1），50，10； （2）女生的体育中考成绩更优异，理由见解析 （3）540人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数及意义，利用样本估计总体，正确找出所需数据是解题关键． （1）有题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩分别为、，根据中位数的定义求解的值即可；再根据女生成绩的满分率，得出女生成绩50分的人数，根据众数的定义求解的值即可；求出男生成绩中A等级所占的百分比，即可得到的值； （2）根据平均数和中位数的意义分析即可； （3）用总人数乘以样本中初三年级男生和女生A等级的占比求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩的平均数，且A等级包含14个人， 男生成绩的中位数, 由条形统计图可知，抽取20名女生的体考成绩中A等级有13人， 女生成绩的满分率为， 50分的成绩人数为，人数最多， 女生成绩的众数， 男生成绩中A等级所占的百分比为， ， 故答案为：，50，10 【小问2详解】 解：女生的体育中考成绩更优异，理由如下： 因为男生和女生成绩的众数、中位数相同，但女生成绩的平均数、满分率均高于男生，所以女生的体育中考成绩更优异； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数有540人． 23. 如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先利用等边对等角和角平分线的定义得到，则，进而可得，利用切线的判定可得结论； （2）先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求与之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）由点，在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到，代入等式左边和右边即可判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的对称轴为，点，在该函数的图象上， ， ， ∴； 【小问2详解】 ①解：由（1）可得，， ∴该函数的表达式为， 则函数图象的顶点坐标为. ∵函数的有最小值为， ∴，且， 解得，或（舍去）. ∴该二次函数的表达式为. ②证明：∵点在函数的图象上， ∴. 由①知，点，关于直线对称， 不妨设，则， ∴，即， ∴， ∴． 25. 已知，的一边在平面直角坐标系的轴上，点． （1）如图1，点，求的长； （2）如图2，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，． ①求证：四边形是菱形； ②若点，动点，分别从点，以每秒个单位和每秒个单位的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①见解析；②存在，点，点 【解析】 【分析】（1）使用两点距离公式即可； （2）①容易证明，则，进而可判定四边形是平行四边形，结合可证明四边形是菱形； ②先根据菱形的性质和勾股定理计算出，分析点和点的运动过程可知，点在上，点在上时，符合平行四边形的要求，根据题意表示出，，列方程并解出的值，进而得到点和点的坐标． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得，； 【小问2详解】 解：①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ②假设存在，设运动时间为秒， ∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ①当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； ②当时，点在上，点在上， 由题意可知，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； ③当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； ④当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； 综上所述，假设成立，点的坐标为，点的坐标为． 26. 在平面直角坐标系中，已知及外一点P，若上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线的对称点，与点P共线，则称点P为的“对称点”，直线为关于点T的“弦称线”，线段为关于点T的“弦称弦”． 的半径为1，点P为的“对称点”． （1）若点，直线为的“弦称线”，则k的取值可能是______； ①；②；③． （2）直线是关于点的弦称线，则“弦称弦”的最大值是多少； （3）直线与x轴，y轴分别交于点M，点N．点S为线段上任意一点，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则b的取值范围是多少． 【答案】（1）①② （2） （3）且 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，涉及了直线与圆的位置关系，坐标与图形，勾股定理，一次函数等内容，综合性比较强，难度比较大，解题的关键是理解题中的概念． （1）根据题意可知极限位置是与相切时，进而当与相切如图时，有k最大，据此判断即可； （2）过点T作，，过点O作，易求，要求最大值，则可求最大值，即最小值，根据三边关系求解即可； （3）先判断出会在以O为圆心，2为半径的上或内部，的“弦称线”一定经过以O为圆心，3为半径的圆内一点，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，即S在此圆内，据此得解． 【小问1详解】 解：由定义可知，上的弦AB关于PT对称得到，则极限位置是与相切时，此时将沿着对称，则为对称的弦， 当PK与相切如图时，有k最大， 此时，， 显然此时与可以取到，那么只用考虑是否行， 此时直线为，画出函数图象，如下： 由勾股定理可得， 则， 则到直线距离为， 故的取值能为①②； 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：过点T作，，过点作， 由定义可知，为对称轴， ∴， 要求最大值，则可求最大值，即最小值， ∵， ∴， ∴， ∴． 即“弦称弦”的最大值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：先确定的“弦称线”需要满足什么条件， 作O关于对称点得到， 由题意可得：， ∴在以O为圆心，2为半径的上或内部， 则的“弦称线”一定经过以O为圆心，3为半径的圆内一点， 若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则点S在此圆内，即线段在圆内， ∴且， 故答案为：且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二次模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列各数中，相反数为的是（ ） A. B. C. D. 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 下列方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（ ） A. △ABC三边的垂直平分线的交点 B. △ABC三个内角平分线的交点 C. △ABC三条中线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点 7. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放置一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，测得，则该古城墙的高度是（　　） A. 3m B. 4.5m C. 8m D. 5m 8. 如图表示的是某公司一种产品天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A. 第天的销售量为件 B. 第天销售一件产品的利润是元 C. 第天和第天的日销售利润相等 D. 第天的日销售利润高于第天的日销售利润 9. 体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A. 一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B. 二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的 C. 一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D. 二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解_____． 13. 如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为____________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分） 16. 计算： 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 20. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： （1）材料中空缺的内容是______，依据1是______． （2）补全猜想2的证明过程． （3）如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 22. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.9 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 23. 如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求与之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 25. 已知，的一边在平面直角坐标系的轴上，点． （1）如图1，点，求的长； （2）如图2，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，． ①求证：四边形是菱形； ②若点，动点，分别从点，以每秒个单位和每秒个单位的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，已知及外一点P，若上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线的对称点，与点P共线，则称点P为的“对称点”，直线为关于点T的“弦称线”，线段为关于点T的“弦称弦”． 的半径为1，点P为的“对称点”． （1）若点，直线为的“弦称线”，则k的取值可能是______； ①；②；③． （2）直线是关于点的弦称线，则“弦称弦”的最大值是多少； （3）直线与x轴，y轴分别交于点M，点N．点S为线段上任意一点，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则b的取值范围是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $